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周 圣 武,數(shù)理統(tǒng)計,Tel:E-mail: ,中國礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,1.3 隨機變量及其分布函數(shù),定義1 設(shè)隨機試驗的樣本空間,在樣本,上的實值單值函數(shù)，,稱,是定義,為隨機變量。,2）隨機變量的取值在試驗之前無法確定,且取值有一定的概率。,隨機變量和普通函數(shù)的區(qū)別,1） 定義域不同,隨機變量通常用大寫字母 X,Y,Z, U,V ,W等表示,隨機變量,非離散型隨機變量,離散型隨機變量,連續(xù)型隨機變量,混合型隨機變量,隨機變量的分類,我們將研究兩類隨機變量：,如：“取到次品的個數(shù)”，“收到的呼叫數(shù)”等.,（1）離散型隨機變量,（2）連續(xù)型隨機變量,如：“燈管的壽命”， “測量誤差”等.,從中任取3 個球取到的白球數(shù)X是一個隨機變量 .,(1) X 可能取的值是0,1,2 ;,(2) 取每個值的概率為:,看一個例子,1.離散型隨機變量,定義1 若隨機變量X的所有可能取值是有限多個或可列無限多個, 則稱X為離散型隨機變量 .,其中 (k=1,2, ) 滿足：,（2）,定義2 設(shè) xk (k=1,2, ) 是離散型隨機變量 X 所取的一切可能值，稱,為離散型隨機變量 X 的分布律.,解 依據(jù)分布律的性質(zhì),a0 ,從中解得,即,例1,設(shè)隨機變量X的分布律為,k = 0,1,2, ,試確定常數(shù)a .,離散型隨機變量表示方法,（1）公式法,（2）列表法,例2 某籃球運動員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨立投籃投中次數(shù)X的概率分布.,解 X可取值為0,1,2 ;,PX =0=0.10.1=0.01,PX =1= 20.90.1 =0.18,PX =2=0.90.9=0.81,X的分布律為,例3 設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過三盞信號,燈，每盞信號燈以概率,允許汽車通過,變量,表示汽車停車次數(shù)(設(shè)各信號燈的工作是相互獨立的）,解,由題意可知,將,帶入可得,的分布律為,（1） (01)分布,定義1 如果隨機變量X的分布律為,則稱X服從參數(shù)為p的(01)分布。,即,或,2.常用的離散型隨機變量,（01）分布的分布律也可寫成,伯努利概型（概率論中最早研究的模型之一，也是,研究最多的模型之一，在理論上一些重要的結(jié)果也由,它推導(dǎo)）,重復(fù)獨立試驗,在相同的條件下對試驗E重復(fù)做n次，若n次試驗中各,結(jié)果是相互獨立的，則稱這n次試驗是相互獨立的。,（2）二項分布,“重復(fù)”是指這n次試驗中P(A)= p保持不變.,“獨立”是指各次試驗的結(jié)果互不影響 .,伯努利概型,設(shè)隨機試驗E只有,兩種可能結(jié)果，且,將試驗E獨立地重復(fù)進行n次，則稱這n次試驗,為n重伯努利試驗，或 n重伯努利概型。,擲骰子：“擲出4點”，“未擲出4點”,抽驗產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”,一般地，設(shè)在一次試驗E中我們只考慮兩個互逆的 結(jié)果：A 或 .,這樣的試驗E稱為伯努利試驗 .,二項分布,n重伯努利試驗中,“事件,恰好發(fā)生k次”,即,的概率為：,定義2 如果隨機變量,的分布律為,則稱,服從參數(shù)為,的二項分,其中,布，記為,特別,當(dāng),時,二項分布為,這就是（01）分布，常記為,例1 已知100個產(chǎn)品中有5個次品，現(xiàn)從中有放回地,取3次，每次任取1個，求在所取的3個中恰有2個次品,的概率.,，于是所求概率為,則,例2 一大批產(chǎn)品中一級品率為0.2，現(xiàn)隨機抽查20,只，問20只元件中恰好有 k 只 (k=0,1,2,20),為一級,品的概率為多少？,解,設(shè),表示20只元件中為一級品的只數(shù)，,這個試驗可以看作伯努利試驗。,例3 某人射擊命中率為0.02，獨立射擊400次，試,求至少擊中2次的概率？,解 設(shè),表示擊中的次數(shù)，則,所以分布律,則所求概率,定理1（泊松Poisson定理) 設(shè),是一常數(shù)，n是,正整數(shù)，若,，則對任一固定的非負(fù)整數(shù),定義1 設(shè)隨機變量,所有可能取的值為0,1,2,而,且概率分布為：,（3） 泊松分布,其中,，則稱,服從參數(shù)為,的泊松分布，記,近數(shù)十年來，泊松分布日益顯示其重要性,成為概率論中最重要的幾個分布之一。泊松分布在管理科學(xué)、運籌學(xué)以及自然科學(xué)的某些問題中都占有重要的地位。,泊松分布的應(yīng)用, 排隊問題：在一段時間內(nèi)窗口等待服務(wù)的顧客,數(shù), 生物存活的個數(shù), 放射的粒子數(shù),2.分布函數(shù),為X 的分布函數(shù)。,設(shè) X 是一個隨機變量，,定義1,是任意實數(shù)，稱函數(shù),的值就表示X 落在區(qū)間,上的概率.,分布函數(shù),對任意實數(shù),上的概率,，用F(x)刻畫隨機點落在區(qū)間,分布函數(shù)的性質(zhì), 單調(diào)不減性：, 右連續(xù)性：對任意實數(shù), 歸一 性：,，則,具有上述三個性質(zhì)的實函數(shù)，必是某個隨機變量的分,布函數(shù)。,故該三個性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。,解,所以,例2 已知離散型隨機變量 X 的分布函數(shù)為,求 X 的分布律。,解 X 的可能取值為 3，4，5。,所以 X 的分布律為,例3 設(shè)X 表示彈著點與靶心的距離.已知：,Answer,3. 連續(xù)型隨機變量,定義1. 設(shè) F(X) 是隨機變量 X的分布函數(shù)，若存在非負(fù),，使對任意實數(shù),則稱 X為連續(xù)型隨機變量，稱,為 X 的概率密度函,數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù)。,記為,函數(shù),概率密度的性質(zhì), 非負(fù)性, 歸一性,可由下圖表示,面積為1,這兩條性質(zhì)是判定一個函,是否為某隨機變量X,的概率密度的充要條件。,數(shù), 對于任意的數(shù),有, 概率密度,在點,處連續(xù)，則有,解,4.幾種常用的連續(xù)型隨機變量,(1) 均勻分布,定義 若隨機變量X 的概率密度為：,則稱 X 服從區(qū)間a, b上的均勻分布，記作,由上可知均勻分布的分布函數(shù)為,圖形如下,解,依題意， X U 0, 30 ,以7:00為起點0，以分為單位,隨機變量，,例1 某公共汽車站從上午7時起，,每15分鐘來一班車，,即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等時刻有汽車到達此站，,如果乘客到達此站時間X 是7:00 到 7:30 之間的均勻,試求他候車時間少于5分鐘的概率.,所求概率為：,即乘客候車時間少于5分鐘的概率是 1/3。,(2)指數(shù)分布,若隨機變量X 的概率密度為：,指數(shù)分布。,為常數(shù)，則稱隨機變量X服從參數(shù)為的,其中,概率密度的圖形,指數(shù)分布的分布函數(shù)為,例2 假設(shè)燈管的壽命X （單位：小時）服從參數(shù)為,的指數(shù)分布， （1）求這個燈管能使用1000小時以上的概率； （2）若已知該燈管已使用1000小時，求它能再使用1000小時的概率。,(3) 正態(tài)分布,定義1 設(shè)連續(xù)型隨機變量的概率密度為,其中,為常數(shù)，則稱 X 服從參數(shù)為,的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布，記為,條關(guān)于 對稱的鐘形曲線.,特點是:,正態(tài)分布的密度曲線是一,正態(tài)分布的圖形特點,決定了圖形,決定了圖形中,峰的陡峭程度,的中心位置,“兩頭小,中間大,左右對稱”,定義2,若X 的概率密度為,則稱 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為,X的分布函數(shù)為,例1,解,設(shè)隨機變量,，試求,一般地，若,，我們只要通過一個線性變,換就能將它化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。,定理1 若隨機變量,，則,結(jié)論, 若,，則它的分布函數(shù)可以寫成, 若,解,例2