05--積分變換方法與三維裂紋問(wèn)題@@@

1,第五講:求解裂紋問(wèn)題的積分變換方法 應(yīng)用:降維-反演 三維裂紋 斷裂動(dòng)力學(xué),2,取應(yīng)力函數(shù) 滿足雙調(diào)和方程： 富里埃變換的（n）階導(dǎo)數(shù)：,一、二維雙調(diào)和方程的富里埃（Fourier Transforms）變換,3,一、二維雙調(diào)和方程的富里埃（Fourier Transforms）變換,將雙調(diào)和方程（7-2）作富里埃變換 其中 方程（7-4）的一般解,4,一、二維雙調(diào)和方程的富里埃（Fourier Transforms）變換,應(yīng)用反演公式： 及應(yīng)力變換：,5,一、二維雙調(diào)和方程的富里埃（Fourier Transforms）變換,得： 由反演公式，得：,6,一、二維雙調(diào)和方程的富里埃（Fourier Transforms）變換,現(xiàn)討論平面應(yīng)變情形下位移的解 作反演得： 若求得 ，可得 ， 。,7,二、半無(wú)限彈性平面的位移解,現(xiàn)討論受分布?jí)毫?的半無(wú)限彈性平面問(wèn)題 邊界條件為：,8,二、半無(wú)限彈性平面的位移解,雙調(diào)和方程的應(yīng)力函數(shù)的富里埃變換的一般解為： 由邊界條件（2）可知： ，所以 由邊界條件（1），確定A、B：,9,二、半無(wú)限彈性平面的位移解,代入（7-6）式應(yīng)力函數(shù)的富氏變換 得到應(yīng)力解：,10,二、半無(wú)限彈性平面的位移解,對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題 將應(yīng)力函數(shù)代入（7-10）、（7-11）得到位移表達(dá)式,11,三、裂紋問(wèn)題的對(duì)偶積分方程,現(xiàn)討論裂紋邊界受分布?jí)毫?問(wèn)題 邊界條件為：,12,三、裂紋問(wèn)題的對(duì)偶積分方程,如果壓力 分布對(duì) 軸是對(duì)稱的，則 由邊界條件 得： 由邊界條件 得： 引入代換： 式中 是貝塞爾函數(shù),13,三、裂紋問(wèn)題的對(duì)偶積分方程,利用上述代換，邊界條件(7-22)、(7-23)寫為： 上式為對(duì)偶積分方程，由這一對(duì)方程決定函數(shù) ，于是便可求得 。在求出 后，便可以得到應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)的全部解。,14,三、裂紋問(wèn)題的對(duì)偶積分方程,對(duì)偶積分方程 (7-24)的解為： 作用在裂紋表面的壓力由下列級(jí)數(shù)給出： 則 于是有,15,三、裂紋問(wèn)題的對(duì)偶積分方程,若當(dāng) ，且 時(shí)有 ，則 可得位移： 在均布?jí)毫ψ饔孟?，裂紋會(huì)擴(kuò)大張開(kāi)成橢圓形狀。 利用這種方法可解許多種裂紋尖端的應(yīng)力位移場(chǎng)。,16,三維裂紋問(wèn)題的求解,17,受均勻拉伸的橢圓盤狀裂紋，Green-Sneddon解,邊界條件：,橢圓盤狀裂紋,18,尋找調(diào)和函數(shù),解實(shí)際上在流體力學(xué)中已經(jīng)早就找到了，即在無(wú)窮遠(yuǎn)處處于靜止的不可壓縮的無(wú)限流體中，橢圓盤狀的物體以勻速 垂直于 平面運(yùn)動(dòng)，問(wèn)題與上述裂紋問(wèn)題在數(shù)學(xué)上相似，而它的解是已知的。,19,根據(jù)流體力學(xué)比擬得到本問(wèn)題的解為,待定系數(shù),邊界條件，定出常數(shù),應(yīng)力場(chǎng),其中,其中,20,應(yīng)力強(qiáng)度因子,還原為第二類完全橢圓積分,，圓盤狀裂紋,21,半橢圓表面裂紋問(wèn)題,無(wú)限大平板中， 軸上有一排長(zhǎng)為 ，間距為 的無(wú)限個(gè)共線直裂紋,表面（非穿透性）裂紋，Irwin 1962,寬度為B的有限寬板，有一長(zhǎng)為 的直裂紋， 借用上式為近似解，,當(dāng) 不是很小,半橢圓平面裂紋,22,K與G的關(guān)系,能量釋放率法和應(yīng)力強(qiáng)度因子方法，作為兩種脆性材料的線彈性斷裂力學(xué)分析方法，是對(duì)同一問(wèn)題的兩種不同考慮，應(yīng)該具有一定的內(nèi)在聯(lián)系。 對(duì)于線彈性斷裂問(wèn)題，采用G準(zhǔn)則或K準(zhǔn)則在數(shù)學(xué)上是完全等價(jià)的，得到的結(jié)果應(yīng)該是一致的。 一般情況下，計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子(SIF)比計(jì)算能量釋放率更容易，因此在工程中一般采用K作為斷裂的判據(jù)。,23,復(fù)習(xí)-K與G的聯(lián)系與區(qū)別,G是從系統(tǒng)（含裂紋）的整體的能量出發(fā)定義的；K是在裂紋尖端附近的局部的應(yīng)力強(qiáng)度定義的。 G是一種變化率的概念（裂紋擴(kuò)展單位長(zhǎng)度引起的應(yīng)變能或勢(shì)能釋放），K是當(dāng)前狀態(tài)的概念。 盡管Griffith最早考慮的是脆性材料，G的適用范圍更廣泛。,能量是一個(gè)標(biāo)量，因此能量釋放率G只有一個(gè)； 應(yīng)力強(qiáng)度因子則有I,II 和 III型，對(duì)應(yīng)著三種不同的裂紋類型。 G和K都是斷裂力學(xué)中的重要概念，但是K的提出，意味著斷裂力學(xué)定量計(jì)算向前邁了一大步。,24,K和G之間的聯(lián)系 (I-II-III 型）-自習(xí)題,無(wú)限大板中的無(wú)限長(zhǎng)I型裂紋：,作為一般的情況，考慮如圖所示的裂紋，其長(zhǎng)度為a。因?yàn)槟芰酷尫怕逝c加載方式無(wú)關(guān)，不妨設(shè)試件承受固定位移加載。在裂紋未擴(kuò)展前，裂紋前方的應(yīng)力為：,25,在與裂紋面平行的平面內(nèi)只有三個(gè)應(yīng)力分量 和 。 型，型，型的應(yīng)力角分布函數(shù)在的平面內(nèi)有：,裂紋前緣延長(zhǎng)線上的應(yīng)力為： 隨著裂紋的擴(kuò)展，裂紋前緣延長(zhǎng)線上的力逐步被釋放。,可見(jiàn)，任何一種型式（如型）不會(huì)產(chǎn)生其它型（和型）的應(yīng)力，即這三種K型是完全獨(dú)立的。,26,假設(shè)裂紋延長(zhǎng)，新形成的裂紋面間的相對(duì)位移為： 在裂紋擴(kuò)展的過(guò)程中系統(tǒng)釋放的勢(shì)能為：,27,線彈性斷裂力學(xué)應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算,計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子的其他方法 解析法：復(fù)變應(yīng)力函數(shù)法、保角變換法、積分變換法、奇異積分方程法、 數(shù)值法：有限元法、邊界元法、有限體積法、 、 半解析-半數(shù)值法：邊界配位法 局部-整體法