直線與方程知識(shí)點(diǎn)與經(jīng)典例題.doc

直線與方程知識(shí)點(diǎn)與經(jīng)典例題一、知識(shí)點(diǎn)（1）直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0180性質(zhì)：直線的傾斜角=90時(shí)，斜率不存在，即直線與y軸平行或者重合. 當(dāng)=0時(shí)，斜率k=0；當(dāng)時(shí)，斜率，隨著的增大，斜率k也增大；當(dāng)時(shí)，斜率，隨著的增大，斜率k也增大.（2）直線的斜率定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，不存在。過兩點(diǎn)的直線的斜率公式： 注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90；(2)k與P1、P2的順序無關(guān)；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。（3）直線方程點(diǎn)斜式：直線斜率k，且過點(diǎn)注意：當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，k=0，直線的方程是y=y1。當(dāng)直線的斜率為90時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b兩點(diǎn)式：（）直線兩點(diǎn)，截矩式：其中直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),即與軸、軸的截距分別為。一般式：（A，B不全為0）注意：各式的適用范圍 特殊的方程如：平行于x軸的直線：（b為常數(shù)）； 平行于y軸的直線：（a為常數(shù)）； （5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線（一）平行直線系平行于已知直線（是不全為0的常數(shù)）的直線系：（C為常數(shù)）（二）垂直直線系垂直于已知直線（是不全為0的常數(shù)）的直線系：（C為常數(shù)）（三）過定點(diǎn)的直線系（）斜率為k的直線系：，直線過定點(diǎn)；（）過兩條直線，的交點(diǎn)的直線系方程為（為參數(shù)），其中直線不在直線系中。（6）兩直線平行與垂直當(dāng)，時(shí)，；注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。（7）兩條直線的交點(diǎn) 相交交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組的一組解。方程組無解 ； 方程組有無數(shù)解與重合（8）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，則 （9）點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)到直線的距離（10）兩平行直線距離公式在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。填空或選擇可以用： 二、經(jīng)典例題【例1】(1)已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直線AB, BC, CA的斜率, 并判斷它們的傾斜角是鈍角還是銳角.(2)已知三點(diǎn)A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在一條直線上，求實(shí)數(shù)a的值【例2】已知兩點(diǎn)A (-2,- 3) , B (3, 0) ,過點(diǎn)P (-1, 2)的直線與線段AB始終有公共點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍. 【例3】（1）已知直線經(jīng)過點(diǎn)M（-3，0），N（-15，-6），經(jīng)過點(diǎn)R（-2，），S（0，），試判斷與是否平行？（2）的傾斜角為45，經(jīng)過點(diǎn)P（-2，-1），Q（3，-6），問與是否垂直？【例4】已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5，求直線的方程【例5】經(jīng)過點(diǎn)并且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線有幾條？請(qǐng)求出這些直線的方程 【例6】寫出過兩點(diǎn)A(5,0)，B(0,-3) 的直線方程的兩點(diǎn)式、點(diǎn)斜式、斜截式、截距式和一般式方程【例7】已知直線l的方程為3x+4y12=0，求與直線l平行且過點(diǎn)（1，3）的直線的方程【例8】 已知為實(shí)數(shù)，兩直線：，：相交于一點(diǎn)，求證：交點(diǎn)不可能在第一象限及軸上.【例9】若直線l：ykx與直線2x3y60的交點(diǎn)位于第一象限，求直線l的斜率的取值范圍.【例10】直線2xy4=0上有一點(diǎn)P，求它與兩定點(diǎn)A(4，1)，B(3，4)的距離之差的最大值.【例11】已知點(diǎn)到直線的距離為，求的值；【例12】求與直線及都平行且到它們的距離都相等的直線方程.經(jīng)典例題【例1】(1)已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直線AB, BC, CA的斜率, 并判斷它們的傾斜角是鈍角還是銳角.(2)已知三點(diǎn)A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在一條直線上，求實(shí)數(shù)a的值解：(1) 直線AB的斜率0, 所以它的傾斜角是銳角; 直線BC的斜率0, 所以它的傾斜角是銳角.(2)， . A、B、C三點(diǎn)在一條直線上， ， 即， 解得或.【例2】已知兩點(diǎn)A (-2,- 3) , B (3, 0) ,過點(diǎn)P (-1, 2)的直線與線段AB始終有公共點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍. 解：如圖所示, 直線PA的斜率是, 直線PB的斜率是.當(dāng)直線由PA變化到y(tǒng)軸平行位置PC, 它的傾斜角由銳角增至90，斜率的變化范圍是5,；當(dāng)直線由PC變化到PB位置，它的傾斜角由90增至，斜率的變化范圍是.所以斜率的變化范圍是.【例3】（1）已知直線經(jīng)過點(diǎn)M（-3，0），N（-15，-6），經(jīng)過點(diǎn)R（-2，），S（0，），試判斷與是否平行？（2）的傾斜角為45，經(jīng)過點(diǎn)P（-2，-1），Q（3，-6），問與是否垂直？解：（1） =，. /（2） ， ， 【例4】已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5，求直線的方程解：由已知得與兩坐標(biāo)軸不垂直直線經(jīng)過點(diǎn)， 可設(shè)直線的方程為，即.則直線在軸上的截距為，在軸上的截距為.根據(jù)題意得，即.當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得；當(dāng)時(shí)，原方程可化為，此方程無實(shí)數(shù)解.故直線的方程為，或.即或.【例5】經(jīng)過點(diǎn)并且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線有幾條？請(qǐng)求出這些直線的方程 解：當(dāng)截距為時(shí)，設(shè)，過點(diǎn)，則得，即；當(dāng)截距不為時(shí)，設(shè)或過點(diǎn)，則得，或，即，或這樣的直線有條：，或 【例6】寫出過兩點(diǎn)A(5,0)，B(0,-3) 的直線方程的兩點(diǎn)式、點(diǎn)斜式、斜截式、截距式和一般式方程解：兩點(diǎn)式方程：；點(diǎn)斜式方程：，即；斜截式方程：，即；截距式方程：；一般式方程：【例7】已知直線l的方程為3x+4y12=0，求與直線l平行且過點(diǎn)（1，3）的直線的方程解：直線l:3x+4y12=0的斜率為， 所求直線與已知直線平行， 所求直線的斜率為，又由于所求直線過點(diǎn)（1，3），所以，所求直線的方程為：，即.【例8】 已知為實(shí)數(shù)，兩直線：，：相交于一點(diǎn)，求證：交點(diǎn)不可能在第一象限及軸上.解：解方程組得交點(diǎn)().若0，則1.當(dāng)1時(shí)，0，此時(shí)交點(diǎn)在第二象限內(nèi).又因?yàn)闉槿我鈱?shí)數(shù)時(shí)，都有10，故0.因?yàn)?（否則兩直線平行，無交點(diǎn)） ，所以，交點(diǎn)不可能在軸上【例9】若直線l：ykx與直線2x3y60的交點(diǎn)位于第一象限，求直線l的斜率的取值范圍.解：如圖，直線2x+3y6=0過點(diǎn)A（3，0），B（0，2），直線l：ykx必過點(diǎn)（0，）.當(dāng)直線l過A點(diǎn)時(shí)，兩直線的交點(diǎn)在x軸；當(dāng)直線l繞C點(diǎn)逆時(shí)針（由位置AC到位置BC）旋轉(zhuǎn)時(shí)，交點(diǎn)在第一象限. 根據(jù)，得到直線l的斜率k. 傾斜角范圍為.【例10】直線2xy4=0上有一點(diǎn)P，求它與兩定點(diǎn)A(4，1)，B