2019版高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.2應(yīng)用舉例課件新人教B版必修5.pptx

1.2 應(yīng)用舉例,1.了解實(shí)際問(wèn)題中所涉及的名詞和一些術(shù)語(yǔ). 2.會(huì)建立實(shí)際應(yīng)用題的三角形模型,畫出示意圖. 3.能運(yùn)用正弦定理或余弦定理解有關(guān)距離、高度及角度等實(shí)際問(wèn)題.,1.實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中的有關(guān)術(shù)語(yǔ) (1)鉛直平面:與水平面垂直的平面. (2)仰角和俯角:在同一鉛直平面內(nèi),目標(biāo)視線與水平線的夾角中,視線在水平線上方的角叫仰角,視線在水平線下方的角叫俯角.如圖所示. (3)方位角:從某點(diǎn)的指北方向線起,順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角叫做方位角.如圖所示.,(3)方位角:從某點(diǎn)的指北方向線起,順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角叫做方位角.如圖所示. (4)坡角與坡度:坡面與水平面的夾角叫坡角,坡面的鉛直高度h與水平距離l的比叫做坡度(或坡比). 設(shè)坡角為,坡度為i,則i= =tan ,如圖所示.,【做一做1】 已知兩座燈塔A和B與海洋觀測(cè)站C的距離相等,燈塔A在觀測(cè)站C的北偏東40,燈塔B在觀測(cè)站C的南偏東60,則燈塔A在燈塔B的( ) A.北偏東40 B.北偏西10 C.南偏東10 D.南偏西10,解析:如圖所示,ECA=40,FCB=60, ACB=180-40-60=80. AC=BC,ABG=180-CBH-CBA=180-120-50=10.故選B. 答案:B,2.三角形中的有關(guān)公式和結(jié)論 (1)直角三角形中各元素間的關(guān)系. 在ABC中,若C=90,AB=c,AC=b,BC=a,則有: 銳角之間的關(guān)系:A+B=90; 三邊之間的關(guān)系:a2+b2=c2; 邊角之間的關(guān)系:(銳角三角函數(shù)的定義),(2)斜三角形中各元素間的關(guān)系. 在ABC中,若A,B,C為其內(nèi)角,a,b,c分別表示A, B, C的對(duì)邊,則有: 角與角之間的關(guān)系:A+B+C=;sin Acos B,sin Bcos C,sin Ccos A; 邊與邊之間的關(guān)系:a+bc,b+ca,c+ab,a-bc,b-ca,c-ab; 邊角之間的關(guān)系: 余弦定理:c2=a2+b2-2abcos C ,b2=a2+c2-2accos B,a2=b2+c2-2bccos A;,(3)三角形中的角的變換及面積公式. 角的變換. 因?yàn)樵贏BC中,A+B+C=,所以sin(A+B)=sin C;,面積公式的有關(guān)變換.,【做一做2-1】已知一樹干被臺(tái)風(fēng)吹斷,折斷部分與殘存樹干成30角,樹干底部與樹尖著地處相距10 m,則樹干原來(lái)的高度是( ),答案:A,答案:3,【做一做2-3】 在ABC中,A=120,AB=5,BC=7,則 的值為 . 解析:由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2ABACcos A, 即72=52+AC2-25ACcos 120, 所以AC2+5AC-24=0. 解得AC=3,AC=-8(舍去).,3.解應(yīng)用題的一般思路 (1)讀懂題意,理解問(wèn)題的實(shí)際背景,明確已知和所求,理清量與量之間的關(guān)系. (2)根據(jù)題意畫出示意圖,把已知和要求的量盡量集中到有關(guān)三角形中,將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形模型. (3)選擇正弦定理或余弦定理求解. (4)將三角形的解還原為實(shí)際問(wèn)題的解,注意實(shí)際問(wèn)題中單位、近似計(jì)算的要求.這一思路描述如下:,【做一做3-1】如圖,為了測(cè)量隧道口AB的長(zhǎng)度,給定下列四組數(shù)據(jù),測(cè)量時(shí)應(yīng)當(dāng)用第 組數(shù)據(jù). ,a,b;,a; a,b,;,b. 解析:根據(jù)實(shí)際情況,都是不易測(cè)量的數(shù)據(jù),而中的a,b,很容易測(cè)量,并且根據(jù)余弦定理能直接求出AB的長(zhǎng),故選. 答案:,【做一做3-2】 在200 m的山頂上,測(cè)得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別為30,60,則塔高為 m.,解析:如圖, 在RtCDB中, CD=200 m,BCD=90-60=30,實(shí)際問(wèn)題中度量A,B兩點(diǎn)的長(zhǎng)度(高度)的方法 剖析:(1)求距離問(wèn)題. 如圖,當(dāng)AB的長(zhǎng)度不可直接測(cè)量時(shí),求AB的距離.,當(dāng)A,B兩點(diǎn)之間不可達(dá)又不可視時(shí),測(cè)出兩邊及其夾角,運(yùn)用余弦定理求解,當(dāng)A,B兩點(diǎn)之間可視但有一點(diǎn)不可達(dá)時(shí),測(cè)出兩角及其夾邊,先用內(nèi)角和定理求第三個(gè)角,再運(yùn)用正弦定理求解. A=-(B+C),根據(jù)正弦定理,當(dāng)A,B兩點(diǎn)都不可達(dá)時(shí),先在ADC和BDC中分別求出AC, BC或AD,BD,再在ABC或ABD中運(yùn)用余弦定理求解.,名師點(diǎn)撥將所求距離或方向的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角形的邊或角的問(wèn)題時(shí),我們選擇的三角形往往條件不夠,這時(shí)需要我們尋找其他的三角形作為解這個(gè)三角形的支持,為解這個(gè)三角形提供必要的條件.,(2)求高度問(wèn)題. 如圖,當(dāng)AB的高度不可直接測(cè)量時(shí),求AB的高度,有如下情況.,當(dāng)BC底部可達(dá)時(shí),利用直角三角形的邊角關(guān)系求解,則AB=atan C. 當(dāng)BD不可達(dá)時(shí),名師點(diǎn)撥在測(cè)量某物體高度的問(wèn)題中,很多被測(cè)量的物體是一個(gè)立體的圖形,而在測(cè)量過(guò)程中,我們測(cè)量的角度也不一定在同一平面內(nèi),因此還需要我們有一定的空間想象能力,關(guān)鍵是畫出圖形,把已知量和未知量歸結(jié)到三角形中來(lái)求解.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,測(cè)量距離問(wèn)題 【例1】如圖,隔河看兩目標(biāo)A,B,但不能到達(dá),在岸邊選取相距 km的C,D兩點(diǎn),并測(cè)得ACB=75,BCD=45,ADC=30,ADB=45(A,B,C,D在同一平面內(nèi)),求兩目標(biāo)A,B之間的距離. 分析:要求出A,B之間的距離,可在ABC(或ADB)中去找關(guān)系,但不管在哪個(gè)三角形中,AC,BC這些量都是未知的,需要在三角形中找出合適的關(guān)系式,求出它們的值,然后解斜三角形即可.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,解:在ACD中,ADC=30,ACD=75+45=120, 所以CAD=30. 所以AC=CD= km. 在BDC中,CBD=180-(45+75)=60.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,反思測(cè)量長(zhǎng)度(距離)是解三角形應(yīng)用題的一種基本題型.在解這類問(wèn)題時(shí),首先要分析題意,確定已知與所求,然后畫好示意圖,通過(guò)解三角形確定實(shí)際問(wèn)題的解;測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題,一般是把求距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,【變式訓(xùn)練1】 為了在一條河上建一座橋,施工前在河兩岸打上兩個(gè)橋位樁A,B(如圖),要測(cè)算A,B兩點(diǎn)的距離,測(cè)量人員在岸邊定出線段BC,測(cè)得BC=50 m,ABC=105,BCA=45,則A,B兩點(diǎn)間的距離為( ),答案:A,題型一,題型二,題型四,題型五,題型三,測(cè)量高度問(wèn)題 【例2】如圖所示,在地面上有一旗桿OP,為測(cè)得它的高度h,在地面上取一基線AB,AB=20 m,在A處測(cè)得P點(diǎn)的仰角OAP=30,在B處測(cè)得P點(diǎn)的仰角OBP=45,又測(cè)得AOB=60,求旗桿的高度h.(精確到0.1 m) 分析:先在RtPAO和RtPBO中求出AO,BO,再在AOB中由余弦定理求出h.,題型一,題型二,題型四,題型五,題型三,反思解三角形時(shí),一定要選擇合適的三角形,這樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程,還要注意立體幾何圖形中的邊角關(guān)系,并選擇好三角形的使用順序.,題型一,題型二,題型四,題型五,題型三,【變式訓(xùn)練2】 在某一山頂觀測(cè)山下兩村莊A,B,測(cè)得A的俯角為30,B的俯角為40,觀測(cè)A,B兩村莊的視角為50,已知A,B在同一海平面上且相距1 000 m,求山的高度.(精確到1 m,sin 400.643),解:設(shè)山頂為C,山高CD=x m, 由題意得CAD=30,CBD=40,ACB=50.,x=1 000sin 40643. 答:山高約為643 m.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,測(cè)量角度問(wèn)題 【例3】如圖,甲船在A處,乙船在甲船的南偏東45方向,距A處9海里的B處,并以20海里/時(shí)的速度沿南偏西15方向行駛,若甲船以28海里/時(shí)的速度行駛,應(yīng)沿什么方向,用多長(zhǎng)時(shí)間能最快追上乙船?(精確到1) 分析:假設(shè)甲船用t小時(shí)在C處追上乙船,則在ABC中,AC,BC可用t來(lái)表示,進(jìn)而利用余弦定理求得t,解此三角形即可.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,解:假設(shè)甲船用t小時(shí)在C處追上乙船. 在ABC中,AC=28t海里,BC=20t海里,ABC=180-45-15=120. 由余弦定理,得 AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,又ABC=120,所以BAC為銳角, 所以BAC38.所以45-38=7. 所以甲船應(yīng)沿南偏東7方向用 小時(shí)可最快追上乙船. 反思航海問(wèn)題常利用解三角形的知識(shí)解決,在具體解題時(shí),應(yīng)畫出示意圖,找出已知量及所求的量,轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系,利用正、余弦定理求解.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,【變式訓(xùn)練3】 如圖,某貨船在索馬里海域航行中遭海盜襲擊,發(fā)出求救信號(hào),我海軍護(hù)航艦在A處獲悉后,立即測(cè)出該貨船在北偏東45,距離為10海里的C處,并測(cè)得貨船正沿南偏東75的方向,以10海里/時(shí)的速度向前行駛,我海軍護(hù)航艦立即以10 海里/時(shí)的速度前去營(yíng)救,求護(hù)航艦的航向和靠近貨船所需的時(shí)間.,解:設(shè)所需時(shí)間為t小時(shí), 則AB=10 t海里,CB=10t海里. 由題意知,ACB=120. 在ABC中,根據(jù)余弦定理, 則有AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 120, 可得(10 t)2=102+(10t)2-21010tcos 120, 整理得2t2-t-1=0,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,答:護(hù)航艦航行方向?yàn)楸逼珫|75,靠近貨船所需的時(shí)間為1小時(shí).,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,面積問(wèn)題 【例4】 在半徑為R的扇形OAB中,圓心角AOB=60,在扇形內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接矩形,求內(nèi)接矩形的最大面積. 分析:扇形的內(nèi)接矩形有且僅有兩種類型:一種是矩形的一邊與扇形的一條半徑重合;另一種是以扇形的對(duì)稱軸為對(duì)稱軸的矩形.我們分別求出這兩種類型的矩形的最大面積,再取兩者中較大的,就是符合條件的最大面積.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,解:如圖所示,設(shè)PQ=x,MP=y,則矩形的面積S=xy. 連接ON,令A(yù)ON=,則y=Rsin . 在OMN中,利用正弦定理,得,如圖所示,設(shè)PN=x,MN=y, 則矩形的面積為S=xy,連接ON,令A(yù)ON=.在OPN中,利用正弦定理,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,反思關(guān)于求面積最值問(wèn)題,關(guān)鍵是將面積函數(shù)表達(dá)出來(lái),根據(jù)已知條件利用正弦定理將與矩形面積有關(guān)的量求出,再轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值問(wèn)題,這是這一類問(wèn)題常用的解題思路.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,【變式訓(xùn)練4】 如圖所示,半圓O的直徑為2,A為直徑延長(zhǎng)線上一點(diǎn),OA=2,B為半圓上任意一點(diǎn),以AB為一邊作等邊三角形ABC.問(wèn)點(diǎn)B在什么位置時(shí),四邊形OACB的面積最大?,解:設(shè)AOB=. 在AOB中,由余弦定理,得AB2=12+22-212cos =5-4cos . 于是四邊形OACB的面積為,題型四,題型五,題型一,題型二,題型三,易錯(cuò)辨析 易錯(cuò)點(diǎn):用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題出現(xiàn)增解而致誤 【例5】 某觀測(cè)站C在城A的南偏西20的方向上,由城A出發(fā)的一條公路,走向是南偏東40,在C處,測(cè)得公路上距C處31 km的B處有一人正沿公路向城A走去,走了20 km后到達(dá)D處,此時(shí)C,D間的距離為21 km,這人還要走多遠(yuǎn)才能到達(dá)城A?,題型四,題型五,題型一,題型二,題型三,在ACD中,由余弦定理,得CD2=AC2+AD2-2ACADcosCAD, 即212=242+AD2-24AD,所以AD=15km或AD=9km, 所以這人還要走15 km或9 km才能到達(dá)城A. 錯(cuò)因分析:沒(méi)有及時(shí)檢驗(yàn),題目中ACD為銳角三角形,故應(yīng)舍去AD=9的情況.,題型四,題型五,題型一,題型二,題型三,正解:設(shè)ACD=,CDB=, 在CBD中,由余弦定理,得,1 2 3 4 5,1已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東20,燈塔B在觀察站C的南偏東40,則燈塔A與B的距離為( ),答案:B,1 2 3 4 5,2已知輪船A和輪船B在中午12時(shí)同時(shí)離開海港O,兩船航行方向的夾角為120,兩船的航行速度分別為25海里/時(shí),15海里/時(shí),則下午14時(shí)兩船之間的距離是( ) A.50海里 B.70海里 C.90海里 D.110海里 解析:根據(jù)題意,可知A,B兩輪船在下午14時(shí)分別到達(dá)距海港50海里和30海里的位置.由余弦定理,得AB2=502+302-25030cos 120=4 900. 故AB=70海里. 答案:B,1 2 3 4 5,3已知某人向正東方向走了x km后向右轉(zhuǎn)了150,然后沿新方向走了3 km,結(jié)果離出發(fā)點(diǎn)恰好 km,那么 x= .,解析:方法一:如圖所示,由題意,可知AB=x km,AC= km,BC=3 km,B=30. 由余弦定理,知AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,即3=x2+9-23xcos 30.,1 2 3 4 5,方法二:由正弦定理,得,BCAC,AB. B=30,A=60或A120.,1 2 3 4 5,4已知A,B是海平面上的兩個(gè)點(diǎn),相距800 m,在點(diǎn)A測(cè)得山頂C的仰角為45,BAD=120,又在點(diǎn)B測(cè)得ABD=45,其中D是點(diǎn)C在海平面上的射影,則山高CD為 . 解析:如圖, CDAD,CAD=45, CD=AD. 因此,只需在ABD中求出AD即可. 在ABD中,BDA=180-45-120=15,1 2