滬科版九年級二次函數(shù)教案.doc

_二次函數(shù)1.定義：一般地，如果是常數(shù)，那么叫做的二次函數(shù).2.二次函數(shù)的性質(zhì)（1）拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是軸.（2）函數(shù)的圖像與的符號關(guān)系. 當(dāng)時(shí)拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng)時(shí)拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).（3）頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.3.二次函數(shù) 的圖像是對稱軸平行于（包括重合）軸的拋物線.4.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：；頂點(diǎn)式；;兩根式6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn).的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)時(shí)，開口向上；當(dāng)時(shí)，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同, a 的絕對值越大，拋物線的開口越小. 平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.7.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.8.求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法 （1）公式法：，頂點(diǎn)是，對稱軸是直線.（2）運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn). 例：拋物線yx22x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是9.拋物線中，的作用 （1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣. （2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，故：時(shí)，對稱軸為軸；（即、同號）時(shí)，對稱軸在軸左側(cè)；（即、異號）時(shí)，對稱軸在軸右側(cè). （3）的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置. 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）： ，拋物線經(jīng)過原點(diǎn); ,與軸交于正半軸；,與軸交于負(fù)半軸. 以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則 .例：已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是ab0，c0ab0，c0ab0，c0ab0，c0 10.二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟：方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律:在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”11.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)開口向上當(dāng)時(shí)開口向下（軸）（0,0）（軸）(0, )(,0)(,)()12.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 （1）一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對、的值，通常選擇一般式. （2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式. （3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：.13.直線與拋物線的交點(diǎn) （1）軸與拋物線得交點(diǎn)為(0, ). （2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,). （3）拋物線與軸的交點(diǎn) 二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交； 有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）拋物線與軸相切； 沒有交點(diǎn)拋物線與軸相離. （4）平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn) 同（3）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. （5）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組 的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn); 方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無解時(shí)與沒有交點(diǎn).（6）拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個(gè)根，故：例：拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，則AB的長為 例：已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；一拋物線的解析式為.（1）若該拋物線過點(diǎn)B，且它的頂點(diǎn)P在直線上，試確定這條拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)B作直線BCAB交x軸交于點(diǎn)C，若拋物線的對稱軸恰好過C點(diǎn)，試確定直線的解析式.14.一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系。（1）一元二次方程（0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，判別式對應(yīng)的二次函數(shù)（0）的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)為，對應(yīng)的二次函數(shù)（0）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，；（2）一元二次方程（0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根=判別式對應(yīng)的二次函數(shù)（0）的圖象與軸有唯一的交點(diǎn)為（，0）對應(yīng)的二次函數(shù)（0）有兩個(gè)相同零點(diǎn)=；（3）一元二次方程（0）沒有實(shí)數(shù)根判別式對應(yīng)的二次函數(shù)（0）的圖象與軸沒有交點(diǎn)對應(yīng)的二次函數(shù)（0）沒有零點(diǎn)15.二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題。設(shè)，則二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大、最小值有如下的分布情況：即圖象最大、最小值對于開口向下的情況，討論類似其實(shí)無論開口向上還是向下，都只有以下兩種結(jié)論：（1）若，則，；（2）若，則，另外，當(dāng)二次函數(shù)開口向上時(shí)，自變量的取值離開對稱軸越遠(yuǎn)，則對應(yīng)的函數(shù)值越大；反過來，當(dāng)二次函數(shù)開口向下時(shí)，自變量的取值離開對稱軸軸越遠(yuǎn)，則對應(yīng)的函數(shù)值越小16.二次函數(shù)圖象的對稱二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá) 1. 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 2. 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 3. 關(guān)于原點(diǎn)對稱 關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是； 4. 關(guān)于頂點(diǎn)對稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180） 關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得到的解析式是；關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得到的解析式是 5. 關(guān)于點(diǎn)對稱:關(guān)于點(diǎn)對稱后，得到的解析式是 根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式17.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，的符號，或由二次函數(shù)中，的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根拋物線與軸無交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無實(shí)數(shù)根. 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見題型1 考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：已知以為自變量的二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)， 則的值是 2 綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個(gè)函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如：如圖，如果函數(shù)的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)的圖像大致是（ ） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3 考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：已知一條拋物線經(jīng)過(0,3)，(4,6)兩點(diǎn)，對稱軸為，求這條拋物線的解析式。4 考查用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如：已知拋物線（a0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1、3，與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo). 5考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項(xiàng)壓軸題?！纠}經(jīng)典】由拋物線的位置確定系數(shù)的符號例1 （1）二次函數(shù)的圖像如圖1，則點(diǎn)在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 （2）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象如圖2所示，則下列結(jié)論：a、b同號；當(dāng)x=1和x=3時(shí)，函數(shù)值相等；4a+b=0；當(dāng)y=-2時(shí)，x的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè) (1) (2)【點(diǎn)評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a，b，c之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵例2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(-2，O)、(x1，0)，且1x12，與y軸的正半軸的交點(diǎn)在點(diǎn)(O，2)的下方下列結(jié)論：abO；4a+cO，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( ) A 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D4個(gè)答案：D會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例3.已知：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個(gè)根為x=-2，且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2)答案：C例4、（2006年煙臺(tái)市）如圖（單位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直線L向正方形移動(dòng)，直到AB與CD重合設(shè)x秒時(shí)，三角形與正方形重疊部分的面積為ym2（1）寫出y與x的關(guān)系式；（2）當(dāng)x=2，3.5時(shí)，y分別是多少？（3）當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時(shí)，三角形移動(dòng)了多長時(shí)間？求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸.例5、已知拋物線y=x2+x-（1）用配方法求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸（2）若該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，求線段AB的長【點(diǎn)評】本題（1）是對二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第（2）問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系例6.已知：二次函數(shù)y=ax2-(b+1)x-3a的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(4，10)，交x軸于，兩點(diǎn)，交y軸負(fù)半軸于C點(diǎn)，且滿足3AO=OB(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)M，使銳角MCOACO?若存在，請你求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請你說明理由(1)解：如圖拋物線交x軸于點(diǎn)A(x1，0)，B(x2，O)，則x1x2=30，又x1O，x1O，30A=OB，x2=-3x1 x1x2=-3x12=-3x12=1. x10，x1=-1x2=3 點(diǎn)A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3 二次函數(shù)的解析式為y-2x2-4x-6(2)存在點(diǎn)M使MC0ACO(2)解：點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A(1，O)，直線A，C解析式為y=6x-6直線AC與拋物線交點(diǎn)為(0，-6)，(5，24)符合題意的x的范圍為-1x0或Ox5當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)滿足-1xO或OxACO例7、 “已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（c，2）， 求證：這個(gè)二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=3?！鳖}目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認(rèn)的文字。（1）根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請寫出求解過程，并畫出二次函數(shù)圖象；若不能，請說明理由。（2）請你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整。點(diǎn)評： 對于第（1）小題，要根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就要把原來的結(jié)論“函數(shù)圖象的對稱軸是x=3”當(dāng)作已知來用，再結(jié)合條件“圖象經(jīng)過點(diǎn)A（c，2）”，就可以列出兩個(gè)方程了，而解析式中只有兩個(gè)未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對于第（2）小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第（1）小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個(gè)任意點(diǎn)的坐標(biāo)，可以給出頂點(diǎn)的坐標(biāo)或與坐標(biāo)軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)等。解答 （1）根據(jù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（c，2），圖象的對稱軸是x=3，得 解得所以所求二次函數(shù)解析式為圖象如圖所示。（2）在解析式中令y=0，得，解得所以可以填“拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（3+”或“拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是令x=3代入解析式，得所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為所以也可以填拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為等等。函數(shù)主要關(guān)注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實(shí)背景理解函數(shù)；將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型；滲透函數(shù)的思想；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識的聯(lián)系。用二次函數(shù)解決最值問題例1已知邊長為4的正方形截去一個(gè)角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2，BF=1試在AB上求一點(diǎn)P，使矩形PNDM有最大面積【評析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識有機(jī)的結(jié)合在一起，能很好考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力同時(shí)，也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間例2 某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表：x（元）152030y（件）252010 若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù) （1）求出日銷售量y（件）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式； （2）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷售利潤是多少元？ 【解析】（1）設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b則 解得k=-1，b=40，即一次函數(shù)表達(dá)式為y=-x+40 （2）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為x元，所獲銷售利潤為w元 w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225 產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為25元，此時(shí)每日獲得最大銷售利潤為225元 【點(diǎn)評】解決最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點(diǎn)：（1）設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時(shí)，什么最大（或最小、最?。钡脑O(shè)問中，“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；（2）問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程例3.你知道嗎?平時(shí)我們在跳大繩時(shí)，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4 m，距地面均為1m，學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、25 m處繩子在甩到最高處時(shí)剛好通過他們的頭頂已知學(xué)生丙的身高是15 m，則學(xué)生丁的身高為(建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示)( )A15 m B1625 mC166 m D167 m分析：本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用答案：B7.已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；一拋物線的解析式為.（1）若該拋物線過點(diǎn)B，且它的頂點(diǎn)P在直線上，試確定這條拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)B作直線BCAB交x軸交于點(diǎn)C，若拋物線的對稱軸恰好過C點(diǎn)，試確定直線的解析式.解：（1）或 將代入，得.頂點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意得，解得.（2）8.有一個(gè)運(yùn)算裝置，當(dāng)輸入值為x時(shí)，其輸出值為，且是x的二次函數(shù)，已知輸入值為,0,時(shí), 相應(yīng)的輸出值分別為5,（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）在所給的坐標(biāo)系中畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象寫出當(dāng)輸出值為正數(shù)時(shí)輸入值的取值范圍. 解：（1）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為,yOx則,即 ,解得故所求的解析式為:.（2)函數(shù)圖象如圖所示.由圖象可得，當(dāng)輸出值為正數(shù)時(shí)，第9題輸入值的取值范圍是或9.某生物興趣小組在四天的實(shí)驗(yàn)研究中發(fā)現(xiàn)：駱駝的體溫會(huì)隨外部環(huán)境溫度的變化而變化，而且在這四天中每晝夜的體溫變化情況相同他們將一頭駱駝前兩晝夜的體溫變化情況繪制成下圖請根據(jù)圖象回答：第一天中，在什么時(shí)間范圍內(nèi)這頭駱駝的體溫是上升的?它的體溫從最低上升到最高需要多少時(shí)間? 第三天12時(shí)這頭駱駝的體溫是多少?興趣小組又在研究中發(fā)現(xiàn)，圖中10時(shí)到 22時(shí)的曲線是拋物線，求該拋物線的解 析式解：第一天中，從4時(shí)到16時(shí)這頭駱駝的體溫是上升的 它的體溫從最低上升到最高需要12小時(shí)第三天12時(shí)這頭駱駝的體溫是39 10.已知拋物線與x軸交于A、 B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C是否存在實(shí)數(shù)a，使得ABC為直角三角形若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由解：依題意，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4） 設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（，0），（，0）， 由，解得， 點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-3，0），（，0） ， ，當(dāng)時(shí)，ACB90 由， 得 解得 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0）， 于是 當(dāng)時(shí)，ABC為直角三角形當(dāng)時(shí)，ABC90由，得解得當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B（-3，0）與點(diǎn)A重合，不合題意當(dāng)時(shí)，BAC90由，得解得不合題意綜合、，當(dāng)時(shí)，ABC為直角三角形11.已知拋物線yx2mxm2. （1）若拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，并且AB，試求m的值；（2）設(shè)C為拋物線與y軸的交點(diǎn)，若拋物線上存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)M、N，并且 MNC的面積等于27，試求m的值.解: (1)（x1，0）,B(x2，0) . 則x1 ，x2是方程 x2mxm20的兩根.x1 x2 m , x1x2 =m2 0 即m2 ;又ABx1 x2 , m24m3=0 . NMCxyO解得：m=1或m=3(舍去) , m的值為1 . （2）M(a，b)，則N(a，b) . M、N是拋物線上的兩點(diǎn), 得：2a22m40 . a2m2 .當(dāng)m2時(shí)，才存在滿足條件中的兩點(diǎn)M、N. .這時(shí)M、N到y(tǒng)軸的距離均為, 又點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2m）,而SM N C = 27 ,2（2m）=27 .解得m=7 . 12.已知：拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（1，0）（1）求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）D是拋物線與y軸的交點(diǎn)，C是拋物線上的一點(diǎn)，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線的解析式；（3）E是第二象限內(nèi)到x軸、y軸的距離的比為52的點(diǎn)，如果點(diǎn)E在（2）中的拋物線上，且它與點(diǎn)A在此拋物線對稱軸的同側(cè)，問：在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使APE的周長最小?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解法一：（1）依題意，拋物線的對稱軸為x2 拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（1，0）， 由拋物線的對稱性，可得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）（2） 拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（1， 0）， t3a D（0，3a） 梯形ABCD中，ABCD，且點(diǎn)C在拋物線 上， C（4，3a） AB2，CD4 梯形ABCD的面積為9， a1 所求拋物線的解析式為或（3）設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（，）.依題意， 且 設(shè)點(diǎn)E在拋物線上，解方程組 得 點(diǎn)E與點(diǎn)A在對稱軸x2的同側(cè)， 點(diǎn)E坐標(biāo)為（，）設(shè)在拋物線的對稱軸x2上存在一點(diǎn)P，使APE的周長最小 AE長為定值， 要使APE的周長最小，只須PAPE最小 點(diǎn)A關(guān)于對稱軸x2的對稱點(diǎn)是B（3，0）， 由幾何知識可知，P是直線BE與對稱軸x2的交點(diǎn)設(shè)過點(diǎn)E、B的直線的解析式為， 解得 直線BE的解析式為 把x2代入上式，得 點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，）設(shè)點(diǎn)E在拋物線上， 解方程組 消去，得 0 . 此方程無實(shí)數(shù)根綜上，在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)P（2，），使APE的周長最小解法二：（1） 拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（1，0）， t3a 令 y0，即解得 ， 拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）（2）由，得D（0，3a） 梯形ABCD中，ABCD，且點(diǎn)C在拋物線上， C（4，3a） AB2，CD4 梯形ABCD的面積為9， 解得OD3 a1 所求拋物線的解析式為或（3）同解法一得，P是直線BE與對稱軸x2的交點(diǎn) 如圖，過點(diǎn)E作EQx軸于點(diǎn)Q設(shè)對稱軸與x軸的交點(diǎn)為F由PFEQ，可得 點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，）以下同解法一13.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示（1）求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)（2）若點(diǎn)N為線段BM上的一點(diǎn)，過點(diǎn)N作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)Q當(dāng)點(diǎn)N在線段BM上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)N不與點(diǎn)B，點(diǎn)M重合），設(shè)NQ的長為l，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍； （3）在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使PAC為直角三角形?若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（4）將OAC補(bǔ)成矩形，使OAC的兩個(gè)頂點(diǎn)成為矩形一邊的兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊的對邊上，試直接寫出矩形的未知的頂點(diǎn)坐標(biāo)（不需要計(jì)算過程）解：（1）設(shè)拋物線的解析式， 其頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是 （2）設(shè)線段BM所在的直線的解析式為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（t，h）， 解得， 線段BM所在的直線的解析式為 ，其中 s與t間的函數(shù)關(guān)系式是，自變量t的取值范圍是（3）存在符合條件的點(diǎn)P，且坐標(biāo)是，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P，則，分以下幾種情況討論：i）若PAC90，則 解得：，（舍去） 點(diǎn)ii）若PCA90，則 解得：（舍去） 點(diǎn)iii）由圖象觀察得，當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸右側(cè)時(shí)，所以邊AC的對角APC不可能是直角（4）以點(diǎn)O，點(diǎn)A（或點(diǎn)O，點(diǎn)C）為矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這邊OA（或邊OC）的對邊上，如圖a，此時(shí)未知頂點(diǎn)坐標(biāo)是點(diǎn)D（1，2）， 以點(diǎn)A，點(diǎn)C為矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊AC的對邊上，如圖b，此時(shí)未知頂點(diǎn)坐標(biāo)是E，F(xiàn) 圖a 圖b14.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并判斷該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)解：根據(jù)題意，得a21. a1 這個(gè)二次函數(shù)解析式是因?yàn)檫@個(gè)二次函數(shù)圖象的開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2），所以該函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)15.盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分在大橋截面111000的比例圖上，跨度AB5 cm，拱高OC0.9 cm，線段DE表示大橋拱內(nèi)橋長，DEAB，如圖（1）在比例圖上，以直線AB為x軸，拋物線的對稱軸為y軸，以1 cm作為數(shù)軸的單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖（2） （1）求出圖（2）上以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式，寫出函數(shù)定義域； （2）如果DE與AB的距離OM0.45 cm，求盧浦大橋拱內(nèi)實(shí)際橋長（備用數(shù)據(jù)：，計(jì)算結(jié)果精確到1米）解：（1）由于頂點(diǎn)C在y軸上，所以設(shè)以這部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式為 因?yàn)辄c(diǎn)A（，0）（或B（，0）在拋物線上， 所以，得因此所求函數(shù)解析式為 （2）因?yàn)辄c(diǎn)D、E的縱坐標(biāo)為， 所以，得 所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）所以因此盧浦大橋拱內(nèi)實(shí)際橋長為 （米）16.已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B是x軸正半軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，如圖二次函數(shù)（a0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C（1）a、c的符號之間有何關(guān)系?（2）如果線段OC的長度是線段OA、OB長度的比例中項(xiàng)，試證a、c互為倒數(shù)；（3）在（2）的條件下，如果b4，求a、c的值解:（1）a、c同號 或當(dāng)a0時(shí)，c0；當(dāng)a0時(shí)，c0（2）證明：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0），則 ， 據(jù)題意，、是方程的兩個(gè)根 由題意，得，即 所以當(dāng)線段OC長是線段OA、OB長的比例中項(xiàng)時(shí)，a、c互為倒數(shù)（3）當(dāng)時(shí)，由（2）知， a0解法一：ABOBOA， ， 得 c2. 解法二：由求根公式， ， ， ，得 c2例1、求在區(qū)間上的最大值和最小值。分析解決這類問題的關(guān)鍵是判別函數(shù)的定義域各區(qū)間上的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性解決問題。解、，對稱軸為.（1）當(dāng)時(shí)，由圖（1）可知， （1） （2）（2）當(dāng)時(shí)，由圖（2）可知，（3）當(dāng)時(shí)，由圖（3）可知， （3） （4）（4）當(dāng)時(shí)，由圖（4）可知，評注（1）利用單調(diào)性求最值或值域應(yīng)先判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性。（2）求解二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值，應(yīng)判斷它的開口方向、對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，若含有字母應(yīng)注意分類討論，解題時(shí)最好結(jié)合圖象解答。例2、已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1，求實(shí)數(shù)的值。分析：這是一個(gè)逆向最值問題，若從求最值入手，首先應(yīng)搞清二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，如果的最大值與二次函數(shù)系數(shù)的正負(fù)有關(guān)，也與對稱軸的位置有關(guān)，但f(x)的最大值只可能在端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得，解答時(shí)必須用討論法。解、時(shí)，在上不能取得1，故.的對稱軸方程為（1）令，解得，此時(shí)，因?yàn)?，最大，所以不合適。（2）令，解得，此時(shí)，因?yàn)?，且距右端點(diǎn)2較遠(yuǎn)，所以最大，合適。（3）令，得，驗(yàn)證后知只有才合適。綜上所述，或評注這里函數(shù)的最大值一是與的符號有關(guān)。另外也與對稱軸和區(qū)間的端的遠(yuǎn)近有關(guān)，不分情況討論就無法確定題型二、一元二次方程的實(shí)根分布問題例3、（1）關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，求的取值范圍；（2）關(guān)于的方程有兩實(shí)根都在內(nèi)，求的取值范圍；關(guān)于x的方程有兩實(shí)根在外，求m的取值范圍（4）關(guān)于的方程有兩實(shí)根，且一個(gè)大于4，一個(gè)小于4，求的取值范圍.解（1）令，對應(yīng)拋物線開口向上，方程有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)大于1，一個(gè)小于1等價(jià)于（思考：需要嗎？），即（2）令，原命題等價(jià)于（3）令，原命題等價(jià)于即得（4）令，依題得或得評注求解二次方程根的分布問題，結(jié)合二次函數(shù)圖象，主要考慮三個(gè)方面的問題（1）判別式（2）對稱軸（3）區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值題型三、二次函數(shù)的綜合問題例4、已知二次函數(shù)（1）若abc，且f（1）=0，證明f（x）的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；（2）在（1）的條件下，是否存在mR，使得f（m）= a成立時(shí)，f（m+3）為正數(shù)，若存在，證明你的結(jié)論，若不存在，說明理由；（3）若對，方程有2個(gè)不等實(shí)根，解:（1） 的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).（2），