教學目的掌握第二型曲面積分的定義和計算公式教學內容.ppt

2 第二型曲面積分,教學目的： 掌握第二型曲面積分的定義和計算公式 教學內容： 曲面的側；第二型曲面積分的定義和計算公式 (1) 基本要求：掌握用顯式方程的第二型曲面積分的定義和計算公式 (2) 較高要求：掌握用隱式方程或參量表示的曲面的第二型曲面積分計算公式，掌握兩類曲面積分的聯系,曲面的側 第二型曲面積分概念 第二型曲面積分的計算 兩類曲面積分的聯系, 曲面分類,雙側曲面,單側曲面,莫比烏斯帶,曲面分上側和下側,曲面分內側和外側,曲面分左側和右側,(單側曲面的典型),一、曲面的側,設連通曲面 S 上處處有連續(xù),設 M0 為曲面 S 上一點，確定,方向為正方向，另一個方向為負方向.,L 為 S 上任一經過點 M0 且不超出 S 邊界的閉曲線.,設點 M 從 M0 出發(fā)，沿 L 連續(xù)移動， M 在 M0 點與M0,變動的切平面（或法線）,曲面在M0 點的一個法線,有相同的法線方向，,當點 M 連續(xù)移動時，其法線方向,也連續(xù)變動，最后當 M 沿 L 回到M0 時，若這時 M 的,法線方向仍與 M0 點的法線方向一致，則稱此曲面 S 為,雙側曲面；若與 M0 的法線方向相反，則稱 S 為單側曲,面,1. 問題的提出,從給定曲面 S 的負側流向正側，,設某流體以一定的速度,求單位時間內流經曲面 S 的流量 E,如果流體的流速是不變的常向量 v ，,S 是平面，其正側的單位法向量為,no ,時間內流經曲面 S 的流量 E 為：,E = v no S,S 的面積記為 S ，則單位,二、第二型曲面積分的概念,將曲面 S 任意分成 n 塊,設該點的單位法向量為：,流經該點的流速為,在小曲面塊 Si 的正側上,任取一點,Si i = 1, 2, . . . , n,則單位時間內流經小曲面 Si的流量近似地等于,其中 Si 為小曲面Si 的面積.,記,它們是 Si 的正側分別在坐標面,面積的近似值，于是單位時間,yz , zx 和 xy 上投影區(qū)域,內流經小曲面 Si 的流量,也近似地等于,故單位時間內由曲面 S 的負側流向正側的 總流量,第二型曲面積分的定義,設 P , Q , R 為定義在雙側曲面 S 上的函數，在 S 所,指定的一側作分割 T ，把 S 分為 n 個小曲面 S1 , S2,. . . , Sn , 記,分別表示 Si 在三個坐標軸上的投影區(qū)域的面積, 在 Si,上任取一點,若,存在，則稱此極限為函數 P , Q , R 在曲面 S 所指定,一側上的第二型曲面積分，也稱為對坐標的曲面積分,或,記作,常簡記為,若令,則第二型曲面積分也記作向量形式：,由第二型曲面積分的定義，流體以速度,從曲面 S 的負側流向正側的總流量,稱為P 在有向曲面S上對坐標 y, z 的曲面積分;,稱為Q 在有向曲面S上對坐標 z, x 的曲面積分;,稱為R 在有向曲面S上對坐標 x, y 的曲面積分;,若以 -S 表示曲面 S 的另一側，則由定義可得,3. 第二型曲面積分的性質, 若曲面 S 由兩兩無公共內點的曲面,Si i = 1, 2, . . . , n 所組成，則,定理22.2,取上側,是 S 上的連續(xù)函數, 則,設光滑曲面,三、第二型曲面積分的計算,注：,積分,的計算，必須先將曲面,表示成：,再代公式計算,證:,S 取上側,說明:,如果積分曲面 S 取下側, 則,若曲面 S 是母線平行于 z 軸的柱面（垂直于 xy 坐,標面）,則,(前正后負),將曲面 S 表示為,若曲面 S 是母線平行于 x 軸的柱面（垂直于 yz 坐,標面）,則,積分,的計算方法：,(右正左負),若曲面 S 是母線平行于 y 軸的柱面（垂直于 zx 坐,標面）,則,積分,的計算方法：,將曲面 S 表示為,解,例1. 計算曲面積分,其中 S 為球面,外側在第一和第五卦限部分.,把 S 分為上下兩部分,思考：,例. 計算,其中 S 是以原點為中心, 邊長為 2 的正立方,體的整個表面的外側.,解,其中 S1 是 S 的頂部,取上側,S2 是S 的底部,取下側,由對稱性，有,例. 計算,其中 S 是由平面 x = y = z = 0 和 x + y + z = 1 所圍的四面,體表面的外側.,解:,設 S1 是,取上側,S2 是S 的底部,取下側,在 xy 坐標面上的投影區(qū)域為 Dxy,先計算積分,由對稱性,例. 計算,其中 S 是球面,取外側為正向.,解:,設 S1 是上半球面,取上側,S2 是下半球面,取下側,在 xy 坐標面上的投影區(qū)域,先計算積分,同理可得,所以,設光滑曲面 S ，其指定一側的法方向余弦為：,則沿曲面