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第3講 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最(極)值,考試要求 1.函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件(A級要求);2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值,閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)(B級要求).,知 識 梳 理,1.函數(shù)的極值 若在函數(shù)yf(x)的定義域I內(nèi)存在x0,使得在x0附近的所有點x,都有_,則稱函數(shù)yf(x)在點xx0處取得極大值,記作y極大值_;若在x0附近的所有點x,都有_,則稱函數(shù)yf(x)在點xx0處取得極小值,記作y極小值_.,f(x)f(x0),f(x0),f(x)f(x0),f(x0),2.求函數(shù)極值的步驟: (1)求導(dǎo)數(shù)f(x); (2)求方程f(x)0的所有實數(shù)根; (3)觀察在每個根xn附近,從左到右,導(dǎo)函數(shù)f(x)的符號如何變化,若f(x)的符號由正變負(fù),則f(xn)是極大值;若由負(fù)變正,則f(xn)是極小值;若f(x)的符號在xn的兩側(cè)附近相同,則xn不是函數(shù)f(x)的極值點.,3.函數(shù)的最值 若在函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)存在x0,使得對于任意的xI,都有f(x)_,則稱f(x0)為函數(shù)的最大值,記作ymax_;若在函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)存在x0,使得對于任意的xI,都有f(x)_,則稱f(x0)為函數(shù)的最小值,記作ymin_. 4.求函數(shù)yf(x)在區(qū)間a,b上的最值的步驟: (1)求f(x)在區(qū)間a,b上的極值; (2)將第一步中求得的極值與f(a),f(b)比較,得到f(x)在區(qū)間a,b上的最大值與最小值.,f(x0),f(x0),f(x0),f(x0),診 斷 自 測,1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”) (1)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值是唯一的.( ) (2)函數(shù)的極大值不一定比極小值大.( ) (3)對可導(dǎo)函數(shù)f(x),f(x0)0是x0為極值點的充要條件.( ) (4)函數(shù)的最大值不一定是極大值,函數(shù)的最小值也不一定是極小值.( ) 解析 (1)函數(shù)在某區(qū)間或定義域內(nèi)極大值可以不止一個,故(1)錯誤,(3)對可導(dǎo)函數(shù)f(x),f(x)0是x0為極值點的必要條件. 答案 (1) (2) (3) (4),2.函數(shù)f(x)x33x22在區(qū)間1,1上的最大值是_. 解析 f(x)3x26x,令f(x)0,得x0或x2. f(x)在1,0)上是增函數(shù),f(x)在(0,1上是減函數(shù). f(x)maxf(x)極大值f(0)2. 答案 2,其中,既是奇函數(shù)又存在極值的是_(填序號). 解析 由題意可知,中的函數(shù)不是奇函數(shù),中函數(shù)yx3單調(diào)遞增(無極值),中的函數(shù)既為奇函數(shù)又存在極值. 答案 ,4.(2018全國卷改編)函數(shù)yx4x22的圖象大致為_(填序號).,答案 ,5.(2018江蘇卷)若函數(shù)f(x)2x3ax21(aR)在(0,)內(nèi)有且只有一個零點,則f(x)在1,1上的最大值與最小值的和為_.,答案 3,考點一 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 角度1 求函數(shù)的極值,設(shè)函數(shù)g(x)f(x)(xa)cos xsin x,討論g(x)的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出極值. 解 因為g(x)f(x)(xa)cos xsin x, 所以g(x)f(x)cos x(xa)sin xcos xx(xa)(xa)sin x(xa)(xsin x), 令h(x)xsin x,則h(x)1cos x0,所以h(x)在R上單調(diào)遞增. 因為h(0)0,所以,當(dāng)x0時,h(x)0;當(dāng)x0時,h(x)0.,當(dāng)a0,g(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)x(a,0)時,xa0,g(x)0,g(x)0,g(x)單調(diào)遞增. 所以當(dāng)xa時,g(x)取到極大值,,當(dāng)x0時,g(x)取到極小值,極小值是g(0)a.,當(dāng)a0時,g(x)x(xsin x), 當(dāng)x(,)時,g(x)0,g(x)單調(diào)遞增; 所以g(x)在(,)上單調(diào)遞增,g(x)無極大值也無極小值. 當(dāng)a0時,g(x)(xa)(xsin x), 當(dāng)x(,0)時,xa0,g(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)x(0,a)時,xa0,g(x)0,g(x)單調(diào)遞增. 所以當(dāng)x0時,g(x)取到極大值,極大值是g(0)a;,綜上所述:,當(dāng)a0時,函數(shù)g(x)在(,)上單調(diào)遞增,無極值;,【例12】 已知函數(shù)f(x)ax2axxln x,且f(x)0. (1)求a; (2)證明:f(x)存在唯一的極大值點x0,且e2f(x0)22. (1)解 f(x)的定義域為(0,), 設(shè)g(x)axaln x,則f(x)xg(x),f(x)0等價于g(x)0, 因為g(1)0,g(x)0,故g(1)0,,當(dāng)01時,g(x)0,g(x)單調(diào)遞增,所以x1是g(x)的極小值點,故g(x)g(1)0. 綜上,a1.,(2)證明 由(1)知f(x)x2xxln x,f(x)2x2ln x,,當(dāng)x(x0,1)時,h(x)0. 因為f(x)h(x),所以xx0是f(x)的唯一極大值點. 由f(x0)0得ln x02(x01),故f(x0)x0(1x0).,因為xx0是f(x)在(0,1)的最大值點, 由e1(0,1),f(e1)0得f(x0)f(e1)e2. 所以e2f(x0)22.,角度2 已知極值求參數(shù),(1)當(dāng)k0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個極值點,求k的取值范圍. 解 (1)函數(shù)yf(x)的定義域為(0,),,由k0可得exkx0,所以當(dāng)x(0,2)時,f(x)0,函數(shù)yf(x)單調(diào)遞增. 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2,).,(2)由(1)知,k0時,函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減, 故f(x)在(0,2)內(nèi)不存在極值點; 當(dāng)k0時,設(shè)函數(shù)g(x)exkx,x0,), 因為g(x)exkexeln k, 當(dāng)00,yg(x)單調(diào)遞增. 故f(x)在(0,2)內(nèi)不存在兩個極值點; 當(dāng)k1時, 得x(0,ln k)時,g(x)0,函數(shù)yg(x)單調(diào)遞增.,所以函數(shù)yg(x)的最小值為g(ln k)k(1ln k). 函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個極值點,規(guī)律方法 (1)求函數(shù)f(x)極值的步驟: 確定函數(shù)的定義域; 求導(dǎo)數(shù)f(x); 解方程f(x)0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根; 列表檢驗f(x)在f(x)0的根x0左右兩側(cè)值的符號,如果左正右負(fù),那么f(x)在x0處取極大值,如果左負(fù)右正,那么f(x)在x0處取極小值. (2)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有極值,那么yf(x)在(a,b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù),即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值. (3)可導(dǎo)函數(shù)yf(x)在點x0處取得極值的充要條件是f(x0)0,且在x0左側(cè)與右側(cè)f(x)的符號不同.應(yīng)注意導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是極值點.對含參數(shù)的求極值問題,應(yīng)注意分類討論.,【訓(xùn)練1】 設(shè)函數(shù)f(x)ax2(3a1)x3a2ex. (1)若曲線yf(x)在點(2,f(2)處的切線斜率為0,求a; (2)若f(x)在x1處取得極小值,求a的取值范圍. 解 (1)因為f(x)ax2(3a1)x3a2ex, 所以f(x)ax2(a1)x1ex. f(2)(2a1)e2.,(2)由(1)得f(x)ax2(a1)x1ex (ax1)(x1)ex.,當(dāng)x(1,)時,f(x)0. 所以f(x)在x1處取得極小值. 若a1,則當(dāng)x(0,1)時,ax1x10. 所以1不是f(x)的極小值點. 綜上可知,a的取值范圍是(1,).,考點二 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,(1)當(dāng)a4時,求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)若f(x)在區(qū)間1,4上的最小值為8,求a的值.,綜上有,a10.,規(guī)律方法 求函數(shù)f(x)在a,b上的最大值和最小值的步驟: (1)求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值; (2)求函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值f(a),f(b); (3)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a),f(b)比較,其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值.,(1)解 f(x)的定義域為(,2)(2,).,且僅當(dāng)x0時,f(x)0,所以f(x)在(,2),(2,)單調(diào)遞增. 因此當(dāng)x(0,)時,f(x)f(0)1. 所以(x2)ex(x2),即(x2)exx20.,由(1)知,f(x)a單調(diào)遞增,對任意a0,1),f(0)aa1xa時,f(x)a0,g(x)0,g(x)單調(diào)遞增.,所以,由xa(0,2,,考點三 由函數(shù)極值、最值解決恒成立問題,【例3】 已知函數(shù)f(x)ex(exa)a2x. (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)若f(x)0,求a的取值范圍. 解 (1)函數(shù)f(x)的定義域為(,), f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa). 若a0,則f(x)e2x,在(,)上單調(diào)遞增. 若a0,則由f(x)0得xln a. 當(dāng)x(,ln a)時,f(x)0. 故f(x)在(,ln a)上單調(diào)遞減,在(ln a,)上單調(diào)遞增.,(2)若a0,則f(x)e2x,所以f(x)0. 若a0,則由(1)得,當(dāng)xln a時,f(x)取得最小值,最小值為f(ln a)a2ln a,從而當(dāng)且僅當(dāng)a2ln a0,即0a1時,f(x)0.,規(guī)律方法 利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題的一般思路: (1)恒成立問題的三種常見解法:分離參數(shù),化為最值問題求解,如a(x)max或a(x)min;構(gòu)造函數(shù),分類討論,如f(x)g(x),即F(x)f(x)g(x),求F(x)min0;轉(zhuǎn)變主元,選取適當(dāng)?shù)闹髟墒箚栴}簡化. (2)恒成立問題常利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為最值問題求解.若不能分離參數(shù),可以對參數(shù)進行分類討論. (3)證明不等式問題可通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解.,【訓(xùn)練3】 設(shè)函數(shù)f(x)(1x2)ex. (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)當(dāng)x0時,f(x)ax1,求a
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