數(shù)學(xué)物理方程的定解問題.ppt

2019/7/18,阜師院數(shù)科院,第二篇 數(shù)學(xué)物理方程,第七章 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題,7.1 數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出,一、基本思路,1.目標(biāo)：建立描述物理過程的微分方程。,2.操作：物理過程由物理量的變化描述選取物理量， 物理量的微分表示它的變化； 物理過程服從物理規(guī)則（牛頓定律，庫倫定律等） 建立微分方程。,二、幾種基本的方程,1.均勻弦的微小橫振動,變化,A.弦的橫振動,2019/7/18,阜師院數(shù)科院,B.無窮小的一段弦 B,C.受力分析和運(yùn)動方程,弦的原長,現(xiàn)長,弦長的變化產(chǎn)生回到原位置的張力,沿x-方向，這一段弦不出現(xiàn)平移,弦長 ，質(zhì)量密度 ，B段的質(zhì)量為 。,沿垂直于x-軸方向,小振動：,2019/7/18,阜師院數(shù)科院,波動方程。,波速,D.受迫振動,在上式推導(dǎo)過程中，出現(xiàn)的力是弦內(nèi)的張力，外力為零。 在受到與弦垂直方向的周期力的作用時，弦運(yùn)動為受迫振動。,設(shè)單位長度上弦受力 ，則 dx 受力為 。,最后得受迫振動方程,2019/7/18,阜師院數(shù)科院,2.均勻桿的縱振動,A.桿的彈性力學(xué)基本力學(xué)方程：胡克定律,Y：楊氏模量， 單位面積上的應(yīng)力。,B.運(yùn)動方程,桿中選 L=dx 長一段,時刻t，x 一端位移 u， x+dx 一端位移 u+du。,桿的伸長,當(dāng)取更長的dx，兩端的相對伸長和 應(yīng)力將不同，桿受力,又，牛頓定律：,即,為波速,2019/7/18,阜師院數(shù)科院,補(bǔ)充,連續(xù)性方程,連續(xù)分布的某種物理量，如介質(zhì)：建立座標(biāo),密度：單位容積中物理量的多少,流強(qiáng)度：單位時間通過單位面積 的該物理量（v 為流速）,單位時間沿 x- 方向凈流入量,單位時間凈流入量等于由密度增加的量,二者相等得連續(xù)性方程,表示物質(zhì)的總量守恒,2019/7/18,阜師院數(shù)科院,3.流體力學(xué)與聲學(xué)方程,A.連續(xù)介質(zhì)性質(zhì)：,當(dāng)振動在液體和氣體中傳播時，液體和氣體就成為傳播振動 的連續(xù)介質(zhì)。在其中取一個小的立方體，可以定義介質(zhì)在此 的密度 ，速度 v 和壓強(qiáng) P。 振動引起密度的疏密變化。,例如，在靜止的介質(zhì)中，介質(zhì)的速度為零，并且有壓強(qiáng) 和密度 。 當(dāng)振動出現(xiàn)時，介質(zhì)中各處有介質(zhì)的振動速度 v ，振動的傳播速度聲速； 顯然， v聲速，并且設(shè)密度的相對變化 s 為,B.拉普拉斯假定,歐拉方程（流體動力學(xué)方程）,連續(xù)性方程,物態(tài)方程,聲傳播為絕熱過程：,過程方程,阜師院數(shù)科院,C.方程,s,v 小量,f=0,2019/7/18,阜師院數(shù)科院,4. 真空電磁波方程,電磁學(xué)的麥克斯韋方程（微分形式）,真空時：,2019/7/18,阜師院數(shù)科院,5. 擴(kuò)散方程,A. 擴(kuò)散現(xiàn)象,系統(tǒng)的濃度 u(x) 不均勻時，將出現(xiàn)物質(zhì)從高濃度處到低濃度處的轉(zhuǎn)移，叫擴(kuò)散。,B.菲克定律,濃度梯度：,擴(kuò)散流強(qiáng)度：單位時間通過單位面積的物質(zhì)的量,C. 擴(kuò)散方程,D 均勻,三維,連續(xù)性方程,帶入菲克定律,2019/7/18,阜師院數(shù)科院,6.熱傳導(dǎo)方程,熱傳導(dǎo): 熱量從溫度高的地方到溫度低的地方轉(zhuǎn)移。,熱力學(xué)問題。,熱力學(xué)第一定律：,熱力學(xué)過程交換的熱量,熱力學(xué)過程外界對系統(tǒng)做的功,系統(tǒng)的內(nèi)能,熱傳導(dǎo)過程 dW=0，,系統(tǒng)傳導(dǎo)的熱量就是內(nèi)能的改變。,能量守恒，滿足連續(xù)性方程,系統(tǒng)的溫度,熱流強(qiáng)度 ：單位時間通過單位面積的熱量。,傅立葉定律：,熱傳導(dǎo)系數(shù),2019/7/18,阜師院數(shù)科院,建立熱傳導(dǎo)與擴(kuò)散間的對比,濃度溫度,擴(kuò)散流強(qiáng)度熱流強(qiáng)度,斐克定律傅立葉定律,連續(xù)性方程熱傳導(dǎo)方程,一維：,三維,它們形式完全相同，通稱為擴(kuò)散方程。,2019/7/18,阜師院數(shù)科院,7.穩(wěn)定分布,擴(kuò)散方程,的解一般含時,不含時的解滿足方程,此為拉普拉斯方程。即穩(wěn)定的濃度分布和溫度分布，其濃度和溫度滿足 拉普拉斯方程。,2019/7/18,阜師院數(shù)科院,8.真空靜電場,高斯定理,真空還有,又,最后：,9.薛定諤方程,擴(kuò)散類方程,2019/7/18,阜師院數(shù)科院,7.2 定解條件,一、常微分方程定解問題回顧,對于某個未知函數(shù)，它的微分方程是它的導(dǎo)數(shù)滿足的代數(shù)方程。解這個代數(shù) 方程，得導(dǎo)數(shù)。由積分，從導(dǎo)數(shù)得出原函數(shù)。常微分方程求解就是積分。,積分過程會出現(xiàn)積分常數(shù)。常微分方程定解問題就是確定積分常數(shù)。,通常通過未知函數(shù)在自變量的一個特定值的值，如初值（u(t=0)）確定積分 常數(shù)。從而定解。,二、數(shù)學(xué)物理方程的定解問題,積分一次，出現(xiàn)一個積分常數(shù)；求解二階常微分方程出現(xiàn)兩個積分常數(shù)。,1. 初始條件,類似于常微分方程定解過程的初值。,偏微分方程，對每個自變量的每次積分都出現(xiàn)一個積分常數(shù)。復(fù)雜！,t0: 初始條件。,x,y,z0，l : 邊界條件,自變量特定值：,初始“位移”,初始“速度”,T的一次方程，只需要初始位移 T的二次方程還需要初始速度。,2019/7/18,阜師院數(shù)科院,注： 和 是空間座標(biāo)的函數(shù)，在系統(tǒng)的任何位置都是確定的！,例如,t=0:,2.邊界條件,以一維情況為例,特定的時間， 變化的空間。,特定的空間， 變化的時間。,邊界劃分系統(tǒng)和外界。系統(tǒng)和外界之間的不同的關(guān)系，決定了不同的邊界條件。定解所需要的是自變量特定值的函數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)兩項(xiàng)。不同的邊界條件決定了這兩項(xiàng)的不同的組合，故可能出現(xiàn)幾類邊界條件。,A.第一類邊界條件,只與函數(shù)在空間特定位置的值有關(guān)，與其導(dǎo)數(shù)無關(guān)。,如：a.兩端固定的弦振動,和,如上圖,2019/7/18,阜師院數(shù)科院,b.細(xì)桿熱傳導(dǎo),或隨時間變化的 溫度,恒溫,c.擴(kuò)散,恒定濃度，或隨時間變化的濃度。,B.第二類邊界條件,第一類邊界條件的基本形式：,速度確定。,a.細(xì)桿的縱振動。當(dāng)端點(diǎn)“自由”，即無應(yīng)力。根據(jù)胡克定律，桿的相對伸長也為零：,b.細(xì)桿熱傳導(dǎo)。端點(diǎn)絕熱，熱流強(qiáng)度為零：由傅立葉定律：,2019/7/18,阜師院數(shù)科院,C.第三類邊界條件,位移和速度的組合,a.細(xì)桿熱傳導(dǎo)。端點(diǎn)“自由”冷卻。,牛頓冷卻定律：,T 為環(huán)境溫度。,根據(jù)傅立葉定律，在x=l 處：,負(fù)x方向,正x方向,在x=0 處,2019/7/18,阜師院數(shù)科院,b.細(xì)桿縱振動。端點(diǎn)與固定點(diǎn)彈性連接。應(yīng)力為彈性力,胡克定律：,彈性力：,則在端點(diǎn),一般表達(dá)式：,這些是最常見的，線性的邊界條件。還要其它形式，需根據(jù)具體情況制定之。,3.銜接條件,系統(tǒng)中可能出現(xiàn)物理性質(zhì)急劇變化的點(diǎn)躍變點(diǎn)。如兩節(jié)具有不同的楊氏模量的 細(xì)桿在 x=0 處連接，這一點(diǎn)就是躍變點(diǎn)。躍變點(diǎn)