圓錐曲線培優(yōu)講義.doc

一 原點三角形面積公式1. 已知橢圓的離心率為，且過點若點M（x0，y0）在橢圓C上，則點稱為點M的一個“橢點”（1）求橢圓C的標準方程；（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點，且A，B兩點的“橢點”分別為P，Q，以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，試求AOB的面積2. 己知橢圓 x2+2y2=1，過原點的兩條直線 l1 和 l2 分別與橢圓交于點 A，B 和 C，D記 AOC 的面積為 S（1）設(shè) Ax1,y1，Cx2,y2用 A，C 的坐標表示點 C 到直線 l1 的距離，并證明 S=12x1y2-x2y1；（2）設(shè) l1:y=kx，C33,33，S=13，求 k 的值（3）設(shè) l1 與 l2 的斜率之積為 m，求 m 的值，使得無論 l1 與 l2 如何變動，面積 S 保持不變3. 已知橢圓的左、右兩焦點分別為,橢圓上有一點與兩焦點的連線構(gòu)成的中，滿足（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點是橢圓上不同于橢圓頂點的三點，點與點關(guān)于原點對稱，設(shè)直線的斜率分別為，且，求的值.4. 在平面直角坐標系內(nèi)，動點與兩定點，連線的斜率之積為 (1)求動點的軌跡的方程； (2)設(shè)點是軌跡上相異的兩點 (I)過點A，B分別作拋物線的切線、，與兩條切線相交于點 ，證明：； ()若直線OA與直線OB的斜率之積為，證明：為定值，并求出這個定值5. 已知 A 、 B 分別是 x 軸和 y 軸上的兩個動點，滿足 AB=2，點 P 在線段 AB 上，且 AP=tPB（t 是不為 0 的常數(shù)），設(shè)點 P 的軌跡方程為 C（1）求點 P 的軌跡方程 C；（2）若曲線 C 為焦點在 x 軸上的橢圓，試求實數(shù) t 的取值范圍；（3）若 t=2，點 M，N 是曲線 C 上關(guān)于原點對稱的兩個動點，點 Q 的坐標為 32,3，求 QMN 的面積 S 的最大值6. 已知橢圓 C1 的焦點在 x 軸上，中心在坐標原點；拋物線 C2 的焦點在 y 軸上，頂點在坐標原點在 C1，C2 上各取兩個點，將其坐標記錄于表格中：x3-242y920822（1）求 C1，C2 的標準方程；（2）已知定點 C0,18，P 為拋物線 C2 上一動點，過點 P 作拋物線 C2 的切線交橢圓 C1 于 A，B 兩點，求 ABC 面積的最大值7. 已知拋物線 y2=4x 的焦點為 F，過點 F 的直線交拋物線于 A，B 兩點（1）若 AF=2FB，求直線 AB 的斜率；（2）設(shè)點 M 在線段 AB 上運動，原點 O 關(guān)于點 M 的對稱點為 C，求四邊形 OACB 面積的最小值8. 設(shè)橢圓 C1：x2a2+y2b2=1 ab0 的左、右焦點分別是 F1 、 F2，下頂點為 A，線段 OA 的中點為 B（O 為坐標原點），如圖若拋物線 C2：y=x2-1 與 y 軸的交點為 B，且經(jīng)過 F1，F(xiàn)2 點（1）求橢圓 C1 的方程；（2）設(shè) M0,-45，N 為拋物線 C2 上的一動點，過點 N 作拋物線 C2 的切線交橢圓 C1 于 P 、 Q 兩點，求 MPQ 面積的最大值二 定點定值問題9. 動點在圓：上運動，定點，線段的垂直平分線與直線的交點為（）求的軌跡的方程；（）過點的直線，分別交軌跡于，兩點和，兩點，且證明：過和中點的直線過定點10. 在直角坐標系中，拋物線的頂點是雙曲線：的中心，拋物線的焦點與雙曲線的焦點相同（）求拋物線的方程；（）若點為拋物線上的定點，為拋物線上兩個動點且，問直線是否經(jīng)過定點？若是，求出該定點，若不是，說明理由11. 如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，橢圓 C:x2a2+y2b2=1ab0 的離心率為 63，直線 l 與 x 軸交于點 E，與橢圓 C 交于 A,B 兩點當直線 l 垂直于 x 軸且點 E 為橢圓 C 的右焦點時，弦 AB 的長為 263（1）求橢圓 C 的方程；（2）若點 E 的坐標為 32,0，點 A 在第一象限且橫坐標為 3，連接點 A 與原點 O 的直線交橢圓 C 于另一點 P，求 PAB 的面積；（3）是否存在點 E，使得 1EA2+1EB2 為定值?若存在，請指出點 E 的坐標，并求出該定值；若不存在，請說明理由12. 已知橢圓的左焦點為F，不垂直于x軸且不過F點的直線l與橢圓C相交于A，B兩點（1）如果直線FA，F(xiàn)B的斜率之和為0，則動直線l是否一定經(jīng)過一定點？若過一定點，則求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由（2）如果FAFB，原點到直線l的距離為d，求d的取值范圍13. 如圖，已知直線關(guān)于直線對稱的直線為，直線與橢圓分別交于點、和、，記直線的斜率為.（）求的值；（）當變化時，試問直線是否恒過定點?若恒過定點，求出該定點坐標；若不恒過定點，請說明理由.14. 如圖，橢圓 E:x2a2+y2b2=1（ab0）的離心率是 22，過點 P0,1 的動直線 l 與橢圓相交于 A，B 兩點當直線 l 平行于 x 軸時，直線 l 被橢圓 E 截得的線段長為 22（1）求橢圓 E 的方程；（2）在平面直角坐標系 xOy 中，是否存在與點 P 不同的定點 Q，使得 QAQB=PAPB 恒成立? 若存在，求出點 Q 的坐標；若不存在，請說明理由15. 已知動圓過定點 p2,0，且與直線 x=-p2 相切，其中 p0（1）求動圓圓心 C 的軌跡的方程；（2）設(shè) A 、 B 是軌跡 C 上異于原點 O 的兩個不同點，直線 OA 和 OB 的傾斜角分別為 和 ，當 ， 變化且 + 為定值 00 的準線與 x 軸交于點 K，過點 K 做圓 C:x-52+y2=9 的兩條切線，切點為 M，N，|MN|=33（1）求拋物線 E 的方程；（2）設(shè) A，B 是拋物線 E 上分別位于 x 軸兩側(cè)的兩個動點，且 OAOB=94 （ 其中 O 為坐標原點）求證：直線 AB 必過定點，并求出該定點 Q 的坐標；過點 Q 作 AB 的垂線與拋物線交于 G，D 兩點，求四邊形 AGBD 面積的最小值17.18. 如圖，在平面直角坐標系xOy中，設(shè)點M(x0，y0)是橢圓C：上一點，從原點O向圓M:作兩條切線分別與橢圓C交于點P、Q，直線OP、OQ的斜率分別記為k1，k2(1)求證：k1k2為定值;(2)求四邊形OPMQ面積的最大值.19. 如圖，在平面直角坐標系中，已知是橢圓上的一點，從原點向圓作兩條切線，分別交橢圓于，.（1）若點在第一象限，且直線，互相垂直，求圓的方程；（2）若直線，的斜率存在，并記為，求的值；（3）試問是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由.三 中點弦問題20. 橢圓的長軸長為，為橢圓上異于頂點的一個動點，為坐標原點，為橢圓的右頂點，點為線段的中點，且直線與直線的斜率之積為. （1）求橢圓的方程； （2）過橢圓的左焦點且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，點的橫坐標的取值范圍是，求線段的長的取值范圍.21. 在平面直角坐標系中，過橢圓右焦點的直線交橢圓于兩點，為的中點，且直線的斜率為（）求橢圓的方程；（）設(shè)另一直線與橢圓交于兩點，原點到直線的距離為，求面積的最大值22. 如圖，橢圓左右頂點為A、B，左右焦點為，直線交橢圓E于點C、D兩點，與線段橢圓短軸分別交于M、N兩點（M、N不重合），且.（1）求橢圓的方程； （2）設(shè)直線的斜率分別為，求的取值范圍.23. 如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓：的離心率，左頂點為，過點作斜率為的直線交橢圓于點，交軸于點.（）求橢圓的方程;（）已知為的中點，是否存在定點，對于任意的都有，若存在，求出點的坐標；若不存在說明理由;（）若過點作直線的平行線交橢圓于點，求的最小值.24. 已知橢圓 M:x2a2+y2b2=1ab0 過點 A0,-1，且離心率 e=32（1）求橢圓 M 的方程；（2）若橢圓 M 上存在點 B,C 關(guān)于直線 y=kx-1 對稱，求 k 的所有取值構(gòu)成的集合 S，并證明對于 kS，BC 的中點恒在一條定直線上25. 如圖，在直角坐標系 xOy 中，點 P1,12 到拋物線 C:y2=2pxp0 的準線的距離為 54點 Mt,1 是 C 上的定點，A，B 是 C 上的兩動點，且線段 AB 被直線 OM 平分（1）求 p，t 的值；（2）求 ABP 面積的最大值26. 已知拋物線 C:y2=4x，過其焦點 F 作兩條相互垂直且不平行于 x 軸的直線，分別交拋物線 C 于點 P1，P2 和點 P3，P4，線段 P1P2，P3P4 的中點分別記為 M1，M2（1）求 FM1M2 面積的最小值；（2）求線段 M1M2 的中點 P 滿足的方程27. 平面直角坐標系中，橢圓：（）的離心率是，拋物線：的焦點是的一個頂點（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是上動點，且位于第一象限，在點處的切線與交于不同的兩點，線段的中點為，直線與過且垂直于軸的直線交于點（i）求證：點在定直線上；（ii）直線與軸交于點，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時點的坐標四 定比分點28. 已知點，點是橢圓：上任意一點，線段的垂直平分線交于點，點的軌跡記為曲線.（）求曲線的方程；（）過的直線交曲線于不同的，兩點,交軸于點，已知，求的值.29. 在直角坐標系xOy上取兩個定點 再取兩個動點，且（）求直線與交點M的軌跡C的方程；（）過的直線與軌跡C交于P,Q，過P作軸且與軌跡C交于另一點N，F(xiàn)為軌跡C的右焦點，若，求證：.30. 如圖，在平面直角坐標系中，橢圓C：的左、右焦點分別為，為橢圓上一點（在軸上方），連結(jié)并延長交橢圓于另一點，設(shè)（1）若點的坐標為，且的周長為，求橢圓的方程；（2）若垂直于軸，且橢圓的離心率，求實數(shù)的取值范圍五 結(jié)論31. 已知橢圓 20.已知橢圓經(jīng)過點且離心率等于，點分別為橢圓的左右頂點，點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）是橢圓上非頂點的兩點，滿足，求證：三角形的面積是定值.32. 過點 1,32，離心率為 32過橢圓右頂點 A 的兩條斜率乘積為 -14 的直線分別交橢圓 C 于 M，N 兩點（1）求橢圓 C 的標準方程；（2）直線 MN 是否過定點 D?若過定點 D，求出點 D 的坐標，若不過點 D，請說明理由33. 已知橢圓的兩個焦點為，是橢圓上一點，若， （1）求橢圓的方程；（2）點是橢圓上任意一點，分別是橢圓的左、右頂點，直線與直線分別交于兩點，試證：以為直徑的圓交軸于定點，并求該定點的坐標.34. 已知拋物線的焦點為，直線與軸的交點為P，與拋物線的交點為Q,且 （1）求拋物線的方程； （2）如圖所示，過F的直線與拋物線相交于A,D兩點，與圓相交于B,C兩點（A，B兩點相鄰），過A,D兩點分別作我校的切線，兩條切線相交于點M,求與的面積之積的最小值.35. 已知橢圓 x2a2+y2b2=1ab0，其右準線 l 與 x 軸交于點 A，橢圓的上頂點為 B，過它的右焦點 F 且垂直于長軸的直線交橢圓于點 P，直線 AB 恰經(jīng)過線段 FP 的中點 D（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)橢圓的左、右頂點分別是 A1 、 A2，且 BA1BA2=-3，求橢圓的方程；（3）在（2）的條件下，設(shè) Q 是橢圓右準線 l 上異于 A 的任意一點，直線 QA1，QA2 與橢圓的另一個交點分別為 M 、 N，求證：直線 MN 與 x 軸交于定點36. 已知點，直線與直線相交于點，直線與直線的斜率分別記為與，且（）求點的軌跡的方程；（）過定點作直線與曲線交于兩點，的面積是否存在最大值？若存在，求出面積的最大值；若不存在，請說明理由37. 已知一個動圓與兩個定圓和均相切,其圓心的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)過點F（)做兩條可相垂直的直線，設(shè)與曲線C交于A,B兩點, 與曲線 C交于C,D兩點，線段AC，BD分別與直線交于M，M,N兩點。求證|MF|:|NF|為定值.六 運算轉(zhuǎn)化38. 設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，上頂