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第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答,要點(diǎn):,(1)極坐標(biāo)中平面問(wèn)題的基本方程:, 平衡方程、幾何方程、物理方程、相容方程、邊界條件。,(2)極坐標(biāo)中平面問(wèn)題的求解方法及應(yīng)用,應(yīng)用:,圓盤(pán)、圓環(huán)、厚壁圓筒、楔形體、半無(wú)限平面體等的應(yīng)力與變形分析。,4-1 極坐標(biāo)中的平衡微分方程,4-2 極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程,4-3 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程,4-4 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式,4-5 軸對(duì)稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移,4-6 圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?壓力隧洞,4-7 曲梁的純彎曲,4-8 圓盤(pán)在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力與位移,4-9 圓孔的孔邊應(yīng)力集中,4-10 楔形體的楔頂與楔面受力,4-11 半平面體在邊界上受法向集中力,4-12 半平面體在邊界上受法向分布力,主 要 內(nèi) 容,4-1 極坐標(biāo)中的平衡微分方程,1. 極坐標(biāo)中的微元體,體力:,應(yīng)力:,PA面,PB面,BC面,BC面,應(yīng)力正向規(guī)定:,正應(yīng)力 拉為正,壓為負(fù);,剪應(yīng)力 r、的正面上,與坐標(biāo)方向一致時(shí)為正;,r、的負(fù)面上,與坐標(biāo)方向相反時(shí)為正。,2. 平衡微分方程,考慮微元體平衡(取厚度為1):,將上式化開(kāi):,兩邊同除以 :,兩邊同除以 ,并略去高階小量:, 剪應(yīng)力互等定理,于是,極坐標(biāo)下的平衡方程為:,(41),方程(41)中包含三個(gè)未知量,而只有二個(gè)方程,是一次超靜定問(wèn)題,需考慮變形協(xié)調(diào)條件才能求解。,4-2 極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程,1. 幾何方程,(1) 只有徑向變形,無(wú)環(huán)向變形。,徑向線段PA的相對(duì)伸長(zhǎng):,(a),徑向線段PA的轉(zhuǎn)角:,(b),線段PB的相對(duì)伸長(zhǎng):,(c),環(huán)向線段PB的轉(zhuǎn)角:,(d),徑向線段PA的相對(duì)伸長(zhǎng):,(a),徑向線段PA的轉(zhuǎn)角:,(b),環(huán)向線段PB的相對(duì)伸長(zhǎng):,(c),環(huán)向線段PB的轉(zhuǎn)角:,(d),剪應(yīng)變?yōu)椋?(e),(2) 只有環(huán)向變形,無(wú)徑向變形。,徑向線段PA的相對(duì)伸長(zhǎng):,(f),徑向線段PA的轉(zhuǎn)角:,(g),環(huán)向線段PB的相對(duì)伸長(zhǎng):,環(huán)向線段PB的轉(zhuǎn)角:,(h),(i),剪應(yīng)變?yōu)椋?(j),(3) 總應(yīng)變,整理得:,(42), 極坐標(biāo)下的幾何方程,2. 物理方程,平面應(yīng)力情形:,平面應(yīng)變情形:,(43),(44),彈性力學(xué)平面問(wèn)題極坐標(biāo)求解的基本方程:,平衡微分方程:,(41),幾何方程:,(42),物理方程:,(43),(平面應(yīng)力情形),邊界條件:,位移邊界條件:,應(yīng)力邊界條件:,為邊界上已知位移,,為邊界上已知的面力分量。,(位移單值條件),取半徑為 a 的半圓分析,由其平衡得:,4-3 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程,1. 直角坐標(biāo)下變形調(diào)方程(相容方程),(2-22),(2-23),(平面應(yīng)力情形),(2-25),(2-27),(2-26),應(yīng)力的應(yīng)力函數(shù)表示:,2. 極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量與相容方程,方法1:(步驟),(1)利用極坐標(biāo)下的幾何方程,求得應(yīng)變表示的相容方程:,(2)利用極坐標(biāo)下的物理方程,得應(yīng)力表示的相容方程:,(常體力情形),(3)利用平衡方程求出用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力分量:,(4)將上述應(yīng)力分量代入應(yīng)力表示的相容方程,得應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程:,(常體力情形),方法2:(用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的變換關(guān)系求得到),(1)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)間的關(guān)系:,(2)應(yīng)力分量與相容方程的坐標(biāo)變換:,應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換,(a),(b),(c),由直角坐標(biāo)下應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力的關(guān)系(226):,極坐標(biāo)下應(yīng)力分量計(jì)算公式:,(45),可以證明:式(45)滿足平衡方程(41)。,相容方程的坐標(biāo)變換,說(shuō)明:式(45)僅給出體力為零時(shí)的應(yīng)力分量表達(dá)式。,相容方程的坐標(biāo)變換,(a),(b),將式(a)與(b)相加,得,得到極坐標(biāo)下的 Laplace 微分算子:,極坐標(biāo)下的相容方程為:,(46),方程(46)為常體力情形的相容方程。,說(shuō)明:,彈性力學(xué)極坐標(biāo)求解歸結(jié)為,結(jié)論:,(1),由問(wèn)題的條件求出滿足式(46)的應(yīng)力函數(shù),(46),(2),由式(45)求出相應(yīng)的應(yīng)力分量:,(45),(3),位移邊界條件:,應(yīng)力邊界條件:,為邊界上已知位移,,為邊界上已知的面力分量。,(位移單值條件),3. 軸對(duì)稱問(wèn)題應(yīng)力分量與相容方程,軸對(duì)稱問(wèn)題:,(46),由式(45)和(46)得應(yīng)力分量和相容方程為:,(410),應(yīng)力分量:,相容方程:,4-4 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式,(1) 用極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量表示直角坐標(biāo)下的應(yīng)力分量,(2) 用直角坐標(biāo)下的應(yīng)力分量表示極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量,(48),(49),4-5 軸對(duì)稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移,求解方法:,逆解法,1. 軸對(duì)稱問(wèn)題應(yīng)力分量與相容方程,(1)應(yīng)力分量,(410),(2)相容方程,2. 相容方程的求解,將相容方程表示為:,4階變系數(shù)齊次微分方程,將其展開(kāi),有, 4階變系數(shù)齊次微分方程,方程兩邊同乘以 :, Euler 齊次微分方程,為方程的特征值,方程的特征根為:,于是,方程的解為:,將 代 回 :,(411), 軸對(duì)稱問(wèn)題相容方程的通解,A、B、C、D 為待定常數(shù)。,3. 應(yīng)力分量,(410),將方程(4-11)代入應(yīng)力分量表達(dá)式,(412), 軸對(duì)稱平面問(wèn)題的應(yīng)力分量表達(dá)式,4. 位移分量,對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題,有物理方程,(a),積分式(a),有,(b), 是任意的待定函數(shù),將式(b)代入式(a)中第二式,得,將上式積分,得:,(c), 是 r 任意函數(shù),將式(b)代入式(c)中第三式,得,或?qū)懗桑?要使該式成立,兩邊須為同一常數(shù)。,(d),(e),式中F 為常數(shù)。對(duì)其積分有:,(f),其中 H 為常數(shù)。對(duì)式(e)兩邊求導(dǎo),其解為:,(g),(h),將式(f) (h)代入式(b) (c),得,(b),(c),(4-13),平面軸對(duì)稱問(wèn)題小結(jié):,(411),(1),應(yīng)力函數(shù),(2),應(yīng)力分量,(412),(3),位移分量,(4-13),式中:A、B、C、H、I、K 由應(yīng)力和位移邊界條件確定。,由式(4-13)可以看出:,應(yīng)力軸對(duì)稱并不表示位移也是軸對(duì)稱的。,但在軸對(duì)稱應(yīng)力情況下,若物體的幾何形狀、受力、位移約束都是軸對(duì)稱的,則位移也應(yīng)該是軸對(duì)稱的。,這 時(shí),物體內(nèi)各點(diǎn)都不會(huì),有環(huán)向位移,即不論 r 和 取何值,都應(yīng)有: 。,對(duì)這種情形,有,式(4-13)變?yōu)椋?4-13(a),彈性力學(xué)平面問(wèn)題極坐標(biāo)求解的基本方程:,平衡微分方程:,(41),幾何方程:,(42),物理方程:,(43),(平面應(yīng)力情形),彈性力學(xué)平面問(wèn)題極坐標(biāo)求解步驟:,(1),由問(wèn)題的條件求出滿足式(46)的應(yīng)力函數(shù),(46),(2),由式(45)求出相應(yīng)的應(yīng)力分量:,(45),(3),位移邊界條件:,應(yīng)力邊界條件:,為邊界上已知位移,,為邊界上已知的面力分量。,(位移單值條件),平面軸對(duì)稱問(wèn)題的求解:,(411),(1),應(yīng)力函數(shù),(2),應(yīng)力分量,(412),(3),位移分量,(4-13),式中:A、B、C、H、I、K 由應(yīng)力和位移邊界條件確定。,對(duì)于多連體問(wèn)題,位移須滿足位移單值條件。,極坐標(biāo)下的平面問(wèn)題的基本方程,幾何方程:,(41),物理方程:,平面應(yīng)力情形,平面應(yīng)變情形,平衡微分方程:,邊界條件:,(位移單值條件),相容方程:,(46), 常體力情形的相容方程。,應(yīng)力分量計(jì)算式:,(45),彈性力學(xué)極坐標(biāo)求解歸結(jié)為,(位移單值條件),(1)應(yīng)力分量,(2)相容方程,軸對(duì)稱問(wèn)題的應(yīng)力分量與相容方程:,平面軸對(duì)稱問(wèn)題小結(jié):,4-6 圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?壓力隧洞,1. 圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?已知:,求:應(yīng)力分布。,確定應(yīng)力分量的表達(dá)式:,邊界條件:,(a),將式(4-12)代入,有:,(b),式中有三個(gè)未知常數(shù),二個(gè)方程不通用確定。,對(duì)于多連體問(wèn)題,位移須滿足位移單值條件。,要使單值,須有:B = 0 ,由式(b)得,將其代回應(yīng)力分量式(4-12),有:,(4-14),(1)若:,( 二向等壓情況),(2)若:,(壓應(yīng)力),(拉應(yīng)力),(3)若:,(壓應(yīng)力),(壓應(yīng)力),(4)若:, 具有圓形孔道的無(wú)限大彈性體。,邊緣處的應(yīng)力:,2. 壓力隧洞,問(wèn)題:,厚壁圓筒埋在無(wú)限大彈性體內(nèi),受內(nèi)壓 q 作用,求圓筒的應(yīng)力。,1. 分析:,與以前相比較,相當(dāng)于兩個(gè)軸對(duì)稱問(wèn)題:,(a) 受內(nèi)外壓力作用的厚壁圓筒;,(b) 僅受外壓作用的無(wú)限大彈性體。,確定外壓 p 的兩個(gè)條件:,徑向變形連續(xù):,徑向應(yīng)力連續(xù):,2. 求解,2. 求解,(1) 圓筒的應(yīng)力與邊界條件,應(yīng)力:,(a),邊界條件:,(2) 無(wú)限大彈性體的應(yīng)力與邊界條件,應(yīng)力:,(b),邊界條件:,將式(a)、(b)代入相應(yīng)的邊界條件,得到如下方程:,4個(gè)方程不能解5個(gè)未知量,,需由位移連續(xù)條件確定。,上式也可整理為:,(c),(d),利用:,(e),要使對(duì)任意的 成立,須有,(f),對(duì)式(f)整理有,有,(g),式(g)中:,將式(g)與式(c)(d)聯(lián)立求解,(4-16),當(dāng) n 1 時(shí),應(yīng)力分布如圖所示。,討論:,(1),壓力隧洞問(wèn)題為最簡(jiǎn)單的接觸問(wèn)題(面接觸)。,完全接觸:,接觸面間既不互相脫離,也不互相滑動(dòng)。接觸條件為,應(yīng)力:,位移:,(1),非完全接觸(光滑接觸),應(yīng)力:,位移:,接觸條件:,4-7 曲梁的純彎曲,1 . 問(wèn)題及其描述,矩形截面曲梁:內(nèi)半徑為 a ,外半徑為 b ,在兩端受有大小相等而轉(zhuǎn)向相反的彎矩 M 作用(梁的厚度為單位1),O 為曲梁的曲率中心,兩端面間極角為。,取曲梁的曲率中心 O 為坐標(biāo)的原點(diǎn),并按圖示建立坐標(biāo)系。,由于各截面上彎矩 M 相同,因而可假定各截面上應(yīng)力相同,構(gòu)成一軸對(duì)稱問(wèn)題(對(duì)稱軸為 z 軸)。,2 . 應(yīng)力分量,1. 曲梁的應(yīng)力,3. 邊界條件, 自然滿足,(1),(2),將應(yīng)力分量代入,有,(a),(b),注:此處為單連體問(wèn)題,,(3),端部:,(c),(d),由軸對(duì)稱問(wèn)題應(yīng)力分量式,將其代入式(c),代入式(c),有,代入式(d),有,(分部積分),將其代入,有,整理,有,(d),(a),(b),聯(lián)立求解式(a)(b)(d),可求得:,其中:,將其代入應(yīng)力分量式,有,(f),其截面上的應(yīng)力分布如圖:,討論:,(1),(2),中性軸( )距內(nèi)側(cè)纖維較近,離外側(cè)較遠(yuǎn),中性軸不過(guò)截面形心。,(3),與材料中比較:,關(guān)于截面不再成線性分布,而是成雙曲線分布。但在曲率不大時(shí)這種影響較??;,擠壓應(yīng)力 實(shí)際不為零;,2. 曲梁的位移,2. 曲梁的位移,假定:,(4-13),代入位移分量式(4-13),確定得,代回位移分量式(4-13),即得相應(yīng)的位移分量。這里只給出環(huán)向位移:,將上式對(duì)變量 r 求導(dǎo),得,由上式可知: 當(dāng) 一定時(shí),曲梁截面任意徑向線段 dr 轉(zhuǎn)角都相同,即平面 保持平面。,表明:材力中純彎曲曲梁的平面保持平面假設(shè)是正確的。,問(wèn)題:,圖示為帶有一微小張角缺口的圓環(huán),若將此圓環(huán)焊成一整環(huán),試求此時(shí)環(huán)內(nèi)的內(nèi)力矩 M 。,解:,要使該圓環(huán)焊成一整環(huán),需在兩端加上一對(duì)平衡力矩 M 。,使其產(chǎn)生環(huán)向位移為:,由兩端受力偶作用時(shí)的環(huán)向位移計(jì)算式:,由前面系 B 的計(jì)算式:,代入應(yīng)力分量式,可求出圓環(huán)中的裝配應(yīng)力。,4-8 圓盤(pán)在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力與位移,由問(wèn)題的幾何形狀與外力(體力)均對(duì)稱于軸 O ,因而為軸對(duì)稱問(wèn)題。,等厚度圓盤(pán),半徑為 a ,均勻旋轉(zhuǎn)的角速度為,回轉(zhuǎn)軸為O ,圓盤(pán)的密度為,求:圓盤(pán)內(nèi)的應(yīng)力與位移。,1. 等厚度圓盤(pán),(1)問(wèn)題的描述,圓盤(pán)內(nèi)任一點(diǎn)具有加速度(徑向):,圓盤(pán)內(nèi)任一點(diǎn)具有慣性力(徑向):,由此可見(jiàn),該問(wèn)題為一變體力的問(wèn)題,體力分量為:, 沿 r 方向線性變化的體力,所以有:,(2)平衡方程、相容方程與應(yīng)力函數(shù),平衡方程:,(a),將上式兩邊同乘以 r ,有,引入函數(shù) ,,使得:,(b),這里也稱 為應(yīng)力函數(shù)。, 應(yīng)力分量計(jì)算式,(但不是常體力下的應(yīng)力函數(shù) ),相容方程:,(變形協(xié)調(diào)方程),軸對(duì)稱問(wèn)題的幾何方程為:,在式(c)中消去位移分量,有:, 應(yīng)變表示的變形協(xié)調(diào)方程(相容方程),由平面應(yīng)力情形下的物理方程:,代入上式,有,再將應(yīng)力分量式(b)代入,并整理得,(d),(d),兩邊同除 r2,也可簡(jiǎn)寫(xiě)成:,將上式對(duì) r 積分一次,得:,兩邊同乘以 r,并積分,得:, 應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程,應(yīng)力函數(shù):,兩邊同除以 r,并積分,得:,再將應(yīng)力函數(shù)代入應(yīng)力分量式(b),有,( e),式中:A、B 為任意常數(shù)。由定解條件確定。,(3)應(yīng)力分量,應(yīng)力有界條件:,對(duì)實(shí)心圓盤(pán),為保證 r = 0 處應(yīng)力的有界性,應(yīng)?。?邊界條件:, 自動(dòng)滿足,代入式(e),有,( f),最大應(yīng)力點(diǎn)位于圓盤(pán)的中心:,(4)位移分量,由幾何方程,可得:,( g),最大位移點(diǎn)位于圓盤(pán)的邊緣:,最大位移點(diǎn)位于圓盤(pán)的邊緣:,2. 變厚度圓盤(pán),作為自學(xué)(一般了解)內(nèi)容,4-9 圓孔的孔邊應(yīng)力集中,1. 孔邊應(yīng)力集中概念,由于彈性體中存在小孔,使得孔邊的應(yīng)力遠(yuǎn)大于無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力,也遠(yuǎn)大于距孔稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力。,稱為孔邊的應(yīng)力集中。,應(yīng)力集中系數(shù):,與孔的形狀有關(guān),是局部現(xiàn)象;,與孔的大小幾乎無(wú)關(guān)。,(圓孔為最小,其它形狀較大),2. 孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題的求解,(1)問(wèn)題:,帶有圓孔的無(wú)限大板(B a),圓孔半徑為 a,在無(wú)限遠(yuǎn)處受有均勻拉應(yīng)力 q 作用。,求:孔邊附近的應(yīng)力。,(2)問(wèn)題的求解,問(wèn)題分析,坐標(biāo)系:,就外邊界(直線),宜用直角坐標(biāo);,就內(nèi)邊界(圓孔),宜用極坐標(biāo)。,取一半徑為 r =b (ba),在其上取一點(diǎn) A 的應(yīng)力:,由應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式:,原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:,無(wú)限大圓板中間開(kāi)有一圓孔的新問(wèn)題。,新問(wèn)題的邊界條件可表示為:,內(nèi)邊界,外邊界,(a),問(wèn)題1,(b),(c),問(wèn)題2,將外邊界條件(a)分解為兩部分:,問(wèn)題1的解:,該問(wèn)題為軸對(duì)稱問(wèn)題,其解為,當(dāng) ba 時(shí),有,(d),問(wèn)題2的解:,(非軸對(duì)稱問(wèn)題),由邊界條件(c),可假設(shè): 為 r 的某一函數(shù)乘以 ; 為r 的某一函數(shù)乘以 。,又由極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量表達(dá)式:,可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為:,將其代入相容方程:,與前面類似,,該方程的特征方程:,特征根為:,方程的解為:,相應(yīng)的應(yīng)力分量:,對(duì)上述應(yīng)力分量應(yīng)用邊界條件(c), 有,(e),求解A、B、C、D,然后令 a / b = 0,得,代入應(yīng)力分量式(e), 有,(f),將問(wèn)題1和問(wèn)題2的解相加, 得全解:,(4-17),討論:,(1),沿孔邊,r = a,環(huán)向正應(yīng)力:,(4-18),(2),沿 y 軸, =90,環(huán)向正應(yīng)力:, 齊爾西(G. Kirsch)解,(3),沿 x 軸, =0,環(huán)向正應(yīng)力:,(4),若矩形薄板(或長(zhǎng)柱)受雙向拉應(yīng)力 q1、q2 作用,疊加后的應(yīng)力:,(4-19),(5),任意形狀薄板(或長(zhǎng)柱)受面力 作用,在距邊界較遠(yuǎn)處有一小孔。,只要知道無(wú)孔的應(yīng)力,就可計(jì)算孔邊的應(yīng)力,如:,4-10 楔形體的楔頂與楔面受力,1. 楔頂受有集中力P作用,楔形體頂角為,下端為無(wú)限長(zhǎng)(單位厚度),頂端受有集中力 P ,與中心線的夾角為,求:,(1)應(yīng)力函數(shù)的確定,因次分析法:,由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量間的微分關(guān)系,,可推斷:,(a),將其代入相容方程,以確定函數(shù):,得:, 4階常系數(shù)齊次的常微分方程,其通解為:,其中A,B,C,D為積分常數(shù)。,將其代入前面的應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式:,(4-20),(對(duì)應(yīng)于無(wú)應(yīng)力狀態(tài)),(2)應(yīng)力分量的確定,邊界條件:,(1), 自然滿足,(2),楔頂?shù)倪吔鐥l件:,(b),將式(b)代入,有:,積分得:,可解得:,代入式(b)得:,(4-21), 密切爾( J. H. Michell )解答,兩種特殊情況:,(1),(2),兩種情況下的應(yīng)力分布:,應(yīng)力對(duì)稱分布,應(yīng)力反對(duì)稱分布,(3),無(wú)限大半平面體在邊界法線方向受集中力作用,2. 楔頂受有集中力偶 M 作用,(1)應(yīng)力函數(shù)的確定,由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量間的微分關(guān)系,,可推斷:,將其代入相容方程:,(c),(4-22),(2)應(yīng)力分量的確定,考慮到:,反對(duì)稱載荷下,對(duì)對(duì)稱結(jié)構(gòu)有:,為奇函數(shù);,而 則為偶函數(shù)。,由應(yīng)力函數(shù) 與 關(guān)系可知,,應(yīng)為奇函數(shù)。即,將其代入應(yīng)力分量表達(dá)式,得到,(d),邊界條件:,(1), 自然滿足,(e),(2),代入應(yīng)力分量表達(dá)式(d), 得:,(4-23), 英格立斯(C. E. Inglis)解答,說(shuō)明:,另外兩個(gè)邊界條件,一定自動(dòng)滿足。,楔頂?shù)倪吔鐥l件:,特殊情況:,說(shuō)明:,前面有關(guān)楔形體的分析結(jié)果,在楔頂處應(yīng)力均趨于無(wú)窮,這是由于集中力 P 和集中力偶 M 的原因,事實(shí)上集中力和集中力偶是不存在的,而是分布在一小區(qū)域上的面力;另一方面,分布在小區(qū)域的面力超過(guò)材料的比例極限,則彈性力學(xué)的基本方程不再適用。,前面有關(guān)楔形體的分析結(jié)果的適用性:離楔頂稍遠(yuǎn)的區(qū)域。,3. 楔形體一側(cè)面上受有均布面力 作用,(1)應(yīng)力函數(shù)的確定,由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量間的微分關(guān)系,,可推斷:,將其代入相容方程:,(f),得到:,該方程的解為:,(4-24),(2)應(yīng)力分量的確定,(g),邊界條件:,由此可確定4個(gè)待定常數(shù)。,可求得:,將常數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式,有,(4-25),特殊情況:,若用直角坐標(biāo)表示,利用坐標(biāo)變換式:,楔形體(尖劈)問(wèn)題應(yīng)力函數(shù)的構(gòu)造小結(jié):,附1:曲梁一端受徑向集中力作用,矩形截面曲梁(單位厚度),內(nèi)半徑為 a ,外半徑為 b ,一端固定,另一端受徑向集中力作用。,(1)應(yīng)力函數(shù)的確定,分析:,任取一截面 m-n ,截面彎矩為,由材料力學(xué)初等理論,可知截面上正應(yīng)力,由此假定:,再由應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)間的關(guān)系,,可推得:,將其代入相容方程,(a),該方程可轉(zhuǎn)變?yōu)闅W拉方程求解,其解為,(b),代入應(yīng)力函數(shù)為,(c),(2)應(yīng)力分量的確定,(d),邊界條件:,代入應(yīng)力分量得:,端部條件:,(e),代入剪應(yīng)力分量得:,(f),聯(lián)立求解式(e)、(f),得:,其中,,代入應(yīng)力分量式(d),有:,(f),彈性力學(xué)極坐標(biāo)求解歸結(jié)為:,(1),由問(wèn)題的條件求出滿足式(46)的應(yīng)力函數(shù),(46),(2),由式(45)求出相應(yīng)的應(yīng)力分量:,(45),(3),位移邊界條件:,應(yīng)力邊界條件:,為邊界上已知位移,,為邊界上已知的面力分量。,(位移單值條件),1. 軸對(duì)稱問(wèn)題,(412),應(yīng)力函數(shù):,應(yīng)力分量:,位移分量:,(4-13),2. 非軸對(duì)稱問(wèn)題,(1) 孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題, 齊爾西(G. Kirsch)解,(2) 楔形體問(wèn)題,(3) 曲梁?jiǎn)栴},附1:曲梁應(yīng)力函數(shù)確定的基本方法,思路:,與直梁確定應(yīng)力函數(shù)的方法類似,借且于梁截面上應(yīng)力與內(nèi)力(彎矩、剪力)的關(guān)系、應(yīng)力與應(yīng)力函數(shù)間微分關(guān)系,來(lái)推斷應(yīng)力函數(shù)的分離變量形式。,梁截面上的應(yīng)力內(nèi)力的關(guān)系:, M、Q為梁截面上的彎矩與剪力。,直梁截面上的應(yīng)力內(nèi)力的關(guān)系:,曲梁截面上的應(yīng)力內(nèi)力的關(guān)系:, q 為曲梁圓周邊界上的分布載荷。,4-11 半平面體在邊界上受法向集中力,1. 應(yīng)力分量,由楔形體受集中力的情形,可以得到,(4-26), 極坐標(biāo)表示的應(yīng)力分量,利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的應(yīng)力轉(zhuǎn)換式(4-7),可求得,(4-27),或?qū)⑵涓臑橹苯亲鴺?biāo)表示,有,(4-28),2. 位移分量, 直角坐標(biāo)表示的應(yīng)力分量,假定為平面應(yīng)力情形。,其極坐標(biāo)形式的物理方程為,(4-29),(a),(b),(c),積分式(a)得,,(d),將式(d)代入式(b),有,積分上式,得,(e),將式(d)(e) 代入式(c) 得,,(d),(e),(c),要使上式成立,須有:,不妨令=0,可解得:,代入位移分量式(d)(e),有,式中,常數(shù)H,I,K 由邊界條件確定。,(f),常數(shù) I 須由鉛垂方向(x方向)位移條件確定。,由式(f)得:,(g),由問(wèn)題的對(duì)稱性,有:,3. 邊界沉陷計(jì)算,M點(diǎn)的下沉量:,由于常數(shù) I 無(wú)法確定,,所以只能求得的相對(duì)沉陷量。,為此,在邊界上取,一基準(zhǔn)點(diǎn)B,如圖所示。,M點(diǎn)相對(duì)于基準(zhǔn)點(diǎn)B的沉陷為,簡(jiǎn)化后得:,(4-30),符拉芒(A. Flamant)公式,對(duì)平面應(yīng)變情形:,4-12 半平面體在邊界上受法向分布力,1. 應(yīng)力分量,dP 作用在原點(diǎn)O,則有,dP 作用在距原點(diǎn) 時(shí),,將此式在 AB 區(qū)間上積分,得,(4-31),式中,需將分布力集度 q 表示成 的函數(shù),再進(jìn)行積分。,2. 邊界點(diǎn)的相對(duì)沉陷量,討論均勻分布的單位力的情形。,計(jì)算分布力中點(diǎn) I 相對(duì)于 K 點(diǎn)的沉陷量:,(a),(a),對(duì) r 積分,即可求得 I 點(diǎn)的相對(duì)沉陷量。,當(dāng)基準(zhǔn)點(diǎn)K位于均布力之外時(shí),沉陷量為,為簡(jiǎn)單起見(jiàn),假定基點(diǎn) K 取得很遠(yuǎn),即s遠(yuǎn)大于r,積分時(shí)可視其為常數(shù),積分結(jié)果為:,(4-32),其中常數(shù) C、Fki 的值為:,(b),(c),平面問(wèn)題極坐標(biāo)求解方法小結(jié),一. 基本方程,1. 平衡方程,(41),2. 幾何方程,(42),3. 物理方程, 平面應(yīng)力情形,(43),4. 邊界條件,位移邊界條件:,應(yīng)力邊界條件:,二、按應(yīng)力求解基本步驟,(46),(2),由式(45)求出相應(yīng)的應(yīng)力分量:,(45)
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