平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答.ppt

第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答,要點(diǎn)：,（1）極坐標(biāo)中平面問(wèn)題的基本方程：, 平衡方程、幾何方程、物理方程、相容方程、邊界條件。,（2）極坐標(biāo)中平面問(wèn)題的求解方法及應(yīng)用,應(yīng)用：,圓盤(pán)、圓環(huán)、厚壁圓筒、楔形體、半無(wú)限平面體等的應(yīng)力與變形分析。,4-1 極坐標(biāo)中的平衡微分方程,4-2 極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程,4-3 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程,4-4 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式,4-5 軸對(duì)稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移,4-6 圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?壓力隧洞,4-7 曲梁的純彎曲,4-8 圓盤(pán)在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力與位移,4-9 圓孔的孔邊應(yīng)力集中,4-10 楔形體的楔頂與楔面受力,4-11 半平面體在邊界上受法向集中力,4-12 半平面體在邊界上受法向分布力,主 要 內(nèi) 容,4-1 極坐標(biāo)中的平衡微分方程,1. 極坐標(biāo)中的微元體,體力：,應(yīng)力：,PA面,PB面,BC面,BC面,應(yīng)力正向規(guī)定：,正應(yīng)力 拉為正，壓為負(fù)；,剪應(yīng)力 r、的正面上，與坐標(biāo)方向一致時(shí)為正；,r、的負(fù)面上，與坐標(biāo)方向相反時(shí)為正。,2. 平衡微分方程,考慮微元體平衡（取厚度為1）：,將上式化開(kāi)：,兩邊同除以 ：,兩邊同除以 ，并略去高階小量：, 剪應(yīng)力互等定理,于是，極坐標(biāo)下的平衡方程為：,（41）,方程（41）中包含三個(gè)未知量，而只有二個(gè)方程，是一次超靜定問(wèn)題，需考慮變形協(xié)調(diào)條件才能求解。,4-2 極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程,1. 幾何方程,(1) 只有徑向變形，無(wú)環(huán)向變形。,徑向線段PA的相對(duì)伸長(zhǎng)：,（a）,徑向線段PA的轉(zhuǎn)角：,（b）,線段PB的相對(duì)伸長(zhǎng)：,（c）,環(huán)向線段PB的轉(zhuǎn)角：,（d）,徑向線段PA的相對(duì)伸長(zhǎng)：,（a）,徑向線段PA的轉(zhuǎn)角：,（b）,環(huán)向線段PB的相對(duì)伸長(zhǎng)：,（c）,環(huán)向線段PB的轉(zhuǎn)角：,（d）,剪應(yīng)變?yōu)椋?（e）,(2) 只有環(huán)向變形，無(wú)徑向變形。,徑向線段PA的相對(duì)伸長(zhǎng)：,（f）,徑向線段PA的轉(zhuǎn)角：,（g）,環(huán)向線段PB的相對(duì)伸長(zhǎng)：,環(huán)向線段PB的轉(zhuǎn)角：,（h）,（i）,剪應(yīng)變?yōu)椋?（j）,(3) 總應(yīng)變,整理得：,（42）, 極坐標(biāo)下的幾何方程,2. 物理方程,平面應(yīng)力情形：,平面應(yīng)變情形：,（43）,（44）,彈性力學(xué)平面問(wèn)題極坐標(biāo)求解的基本方程：,平衡微分方程：,（41）,幾何方程：,（42）,物理方程：,（43）,(平面應(yīng)力情形),邊界條件：,位移邊界條件：,應(yīng)力邊界條件：,為邊界上已知位移，,為邊界上已知的面力分量。,（位移單值條件）,取半徑為 a 的半圓分析，由其平衡得：,4-3 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程,1. 直角坐標(biāo)下變形調(diào)方程（相容方程）,（2-22）,（2-23）,（平面應(yīng)力情形）,（2-25）,(2-27),(2-26),應(yīng)力的應(yīng)力函數(shù)表示：,2. 極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量與相容方程,方法1：（步驟）,（1）利用極坐標(biāo)下的幾何方程，求得應(yīng)變表示的相容方程：,（2）利用極坐標(biāo)下的物理方程，得應(yīng)力表示的相容方程：,（常體力情形）,（3）利用平衡方程求出用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力分量：,（4）將上述應(yīng)力分量代入應(yīng)力表示的相容方程，得應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程：,（常體力情形）,方法2：（用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的變換關(guān)系求得到）,（1）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)間的關(guān)系：,（2）應(yīng)力分量與相容方程的坐標(biāo)變換：,應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換,(a),(b),(c),由直角坐標(biāo)下應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力的關(guān)系（226）：,極坐標(biāo)下應(yīng)力分量計(jì)算公式：,（45）,可以證明：式（45）滿足平衡方程（41）。,相容方程的坐標(biāo)變換,說(shuō)明：式（45）僅給出體力為零時(shí)的應(yīng)力分量表達(dá)式。,相容方程的坐標(biāo)變換,(a),(b),將式(a)與(b)相加，得,得到極坐標(biāo)下的 Laplace 微分算子：,極坐標(biāo)下的相容方程為：,（46）,方程（46）為常體力情形的相容方程。,說(shuō)明：,彈性力學(xué)極坐標(biāo)求解歸結(jié)為,結(jié)論：,（1）,由問(wèn)題的條件求出滿足式（46）的應(yīng)力函數(shù),（46）,（2）,由式（45）求出相應(yīng)的應(yīng)力分量：,（45）,（3）,位移邊界條件：,應(yīng)力邊界條件：,為邊界上已知位移，,為邊界上已知的面力分量。,（位移單值條件）,3. 軸對(duì)稱問(wèn)題應(yīng)力分量與相容方程,軸對(duì)稱問(wèn)題：,（46）,由式（45）和（46）得應(yīng)力分量和相容方程為：,（410）,應(yīng)力分量：,相容方程：,4-4 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式,(1) 用極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量表示直角坐標(biāo)下的應(yīng)力分量,(2) 用直角坐標(biāo)下的應(yīng)力分量表示極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量,（48）,（49）,4-5 軸對(duì)稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移,求解方法：,逆解法,1. 軸對(duì)稱問(wèn)題應(yīng)力分量與相容方程,（1）應(yīng)力分量,（410）,（2）相容方程,2. 相容方程的求解,將相容方程表示為：,4階變系數(shù)齊次微分方程,將其展開(kāi)，有, 4階變系數(shù)齊次微分方程,方程兩邊同乘以 ：, Euler 齊次微分方程,為方程的特征值,方程的特征根為：,于是，方程的解為：,將 代 回 ：,（411）, 軸對(duì)稱問(wèn)題相容方程的通解，A、B、C、D 為待定常數(shù)。,3. 應(yīng)力分量,（410）,將方程（4-11）代入應(yīng)力分量表達(dá)式,（412）, 軸對(duì)稱平面問(wèn)題的應(yīng)力分量表達(dá)式,4. 位移分量,對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，有物理方程,（a）,積分式（a），有,（b）, 是任意的待定函數(shù),將式（b）代入式（a）中第二式，得,將上式積分，得:,（c）, 是 r 任意函數(shù),將式（b）代入式（c）中第三式，得,或?qū)懗桑?要使該式成立，兩邊須為同一常數(shù)。,（d）,（e）,式中F 為常數(shù)。對(duì)其積分有：,（f）,其中 H 為常數(shù)。對(duì)式（e）兩邊求導(dǎo),其解為：,（g）,（h）,將式（f） （h）代入式（b） （c），得,（b）,（c）,（4-13）,平面軸對(duì)稱問(wèn)題小結(jié)：,（411）,（1）,應(yīng)力函數(shù),（2）,應(yīng)力分量,（412）,（3）,位移分量,（4-13）,式中：A、B、C、H、I、K 由應(yīng)力和位移邊界條件確定。,由式（4-13）可以看出：,應(yīng)力軸對(duì)稱并不表示位移也是軸對(duì)稱的。,但在軸對(duì)稱應(yīng)力情況下，若物體的幾何形狀、受力、位移約束都是軸對(duì)稱的，則位移也應(yīng)該是軸對(duì)稱的。,這 時(shí)，物體內(nèi)各點(diǎn)都不會(huì),有環(huán)向位移，即不論 r 和 取何值，都應(yīng)有： 。,對(duì)這種情形，有,式（4-13）變?yōu)椋?4-13（a）,彈性力學(xué)平面問(wèn)題極坐標(biāo)求解的基本方程：,平衡微分方程：,（41）,幾何方程：,（42）,物理方程：,（43）,(平面應(yīng)力情形),彈性力學(xué)平面問(wèn)題極坐標(biāo)求解步驟：,（1）,由問(wèn)題的條件求出滿足式（46）的應(yīng)力函數(shù),（46）,（2）,由式（45）求出相應(yīng)的應(yīng)力分量：,（45）,（3）,位移邊界條件：,應(yīng)力邊界條件：,為邊界上已知位移，,為邊界上已知的面力分量。,（位移單值條件）,平面軸對(duì)稱問(wèn)題的求解：,（411）,（1）,應(yīng)力函數(shù),（2）,應(yīng)力分量,（412）,（3）,位移分量,（4-13）,式中：A、B、C、H、I、K 由應(yīng)力和位移邊界條件確定。,對(duì)于多連體問(wèn)題，位移須滿足位移單值條件。,極坐標(biāo)下的平面問(wèn)題的基本方程,幾何方程：,（41）,物理方程：,平面應(yīng)力情形,平面應(yīng)變情形,平衡微分方程：,邊界條件：,（位移單值條件）,相容方程：,（46）, 常體力情形的相容方程。,應(yīng)力分量計(jì)算式：,（45）,彈性力學(xué)極坐標(biāo)求解歸結(jié)為,（位移單值條件）,（1）應(yīng)力分量,（2）相容方程,軸對(duì)稱問(wèn)題的應(yīng)力分量與相容方程：,平面軸對(duì)稱問(wèn)題小結(jié)：,4-6 圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?壓力隧洞,1. 圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?已知：,求：應(yīng)力分布。,確定應(yīng)力分量的表達(dá)式：,邊界條件：,（a）,將式（4-12）代入，有：,（b）,式中有三個(gè)未知常數(shù)，二個(gè)方程不通用確定。,對(duì)于多連體問(wèn)題，位移須滿足位移單值條件。,要使單值，須有：B = 0 ，由式（b）得,將其代回應(yīng)力分量式（4-12），有：,（4-14）,（1）若：,( 二向等壓情況),（2）若：,（壓應(yīng)力）,（拉應(yīng)力）,（3）若：,（壓應(yīng)力）,（壓應(yīng)力）,（4）若：, 具有圓形孔道的無(wú)限大彈性體。,邊緣處的應(yīng)力：,2. 壓力隧洞,問(wèn)題：,厚壁圓筒埋在無(wú)限大彈性體內(nèi)，受內(nèi)壓 q 作用，求圓筒的應(yīng)力。,1. 分析：,與以前相比較，相當(dāng)于兩個(gè)軸對(duì)稱問(wèn)題：,(a) 受內(nèi)外壓力作用的厚壁圓筒；,(b) 僅受外壓作用的無(wú)限大彈性體。,確定外壓 p 的兩個(gè)條件：,徑向變形連續(xù)：,徑向應(yīng)力連續(xù)：,2. 求解,2. 求解,(1) 圓筒的應(yīng)力與邊界條件,應(yīng)力：,（a）,邊界條件：,(2) 無(wú)限大彈性體的應(yīng)力與邊界條件,應(yīng)力：,（b）,邊界條件：,將式（a）、（b）代入相應(yīng)的邊界條件，得到如下方程：,4個(gè)方程不能解5個(gè)未知量，,需由位移連續(xù)條件確定。,上式也可整理為：,(c),(d),利用：,(e),要使對(duì)任意的 成立，須有,(f),對(duì)式（f）整理有，有,(g),式（g）中：,將式（g）與式（c）（d）聯(lián)立求解,（4-16）,當(dāng) n 1 時(shí)，應(yīng)力分布如圖所示。,討論：,（1）,壓力隧洞問(wèn)題為最簡(jiǎn)單的接觸問(wèn)題（面接觸）。,完全接觸：,接觸面間既不互相脫離，也不互相滑動(dòng)。接觸條件為,應(yīng)力：,位移：,（1）,非完全接觸（光滑接觸）,應(yīng)力：,位移：,接觸條件：,4-7 曲梁的純彎曲,1 . 問(wèn)題及其描述,矩形截面曲梁：內(nèi)半徑為 a ，外半徑為 b ，在兩端受有大小相等而轉(zhuǎn)向相反的彎矩 M 作用（梁的厚度為單位1），O 為曲梁的曲率中心，兩端面間極角為。,取曲梁的曲率中心 O 為坐標(biāo)的原點(diǎn)，并按圖示建立坐標(biāo)系。,由于各截面上彎矩 M 相同，因而可假定各截面上應(yīng)力相同，構(gòu)成一軸對(duì)稱問(wèn)題（對(duì)稱軸為 z 軸）。,2 . 應(yīng)力分量,1. 曲梁的應(yīng)力,3. 邊界條件, 自然滿足,（1）,（2）,將應(yīng)力分量代入，有,（a）,（b）,注：此處為單連體問(wèn)題，,（3）,端部：,（c）,（d）,由軸對(duì)稱問(wèn)題應(yīng)力分量式,將其代入式（c）,代入式（c），有,代入式（d），有,（分部積分）,將其代入，有,整理，有,（d）,（a）,（b）,聯(lián)立求解式（a）（b）（d）,可求得：,其中：,將其代入應(yīng)力分量式，有,（f）,其截面上的應(yīng)力分布如圖：,討論：,（1）,（2）,中性軸（ ）距內(nèi)側(cè)纖維較近，離外側(cè)較遠(yuǎn)，中性軸不過(guò)截面形心。,（3）,與材料中比較：,關(guān)于截面不再成線性分布，而是成雙曲線分布。但在曲率不大時(shí)這種影響較??；,擠壓應(yīng)力 實(shí)際不為零；,2. 曲梁的位移,2. 曲梁的位移,假定：,（4-13）,代入位移分量式（4-13），確定得,代回位移分量式（4-13），即得相應(yīng)的位移分量。這里只給出環(huán)向位移：,將上式對(duì)變量 r 求導(dǎo)，得,由上式可知： 當(dāng) 一定時(shí)，曲梁截面任意徑向線段 dr 轉(zhuǎn)角都相同，即平面 保持平面。,表明：材力中純彎曲曲梁的平面保持平面假設(shè)是正確的。,問(wèn)題：,圖示為帶有一微小張角缺口的圓環(huán)，若將此圓環(huán)焊成一整環(huán)，試求此時(shí)環(huán)內(nèi)的內(nèi)力矩 M 。,解：,要使該圓環(huán)焊成一整環(huán)，需在兩端加上一對(duì)平衡力矩 M 。,使其產(chǎn)生環(huán)向位移為：,由兩端受力偶作用時(shí)的環(huán)向位移計(jì)算式：,由前面系 B 的計(jì)算式：,代入應(yīng)力分量式，可求出圓環(huán)中的裝配應(yīng)力。,4-8 圓盤(pán)在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力與位移,由問(wèn)題的幾何形狀與外力（體力）均對(duì)稱于軸 O ，因而為軸對(duì)稱問(wèn)題。,等厚度圓盤(pán)，半徑為 a ，均勻旋轉(zhuǎn)的角速度為，回轉(zhuǎn)軸為O ，圓盤(pán)的密度為，求：圓盤(pán)內(nèi)的應(yīng)力與位移。,1. 等厚度圓盤(pán),（1）問(wèn)題的描述,圓盤(pán)內(nèi)任一點(diǎn)具有加速度（徑向）：,圓盤(pán)內(nèi)任一點(diǎn)具有慣性力（徑向）：,由此可見(jiàn)，該問(wèn)題為一變體力的問(wèn)題，體力分量為：, 沿 r 方向線性變化的體力,所以有：,（2）平衡方程、相容方程與應(yīng)力函數(shù),平衡方程：,（a）,將上式兩邊同乘以 r ,有,引入函數(shù) ，,使得：,（b）,這里也稱 為應(yīng)力函數(shù)。, 應(yīng)力分量計(jì)算式,（但不是常體力下的應(yīng)力函數(shù) ）,相容方程：,（變形協(xié)調(diào)方程）,軸對(duì)稱問(wèn)題的幾何方程為：,在式（c）中消去位移分量，有：, 應(yīng)變表示的變形協(xié)調(diào)方程（相容方程）,由平面應(yīng)力情形下的物理方程：,代入上式，有,再將應(yīng)力分量式（b）代入，并整理得,（d）,（d）,兩邊同除 r2,也可簡(jiǎn)寫(xiě)成：,將上式對(duì) r 積分一次，得：,兩邊同乘以 r，并積分，得：, 應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程,應(yīng)力函數(shù)：,兩邊同除以 r，并積分，得：,再將應(yīng)力函數(shù)代入應(yīng)力分量式（b），有,（ e）,式中：A、B 為任意常數(shù)。由定解條件確定。,（3）應(yīng)力分量,應(yīng)力有界條件：,對(duì)實(shí)心圓盤(pán)，為保證 r = 0 處應(yīng)力的有界性，應(yīng)?。?邊界條件：, 自動(dòng)滿足,代入式（e），有,（ f）,最大應(yīng)力點(diǎn)位于圓盤(pán)的中心：,（4）位移分量,由幾何方程，可得：,（ g）,最大位移點(diǎn)位于圓盤(pán)的邊緣：,最大位移點(diǎn)位于圓盤(pán)的邊緣：,2. 變厚度圓盤(pán),作為自學(xué)（一般了解）內(nèi)容,4-9 圓孔的孔邊應(yīng)力集中,1. 孔邊應(yīng)力集中概念,由于彈性體中存在小孔，使得孔邊的應(yīng)力遠(yuǎn)大于無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力，也遠(yuǎn)大于距孔稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力。,稱為孔邊的應(yīng)力集中。,應(yīng)力集中系數(shù)：,與孔的形狀有關(guān)，是局部現(xiàn)象；,與孔的大小幾乎無(wú)關(guān)。,（圓孔為最小，其它形狀較大）,2. 孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題的求解,（1）問(wèn)題：,帶有圓孔的無(wú)限大板（B a），圓孔半徑為 a，在無(wú)限遠(yuǎn)處受有均勻拉應(yīng)力 q 作用。,求：孔邊附近的應(yīng)力。,（2）問(wèn)題的求解,問(wèn)題分析,坐標(biāo)系：,就外邊界（直線），宜用直角坐標(biāo)；,就內(nèi)邊界（圓孔），宜用極坐標(biāo)。,取一半徑為 r =b (ba），在其上取一點(diǎn) A 的應(yīng)力：,由應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式：,原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：,無(wú)限大圓板中間開(kāi)有一圓孔的新問(wèn)題。,新問(wèn)題的邊界條件可表示為：,內(nèi)邊界,外邊界,（a）,問(wèn)題1,（b）,（c）,問(wèn)題2,將外邊界條件（a）分解為兩部分：,問(wèn)題1的解：,該問(wèn)題為軸對(duì)稱問(wèn)題，其解為,當(dāng) ba 時(shí)，有,（d）,問(wèn)題2的解：,（非軸對(duì)稱問(wèn)題）,由邊界條件（c），可假設(shè)： 為 r 的某一函數(shù)乘以 ； 為r 的某一函數(shù)乘以 。,又由極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量表達(dá)式：,可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：,將其代入相容方程：,與前面類似，,該方程的特征方程：,特征根為：,方程的解為：,相應(yīng)的應(yīng)力分量：,對(duì)上述應(yīng)力分量應(yīng)用邊界條件（c）, 有,（e）,求解A、B、C、D，然后令 a / b = 0，得,代入應(yīng)力分量式（e）, 有,（f）,將問(wèn)題1和問(wèn)題2的解相加, 得全解：,（4-17）,討論：,（1）,沿孔邊，r = a，環(huán)向正應(yīng)力：,（4-18）,（2）,沿 y 軸， =90，環(huán)向正應(yīng)力：, 齊爾西（G. Kirsch）解,（3）,沿 x 軸， =0，環(huán)向正應(yīng)力：,（4）,若矩形薄板（或長(zhǎng)柱）受雙向拉應(yīng)力 q1、q2 作用,疊加后的應(yīng)力：,（4-19）,（5）,任意形狀薄板（或長(zhǎng)柱）受面力 作用，在距邊界較遠(yuǎn)處有一小孔。,只要知道無(wú)孔的應(yīng)力，就可計(jì)算孔邊的應(yīng)力，如：,4-10 楔形體的楔頂與楔面受力,1. 楔頂受有集中力P作用,楔形體頂角為，下端為無(wú)限長(zhǎng)（單位厚度），頂端受有集中力 P ，與中心線的夾角為，求：,（1）應(yīng)力函數(shù)的確定,因次分析法：,由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量間的微分關(guān)系，,可推斷：,（a）,將其代入相容方程，以確定函數(shù)：,得：, 4階常系數(shù)齊次的常微分方程,其通解為：,其中A，B，C，D為積分常數(shù)。,將其代入前面的應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式：,（4-20）,（對(duì)應(yīng)于無(wú)應(yīng)力狀態(tài)）,（2）應(yīng)力分量的確定,邊界條件：,（1）, 自然滿足,（2）,楔頂?shù)倪吔鐥l件：,（b）,將式（b）代入，有：,積分得：,可解得：,代入式（b）得：,（4-21）, 密切爾（ J. H. Michell ）解答,兩種特殊情況：,（1）,（2）,兩種情況下的應(yīng)力分布：,應(yīng)力對(duì)稱分布,應(yīng)力反對(duì)稱分布,（3）,無(wú)限大半平面體在邊界法線方向受集中力作用,2. 楔頂受有集中力偶 M 作用,（1）應(yīng)力函數(shù)的確定,由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量間的微分關(guān)系，,可推斷：,將其代入相容方程：,（c）,（4-22）,（2）應(yīng)力分量的確定,考慮到：,反對(duì)稱載荷下，對(duì)對(duì)稱結(jié)構(gòu)有：,為奇函數(shù)；,而 則為偶函數(shù)。,由應(yīng)力函數(shù) 與 關(guān)系可知，,應(yīng)為奇函數(shù)。即,將其代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得到,（d）,邊界條件：,（1）, 自然滿足,（e）,（2）,代入應(yīng)力分量表達(dá)式（d）, 得：,（4-23）, 英格立斯（C. E. Inglis）解答,說(shuō)明：,另外兩個(gè)邊界條件，一定自動(dòng)滿足。,楔頂?shù)倪吔鐥l件：,特殊情況：,說(shuō)明：,前面有關(guān)楔形體的分析結(jié)果，在楔頂處應(yīng)力均趨于無(wú)窮，這是由于集中力 P 和集中力偶 M 的原因，事實(shí)上集中力和集中力偶是不存在的，而是分布在一小區(qū)域上的面力；另一方面，分布在小區(qū)域的面力超過(guò)材料的比例極限，則彈性力學(xué)的基本方程不再適用。,前面有關(guān)楔形體的分析結(jié)果的適用性：離楔頂稍遠(yuǎn)的區(qū)域。,3. 楔形體一側(cè)面上受有均布面力 作用,（1）應(yīng)力函數(shù)的確定,由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量間的微分關(guān)系，,可推斷：,將其代入相容方程：,（f）,得到：,該方程的解為：,（4-24）,（2）應(yīng)力分量的確定,（g）,邊界條件：,由此可確定4個(gè)待定常數(shù)。,可求得：,將常數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，有,（4-25）,特殊情況：,若用直角坐標(biāo)表示，利用坐標(biāo)變換式：,楔形體（尖劈）問(wèn)題應(yīng)力函數(shù)的構(gòu)造小結(jié)：,附1：曲梁一端受徑向集中力作用,矩形截面曲梁（單位厚度），內(nèi)半徑為 a ，外半徑為 b ，一端固定，另一端受徑向集中力作用。,（1）應(yīng)力函數(shù)的確定,分析：,任取一截面 m-n ，截面彎矩為,由材料力學(xué)初等理論，可知截面上正應(yīng)力,由此假定：,再由應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)間的關(guān)系，,可推得：,將其代入相容方程,（a）,該方程可轉(zhuǎn)變?yōu)闅W拉方程求解，其解為,（b）,代入應(yīng)力函數(shù)為,（c）,（2）應(yīng)力分量的確定,（d）,邊界條件：,代入應(yīng)力分量得：,端部條件：,（e）,代入剪應(yīng)力分量得：,（f）,聯(lián)立求解式（e）、（f），得：,其中，,代入應(yīng)力分量式（d），有：,（f）,彈性力學(xué)極坐標(biāo)求解歸結(jié)為：,（1）,由問(wèn)題的條件求出滿足式（46）的應(yīng)力函數(shù),（46）,（2）,由式（45）求出相應(yīng)的應(yīng)力分量：,（45）,（3）,位移邊界條件：,應(yīng)力邊界條件：,為邊界上已知位移，,為邊界上已知的面力分量。,（位移單值條件）,1. 軸對(duì)稱問(wèn)題,（412）,應(yīng)力函數(shù)：,應(yīng)力分量：,位移分量：,（4-13）,2. 非軸對(duì)稱問(wèn)題,(1) 孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題, 齊爾西（G. Kirsch）解,(2) 楔形體問(wèn)題,(3) 曲梁?jiǎn)栴},附1：曲梁應(yīng)力函數(shù)確定的基本方法,思路：,與直梁確定應(yīng)力函數(shù)的方法類似，借且于梁截面上應(yīng)力與內(nèi)力（彎矩、剪力）的關(guān)系、應(yīng)力與應(yīng)力函數(shù)間微分關(guān)系，來(lái)推斷應(yīng)力函數(shù)的分離變量形式。,梁截面上的應(yīng)力內(nèi)力的關(guān)系：, M、Q為梁截面上的彎矩與剪力。,直梁截面上的應(yīng)力內(nèi)力的關(guān)系：,曲梁截面上的應(yīng)力內(nèi)力的關(guān)系：, q 為曲梁圓周邊界上的分布載荷。,4-11 半平面體在邊界上受法向集中力,1. 應(yīng)力分量,由楔形體受集中力的情形，可以得到,（4-26）, 極坐標(biāo)表示的應(yīng)力分量,利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的應(yīng)力轉(zhuǎn)換式（4-7），可求得,（4-27）,或?qū)⑵涓臑橹苯亲鴺?biāo)表示，有,（4-28）,2. 位移分量, 直角坐標(biāo)表示的應(yīng)力分量,假定為平面應(yīng)力情形。,其極坐標(biāo)形式的物理方程為,（4-29）,(a),(b),(c),積分式（a）得，,(d),將式（d）代入式（b），有,積分上式，得,(e),將式（d）(e) 代入式（c） 得，,(d),(e),(c),要使上式成立，須有：,不妨令=0，可解得：,代入位移分量式（d）（e），有,式中，常數(shù)H，I，K 由邊界條件確定。,(f),常數(shù) I 須由鉛垂方向（x方向）位移條件確定。,由式（f）得：,(g),由問(wèn)題的對(duì)稱性，有：,3. 邊界沉陷計(jì)算,M點(diǎn)的下沉量：,由于常數(shù) I 無(wú)法確定，,所以只能求得的相對(duì)沉陷量。,為此，在邊界上取,一基準(zhǔn)點(diǎn)B，如圖所示。,M點(diǎn)相對(duì)于基準(zhǔn)點(diǎn)B的沉陷為,簡(jiǎn)化后得：,（4-30）,符拉芒（A. Flamant）公式,對(duì)平面應(yīng)變情形：,4-12 半平面體在邊界上受法向分布力,1. 應(yīng)力分量,dP 作用在原點(diǎn)O，則有,dP 作用在距原點(diǎn) 時(shí)，,將此式在 AB 區(qū)間上積分，得,（4-31）,式中，需將分布力集度 q 表示成 的函數(shù)，再進(jìn)行積分。,2. 邊界點(diǎn)的相對(duì)沉陷量,討論均勻分布的單位力的情形。,計(jì)算分布力中點(diǎn) I 相對(duì)于 K 點(diǎn)的沉陷量：,（a）,（a）,對(duì) r 積分，即可求得 I 點(diǎn)的相對(duì)沉陷量。,當(dāng)基準(zhǔn)點(diǎn)K位于均布力之外時(shí)，沉陷量為,為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假定基點(diǎn) K 取得很遠(yuǎn)，即s遠(yuǎn)大于r，積分時(shí)可視其為常數(shù)，積分結(jié)果為：,（4-32）,其中常數(shù) C、Fki 的值為：,（b）,（c）,平面問(wèn)題極坐標(biāo)求解方法小結(jié),一. 基本方程,1. 平衡方程,（41）,2. 幾何方程,（42）,3. 物理方程, 平面應(yīng)力情形,（43）,4. 邊界條件,位移邊界條件：,應(yīng)力邊界條件：,二、按應(yīng)力求解基本步驟,（46）,（2）,由式（45）求出相應(yīng)的應(yīng)力分量：,（45）