高中數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)函數(shù)與方程思想課件.ppt

1.函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化，函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程解決(如 函數(shù)求值域中的法),方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)解決(如 方程解的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)). 2.函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，對(duì)于函數(shù)y=f(x)當(dāng)y0 時(shí)就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)0,借助函數(shù)圖象和性質(zhì)可解 決有關(guān)問(wèn)題.,學(xué)案1 函數(shù)與方程思想,3.數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù),用 函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問(wèn)題十分重要. 4.函數(shù)f(x)=(a+bx)n (nN*)與二項(xiàng)式定理密切相關(guān), 利用這個(gè)函數(shù),用賦值法和比較法可以解決與二項(xiàng)式 定理有關(guān)的諸多問(wèn)題及求和的問(wèn)題. 5.解析幾何中的許多問(wèn)題，例如直線與二次曲線的位 置關(guān)系問(wèn)題，需通過(guò)二元方程組才能解決. 6.立體幾何中的有關(guān)線段、角、面積的計(jì)算,經(jīng)常需 用到方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決,建立空 間向量后，立體幾何與函數(shù)方程之間的關(guān)系就能較 為密切.,1.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+x,則對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,“a+b0”是 “f(a)+f(b)0”的 ( ) A.充分必要條件 B.充分而不必要條件 C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件 解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3+x,所以f(x)在R上是遞增的奇 函數(shù)，又a+b0,所以a-b,則f(a)f(-b)=-f(b), 所以f(a)+f(b)0，且每一步都是可逆的.故選A.,A,2.已知|a|=2,|b|=1, 為a與b的夾角,則關(guān)于x的方程 x2+|a|x+ab=0有實(shí)數(shù)根的概率為 ( ) A. B. C. D. 解析 因方程x2+|a|x+ab=0有實(shí)數(shù)根, 所以=|a|2-4ab=4(1-2 )0，,C,3.對(duì)任意a-1,1,若函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值 恒為正,則x的取值范圍是 ( ) A.(1,3) B.(-,1)(3,+) C.(1,2) D.(-,1)(2,+) 解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒為正,可 看成關(guān)于a的一次函數(shù),不妨令g(a)=(x-2)a+x2-4x+4, x1或x3.x(-,1)(3,+).,B,4.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和滿足S7=S16,則S23=_. 解析 由題意可設(shè)Sn=An2+Bn， 所以72A+7B=162A+16B，即23A+B=0， 所以S23=232A+23B=23(23A+B)=0.,0,題型一 運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決函數(shù)、方程和不 等式的有關(guān)問(wèn)題 【例1】對(duì)于滿足0p4的一切實(shí)數(shù)，不等式 x2+px4x+p-3恒成立，試求x的取值范圍. 解 不等式x2+px4x+p-3恒成立， 即(x-1)p+x2-4x+30恒成立， 構(gòu)造函數(shù)f(p)=(x-1)p+x2-4x+3. 當(dāng)x=1時(shí)，f(p)=0，不滿足f(p)0. f(p)表示p的一次函數(shù), p0,4,函數(shù)f(x)的圖象是一條線段,要使f(p)0在0,4上 恒成立， 解得x-1或x3, 所以x的取值范圍是(-,-1)(3,+). 【探究拓展】本題看上去是一個(gè)不等式的問(wèn)題,但是 經(jīng)過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化,確定適合的變量和參數(shù),從而揭示函 數(shù)關(guān)系,使問(wèn)題更加明朗化,因此我們把它轉(zhuǎn)化為一 個(gè)簡(jiǎn)單的一次函數(shù),并借助函數(shù)圖象建立一個(gè)關(guān)于x 的不等式組,從而求得x的取值范圍.,變式訓(xùn)練1 設(shè)不等式2x-1m(x2-1)對(duì)滿足|m|2的 一切實(shí)數(shù)m的取值都成立，求x的取值范圍. 解 設(shè)f(m)=(x2-1)m-(2x-1),此為關(guān)于m的一次函 數(shù)或常函數(shù). 即2x-1m(x2-1)對(duì)|m|2的一切m都成立. 所以x的取值范圍是,題型二 運(yùn)用函數(shù)思想證明不等式問(wèn)題 【例2】若x(0,+),求證： 證明 當(dāng)t(1,+)時(shí),f(t)0,所以函數(shù)f(t)在區(qū)間(1, +)上是增函數(shù),則有f(t)f(1)=0, 即t-1ln t., 當(dāng)t(1,+)時(shí),g(t)0,所以函數(shù)g(t)在區(qū)間 (1,+)上是增函數(shù)，,【探究拓展】在解決值的大小比較問(wèn)題時(shí)，往往通 過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性或圖象解 決，這是一種重要的思想方法.利用導(dǎo)數(shù)解決不 等式問(wèn)題時(shí)，一般要先根據(jù)欲證不等式的結(jié)構(gòu)形 式及特點(diǎn)，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的 單調(diào)性，從而使問(wèn)題迅速解決.,變式訓(xùn)練2 證明 令x=1,2,n-1時(shí),代入上式,將所得不等式兩邊相 加,得,題型三 利用函數(shù)思想解決數(shù)列問(wèn)題 【例3】已知 設(shè)f(n)=S2n+1-Sn+1,試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍,使得對(duì)于 一切大于1的正整數(shù)n，不等式 解 由f(n)=S2n+1-Sn+1,得,f(n)f(n-1)f(3)f(2) (nN*,n2). 要使對(duì)于一切大于1的正整數(shù)n,原不等式恒成立, 設(shè)y=logm(m-1)2,則y0.,【探究拓展】在解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí),應(yīng)首先確定f(n)的 表達(dá)式,而f(n)是一個(gè)不可求和的的數(shù)列,直接求f(n) 的最小值是不可能的,進(jìn)而研究f(n)的單調(diào)性可知, f(n)是單調(diào)遞增所以f(n)min=f(2),結(jié)合不等式恒成 立,進(jìn)一步利用函數(shù)與方程思想使問(wèn)題得以解決.,變式訓(xùn)練3 已知f(x)是定義在正整數(shù)集N*上的函 數(shù)，當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，f(x+1)-f(x)=1；當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)， f(x+1)-f(x)=3,且滿足f(1)+f(2)=5. （1）求證：f(2n-1) (nN*)是等差數(shù)列； （2）求f(x)的解析式. （1）證明 由于nN*，則2n為偶數(shù)，2n-1為奇數(shù)， 由題意得， 兩式相加得，f(2n+1)-f(2n-1)=4, 所以f(2n-1) (nN*)是以4為公差的等差數(shù)列.,(2)解 所以f(2n-1)=f(1)+(n-1)4=2(2n-1), 因此當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，f(x)=2x, 又因?yàn)楫?dāng)x為奇數(shù)時(shí)，f(x+1)-f(x)=1, 所以f(x+1)=2x+1=2(x+1)-1, 故當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，f(x)=2x-1.,題型四 運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決立體幾何問(wèn)題 【例4】三棱錐SABC,SA=x,其余所有棱長(zhǎng)均為2,它 的體積為V, (1)求V=f(x)的表達(dá)式; (2)當(dāng)x為何值時(shí),V有最大值？并求出最大值. 解 (1)取BC的中點(diǎn)D,連接SD、 AD,SDBC,ADBC, 所以BC平面SAD,取SA的中點(diǎn) E,連接ED,因?yàn)镾D=AD= ,所以DESA,【探究拓展】 在解答立體幾何中的“運(yùn)動(dòng)問(wèn)題”、 “最值問(wèn)題”等問(wèn)題時(shí),常常借助函數(shù)思想來(lái)解決, 建立目標(biāo)函數(shù)后,運(yùn)用函數(shù)的方法來(lái)解決.,變式訓(xùn)練4 正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，直線 DEBC,交AB,AC于點(diǎn)D,E,現(xiàn)將 ADE沿DE折起成60的二面角， 求DE在何位置時(shí)，折起后點(diǎn)A到 BC的距離最短，最短距離是多少. 解 取BC的中點(diǎn)M,連接AM交DE于N,則AMDE， 沿DE折起時(shí),如圖所示,ANDE， MNDE,則ANM是二面角 ADEM的平面角，即 ANM=60，且AMBC， 則線段AM的長(zhǎng)為所求，,設(shè)AN=x，則MN= 在AMN中， AM2=AN2+MN2-2ANMNcos 60 所以當(dāng)x= 時(shí)，即DE為ABC的中位線時(shí)，AM最短，且最短距離為 .,【考題再現(xiàn)】 (2008天津)設(shè)函數(shù)f(x)=x4+ax3+2x2+b(xR),其中 a、bR. (1)當(dāng)a= 時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)若函數(shù)f(x)僅在x=0處有極值,求a的取值圍； (3)若對(duì)于任意的a-2,2,不等式f(x)1在-1,1 上恒成立,求b的取值范圍.,【解題示范】 解 (1)f(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4). f(x)=x(4x2-10x+4)=2x(2x-1)(x-2). 2分 令f(x)=0,解得 x1=0, x2= ,x3=2. 當(dāng)x變化時(shí)，f(x),f(x)的變化情況如下表： 所以f(x)在(0, ),(2,+)內(nèi)是增函數(shù), 在（-,0),( ,2)內(nèi)是減函數(shù). 5分,（2）f(x)=x(4x2+3ax+4),顯然x=0不是方程 4x2+3ax+4=0的根. 為使f(x)僅在x=0處有極值，必須4x2+3ax+40恒成 立，即有=9a2-640. 6分 解此不等式，得 這時(shí)，f(0)=b是唯一極值. 因此滿足條件的a的取值范圍是 . 8分,(3)由條件a-2,2可知=9a2-640, 從而4x2+3ax+40恒成立. 當(dāng)x0時(shí),f(x)0;當(dāng)x0時(shí),f(x)0. 因此函數(shù)f(x)在-1,1上的最大值是f(1)與f(-1)兩者 中的較大者. 10分 為使對(duì)任意的a-2,2,不等式f(x)1在-1,1上 恒成立，當(dāng)且僅當(dāng) 所以b-4, 13分 因此滿足條件的b的取值范圍是(-,-4. 14分,1.函數(shù)與方程思想方法的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在根據(jù)問(wèn)題 的需要構(gòu)造輔助函數(shù)，從而將所給問(wèn)題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造 的輔助函數(shù)的性質(zhì),如單調(diào)性、周期性、奇偶性、正 負(fù)性、圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)、最值等. 2.要用好函數(shù)與方程思想解決問(wèn)題,必須熟練掌握一 次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù) 函數(shù)、三角函數(shù)等基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)等具 體特征,合理運(yùn)用圖象與性質(zhì). 3.在解答非函數(shù)、方程問(wèn)題時(shí),要注意對(duì)題中各量的,觀察分析,會(huì)用函數(shù)和變量來(lái)思考,學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化已知與未 知的關(guān)系.在解題時(shí),用函數(shù)思想作指導(dǎo)就需把字母看 作變量,把代數(shù)式看做函數(shù),利用函數(shù)性質(zhì)作工具進(jìn)行 分析,解決問(wèn)題.用方程思想作指導(dǎo)就需要把含字母的 等式看作方程,研究方程根有什么要求.,一、選擇題 1.已知正數(shù)x,y滿足xy=x+9y+7,則xy的最小值為 ( ) A.32 B.43 C.49 D.60 解析 因?yàn)閤y=x+9y+7,所以,C,2.已知關(guān)于x的方程sin2x+cos x+k=0有實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 ( ) A. B. C. D. 解析 原方程可化為cos2x-cos x=k+1,C,3.不等式f(x)=ax2-x-c0的解集為x|-2x1,則 函數(shù)y=f(-x)的圖象為 ( ) 解析 因?yàn)椴坏仁絝(x)=ax2-x-c0的解集為x|-2 x1,所以a0,則函數(shù)f(x)=ax2-x-c的圖象與x軸的 交點(diǎn)分別為(-2,0),(1,0),又函數(shù)y=f(-x)的圖象與 函數(shù)y=f(x)的圖象 關(guān)于y軸對(duì)稱,故選D.,D,4.已知實(shí)數(shù)x,y滿足3x+5y3-y+5-x,則下面式子成立的 是 ( ) A.x+y0 B.x+y0 C.x-y0 D.x-y0 解析 設(shè)函數(shù) 則 是定義域上的增函數(shù)， 而3x+5y3-y+5-x, 可化為 即x-y,x+y0.,A,5.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy (x,yR),f(1)=2,則f(-3)等于 ( ) A.2 B.3 C.6 D.9 解析 f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)+201 =f(0)+f(1),f(0)=0. f(0)=f(-1+1)=f(-1)+f(1)+2(-1)1 =f(-1)+f(1)-2,f(-1)=0. f(-1)=f(-2+1)=f(-2)+f(1)+2(-2)1 =f(-2)+f(1)-4,f(-2)=2. f(-2)=f(-3+1)=f(-3)+f(1)+2(-3)1 =f(-3)+f(1)-6, f(-3)=6.,C,6.設(shè)f(x)是連續(xù)的偶函數(shù),且當(dāng)x0時(shí)是單調(diào)函數(shù),則 滿足 的所有x之和為 ( ) A.-3 B.3 C.-8 D.8 解析 因?yàn)閒(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，且x0時(shí)是單調(diào)函 數(shù),由偶函數(shù)的性質(zhì)可知若f(x)=f( ),只有兩種 情況:x= ;x+ =0. 由知x2+3x-3=0,故兩根之和為x1+x2=-3. 由知x2+5x+3=0,故其兩根之和為x3+x4=-5. 因此滿足條件的所有x之和為-8 .,C,二、填空題 7.已知（3x2+2x+1）2=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3 +a4(x+1)4,則a1+a2+a3+a4=_. 解析 令x=0,得a0+a1+a2+a3+a4=1 令x=-1,得a0=4. 由可得a1+a2+a3+a4=-3.,-3,8.若函數(shù) ,abc0.則下式正確的是 _. 解析 所以g(x)是減函數(shù)，因?yàn)閍bc0, 所以g(a)g(b)g(c)，,9.方程(x+1)2-1= 在-1,+)上的解為 _. 解析 原方程可化為x(x+2)= ,兩邊平方整理 得,(x+2)(x3+2x2-1)=0,所以(x+2)(x+1)(x2+x-1)=0的 解為x1=-2,x2=-1, ,所以方 程在-1,+)的解為 (經(jīng)檢驗(yàn)x=-1不滿足題 意),10.三棱錐PABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直, PC=1,PA=x,PB=y,且x+y=4,則該三棱錐取得最大體 積時(shí),頂點(diǎn)P到底面的距離為_(kāi). 解析 由題意知VPABC= 此時(shí) x=y=2;如圖,易知:PA=PB=2, 作CDAB于D,且點(diǎn)D是AB的中 點(diǎn),PQCD于Q,則線段PQ的長(zhǎng)為所求,因CD=,三、解答題 11.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx (a,b為常數(shù),且a0)滿 足條件：f(x-1)=f(3-x)且方程f(x)=2x有相等實(shí)根. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)是否存在實(shí)數(shù)m,n(mn),使f(x)的定義域和值域 分別為m,n和4m,4n,如果存在,求出m,n的值,如 果不存在,說(shuō)明理由. 解 (1)方程ax2+bx-2x=0有等根, =(b-2)2=0,得b=2, 由f(x-1)=f(3