二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題.doc

二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題【學(xué)前思考】 二次函數(shù)在閉區(qū)間上取得最值時的，只能是其圖像的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)或給定區(qū)間的端點(diǎn). 因此，影響二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三個因素：拋物線的開口方向、對稱軸以及給定區(qū)間的位置. 在這三大因素中，最容易確定的是拋物線的開口方向（與二次項系數(shù)的正負(fù)有關(guān)），而關(guān)于對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系的討論是解決二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題的關(guān)鍵. 本節(jié)，我們將以若干實例說明解決此類問題的具體方法.【知識要點(diǎn)例題精講】 二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，常見的有以下三種類型，分別是：Case、給定區(qū)間確定，對稱軸位置也確定說明：此種類型是較為簡單的一種，只要找到二次函數(shù)的對稱軸，畫出其函數(shù)圖像，再將給定區(qū)間標(biāo)出，那么二次函數(shù)的最值一目了然.解法：若二次函數(shù)的給定區(qū)間是確定的，其對稱軸的位置也確定，則要求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，只需先考察其對稱軸的橫坐標(biāo)是否在給定區(qū)間內(nèi). （i）當(dāng)其對稱軸的橫坐標(biāo)在給定區(qū)間內(nèi)時，二次函數(shù)在給定區(qū)間上不具有單調(diào)性，此時其一個最值在頂點(diǎn)處取得，另一個最值在離對稱軸的橫坐標(biāo)較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得；（ii）當(dāng)其對稱軸的橫坐標(biāo)不在給定區(qū)間內(nèi)時，二次函數(shù)在給定區(qū)間上具有單調(diào)性，此時可利用二次函數(shù)的單調(diào)性確定其最值.例1、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值是_.例2、函數(shù)在區(qū)間上的最大值是_，最小值是_.例3、已知，則函數(shù)的最大值是_，最小值是_.Case、給定區(qū)間確定，對稱軸位置變化說明：此種類型是非常重要的，是考試必考點(diǎn)，主要是討論二次函數(shù)的對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，一般需要分對稱軸在給定區(qū)間的左側(cè)、內(nèi)部以及右側(cè)三種情況進(jìn)行分類討論，然后根據(jù)不同情況求出相應(yīng)的最值.解法：若二次函數(shù)的給定區(qū)間是確定的，而其對稱軸的位置是變化的，則要求二次函數(shù)（）在給定區(qū)間上的最值，需對其對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論. 這里我們以的情形進(jìn)行分析：（）若，即對稱軸在給定區(qū)間的左側(cè)，則函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增，此時，；（）若，即對稱軸在給定區(qū)間的內(nèi)部，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時，或，至于最大值究竟是還是，還需通過考察對稱軸與給定區(qū)間的中點(diǎn)的位置關(guān)系作進(jìn)一步討論：若，則；若，則；（）若，即對稱軸在給定區(qū)間的右側(cè)，則函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，.綜上可知，當(dāng)時，；.通過同樣的分析可得到：當(dāng)時，；.例4、已知且，求函數(shù)的最值.例5、求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.例6、求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.例7、設(shè)函數(shù)（），當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值的解析式.例8、已知函數(shù)，若對于任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是_.Case、給定區(qū)間變化，對稱軸位置確定說明：此種類型，考試中出現(xiàn)的較少，一般是給定區(qū)間里含有參數(shù). 解決此類問題，亦可根據(jù)對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，分對稱軸在給定區(qū)間的左側(cè)、內(nèi)部以及右側(cè)三種情況進(jìn)行分類討論，然后根據(jù)不同情況求出相應(yīng)的最值.解法：若二次函數(shù)的給定區(qū)間是變化的，而其對稱軸的位置是確定的，則要求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，需對變化區(qū)間是否包含其對稱軸的橫坐標(biāo)進(jìn)行分類討論，分類標(biāo)準(zhǔn)為：變化區(qū)間包含其對稱軸的橫坐標(biāo)，變化區(qū)間不包含其對稱軸的橫坐標(biāo). 解決方法與知識點(diǎn)2類似，這里不再贅述.例9、已知函數(shù)定義在區(qū)間（）上，求的最小值.例10、已知函數(shù)，當(dāng)（）時，求的最大值.CaseIV、與二次函數(shù)最值問題有關(guān)的綜合題型利用二次函數(shù)在給定區(qū)間上取得最值，可以求解、證明或探究以下綜合問題：（1）求函數(shù)的最值或最值的取值范圍；（2）求函數(shù)的解析式；（3）證明不等式；（4）求參數(shù)的取值范圍；（5）探究參數(shù)是否存在；例11、設(shè)函數(shù)，為常數(shù).（I）求的最小值的解析式；（II）在（I）中，是否存在最小的整數(shù)，使得對于任意均成立. 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【解析】（I）函數(shù)的圖像是開口向上，對稱軸為直線的拋物線（i）若，即此時函數(shù)的對稱軸不在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞增于是（ii）若，即此時函數(shù)的對稱軸不在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞減于是（iii）若，即此時函數(shù)的對稱軸在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增于是綜上可知，（II）要使對于任意的均成立，只需，下求由函數(shù)的圖像可見，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減于是又故的最小值為例12、已知函數(shù)（），記是在區(qū)間上的最大值.（）當(dāng)且時，求的值；（）若，證明.【解析】（I）函數(shù)的圖像是開口向上，對稱軸為直線的拋物線而函數(shù)的圖像是將函數(shù)在軸上方的圖像保持不變、把它在軸下方的圖像翻折上去得到的（I）當(dāng)時，函數(shù)（i）若此時函數(shù)的對稱軸不在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞增于是，即（舍去）（ii）若此時函數(shù)的對稱軸不在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞減于是，即（舍去）（iii）若此時函數(shù)的對稱軸在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增于是當(dāng)時，舍去當(dāng)時， 或，均舍去綜上可知，或（II）又， ， 于是有故，即例13、（2015浙江高考）已知函數(shù)（，），記是在區(qū)間上的最大值.（1）證明：當(dāng)時，；（2）當(dāng)，滿足時，求的最大值.【分析】本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)在區(qū)間定、對稱軸位置變化的情形下的最值問題. 解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解“是在區(qū)間上的最大值”這一條件，并結(jié)合函數(shù)圖像以及三角不等式等知識?！窘馕觥浚?）函數(shù)的圖像是開口向上，對稱軸為直線的拋物線而函數(shù)的圖像是將函數(shù)在軸上方的圖像保持不變、把它在軸下方的圖像翻折上去得到的，即此時函數(shù)的對稱軸不在區(qū)間上于是函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)故（2）于是有，即，即，又，于是又當(dāng)，時，且在區(qū)間上的最大值為2，即故的最大值為例14、已知函數(shù)，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.（）若，求的值；（）若對任意的，恒成立，試求的最大值【分析】本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)在區(qū)間定、對稱軸位置變化的情形下的最值問題以及函數(shù)恒成立問題，解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解“是在區(qū)間上的最大值”這一條件，并結(jié)合函數(shù)圖像以及三角不等式等知識.【解析】函數(shù)的圖像是開口向下，對稱軸為直線的拋物線而函數(shù)的圖像是將函數(shù)在軸上方的圖像保持不變、把它在軸下方的圖像翻折上去得到的（1）當(dāng)時，函數(shù)此時其對稱軸不在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞增故（2）要使對任意的，恒成立，只需下求的最小值.（i）若，即此時函數(shù)的對稱軸不在區(qū)間上函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)于是（ii）若，即此時函數(shù)的對稱軸在區(qū)間上于是當(dāng)時，此時當(dāng)時，此時由（i），（ii）可知，對任意的，都有又當(dāng)，時，在區(qū)間上的最大值為，即故對任意的，恒成立的的最大值為.【課后總結(jié)】 解決二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，核心是關(guān)于二次函數(shù)的對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系的討論. 一般分為：二次函數(shù)的對稱軸在給定區(qū)間的左側(cè)、內(nèi)部以及右側(cè)三種情況，然后根據(jù)不同情況求出相應(yīng)最值. 建議在理解相關(guān)結(jié)論或解題時，一定要注意結(jié)合二次函數(shù)的圖像，做到數(shù)形結(jié)合。須知：函數(shù)圖像就是指路明燈！【習(xí)題精練】1、若，且，則（ ）A. B. C. D. 2、（2013浙江高考）已知，函數(shù). 若，則（ ）A. B. C. D. 3、（2017浙江高考）若函數(shù)在上的最大值是，最小值是，則（ ）A. 與有關(guān)，且與有關(guān) B. 與有關(guān)，但與無關(guān) C. 與無關(guān)，且與無關(guān) D. 與無關(guān)，但與有關(guān)4、已知函數(shù)（）對任意的實數(shù)，都有成立. 若當(dāng)時，恒成立，則的取值范圍是（ ）A. B. C. 或 D. 5、已知一次函數(shù)（）的圖像不經(jīng)過第一象限，且在區(qū)間上的最大值和最小值分別為1和-2，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（ ）A. -2 B. 2 C. -1 D. 16、設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是_.7、已知二次函數(shù)滿足，且，若函數(shù)在區(qū)間上的值域是，則_，_.8、已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是_.9、已知拋物線的開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，那么該拋物線有（ ）A. 最小值-3 B. 最大值-3 C. 最小值2 D. 最大值210、已知為常數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則_.11、已知，若函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為，最小值為，令，則的解析式為_.12、（2013遼寧高考）已知函數(shù)，設(shè)，（表示，中的較大值，表示，中的較小值）. 記的最小值為，的最大值為，則_.13、已知一次函數(shù)是上