任意角的三角函數(shù)課件

任意角的三角函數(shù) sin br s i nbr cos arc o sar ta ba t a n ba 思考 2： 對(duì)于確定的角 ，上述三個(gè)比值是否隨點(diǎn) P在角 的終邊上的位置的改變而改變呢？為什么？ x y o P(a， b) r A B OPMPs inOPOMc o sOMMPt a n，故因 1 rOPyxxy以原點(diǎn) O為 圓心，以單位 長(zhǎng)度為半徑的圓，稱為單位圓 . y o P ),( yxx 1 M 思 考 1、任意角的三角函數(shù)第一定義 設(shè) 是一個(gè) 任意角 ，它的終邊與單位圓交于點(diǎn) ),( yxP規(guī)定 :（ 1） 叫做 的 正弦 ，記作 ，即 ； y sin ysin（ 2） 叫做 的 余弦 ，記作 ，即 ； cosx xcos（ 3） 叫做 的 正切 ，記作 ，即 。 xy tanxyta n注意：正弦，余弦，正切都是以 角為自變量 ，以 單位圓 上點(diǎn)的 坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值 為函數(shù)值的函數(shù)，我們將他們稱為 三角函數(shù) . 0,1AOyx yxP , )0( x重點(diǎn)理解 三角函數(shù) 定義域 y=sinx y=cosx y=tanx 由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，三角函數(shù)可以看成以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)。在弧度制下，三角函數(shù)的定義域如下： |2x x k 三角函數(shù)的定義域 R R 設(shè)角 是一個(gè)任意角， 是終邊上的任意一點(diǎn)， 點(diǎn) 與原點(diǎn)的距離 ),( yxP022 yxrP那么 叫做 的正弦，即 ry rysin 叫做 的余弦，即 rx rxcos 叫做 的正 切 ，即 xy 0ta n xxy2、任意角的三角函數(shù)第二定義： xyrO x y M P (x,y) 誘思 探究 如果改變點(diǎn)在終邊上的位置，這三個(gè)比值會(huì)改變嗎？ 思考四 重點(diǎn)理解 知識(shí)探究（二）：三角函數(shù)符號(hào)與公式 思考 1： 當(dāng)角 在某個(gè)象限時(shí)，設(shè)其終邊與單位圓交于點(diǎn) P（ x， y），根據(jù)三角函數(shù)定義， sin ， cos ， tan 的函數(shù)值符號(hào)是否確定？為什么？ s i n y c o s x t a n ( 0 )yxx 的終邊 P(x， y) O x y 思考 2： 設(shè) 是一個(gè)任意的象限角，那么當(dāng) 在第一、二、三、四象限時(shí)， sin的取值符號(hào)分別如何？ cos ， tan 的取值符號(hào)分別如何？ s i n y c o s x t a n ( 0 )yxx sincos思考 3： 綜上分析，各三角函數(shù)在各個(gè)象限的取值符號(hào)如下表： 三角函數(shù) 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 s in cosc o s t a n + + + + + + 你有什么辦法記住這些信息？ 思考 4： 如果角 與 的終邊相同，那么sin 與 sin 有什么關(guān)系？ cos 與 cos 有什么關(guān)系？ tan 與 tan 有什么關(guān)系？ 思考 5： 上述結(jié)論表明， 終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等， 如何將這個(gè)性質(zhì)用一組數(shù)學(xué)公式表達(dá)？ 公式一： s i n ( 2 ) s i nk c o s ( 2 ) c o sk kZt a n ( 2 ) t a nk kZ: ( 3 , 4 ) ,s i n , c o s , t a n .P 例 1 已 知 角 的 終 邊 上 有 一 點(diǎn)求 的 值22: ( 3 ) 4 5O P r 解4s i n5yr 所以,3c o s5xr 4t a n3yx .322正弦、余弦、正切值的），求角，（的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)已知角例 P解： ,3,2 yx因?yàn)?13)3(2 22 r所以rys i n所以,13133133 rxc o s,13132132 xyt a n .23 13512 2222 yxr135s in ry1312c o s rx125t a n xy于是 ， 練習(xí) 1 已知角 的終邊過(guò)點(diǎn) ， 求 的三個(gè)三角函數(shù)值 . 5,12P解：由已知可得： .),0)(3,2(2的正弦、余弦、正切值求的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)：已知角練習(xí) aaaP解： ,3,2 ayax 因?yàn)?，所?)0(13)3()2( 22 aaaar,13,0)1( ara 時(shí)當(dāng)，2323t a n13132132c o s13133133s i naaxyaarxaary,13,0)2( ara 時(shí)當(dāng)，2323t a n13132132c o s13133133s i naaxyaarxaary.000號(hào)兩種情況去掉絕對(duì)值符和，所以分號(hào)，由于【評(píng)】：注意絕對(duì)值符aaa例 2. 確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)： 11c o s 2 5 0 s i n ( ) t a n ( 6 7 2 ) t a n43（ 1 ） ； （ 2 ） ； （ 3 ） ； （ 4 ） ；解析：（ 1）負(fù) （ 2）負(fù) （ 3）正 （ 4）負(fù) 數(shù)cosx tanx例 3.求 函 y = + 的 值 域 .c o s x t a n x義 終 邊 軸終 邊 軸解 析 ：定 域 ： c o s x 0 x的 不 在 x上又 t a n x 0 x的 不 在 y上當(dāng) 時(shí)當(dāng) 時(shí)當(dāng) 時(shí)當(dāng) 時(shí)為 x是 第 一 象 限 角 ， x 0 , y 0 ,c o s x = c o s x , t a n x = t a n x , y = 2 ;x是 第 二 象 限 角 ， x 0 ,c o s x = - c o s x , t a n x = - t a n x , y = - 2 ;x是 第 三 象 限 角 ， x 0 , y 0，把 OM看作與 x 軸同向， 規(guī)定此時(shí) OM具有正值 x ； 如果 x 0，把 MP看作與 y 軸同向， 規(guī)定此時(shí) MP具有正值 y ； 如果 y 0，把 MP看作與 y 軸反向， 規(guī)定此時(shí) MP具有負(fù)值 y ； 在這種規(guī)定下，不論哪一種情況，都有 MP = y . 由正弦、余弦、正切函數(shù)的定義有： s i n 1yy y M Pr c o s 1xx x O Mr 我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段 MP、 OM、AT，分別叫做角 的 正弦線 、 余弦線 、正切線 t a n y M P A T ATx O M O A 問(wèn)題提出 1.任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)分別是如何定義的？ 2.在單位圓中，任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)線分別是什么？ MP=sin ， OM=cos ， AT=tan . s i n y c o s x ta n ( 0)y xx P O x y M A T 3.對(duì)于一個(gè)任意角 ， sin ， cos ，tan 是三個(gè)不同的三角函數(shù)，從聯(lián)系的觀點(diǎn)來(lái)看，三者之間應(yīng)存在一定的內(nèi)在聯(lián)系，我們希望找出這種同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系，實(shí)現(xiàn)正弦、余弦、正切函數(shù)的互相轉(zhuǎn)化，為進(jìn)一步解決三角恒等變形問(wèn)題提供理論依據(jù) 小結(jié) 1.三角函數(shù)都是以角為自變量，在弧度制中，三角函數(shù)的自變量與函數(shù)值都是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取值 . 2.三角函數(shù)的定義是三角函數(shù)的理論基礎(chǔ)，三角函數(shù)的定義域、函數(shù)值符號(hào)、公式一等，都是在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來(lái)的 . 4.一個(gè)任意角的三角函數(shù)只與這個(gè)角的終邊位置有關(guān)