高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.2平面向量的線性運(yùn)算2.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義學(xué)案無答案新人教A版.docx

22.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解向量數(shù)乘的概念，并理解這種運(yùn)算的幾何意義.2.理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會(huì)運(yùn)用向量數(shù)乘運(yùn)算律進(jìn)行向量運(yùn)算.3.理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)及其判定方法，并能熟練地運(yùn)用這些知識(shí)處理有關(guān)共線向量問題知識(shí)點(diǎn)一向量數(shù)乘的定義思考1實(shí)數(shù)與向量相乘結(jié)果是實(shí)數(shù)還是向量？答案向量思考2向量3a，3a與a從長(zhǎng)度和方向上分析具有怎樣的關(guān)系？答案3a的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的3倍，它的方向與向量a的方向相同3a的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的3倍，它的方向與向量a的方向相反思考3a的幾何意義是什么？答案a的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮當(dāng)|1時(shí)，表示a的有向線段在原方向(0)或反方向(0)上伸長(zhǎng)為原來的|倍梳理向量數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作a，其長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：(1)|a|a|.(2)a (a0)的方向特別地，當(dāng)0或a0時(shí)，0a0或00.知識(shí)點(diǎn)二向量數(shù)乘的運(yùn)算律思考類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算律，向量數(shù)乘有怎樣的運(yùn)算律？答案結(jié)合律，分配律梳理向量數(shù)乘運(yùn)算律(1)(a)()a；(2)()aaa；(3)(ab)ab.知識(shí)點(diǎn)三向量共線定理思考1若b2a，b與a共線嗎？答案根據(jù)共線向量及向量數(shù)乘的意義可知，b與a共線如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba(a0)，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a(a0)是共線向量，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba.思考2若b與非零向量a共線，是否存在滿足ba？若b與向量a共線呢？答案若b與非零向量a共線，存在滿足ba；若b與向量a共線，當(dāng)a0，b0時(shí)，不存在滿足ba.梳理(1)向量共線定理向量a (a0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba.(2)向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)，1，2，恒有(1a2b)1a2b.1若向量b與a共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)使ba.()提示當(dāng)b0，a0時(shí)，實(shí)數(shù)不唯一2若ba，則a與b共線()提示由向量共線定理可知其正確3若a0，則a0.()提示若a0，則a0或0.類型一向量的線性運(yùn)算例1(1)3(6ab)9_.考點(diǎn)向量的線性運(yùn)算及應(yīng)用題點(diǎn)向量的線性運(yùn)算答案9a解析3(6ab)918a3b9a3b9a.(2)若3(xa)2(x2a)4(xab)0，則x_.考點(diǎn)向量的線性運(yùn)算及應(yīng)用題點(diǎn)向量的線性運(yùn)算答案4b3a解析由已知得3x3a2x4a4x4a4b0，所以x3a4b0，所以x4b3a.反思與感悟向量線性運(yùn)算的基本方法(1)類比法：向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，例如，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項(xiàng)”、“公因式”是指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)(2)方程法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解方程的方法求解，同時(shí)在運(yùn)算過程中多注意觀察，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用運(yùn)算律，簡(jiǎn)化運(yùn)算跟蹤訓(xùn)練1計(jì)算：(ab)3(ab)8a.考點(diǎn)向量的線性運(yùn)算及其應(yīng)用題點(diǎn)向量的線性運(yùn)算解(ab)3(ab)8a(a3a)(b3b)8a2a4b8a10a4b.類型二向量共線的判定及應(yīng)用命題角度1判定向量共線或三點(diǎn)共線例2已知非零向量e1，e2不共線(1)若ae1e2，b3e12e2，判斷向量a，b是否共線考點(diǎn)向量共線定理及其應(yīng)用題點(diǎn)利用向量共線定理判定向量共線解b6a，a與b共線(2)若e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線考點(diǎn)向量共線定理及其應(yīng)用題點(diǎn)利用向量共線定理判定三點(diǎn)共線證明e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5，共線，且有公共點(diǎn)B，A，B，D三點(diǎn)共線反思與感悟(1)向量共線的判斷(證明)是把兩向量用共同的已知向量來表示，進(jìn)而互相表示，從而判斷共線(2)利用向量共線定理證明三點(diǎn)共線，一般先任取兩點(diǎn)構(gòu)造向量，從而將問題轉(zhuǎn)化為證明兩向量共線，需注意的是，在證明三點(diǎn)共線時(shí)，不但要利用ba(a0)，還要說明向量a，b有公共點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練2已知非零向量e1，e2不共線，如果e12e2，5e16e2，7e12e2，則共線的三個(gè)點(diǎn)是_考點(diǎn)向量共線定理及其應(yīng)用題點(diǎn)利用向量共線定理判定三點(diǎn)共線答案A，B，D解析e12e2，5e16e27e12e22(e12e2)2，共線，且有公共點(diǎn)B，A，B，D三點(diǎn)共線命題角度2利用向量共線求參數(shù)值例3已知非零向量e1，e2不共線，欲使ke1e2和e1ke2共線，試確定k的值考點(diǎn)向量共線定理及其應(yīng)用題點(diǎn)利用向量共線定理求參數(shù)解ke1e2與e1ke2共線，存在實(shí)數(shù)，使ke1e2(e1ke2)，則(k)e1(k1)e2，由于e1與e2不共線，只能有k1.反思與感悟利用向量共線定理，即b與a(a0)共線ba，既可以證明點(diǎn)共線或線共線問題，也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值跟蹤訓(xùn)練3設(shè)兩個(gè)不共線的向量e1，e2，若a2e13e2，b2e13e2，c2e19e2，問是否存在實(shí)數(shù)，使dab與c共線？考點(diǎn)向量共線定理及其應(yīng)用題點(diǎn)利用向量共線定理求參數(shù)解d(2e13e2)(2e13e2)(22)e1(33)e2，要使d與c共線，則存在實(shí)數(shù)k，使得dkc，即(22)e1(33)e22ke19ke2.因?yàn)閑1與e2不共線，所以得2.故存在實(shí)數(shù)和，使得d與c共線，此時(shí)2.類型三用已知向量表示其他向量例4在ABC中，若點(diǎn)D滿足2，則等于()A.B.C.D.考點(diǎn)向量的線性運(yùn)算及應(yīng)用題點(diǎn)用已知向量表示未知向量答案D解析示意圖如圖所示，由題意可得().跟蹤訓(xùn)練4如圖所示，四邊形OADB是以向量a，b為鄰邊的平行四邊形又BMBC，CNCD，試用a，b表示，.考點(diǎn)向量的線性運(yùn)算及應(yīng)用題點(diǎn)用已知向量表示未知向量解因?yàn)?)(ab)，所以babab.因?yàn)?，所?)(ab)(ab)abab.1下列各式計(jì)算正確的有()(1)(7)6a42a；(2)7(ab)8b7a15b；(3)a2ba2b2a；(4)4(2ab)8a4b.A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)考點(diǎn)向量的線性運(yùn)算及應(yīng)用題點(diǎn)向量的線性運(yùn)算答案C解析(1)(3)(4)正確，(2)錯(cuò)，7(ab)8b7a7b8b7ab.2在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，則等于()A.B.C2D.考點(diǎn)向量的線性運(yùn)算及應(yīng)用題點(diǎn)用已知向量表示未知向量答案C解析如圖，作出平行四邊形ABEC，因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，所以M也是AE的中點(diǎn)，由題意知，2，故選C.3設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若向量me1ke2 (kR)與向量ne22e1共線，則()Ak0Bk1Ck2Dk考點(diǎn)向量共線定理及其應(yīng)用題點(diǎn)利用向量共線定理求參數(shù)答案D解析當(dāng)k時(shí)，me1e2，n2e1e2.n2m，此時(shí)，m，n共線4已知P，A，B，C是平面內(nèi)四點(diǎn)，且，則下列向量一定共線的是()A.與B.與C.與D.與考點(diǎn)向量共線定理及其應(yīng)用題點(diǎn)利用向量共線定理判定向量共線答案B解析因?yàn)椋?，即2，所以與共線5.如圖所示，已知，用，表示.考點(diǎn)向量的線性運(yùn)算及應(yīng)用題點(diǎn)用已知向量表示未知向量解().1實(shí)數(shù)與向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，例如a，a是沒有意義的2a的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴(kuò)大或縮小為原來的|倍向量表示與向量a同向的單位向量3向量共線定理是證明三點(diǎn)共線的重要工具，即三點(diǎn)共線問題通常轉(zhuǎn)化為向量共線問題4已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且mn(m，nR)，則A，P，B三點(diǎn)共線mn1.一、選擇題1下列說法中正確的是()Aa與a的方向不是相同就是相反B若a，b共線，則baC若|b|2|a|，則b2aD若b2a，則|b|2|a|考點(diǎn)向量數(shù)乘的定義及運(yùn)算題點(diǎn)向量數(shù)乘的定義及幾何意義答案D解析顯然當(dāng)b2a時(shí)，必有|b|2|a|.23(2a4b)等于()A5a7bB5a7bC6a12bD6a12b考點(diǎn)向量的線性運(yùn)算及應(yīng)用題點(diǎn)向量的線性運(yùn)算答案D解析利用向量數(shù)乘的運(yùn)算律，可得3(2a4b)6a12b，故選D.3(2017安徽太和中學(xué)高一期中)已知a，b是不共線的向量，a2b，a(1)b，且A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為()A1B2C2或1D1或2考點(diǎn)向量共線定理及其應(yīng)用題點(diǎn)利用向量共線定理求參數(shù)答案D解析因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)k使k.因?yàn)閍2b，a(1)b，所以a2bka(1)b因?yàn)閍與b不共線，所以解得2或1.4(2017江西贛州高三二模)如圖，ABC中，a，b，3，2，則等于()AabB.abC.abDab考點(diǎn)向量的線性運(yùn)算及應(yīng)用題點(diǎn)用已知向量表示未知向量答案D解析()ab，故選D.5.如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C，D是半圓弧AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，a，b，則等于()AabB.abCabD.ab考點(diǎn)向量的線性運(yùn)算及應(yīng)用題點(diǎn)用已知向量表示未知向量答案D解析連接CD，OD，如圖所示點(diǎn)C，D是半圓弧AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，ACCD，CADDAB6030.OAOD，ADODAO30.由此可得CADADO30，ACDO.由ACCD，得CDACAD30，CDADAO，CDAO，四邊形ACDO為平行四邊形，ab.6已知m，n是實(shí)數(shù)，a，b是向量，則下列說法中正確的是()m(ab)mamb；(mn)amana；若mamb，則ab；若mana，則mn.ABCD考點(diǎn)向量數(shù)乘的定義及運(yùn)算題點(diǎn)向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律答案B解析和屬于數(shù)乘對(duì)向量與實(shí)數(shù)的分配律，正確；中，若m0，則不能推出ab，錯(cuò)誤；中，若a0，則m，n沒有關(guān)系，錯(cuò)誤7在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F.若a，b，則等于()A.abB.abC.abD.ab考點(diǎn)向量的線性運(yùn)算及應(yīng)用題點(diǎn)用已知向量表示未知向量答案D解析DEFBEA，DFAB，.a，b，聯(lián)立得(ab)，(ab)，(ab)(ab)ab.二、填空題8(a9b2c)(b2c)_.考點(diǎn)向量的線性運(yùn)算及應(yīng)用題點(diǎn)向量的線性運(yùn)算答案a10b9設(shè)向量a，b不平行，向量ab與a2b平行，則實(shí)數(shù)_.考點(diǎn)向量共線定理及其應(yīng)用題點(diǎn)利用向量共線定理求參數(shù)答案解析向量a，b不平行，a2b0，又向量ab與a2b平行，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使ab(a2b)成立，即aba2b，則解得.10已知在ABC中，點(diǎn)M滿足0，若存在實(shí)數(shù)m使得m成立，則m_.考點(diǎn)向量共線定理及其應(yīng)用題點(diǎn)利用向量共線定理求參數(shù)答案3解析0，點(diǎn)M是ABC的重心3，m3.11若向量a與b的夾角為45，則2a與3b的夾角是_考點(diǎn)向量數(shù)乘的定義及運(yùn)算題點(diǎn)向量數(shù)乘的定義及幾何意義答案135解析如圖所示，可知2a與3b的夾角是135.三、解答題12計(jì)算：(1)6(3a2b)9(2ab)；(2)；(3)6(abc)4(a2bc)2(2ac)考點(diǎn)向量的線性運(yùn)算及應(yīng)用題點(diǎn)向量的線性運(yùn)算解(1)原式18a12b18a9b3b.(2)原式abab0.(3)原式6a6b6c4a8b4c4a2c(6a4a4a)(8b6b)(6c4c2c)6a2b.13在平行四邊形ABCD中，M，N分別是DC，BC的中點(diǎn)，已知c，d，試用c，d表示和.考點(diǎn)向量共線定理及應(yīng)用題點(diǎn)用已知向量表示未知向量解如圖，設(shè)a，b.M，N分別是DC，BC的中點(diǎn)，b，a.在ADM和ABN中，即2，得b(2cd)，2，得a(2dc)dc，cd.四、探究與拓展14如圖，在ABC中，延長(zhǎng)CB到D，使BDBC，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上移動(dòng)時(shí)，若，則t的最大值是_考點(diǎn)向量共線