自動(dòng)控制清華大學(xué)課件-第5章.ppt

2019年9月15日,第5章 頻率特性法,2019年9月15日,5.1 頻率特性的基本概念 5.2 幅相頻率特性及其繪制 5.3 對(duì)數(shù)頻率特性及其繪制 5.4 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 5.5 控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性 5.6 利用開(kāi)環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能,2019年9月15日,控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法是研究系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用的性能，對(duì)于一階、二階系統(tǒng)可以快速、直接地求出輸出的時(shí)域表達(dá)式、繪制出響應(yīng)曲線，從而利用時(shí)域指標(biāo)直接評(píng)價(jià)系統(tǒng)的性能。因此，時(shí)域法具有直觀、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)。然而，工程實(shí)際中有大量的高階系統(tǒng)，要通過(guò)時(shí)域法求解高階系統(tǒng)在外輸入信號(hào)作用下的輸出表達(dá)式是相當(dāng)困難的，需要大量計(jì)算，只有在計(jì)算機(jī)的幫助下才能完成分析。此外，在需要改善系統(tǒng)性能時(shí)，采用時(shí)域法難于確定該如何調(diào)整系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)。,2019年9月15日,在工程實(shí)踐中, 往往并不需要準(zhǔn)確地計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)的全部過(guò)程，而是希望避開(kāi)繁復(fù)的計(jì)算，簡(jiǎn)單、直觀地分析出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。因此，主要采用兩種簡(jiǎn)便的工程分析方法來(lái)分析系統(tǒng)性能，這就是根軌跡法與頻率特性法，本章將詳細(xì)介紹控制系統(tǒng)的頻率特性法。 控制系統(tǒng)的頻率特性分析法是利用系統(tǒng)的頻率特性（元件或系統(tǒng)對(duì)不同頻率正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)特性）來(lái)分析系統(tǒng)性能的方法，研究的問(wèn)題仍然是控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性及準(zhǔn)確性等，是工程實(shí)踐中廣泛采用的分析方法，也是經(jīng)典控制理論的核心內(nèi)容。,2019年9月15日,頻率特性分析法（Frequency Response），又稱為頻域分析法，是一種圖解的分析方法，它不必直接求解系統(tǒng)輸出的時(shí)域表達(dá)式，而可以間接地運(yùn)用系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性去分析閉環(huán)的響應(yīng)性能，不需要求解系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，具有較多的優(yōu)點(diǎn)。如： 根據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性能揭示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能, 得到定性和定量的結(jié)論，可以簡(jiǎn)單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或者參數(shù)對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)性能的影響,并提出改進(jìn)系統(tǒng)的方法。,頻率特性分析法的特點(diǎn),2019年9月15日,時(shí)域指標(biāo)和頻域指標(biāo)之間有對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且頻率特性分析中大量使用簡(jiǎn)潔的曲線、圖表及經(jīng)驗(yàn)公式，簡(jiǎn)化控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)。 具有明確的物理意義，它可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法，借助頻率特性分析儀等測(cè)試手段直接求得元件或系統(tǒng)的頻率特性，建立數(shù)學(xué)模型作為分析與設(shè)計(jì)系統(tǒng)的依據(jù)，這對(duì)難于用理論分析的方法去建立數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)尤其有利。,2019年9月15日,頻率分析法使得控制系統(tǒng)的分析十分方便、直觀，并且可以拓展應(yīng)用到某些非線性系統(tǒng)中。近來(lái)，頻率法還發(fā)展到可以應(yīng)用到多輸入量多輸出量系統(tǒng)，稱為多變量頻域控制理論。 本章重點(diǎn)介紹頻率特性的基本概念、幅相頻率特性與對(duì)數(shù)頻率特性的繪制方法、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性、利用開(kāi)環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)閉環(huán)性能的方法。,2019年9月15日,5.1頻率特性的基本概念,2019年9月15日,5.1.1 頻率響應(yīng) 頻率響應(yīng)是時(shí)間響應(yīng)的特例，是控制系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)正弦響應(yīng)。即一個(gè)穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，在正弦信號(hào)的作用下，穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出仍是一個(gè)與輸入同頻率的正弦信號(hào)，且穩(wěn)態(tài)輸出的幅值與相位是輸入正弦信號(hào)頻率的函數(shù)。 下面用用一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例來(lái)說(shuō)明頻率響應(yīng)的概念：,2019年9月15日,示例： 如圖所示一階RC網(wǎng)絡(luò)，ui(t)與u0(t)分別為輸入與輸出信號(hào)，其傳遞函數(shù)為,G(s)=,其中T=RC，為電路的時(shí)間常數(shù)，單位為s。,2019年9月15日,在零初始條件下，當(dāng)輸入信號(hào)為一正弦信號(hào)，即 ui(t)=Uisin t 時(shí) Ui與分別為輸入信號(hào)的振幅與角頻率，可以運(yùn)用時(shí)域法求電路的輸出。 輸出的拉氏變換為：,U0(s)=,對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換可得輸出的時(shí)域表達(dá)式：,2019年9月15日,輸出由兩項(xiàng)組成：,可見(jiàn)，輸出信號(hào)與輸入信號(hào)是同頻率的正弦函數(shù)，但幅值與相位不同，輸出滯后于輸入。,第一項(xiàng)是瞬態(tài)響應(yīng)分量，呈指數(shù)衰減形式，衰減速度由電路本身的時(shí)間常數(shù)T決定。,第二項(xiàng)是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量，當(dāng)t時(shí)，瞬態(tài)分量衰減為0，此時(shí)電路的穩(wěn)態(tài)輸出為：,2019年9月15日,輸出與輸入相位差為 = -arctanT,輸入信號(hào)為 ui(t)=Uisint,二者均僅與輸入頻率，以及系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)。,穩(wěn)態(tài)輸出與輸入幅值比為,2019年9月15日,實(shí)際上，頻率響應(yīng)的概念具有普遍意義。對(duì)于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)（或元件），當(dāng)輸入信號(hào)為正弦信號(hào)r(t)=sint 時(shí)，過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出必為 css(t)=Asin(t+)，如圖所示。,2019年9月15日,5.1.2 頻率特性,1、基本概念,對(duì)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)作進(jìn)一步的分析，由于輸入輸出的幅值比A與相位差只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)及輸入正弦信號(hào)的頻率有關(guān)。在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)給定的前提下，幅值比A與相位差僅是的函數(shù)，可以分別表示為A()與()。 若輸入信號(hào)的頻率在0的范圍內(nèi)連續(xù)變化，則系統(tǒng)輸出與輸入信號(hào)的幅值比與相位差將隨輸入頻率的變化而變化，反映出系統(tǒng)在不同頻率輸入信號(hào)下的不同性能，這種變化規(guī)律可以在頻域內(nèi)全面描述系統(tǒng)的性能。,2019年9月15日,因此，頻率特性可定義為： 線性定常系統(tǒng)（或元件）在零初始條件下，當(dāng)輸入信號(hào)的頻率在0的范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，系統(tǒng)輸出與輸入信號(hào)的幅值比與相位差隨輸入頻率變化而呈現(xiàn)的變化規(guī)律為系統(tǒng)的頻率特性。 頻率特性可以反映出系統(tǒng)對(duì)不同頻率的輸入信號(hào)的跟蹤能力，只和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)，是線性定常系統(tǒng)的固有特性。,2019年9月15日,A()反映幅值比隨頻率而變化的規(guī)律，稱為幅頻特性，它描述在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時(shí)在幅值上是放大（A1）還是衰減（A1）。 而()反映相位差隨頻率而變化的規(guī)律，稱為相頻特性，它描述在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時(shí)在相位上是超前（0）還是滯后（0）。 系統(tǒng)的頻率特性包含幅頻特性與相頻特性兩方面，并且強(qiáng)調(diào)頻率是一個(gè)變量。,2019年9月15日,對(duì)于上例所舉的一階電路，其幅頻特性和相頻特性的表達(dá)式分別為： A()= ()= -arctanT,G(s)=,2019年9月15日,對(duì)于上例所舉的一階電路，其幅頻特性和相頻特性的表達(dá)式分別為： A()= ()= -arctanT,G(s)=,2019年9月15日,2、頻率特性的表示方法,對(duì)于線性定常系統(tǒng)，當(dāng)輸入一個(gè)正弦信號(hào)r(t)=Rsint時(shí)， 則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出必為 css(t) = A()Rsin(t+() 由于輸入、輸出信號(hào)均為正弦信號(hào)，因此可以利用電路理論將其表示為復(fù)數(shù)形式，則輸出輸入之比為,可見(jiàn)，輸入輸出的復(fù)數(shù)比恰好表示了系統(tǒng)的頻率特性，其幅值與相角分別為幅頻特性、相頻特性的表達(dá)式。,2019年9月15日,若用一個(gè)復(fù)數(shù)G(j)來(lái)表示，則有 G(j)=G(j)ejG(j)=A()ej() 指數(shù)表示法 G(j)=A()() 幅角表示法 G(j)就是頻率特性通用的表示形式，是的函數(shù)。,當(dāng)是一個(gè)特定的值時(shí)，可以在復(fù)平面上用一個(gè)向量去表示G(j)。向量的長(zhǎng)度為A()，向量與正實(shí)軸之間的夾角為()，并規(guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，即相角超前；?guī)定順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)，即相角滯后。,2019年9月15日,另外還可以將向量分解為實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分，即 G(j)=R()+jI() R()稱為實(shí)頻特性，I() 稱為虛頻特性。由復(fù)變函數(shù)理論可知：,2019年9月15日,并且A()與R()為的偶函數(shù)，()與I()是的奇函數(shù)。 以上函數(shù)都是的函數(shù)，可以用曲線表示它們隨頻率變化的規(guī)律。使用曲線表示系統(tǒng)的頻率特性，具有直觀、簡(jiǎn)便的優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)用廣泛。,2019年9月15日,3、頻率特性的實(shí)驗(yàn)求取方法,向待求元件或系統(tǒng)輸入一個(gè)頻率可變的正弦信號(hào) r(t)=Rsint 在0的范圍內(nèi)不斷改變的取值，并測(cè)量與每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出 css(t)= A()Rsin(t+() 測(cè)量并記錄相應(yīng)的輸出、輸入幅值比與相角差。根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制出幅值比與相角差隨的變化曲線，并據(jù)此求出元件或系統(tǒng)的幅頻特性A()與相頻特性()的表達(dá)式，便可求出完整的頻率特性表達(dá)式。,2019年9月15日,5.1.3由傳遞函數(shù)求取頻率特性 （重要）,實(shí)際上，由于微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性為描述系統(tǒng)各變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，都是控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。和微分方程與傳遞函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)換類似，系統(tǒng)的頻率特性也可以由已知的傳遞函數(shù)通過(guò)簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)換得到，這種求取方法稱為解析法。 系統(tǒng)的輸出分為兩部分，第一部分為瞬態(tài)分量，對(duì)應(yīng)特征根；第二部分為穩(wěn)態(tài)分量，它取決于輸入信號(hào)的形式。對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)，系統(tǒng)所有的特征根的實(shí)部均為負(fù)，瞬態(tài)分量必將隨時(shí)間趨于無(wú)窮大而衰減到零。因此，系統(tǒng)響應(yīng)正弦信號(hào)的穩(wěn)態(tài)分量必為同頻率的正弦信號(hào)。,2019年9月15日,輸出信號(hào)的拉氏變換為,對(duì)輸出求拉氏反變換可得,為簡(jiǎn)化分析，假定系統(tǒng)的特征根全為不相等的負(fù)實(shí)根。,設(shè)n階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,輸入信號(hào)為 r(t)=Rsint,2019年9月15日,css(t) =Kce-jt+K-cejt,系數(shù)Kc和K-c可由留數(shù)定理確定，可以求出,css(t)= A() Rsint+ (),A()= | G (s)| s=j =| G (j)|, () =G (j ),而輸入信號(hào)為r(t)=Rsint,2019年9月15日,因此，A()為系統(tǒng)的輸出與輸入幅值比，為系統(tǒng)的幅頻特性表達(dá)式。 ()為系統(tǒng)的輸出與輸入相位差，為系統(tǒng)的相頻特性表達(dá)式。系統(tǒng)的頻率特性為 G( j)= G(s)|s=j= A ()ej,由以上可推得一個(gè)十分重要的結(jié)論：系統(tǒng)的頻率特性可由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)將j代替其中的s而得到。由拉氏變換可知，傳遞函數(shù)的復(fù)變量s =+j。當(dāng)=0時(shí)，s = j。所以G(j)就是=0時(shí)的G(s) 。即當(dāng)傳遞函數(shù)的復(fù)變量s用j代替時(shí)，傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性，這就是求取頻率特性的解析法。,重要,2019年9月15日,因此，在求已知傳遞函數(shù)系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)，可以避開(kāi)時(shí)域法需要求拉氏變換及反變換的繁瑣計(jì)算，直接利用頻率特性的物理意義簡(jiǎn)化求解過(guò)程。,線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為G(s) G(j)= G(s)|s=j = A()ej,Rsint,A()Rsint+ (),A()是幅頻特性， 是相頻特性,2019年9月15日,對(duì)于上例所舉的一階電路，其幅頻特性和相頻特性的表達(dá)式分別為： A()= ()= -arctanT,G(s)=,2019年9月15日,例5.1：,已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 當(dāng)輸入信號(hào)為r(t)=sin2t時(shí)，求閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。,解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)與頻率特性分別為,2019年9月15日,頻率特性的物理意義,1.在某一特定頻率下，系統(tǒng)輸入輸出的幅值比與相位差是確定的數(shù)值，不是頻率特性。當(dāng)輸入信號(hào)的頻率在0的范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，則系統(tǒng)輸出與輸入信號(hào)的幅值比與相位差隨輸入頻率的變化規(guī)律將反映系統(tǒng)的性能，才是頻率特性 。 2.頻率特性反映系統(tǒng)本身性能，取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)，與外界因素?zé)o關(guān)。 3. 頻率特性隨輸入頻率變化的原因是系統(tǒng)往往含有電容、電感、彈簧等儲(chǔ)能元件，導(dǎo)致輸出不能立即跟蹤輸入，而與輸入信號(hào)的頻率有關(guān)。 4.頻率特性表征系統(tǒng)對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的跟蹤能力，一般有“低通濾波”與“相位滯后”作用。,2019年9月15日,頻率特性的數(shù)學(xué)意義,頻率特性是描述系統(tǒng)固有特性的數(shù)學(xué)模型，與微分方程、傳遞函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)換。,以上三種數(shù)學(xué)模型以不同的數(shù)學(xué)形式表達(dá)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)本質(zhì)，并從不同的角度揭示出系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律，是經(jīng)典控制理論中最常用的數(shù)學(xué)模型。,2019年9月15日,5.1.4常用頻率特性曲線,頻率特性是穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量的幅值比和相位差隨頻率變化的規(guī)律。在實(shí)際應(yīng)用中，為直觀地看出幅值比與相位差隨頻率變化的情況，是將幅頻特性與相頻特性在相應(yīng)的坐標(biāo)系中繪成曲線，并從這些曲線的某些特點(diǎn)來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性和其它品質(zhì)以便對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析與綜合。 系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的頻率響應(yīng)曲線的表示方法很多,其本質(zhì)都是一樣的,只是表示的形式不同而已。頻率特性曲線通常采用以下三種表示形式：,2019年9月15日,1.幅相頻率特性曲線（奈氏曲線），圖形常用名為奈奎斯特圖或奈氏圖，坐標(biāo)系為極坐標(biāo)。奈氏圖反映A()與 ()隨變化的規(guī)律。 2.對(duì)數(shù)頻率特性曲線，包括： 對(duì)數(shù)幅頻特性曲線和對(duì)數(shù)相頻特性曲線。圖形常用名為對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖或伯德圖，坐標(biāo)系為半對(duì)數(shù)坐標(biāo)。伯德圖反映L()=20lg A()與 ()隨lg變化的規(guī)律。 3.對(duì)數(shù)幅相頻率特性曲線，圖形常用名尼柯?tīng)査箞D或?qū)?shù)幅相圖，坐標(biāo)系為對(duì)數(shù)幅相坐標(biāo)。尼柯?tīng)査箞D反映L()=20lg A()隨 ()的變化規(guī)律，主要用于求取閉環(huán)頻率特性。,2019年9月15日,5.2 幅相頻率特性及其繪制,2019年9月15日,5.2.1 幅相頻率特性曲線（奈氏圖）基本概念,繪制奈氏圖的坐標(biāo)系是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系的重合，取極點(diǎn)為直角坐標(biāo)的原點(diǎn)，極坐標(biāo)軸為直角坐標(biāo)的實(shí)軸。 由于系統(tǒng)的頻率特性表達(dá)式為 G(j)=A()ej 對(duì)于某一特定頻率i下的G(ji)總可以用復(fù)平面上的一個(gè)向量與之對(duì)應(yīng)，該向量的長(zhǎng)度為A(i)，與正實(shí)軸的夾角為(i)。,2019年9月15日,由于A()和()是頻率的函數(shù)，當(dāng)在0的范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，向量的幅值與相角均隨之連續(xù)變化，不同下的向量的端點(diǎn)在復(fù)平面上掃過(guò)的軌跡即為該系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線（奈氏曲線），如圖所示。,在繪制奈氏圖時(shí)，常把作為參變量，標(biāo)在曲線旁邊，并用箭頭表示頻率增大時(shí)曲線的變化軌跡，以便更清楚地看出該系統(tǒng)頻率特性的變化規(guī)律。,2019年9月15日,前面已經(jīng)指出，系統(tǒng)的幅頻特性與實(shí)頻特性是的偶函數(shù)，而相頻特性與虛頻特性是的奇函數(shù)，即G(j)與G(j)互為共軛。因此，假定可為負(fù)數(shù)，當(dāng)在0的范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，相應(yīng)的奈氏圖曲線G(j)必然與G(j)對(duì)稱于實(shí)軸。取負(fù)數(shù)雖然沒(méi)有實(shí)際的物理意義，但是具有鮮明的數(shù)學(xué)意義，主要用于控制系統(tǒng)的奈氏穩(wěn)定判別中。,2019年9月15日,當(dāng)系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)已知時(shí)，可以采用解析的方法先求取系統(tǒng)的頻率特性，再求出系統(tǒng)幅頻特性、相頻特性或者實(shí)頻特性、虛頻特性的表達(dá)式，通過(guò)逐點(diǎn)計(jì)算描出奈氏曲線。具體步驟如下： 1. 用j代替s，求出頻率特性G(j) 2. 求出幅頻特性A()與相頻特性()的表達(dá)式，也可求出實(shí)頻特性與虛頻特性，幫助判斷G(j)所在的象限。 3. 在0的范圍內(nèi)選取不同的，根據(jù)A()與()表達(dá)式計(jì)算出對(duì)應(yīng)值，在坐標(biāo)圖上描出對(duì)應(yīng)的向量G(j)，將所有G(j)的端點(diǎn)連接描繪出光滑的曲線即可得到所求的奈氏曲線。,也可以用實(shí)驗(yàn)的方法求取。,2019年9月15日,5.2.2 典型環(huán)節(jié)的奈氏圖,1、比例環(huán)節(jié),用j替換s，可求得比例環(huán)節(jié)的頻率特性表達(dá)式為 G(j)=K,Im,Re,0,K,0,比例環(huán)節(jié)的幅相頻率特性,傳遞函數(shù)為 ：G(s)=K,幅頻特性 A()= | K |= K 相頻特性 ()=0,2019年9月15日,比例環(huán)節(jié)的幅頻特性、相頻特性均與頻率無(wú)關(guān)。所以當(dāng)由0變到，G(j)始終為實(shí)軸上一點(diǎn)，說(shuō)明比例環(huán)節(jié)可以完全、真實(shí)地復(fù)現(xiàn)任何頻率的輸入信號(hào)，幅值上有放大或衰減作用；()=0，表示輸出與輸入同相位，既不超前也不滯后。,Im,Re,0,K,0,2019年9月15日,2、積分環(huán)節(jié),積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為,積分環(huán)節(jié)的頻率特性為,幅頻特性為 A()=|1/|=1/ ，與角頻率成反比,相頻特性為 ()=-90,0,0,Re,積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性,Im,2019年9月15日,積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性如圖所示，在0的范圍內(nèi)，幅頻特性與負(fù)虛軸重合。 積分環(huán)節(jié)的奈氏圖表明積分環(huán)節(jié)是低通濾波器，放大低頻信號(hào)、抑制高頻信號(hào)，輸入頻率越低，對(duì)信號(hào)的放大作用越強(qiáng)；并且有相位滯后作用，輸出滯后輸入的相位恒為90。,0,0,Re,Im,2019年9月15日,3、微分環(huán)節(jié),理想微分環(huán)節(jié)的 傳遞函數(shù)為 G(s)=s 頻率特性為 G(j)=j,幅頻特性為 A()=|=，與成正比。 相頻特性為 ： ()=90。,2019年9月15日,理想微分環(huán)節(jié)的奈氏圖如圖所示，在0的范圍內(nèi)，其奈氏圖與正虛軸重合。 可見(jiàn)，理想微分環(huán)節(jié)是高通濾波器，輸入頻率越高，對(duì)信號(hào)的放大作用越強(qiáng)；并且有相位超前作用，輸出超前輸入的相位恒為90，說(shuō)明輸出對(duì)輸入有提前性、預(yù)見(jiàn)性作用。,2019年9月15日,4、慣性環(huán)節(jié),根據(jù)實(shí)頻特性與虛頻特性表達(dá)式，可以判斷出實(shí)頻特性恒0，而虛頻特性恒0，由此可見(jiàn)慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖必在坐標(biāo)系的第四象限。,傳遞函數(shù),頻率特性,幅頻特性,相頻特性,2019年9月15日,當(dāng)從0變到 時(shí)，可以根據(jù)幅頻特性與相頻特性表達(dá)式描點(diǎn)繪制奈氏圖，例如可以繪出三個(gè)點(diǎn),2019年9月15日,由慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖可知，慣性環(huán)節(jié)為低通濾波器，且輸出滯后于輸入，相位滯后范圍為 090。,是一個(gè)位于第四象限的半圓，圓心為(1/2，0)，直徑為1。若慣性環(huán)節(jié)的比例系數(shù)變?yōu)镵，則幅頻特性成比例擴(kuò)大K倍，而相頻特性保持不變，即奈氏圖仍為一個(gè)半圓，但圓心為(K/2，0)，直徑為K。,2019年9月15日,5、一階微分環(huán)節(jié),可見(jiàn)一階微分環(huán)節(jié)的實(shí)頻特性恒為1，而虛頻特性與輸入頻率成正比。 當(dāng)從0變到時(shí),可以根據(jù)幅頻特性與相頻特性表達(dá)式描點(diǎn)繪制奈氏圖，可以繪出三個(gè)點(diǎn)，見(jiàn)表,G(s)=(s+1),()=arctan(),2019年9月15日,由一階微分環(huán)節(jié)的奈氏圖可知，一階微分環(huán)節(jié)具有放大高頻信號(hào)的作用，輸入頻率越大，放大倍數(shù)越大；且輸出超前于輸入，相位超前范圍為090，輸出對(duì)輸入有提前性、預(yù)見(jiàn)性作用。,根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪出幅相頻率特性，是平行于正虛軸向上無(wú)窮延伸的直線。,2019年9月15日,一階微分環(huán)節(jié)的典型實(shí)例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，但存在放大高頻干擾信號(hào)的問(wèn)題。,2019年9月15日,6、二階振蕩環(huán)節(jié),可以判斷出虛頻特性恒0， 故曲線必位于第三與第四象限。,2019年9月15日,以為參變量，計(jì)算不同頻率時(shí)的幅值和相角，其中幾個(gè)重要的特征點(diǎn)見(jiàn)表。,在極坐標(biāo)上畫出由0變到時(shí)的矢量端點(diǎn)的軌跡，便可得到振蕩環(huán)節(jié)的幅相頻率特性如圖所示。,12 振蕩環(huán)節(jié)與負(fù)虛軸的交點(diǎn)頻率：=1/T 幅值：1/(2),2019年9月15日,由奈氏圖可知，振蕩環(huán)節(jié)具有相位滯后的作用，輸出滯后于輸入的范圍為0180；同時(shí)的取值對(duì)曲線形狀的影響較大，可分為以下兩種情況,2019年9月15日,1. 0.707 幅頻特性A()隨的增大而單調(diào)減小，如圖5-12中1所對(duì)應(yīng)曲線，此刻環(huán)節(jié)有低通濾波作用。當(dāng) 1時(shí)，振蕩環(huán)節(jié)有兩個(gè)相異負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，若足夠大，一個(gè)極點(diǎn)靠近原點(diǎn)，另一個(gè)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸（對(duì)瞬態(tài)響應(yīng)影響很?。问锨€與負(fù)虛軸的交點(diǎn)的虛部為1/(2 )0，奈氏圖近似于半圓，即振蕩環(huán)節(jié)近似于慣性環(huán)節(jié)，如圖所示。,2019年9月15日,2.0 0.707 當(dāng)增大時(shí)，幅頻特性A()并不是單調(diào)減小，而是先增大，達(dá)到一個(gè)最大值后再減小直至衰減為0，這種現(xiàn)象稱為諧振。奈氏圖上距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)處所對(duì)應(yīng)的頻率為諧振頻率r，所對(duì)應(yīng)的向量長(zhǎng)度為諧振峰值Mr= A(r) = A(r)/ A(0) 。諧振表明系統(tǒng)對(duì)頻率r下的正弦信號(hào)的放大作用最強(qiáng)。,2019年9月15日,諧振峰值為,隨，諧振峰值Mr，諧振頻率r無(wú)阻尼自然振蕩頻率n。諧振峰值Mr越大，表明系統(tǒng)的阻尼比越小，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性就越差，單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量%也越大。 當(dāng)=0時(shí)，rn，Mr，即振蕩環(huán)節(jié)處于等幅振蕩狀態(tài)。,由幅頻特性A()對(duì)頻率求導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，可求得諧振角頻率r和諧振峰值Mr，,諧振角頻率,2019年9月15日,7、二階微分環(huán)節(jié),可以判斷出虛頻特性恒0， 故曲線必位于第一與第二象限。,2019年9月15日,以為參變量，計(jì)算不同頻率時(shí)的幅值和相角，其中幾個(gè)重要的特征點(diǎn)見(jiàn)表。,在極坐標(biāo)上畫出由0變到時(shí)的矢量端點(diǎn)的軌跡，便可得到振蕩環(huán)節(jié)的幅相頻率特性如圖所示。,2019年9月15日,8、延遲環(huán)節(jié),幅頻特性為：A()=1 相頻特性為：()=- 單位為弧度（rad）。,或者()=,G(s)=e-s,G(j)=e- j,2019年9月15日,時(shí)，()-，即輸出相位滯后輸入為無(wú)窮大。當(dāng)從0連續(xù)變化至?xí)r，奈氏曲線沿原點(diǎn)作半徑為1的無(wú)窮次旋轉(zhuǎn)，越大，轉(zhuǎn)動(dòng)速度越大。 故延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖是一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓。即延遲環(huán)節(jié)可以不失真地復(fù)現(xiàn)任何頻率的輸入信號(hào)，但輸出滯后于輸入，而且輸入信號(hào)頻率越高，延遲環(huán)節(jié)的輸出滯后就越大。,幅頻特性為：A()=1 相頻特性為：()=-57.3,2019年9月15日,在低頻區(qū)，頻率特性表達(dá)式根據(jù)泰勒公式展開(kāi)為,當(dāng)很小時(shí)，有,即在低頻區(qū)，延遲環(huán)節(jié)的頻率特性近似于慣性環(huán)節(jié)。從奈氏圖也可見(jiàn)，二者的曲線在低頻區(qū)基本重合。,2019年9月15日,延遲環(huán)節(jié)與其他典型環(huán)節(jié)相結(jié)合不影響幅頻特性，但會(huì)使相頻特性的最大滯后為無(wú)窮大。如某系統(tǒng)傳遞函數(shù)是慣性環(huán)節(jié)與延遲環(huán)節(jié)相結(jié)合，傳遞函數(shù)為,單位為度（）,2019年9月15日,可見(jiàn)隨的增大，幅頻特性A()單調(diào)減小，而相位滯后單調(diào)增加，相頻特性()從0一直變化到負(fù)無(wú)窮大。故該系統(tǒng)的奈氏圖是螺旋狀曲線，繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)次，最后終止于原點(diǎn)，與實(shí)軸、虛軸分別有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)。,2019年9月15日,5.2.3 開(kāi)環(huán)奈氏圖的繪制,1.定義 系統(tǒng)的頻率特性有兩種，由反饋點(diǎn)是否斷開(kāi)分為閉環(huán)頻率特性(j)與開(kāi)環(huán)頻率特性GK(j)，分別對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)(s)與開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)。由于系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)較易獲取，并與系統(tǒng)的元件一一對(duì)應(yīng)，在控制系統(tǒng)的頻率分析法中，分析與設(shè)計(jì)系統(tǒng)一般是基于系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性。,2019年9月15日,對(duì)于由多個(gè)典型環(huán)節(jié)組合而成的系統(tǒng)（延遲環(huán)節(jié)除外），其頻率特性應(yīng)該滿足下面的規(guī)律（重要）,系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為,2019年9月15日,控制系統(tǒng)是由典型環(huán)節(jié)組成的，則系統(tǒng)頻率特性的繪制與典型環(huán)節(jié)的頻率特性的繪制方法是基本相同的。可根據(jù)復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)求出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的幅頻特性A()與相頻特性()的表達(dá)式，或由分母有理化求出實(shí)頻特性與虛頻特性，再由奈氏圖的基本繪制方法求出系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)奈氏圖。,2019年9月15日,2.開(kāi)環(huán)奈氏圖基本繪制規(guī)律 當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為多個(gè)典型環(huán)節(jié)組合時(shí)，其開(kāi)環(huán)奈氏圖的繪制與根軌跡的繪制類似，具有一定的規(guī)律?？梢韵雀鶕?jù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的某些特征繪制出近似曲線，再利用A()與()等的表達(dá)式描點(diǎn)，在曲線的重要部分修正。,2019年9月15日,（1）低頻段的確定（0）,GK(j)的低頻段表達(dá)式,根據(jù)向量相乘是幅值相乘、相位相加的原則，求出低頻段幅頻特性與相頻特性表達(dá)式分別為,2019年9月15日,可見(jiàn)低頻段的形狀（幅值與相位）均與系統(tǒng)的型別v與開(kāi)環(huán)傳遞系數(shù)K有關(guān)。,1.0型系統(tǒng)，v=0：A(0)=K， (0)=0 低頻特性為實(shí)軸上的一點(diǎn)(K,0)。 2.型系統(tǒng)，v=1：A(0)， (0)= -90 3.型系統(tǒng)，v=2：A(0)， (0)= -180,2019年9月15日,（2）高頻段（） 不失一般性，假定系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)全為不相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)與零點(diǎn)。,m為分子多項(xiàng)式的階數(shù)， n為分母多項(xiàng)式的階數(shù)，且一般mn,2019年9月15日,故A()=0，高頻段終止于坐標(biāo)原點(diǎn)；而最終相位為()=-(n-m)90，由n-m確定特性以什么角度進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)。,2019年9月15日,(n-m)=1，()=-90，即幅相特性沿負(fù)虛軸進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)。 (n-m)=2，則()=-180，即幅相特性沿負(fù)實(shí)軸進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)。 (n-m)=3，則()=-270，即幅相特性沿正虛軸進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)。,2019年9月15日,（3）奈氏圖與實(shí)軸、虛軸的交點(diǎn) 將頻率特性表達(dá)式按照分母有理化的方法分解為實(shí)部與虛部。 1）曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)處的頻率由虛部為0求出 ImG(j)=I()=0 求出交點(diǎn)處的，再代回頻率特性表達(dá)式求出交點(diǎn)的坐標(biāo)。 2）曲線與虛軸的交點(diǎn)處的頻率由實(shí)部為0求出 ReG(j)=R()=0 求出交點(diǎn)處的，再代回頻率特性表達(dá)式求出交點(diǎn)的坐標(biāo)。,2019年9月15日,（4）開(kāi)環(huán)零點(diǎn)對(duì)曲線的影響 1）如果系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)沒(méi)有開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，則在由0過(guò)程中，特性的相位單調(diào)連續(xù)減?。筮B續(xù)增加），特性曲線平滑地變化。奈氏曲線應(yīng)該是從低頻段開(kāi)始幅值逐漸減小，沿順時(shí)針?lè)较蜻B續(xù)變化最后終于原點(diǎn)。 2）如果系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，則在由0過(guò)程中，特性的相位不再是連續(xù)減小。視開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的時(shí)間常數(shù)的數(shù)值大小不同，特性曲線的相位可能在某一頻段范圍內(nèi)呈增加趨勢(shì)，此時(shí)，特性曲線出現(xiàn)凹部。,2019年9月15日,根據(jù)以上繪制規(guī)律，可以方便地繪制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)概略奈氏圖。 在的區(qū)段，奈氏曲線的形狀與所有典型環(huán)節(jié)及其參數(shù)有關(guān)，但通過(guò)奈氏曲線并不能非常直觀地顯示出系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)。,2019年9月15日,3.繪制實(shí)例 例5.2某系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，繪制其開(kāi)環(huán)奈氏圖,當(dāng)0時(shí)， A(0) =K ， (0) =0，低頻特性為正實(shí)軸上的一點(diǎn)(K,0)。 在時(shí)，A()=0，()=-(n-m)90=-390=-270,由系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)得頻率特性,0型系統(tǒng),2019年9月15日,此系統(tǒng)無(wú)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，因此在從0過(guò)程中，特性的相位單調(diào)連續(xù)減小，從0連續(xù)變化到-270，中間有-180角，故曲線與負(fù)實(shí)軸有交點(diǎn)。奈氏曲線應(yīng)該是平滑的曲線，從低頻段開(kāi)始幅值逐漸減小，沿順時(shí)針?lè)较蜻B續(xù)變化最后終于原點(diǎn)。,2019年9月15日,例5.3某系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，繪制其開(kāi)環(huán)奈氏圖,（1）此系統(tǒng)為型系統(tǒng) 當(dāng)0時(shí)， A(0) ， (0) =-90，低頻特性始于平行于負(fù)虛軸的無(wú)窮遠(yuǎn)處。,2019年9月15日,將頻率特性表達(dá)式分母有理化為,則低頻漸近線為,頻率特性實(shí)部0，故曲線只在第二、三象限。,（2）時(shí)，A()=0，()=-(n-m)90= -390= -270，即幅相特性沿正虛軸進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)。,2019年9月15日,（3）此系統(tǒng)無(wú)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，因此在從0過(guò)程中，特性的相位單調(diào)連續(xù)減小，從0連續(xù)變化到-270。奈氏曲線是平滑的曲線，從低頻段開(kāi)始幅值逐漸減小，沿順時(shí)針?lè)较蜻B續(xù)變化最后終于原點(diǎn)。 （4）()有-180相位角，故曲線與負(fù)實(shí)軸有交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)可以由下式確定。,曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為,ImG(j)=I()=,=0,2019年9月15日,例5.4某系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，繪制其開(kāi)環(huán)奈氏圖,此系統(tǒng)為型系統(tǒng) 當(dāng)0時(shí)， A(0) ， (0) =-180 在時(shí)，A()=0，()=-(n-m)90=-390=-270,2019年9月15日,由于沒(méi)有開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，所以奈氏曲線從低頻段到高頻段為連續(xù)變化的光滑曲線，幅值連續(xù)減小，最后沿正虛軸終止于原點(diǎn)。,當(dāng)0時(shí)， A(0) ， (0) =-180 在時(shí)，A()=0，()=-270,2019年9月15日,若該系統(tǒng)增加一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，開(kāi)環(huán)頻率特性表達(dá)式為,此系統(tǒng)仍為型系統(tǒng)， 當(dāng)0時(shí)， A(0)， (0) =-180，即奈氏圖的起點(diǎn)基本未變。 在時(shí)，A()=0，()=-(n-m)90=-290=-180，奈氏圖沿負(fù)實(shí)軸終止于原點(diǎn)。,2019年9月15日,由于增加了開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，所以奈氏曲線從低頻段到高頻段連續(xù)變化時(shí)，相位先滯后增加，達(dá)到一個(gè)滯后最大值后，相位滯后又開(kāi)始減?。聪辔辉黾樱?，整條曲線出現(xiàn)了凹凸。,當(dāng)0時(shí)， A(0)， (0) = -180，即奈氏圖的起點(diǎn)基本未變。 在時(shí)，A()=0，() = -180，奈氏圖沿負(fù)實(shí)軸終止于原點(diǎn)。,2019年9月15日,下圖列出了常見(jiàn)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)與開(kāi)環(huán)概略奈氏圖。,2019年9月15日,2019年9月15日,5.3 對(duì)數(shù)頻率特性及其繪制,2019年9月15日,5.3.1 對(duì)數(shù)頻率特性曲線基本概念 （重點(diǎn)）,對(duì)數(shù)頻率特性圖（Bode圖）將幅頻和相頻特性分別畫出，并按對(duì)數(shù)分度運(yùn)算，使系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)變得十分簡(jiǎn)便。,1. 伯德（ Bode ）圖的構(gòu)成,對(duì)數(shù)幅頻特性圖的橫坐標(biāo)是對(duì) 取以10為底的對(duì)數(shù)進(jìn)行分度的。,2019年9月15日,標(biāo)注角頻率的真值，以方便讀數(shù)。每變化十倍，橫坐標(biāo)1g就增加一個(gè)單位長(zhǎng)度，記為decade或簡(jiǎn)寫dec，稱之為“十倍頻”或“十倍頻程”。 橫坐標(biāo)對(duì)于是不均勻的，但對(duì)lg卻是均勻的線性分度。由于0頻無(wú)法表示，橫坐標(biāo)的最低頻率是由所需的頻率范圍來(lái)確定的。,若橫軸上有兩點(diǎn)1與2，則該兩點(diǎn)的距離不是2-1，而是lg2-lg1，如2與20、10與100之間的距離均為一個(gè)單位長(zhǎng)度，即一個(gè)十倍頻程。,2019年9月15日,0.1,1,10,100 / (rads-1),確定Bode圖坐標(biāo)系,2,3,2019年9月15日,對(duì)數(shù)頻率特性曲線坐標(biāo)系如圖所示，在繪制函數(shù)關(guān)系時(shí)，相當(dāng)于lg為自變量。,縱坐標(biāo)是對(duì)幅值分貝(dB)數(shù)進(jìn)行分度，用L()=20 lgA()表示。,對(duì)數(shù)相頻特性圖的橫坐標(biāo)分度方法同對(duì)數(shù)幅頻特性，而縱坐標(biāo)則對(duì)相角進(jìn)行線性分度，單位為度（o） ,仍用 ( )表示。,2019年9月15日,2Bode圖法的特點(diǎn),（1）橫坐標(biāo)按頻率取對(duì)數(shù)分度，低頻部分展寬，而高頻部分縮小。與對(duì)實(shí)際控制系統(tǒng)（一般為低頻系統(tǒng)）的頻率分辨要求吻合。 （2）幅頻特性取分貝數(shù)20LgA()后，使各因子間的乘除運(yùn)算變?yōu)榧訙p運(yùn)算，在Bode圖上則變?yōu)楦饕蜃臃l特性曲線的疊加，大大簡(jiǎn)化了作圖過(guò)程，使系統(tǒng)設(shè)計(jì)和分析變得容易。,2019年9月15日,G(j)=G1(j)G2(j)Gn(j)= A()ej() 式中 A()=A1()A2()An()； () = 1() + 2() + + n() 在極坐標(biāo)中繪制幅相頻率特性，要花較多時(shí)間，而在繪制對(duì)數(shù)幅頻特性時(shí)，有 L() =20 lgA() = 20lgA1() + 20lgA2() + + 20lgAn() =L1() + L2()+ Ln(),2019年9月15日,（3）可采用由直線段構(gòu)成的漸近特性（或稍加修正）代替精確Bode圖，使繪圖十分簡(jiǎn)便。 （4）在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和調(diào)試中，開(kāi)環(huán)放大系數(shù)K是最常變化的參數(shù)。而K的變化不影響對(duì)數(shù)幅頻特性的形狀，只會(huì)使幅頻特性曲線作上下平移。,2019年9月15日,5.3.2典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖,1. 比例環(huán)節(jié)（K）,2019年9月15日,說(shuō)明比例環(huán)節(jié)可以完全、真實(shí)地復(fù)現(xiàn)任何頻率的輸入信號(hào)，幅值上有放大或衰減作用； ()=0，表示輸出與輸入同相位，既不超前也不滯后。,2019年9月15日,2. 積分環(huán)節(jié)(1/s),頻率每增加10倍，幅頻特性下降20dB，故積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性是一條斜率為-20dB/dec的斜線,并且在=1這一點(diǎn)穿過(guò)0dB線。,2019年9月15日,表明積分環(huán)節(jié)是低通濾波器，放大低頻信號(hào)、抑制高頻信號(hào)，輸入頻率越低，對(duì)信號(hào)的放大作用越強(qiáng)；并且有相位滯后作用，輸出滯后輸入的相位恒為90。,2019年9月15日,3. 微分環(huán)節(jié)（s）,微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性是一條斜率+20dB/dec的斜線,并且在=1這一點(diǎn)穿過(guò)0dB線。,2019年9月15日,積分環(huán)節(jié)與理想微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性相比較，只相差正負(fù)號(hào)，二者以軸為基準(zhǔn)，互為鏡像；同理，二者的相頻特性互以軸為鏡像。,可見(jiàn)，理想微分環(huán)節(jié)是高通濾波器，輸入頻率越高，對(duì)信號(hào)的放大作用越強(qiáng)；并且有相位超前作用，輸出超前輸入的相位恒為90，說(shuō)明輸出對(duì)輸入有提前性、預(yù)見(jiàn)性作用。,2019年9月15日,4.慣性環(huán)節(jié),（1）對(duì)數(shù)幅頻特性,為簡(jiǎn)化對(duì)數(shù)頻率特性曲線的繪制，常常使用漸近對(duì)數(shù)幅頻特性曲線（特別是在初步設(shè)計(jì)階段）。,2019年9月15日,1）低頻段 在T1（或1/T）的區(qū)段，可以近似地認(rèn)為T0，從而有,故在頻率很低時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性可以近似用零分貝線表示，這稱為低頻漸近線。,2019年9月15日,2）高頻段 在T1（或1/T）的區(qū)段，可以近似地認(rèn)為,L()為因變量，lg為自變量，因此對(duì)數(shù)頻率特性曲線是一條斜線, 斜率為-20dB/dec, 稱為高頻漸近線，與低頻漸近線的交點(diǎn)為T =1/T，T 稱為轉(zhuǎn)折頻率，是繪制慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性時(shí)的一個(gè)重要參數(shù)。,2019年9月15日,高頻漸近線斜率為-20dB/dec, 與低頻漸近線的交點(diǎn)轉(zhuǎn)折頻率為T =1/T。,2019年9月15日,漸近特性和準(zhǔn)確特性相比，存在誤差：越靠近轉(zhuǎn)折頻率，誤差越大，如在轉(zhuǎn)折頻率這一點(diǎn)，誤差最大，精確值為,2019年9月15日,如需由漸近對(duì)數(shù)幅頻特性曲線獲取精確曲線，只須分別在低于或高于轉(zhuǎn)折頻率的一個(gè)十倍頻程范圍內(nèi)對(duì)漸近對(duì)數(shù)幅頻特性曲線進(jìn)行修正就足夠了。,2019年9月15日,（2）對(duì)數(shù)相頻特性,精確相頻特性為:,對(duì)數(shù)相頻特性曲線將對(duì)應(yīng)于=1/T及()=-45這一點(diǎn)斜對(duì)稱。,可以清楚地看出在整個(gè)頻率范圍內(nèi)，()呈滯后持續(xù)增加的趨勢(shì)，極限為-90。,2019年9月15日,當(dāng)慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)T改變時(shí)，其轉(zhuǎn)折頻率1/T 將在Bode圖的橫軸上向左或向右移動(dòng)。與此同時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性及對(duì)數(shù)相頻特性曲線也將隨之向左或向右移動(dòng)，但它們的形狀保持不變。,2019年9月15日,1） 低頻段 在 1(或1/)的區(qū)段，對(duì)數(shù)幅頻特性可以近似用零分貝線表示，為低頻漸近線。,5.一階微分環(huán)節(jié),2019年9月15日,2）高頻段 在1（或1/ ）的區(qū)段，可以近似地認(rèn)為高頻漸近線是一條斜線，斜率為20dB/dec，當(dāng)頻率變化10倍頻時(shí)，L()變化20dB。轉(zhuǎn)折頻率為T=1/。,2019年9月15日,可知，一階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性與慣性環(huán)節(jié)的相應(yīng)特性互以橫軸為鏡像。,精確曲線的修正方法也與慣性環(huán)節(jié)相同。但需要注意到修正值的符號(hào)相反。如轉(zhuǎn)折頻率處T對(duì)應(yīng)的精確值是L(T)=0+3=3dB。,2019年9月15日,一階微分環(huán)節(jié)具有放大高頻信號(hào)的作用，輸入頻率越大，放大倍數(shù)越大；且輸出超前于輸入，相位超前范圍為090，輸出對(duì)輸入有提前性、預(yù)見(jiàn)性作用。 一階微分環(huán)節(jié)的典型實(shí)例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，但存在放大高頻干擾信號(hào)的問(wèn)題。,2019年9月15日,6二階振蕩環(huán)節(jié),（1）對(duì)數(shù)幅頻特性,2019年9月15日,1）低頻段 01,T1（或1/T）時(shí)，L() 20lg1=0dB 低頻漸近線與0dB線重合。,2019年9月15日,2）高頻段 T1(或1/T)時(shí)，并考慮到（01），有 L()-20lg(T)2=-40lg(T)=-40lgT-40lg dB 高頻段是一條斜率為-40dB/dec的斜線，稱為高頻漸近線。,2019年9月15日,L() -20lg(T)2=-40lg(T)=-40lgT- 40lg=0dB,T=1/T為低頻漸近線與高頻漸近線交點(diǎn)處的橫坐標(biāo)，稱為轉(zhuǎn)折頻率，也就是環(huán)節(jié)的無(wú)阻尼自然振蕩頻率n。,2019年9月15日,2019年9月15日,可見(jiàn)0.4 或0.7時(shí)，漸近線需要加尖峰修正。隨 的減小，諧振峰值Mr增大，諧振頻率r也越接近振蕩環(huán)節(jié)的無(wú)阻尼自然振蕩頻率n。,諧振峰值Mr越大，表明系統(tǒng)的阻尼比越小，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性就越差，單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量%也越大。當(dāng)=0時(shí)，rn，Mr，即振蕩環(huán)節(jié)處于等幅振蕩狀態(tài)。,2019年9月15日,2019年9月15日,（2）相頻特性,可知，當(dāng)=0時(shí)，()=0；=1/T時(shí)，()=-90；時(shí)，() -180。,與慣性環(huán)節(jié)相似，振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線將對(duì)應(yīng)于=1/T及() =-90這一點(diǎn)斜對(duì)稱。,2019年9月15日,振蕩環(huán)節(jié)具有相位滯后的作用，輸出滯后于輸入的范圍為0-180；同時(shí)的取值對(duì)曲線形狀的影響較大。,2019年9月15日,7二階微分環(huán)節(jié),二階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性與二階振蕩環(huán)節(jié)的相應(yīng)特性互以橫軸為鏡像。,低頻漸近線與0dB線重合，高頻段漸近線斜率為+40dB/dec的斜線，轉(zhuǎn)折頻率為T=1/,2019年9月15日,8延遲（滯后）環(huán)節(jié)（e-s）,()是呈指數(shù)規(guī)律下降的曲線，隨增加而滯后無(wú)限增加。,2019年9月15日,系統(tǒng)的頻率特性有兩種，由反饋點(diǎn)是否斷開(kāi)分為閉環(huán)頻率特性(j)與開(kāi)環(huán)頻率特性GK(j)，分別對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)(s)與開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)。由于系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)較易獲取，并與系統(tǒng)的元件一一對(duì)應(yīng)，在控制系統(tǒng)的頻率分析法中，分析與設(shè)計(jì)系統(tǒng)一般是基于系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性?？刂葡到y(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為：,由除延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)組成,5.3.3 開(kāi)環(huán)伯德圖的繪制,2019年9月15日,1.基本規(guī)律 （1）由于系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅頻特性的漸近線是由各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性疊加而成，而直線疊加就是斜率相加，所以L()的漸近線必為由不同斜率的線段組成的折線。,順序斜率疊加法 在繪制系統(tǒng)Bode圖時(shí)，應(yīng)先將系統(tǒng)傳遞函數(shù)分解為典型環(huán)節(jié)乘積的形式，再逐步繪制。 不必將各個(gè)典型環(huán)節(jié)的L()繪出,而使用從低頻到高頻逐次變換斜率的方法繪出L()曲線, ()曲線描點(diǎn)或疊加求取。,2019年9月15日,（2）低頻漸近線（及其延長(zhǎng)線）的確定,GK(j)的低頻段表達(dá)式為,()=-v 90,2019年9月15日,對(duì)數(shù)頻率特性的低頻漸近線表達(dá)式為,可見(jiàn)低頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性與相頻特性均與積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)v有關(guān)。,斜率為-20vdB/dec 低頻漸近線（及其延長(zhǎng)線）上在=1時(shí)，有L(1)=20lgK,2019年9月15日,（3）轉(zhuǎn)折頻率及轉(zhuǎn)折后斜率變化量的確定,低頻段只與積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)v及開(kāi)環(huán)傳遞系K 有關(guān)，而其他典型環(huán)節(jié)的影響是在各自的轉(zhuǎn)折頻率處使L()的斜率發(fā)生相應(yīng)的變化。,2019年9月15日,2019年9月15日,（4）最終斜率與最終相位滯后與n-m的關(guān)系,當(dāng) 時(shí)，由于nm，所以高頻段的近似表達(dá)式為,()=-（n - m）90,2019年9月15日,對(duì)數(shù)頻率特性的高頻漸近線表達(dá)式為,高頻段為一條斜率為 -20(n-m) dB/dec的斜線。 說(shuō)明高頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性與相頻特性均與（n-m）有關(guān)。,()= -(n-m)90,2019年9月15日,2繪制步驟 利用規(guī)律，可以從低頻到高頻，將L()整條曲線一次畫出，步驟如下： 1開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)寫成標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)間常數(shù)表達(dá)式，確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。 2選定Bode圖坐標(biāo)系所需頻率范圍，一般最低頻率為系統(tǒng)最低轉(zhuǎn)折頻率的1/10左右，而最高頻率為最高轉(zhuǎn)折頻率的10倍左右。確定坐標(biāo)比例尺，由小到大標(biāo)注各轉(zhuǎn)折頻率。,2019年9月15日,3確定低頻漸近線（由積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)v與開(kāi)環(huán)傳遞系數(shù)K決定），找到橫坐標(biāo)為=1、縱坐標(biāo)為20lgK 的點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作斜率為 -20vdB/dec 的斜線。 4.由低頻向高頻延伸，每到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率，斜率根據(jù)具體環(huán)節(jié)作相應(yīng)的改變，最終斜率為-20（n-m）dB/dec。 5如有必要，可對(duì)分段直線進(jìn)行修正，以得到精確的對(duì)數(shù)幅頻特性，其方法與典型環(huán)節(jié)的修正方法相同。通常只需修正各轉(zhuǎn)折頻率處以及轉(zhuǎn)折頻率的二倍頻和1/2倍頻處的幅值就可以了。,2019年9月15日,系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性 L() 通過(guò)0分貝線，即 L(c)=0或A(c)=1 時(shí)的頻率c稱為幅值穿越頻率。幅值穿越頻率c 是分析與設(shè)計(jì)時(shí)的重要參數(shù)。,2019年9月15日,6在對(duì)數(shù)相頻特性圖上，分別畫出各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線（可用模型板畫），將各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線沿縱軸方向迭加，便可得到系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線。也可求出()的表達(dá)式，逐點(diǎn)描繪。低頻時(shí)有()=-v(90)，最終相位為()=-(n-m)90。 7.若系統(tǒng)串聯(lián)有延遲環(huán)節(jié)，不影響系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性，只影響系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性，則可以求出相頻特性的表達(dá)式，直接描點(diǎn)繪制對(duì)數(shù)相頻特性曲線。,2019年9月15日,例5.5設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,試?yán)L制開(kāi)環(huán)系統(tǒng)對(duì)數(shù)頻率特性曲線。 解 (1)先將開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)化成時(shí)間常數(shù)標(biāo)準(zhǔn)式：,2019年9月15日,0.1,1,10,100,20,40,60,-20,-40,-60,確定Bode圖坐標(biāo)系,2019年9月15日,28,1,2,50,-20,-40,-20,2019年9月15日,（2）將各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率由低到高依次標(biāo)于軸上，如下圖所示。 （3）繪制低頻漸近線。由于是I型系統(tǒng)，=1處的幅值為20lg10=20 (dB)。以此點(diǎn)為基準(zhǔn)繪制系統(tǒng)低頻部分漸近線，是一條斜率為 -20dB/dec 的直線。 （4）由低頻到高頻順序繪出對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線。在低頻漸近線的基礎(chǔ)上，每遇到一個(gè)環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，根據(jù)該環(huán)節(jié)的性質(zhì)作一次斜率變化，直至最后一個(gè)環(huán)節(jié)完成為止。 （5）必要時(shí)對(duì)漸近線進(jìn)行修正，畫出精確的對(duì)數(shù)幅頻特性。,2019年9月15日,分析對(duì)數(shù)幅頻特性可見(jiàn)，系統(tǒng)L()由3段折線構(gòu)成，而且在=10與 =100之間穿過(guò)0dB線。 曲線穿過(guò)0dB線時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率稱為幅值穿越頻率。幅值穿越頻率c可以通過(guò)坐標(biāo)系直接讀出，也可根據(jù)簡(jiǎn)單的計(jì)算求出。,2019年9月15日,1. 由低頻漸近線可求得 L(1)= L(1)=20lgK=40（dB）,2. 由于1點(diǎn)與2點(diǎn)位于同一條斜線，斜率為-40dB/dec，則L(2)可如下求得,L(2)=28（dB）,3. 同理，c可如下求取,c=50rad/s,2019年9月15日,相頻特性根據(jù)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)對(duì)數(shù)相頻特性的表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算。,對(duì)于相頻特性曲線，主要了解其大致趨向。 幅值穿越頻率c處的相位十分重要，本例中=c=50時(shí)的相位為 (c)=-91.1（）,() =arctan0.5- arctan-90（）,2019年9月15日,若系統(tǒng)串聯(lián)有延遲環(huán)節(jié)，不影響系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性，只影響系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性