向量空間證明(精選多篇).doc

向量空間證明(精選多篇) 向量空間證明 解題的基本方法： 1)在立體幾何圖形中，選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)和直線方向建立空間直角坐標(biāo)系中 2)若問題中沒有給出坐標(biāo)計算單位，可選擇合適的線段設(shè)置長度單位; 3)計算有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)值，求出相關(guān)向量的坐標(biāo); 4)求解給定問題 證明直線與平面垂直的方法是在平面中選擇二個向量，分別與已知直線向量求數(shù)積，只要分別為零，即可說明結(jié)論。 證明直線與平面平行的關(guān)鍵是在平面中尋找一個與直線向量平行的向量。這樣就轉(zhuǎn)化為證明二個向量平行的問題，只要說明一個向量是另一向量的m(實(shí)數(shù))倍，即可 只要多做些這方面的題，或看些這方面的例題，也會從中悟出經(jīng)驗和方法 2 解： 因為x+y+z=0 x=-y-z y=y+0*z z=0*y+z (x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z y,z為任意實(shí)數(shù) 則：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一組基，維數(shù)為2(不用寫為什么是2) 步驟1 記向量i，使i垂直于ac于c，abc三邊ab,bc,ca為向量a,b,c a+b+c=0 則i(a+b+c) =ia+ib+ic =acos(180-(c-90)+b0+ccos(90-a) =-asinc+csina=0 接著得到正弦定理 其他 步驟2. 在銳角abc中，設(shè)bc=a,ac=b,ab=c。作chab垂足為點(diǎn)h ch=asinb ch=bsina asinb=bsina 得到a/sina=b/sinb 同理，在abc中， b/sinb=c/sinc 步驟3. 證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r： 任意三角形abc,作abc的外接圓o. 作直徑bd交o于d.連接da. 因為直徑所對的圓周角是直角,所以dab=90度 因為同弧所對的圓周角相等,所以d等于c. 所以c/sinc=c/sind=bd=2r 類似可證其余兩個等式.希望對你有所幫助! 2 設(shè)向量ab=a,向量ac=b，向量am=c向量bm=d,延長am到d使am=dm，連接bd,cd,則abcd為平行四邊形 則向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c 平方(1) 向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d 平方(2) (1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方 c平方=1/2(a+b)-d平方 am2=1/2(ab2+ac2)-bm2 3 已知ef是梯形abcd的中位線，且ad/bc，用向量法證明梯形的中位線定理 過a做agdc交ef于p點(diǎn) 由三角形中位線定理有： 向量ep=?向量bg 又adpfgc且agdc向量pf=向量ad=向量gc(平行四邊形性質(zhì)) 向量pf=?(向量ad+向量gc) 向量ep+向量pf=?(向量bg+向量ad+向量gc) 向量ef=?(向量ad+向量bc) efadbc且ef=(ad+bc) 得證 4 先假設(shè)兩條中線ad,be交與p點(diǎn) 連接cp,取ab中點(diǎn)f連接pf pa+pc=2pe=bp pb+pc=2pd=ap pa+pb=2pf 三式相加 2pa+2pb+2pc=bp+ap+2pf 3pa+3pb+2pc=2pf 6pf+2pc=2pf pc=-2pf 所以pc,pf共線，pf就是中線 所以abc的三條中線交于一點(diǎn)p 連接od,oe,of oa+ob=2of oc+ob=2od oc+oc=2oe 三式相加 oa+ob+oc=od+oe+of od=op+pd oe=op+pe of=op+pf oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op+1/2ap+1/2bp+1/2cp 由第一問結(jié)論 2pa+2pb+2pc=bp+ap+cp 2pa+2pb+2pc=0 1/2ap+1/2bp+1/2cp 所以oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op 向量op=1/3(向量oa+向量ob+oc向量) 4.2直線的方向向量、平面的法向量及其應(yīng)用 一、直線的方向向量及其應(yīng)用 1、直線的方向向量 直線的方向向量就是指和這條直線所對應(yīng)向量平行（或共線）的向量，顯然一條直線的方向向量可以有無數(shù)個 2、直線方向向量的應(yīng)用 利用直線的方向向量，可以確定空間中的直線和平面 ?（1）若有直線l,點(diǎn)a是直線l上一點(diǎn)，向量a是l的方向向量，在直線l ?上取ab?a，則對于直線l上任意一點(diǎn)p，一定存在實(shí)數(shù)t，使得ap?tab，這 ?樣，點(diǎn)a和向量a不僅可以確定l的位置，還可具體表示出l上的任意點(diǎn) （2）空間中平面的位置可以由上兩條相交直線確定，若設(shè)這兩條直線 ?交于點(diǎn)o,它們的方向向量分別是a和b，p為平面上任意一點(diǎn)，由平面向量基 ?本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)對（x，y），使得op?xa?yb，這樣，點(diǎn)o與方向 ?向量a、b不僅可以確定平面的位置，還可以具體表示出上的任意點(diǎn) 1若a(1,0,1)，b(1,4,7)在直線l上，則直線l的一個方向向量為() a(1,2,3)b(1,3,2) c(2,1,3)d(3,2,1) 2.從點(diǎn)a(2，1,7)沿向量a(8,9，12)的方向取線段長ab34，則b點(diǎn)的坐標(biāo)為() a(9，7,7)b(18,17，17) c(9,7，7)d(14，19,31) 二、平面的法向量 1、所謂平面的法向量，就是指所在的直線與平面垂直的向量，顯然一個平面的法向量也有無數(shù)個，它們是共線向量 ?2、在空間中，給定一個點(diǎn)a和一個向量a，那么以向量a為法向量且經(jīng)過點(diǎn) a的平面是唯一確定的 三、直線方向向量與平面法向量在確定直線、平面位置關(guān)系中的應(yīng)用 ? 1、若兩直線l1、l2的方向向量分別是u1、u2，則有l(wèi)1/l2?u1/u2，l1l2?u1? u2 ? 2、若兩平面、的法向量分別是v1、v2，則有/?v1/v2，?v1? v2 ?若直線l的方向向量是u，平面的法向量是v，則有l(wèi)/?uv，l ?u/v b分別是直線l1、l2的方向向量，根據(jù)下列條件判斷l(xiāng)1與l2的位置關(guān)系。1.設(shè)a、 ? ? （1）a=（2，3，1），b=（6，9，3）；（2）a=（5，0，2），b=（0，4，0）；（3）a=（2，1，4），b=（6，3，3） ? ? ? ? ? 四、平面法向量的求法 若要求出一個平面的法向量的坐標(biāo)，一般要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下： ? 1、設(shè)出平面的法向量為n?(x,y,z) ? 2、找出（求出）平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標(biāo)a?(a1,b1,c1),b?(a2,b2,c2) ?n?a?0?n?b?03、根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x，y，z的方程組? 4、解方程組，取其中一個解，即得法向量 v分別是平面、的法向量，根據(jù)下列條件判斷、的位置關(guān)系：1.設(shè)u、 ? ? ? （1）u=（1，1，2），v=（3，2， ? ? ? 2）； （2）u=（0，3，0），v=（0，5，0）；（3）u=（2，3，4），v=（4，2，1）。 ? ? 2.已知點(diǎn)a（3，0，0），b（0，4，0），c（0，0，5），求平面abc的一個單位法向量。 ? 3.若直線l的方向向量是a=（1，2，2），平面的法向量是n=（1，3，0）， 試求直線l與平面所成角的余弦值。 4若n(2，3,1)是平面的一個法向量，則下列向量能作為平面的一個法向量的是() a(0，3,1)b(2,0,1) c(2，3,1)d(2,3，1) 5已知平面上的兩個向量a(2,3,1)，b(5,6,4)，則平面的一個法向量為() a(1，1,1)b(2，1,1)c(2,1,1)d(1,1，1) 五、用向量方法證明空間中的平行關(guān)系和垂直關(guān)系（一）用向量方法證明空間中的平行關(guān)系 空間中的平行關(guān)系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行1、線線平行 設(shè)直線l，m的方向向量分別為a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，且a2b2c20，則 lm?_?_.1在正方體abcda1b1c1d1中，p為正方形a1b1c1d1四邊上的動點(diǎn)，o為底面正方形abcd的中心，m，n分別為ab，bc的中點(diǎn)，點(diǎn)q為平面abcd內(nèi) ? 一點(diǎn)，線段d1q與op互相平分，則滿足mqmn的實(shí)數(shù)的值有() a0個c2個 b1個d3個 2、線面平行 設(shè)直線l的方向向量為a(a1，b1，c1)，平面的法向量為u(a2，b2，c2)，則 l?_?1? 1已知直線l的方向向量為(2，m,1)，平面的法向量為?1，2，2?，且l， ? 則m_. (更多好文章請關(guān)注)2已知線段ab的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)為a(9，3,4)，b(9,2,1)，則與線段ab平行的坐標(biāo)平面是() axoybxoz cyozdxoy或yoz 3如圖所示，在空間圖形pabcd中，pc平面abcd，pc2，在四邊形abcd中，cdab，abcbcd90，ab4，cd1，點(diǎn)m在pb上，且pb4pm，pbc30，求證：cm平面pad . 4.如圖，在底面是菱形的四棱錐pabcd中，abc60，pa平面abcd，paaca，點(diǎn)e在pd上，且peed21.在棱pc上是否存在一點(diǎn)f，使bf平面aec？證明你的結(jié)論 5.如圖,在直三棱柱abca1b1c1中，ac3，bc4，aa14，點(diǎn)d是ab的中點(diǎn)，（i）求證：acbc1；（ii）求證：ac1/平面cdb1； 3、面面平行(3)面面平行設(shè)平面，的法向量分別為u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，則? abc?_?_abc(a2b2c20)_. 222 1如圖，在平行六面體abcda1b1c1d1中，m、p、q分別為棱ab、cd、bc的中點(diǎn)，若平行六面體的各棱長均相等，則a1md1p；a1mb1q； a1m面d1d1； a1m面d1pqb1. 以上結(jié)論中正確的是_(填寫正確的序號 ) 2.如圖所示，在正方體abcd?a1b1c1d1中，m、n分別是c1c、b1c1的中點(diǎn)。 求證：（1）mn/平面a1bd；（2）平面a1bd/平面b1d1c。 第二節(jié)用空間向量證明線線垂直與線面垂直 一、空間向量及其數(shù)量積 1、在空間，既有大小又有方向的量稱為空間向量。用ab或a表示，其中向量的大小稱為向量的長度或 或a。正如平面向量可用坐標(biāo)(x,y.)表示，空間向量也可用坐標(biāo)(x,y,z)表示。若已知點(diǎn)a坐標(biāo)為（x1，y1，z1）,點(diǎn)b坐標(biāo)為（x2，y2，z2）則向量ab=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）即是終點(diǎn)坐標(biāo)減起點(diǎn)坐標(biāo)。222在空間，知道向量=（x，y，z x?y?z?2、空間向量數(shù)量積 已知兩個非零向量a、b，在空間任取一點(diǎn)o，作oa=a，ob=b，則角aob叫向量a與b的夾角，記作a，b規(guī)定，若0a，b?，若a，b= 。 已知空間兩個向量a、b cosa，b叫向量a、b的數(shù)量積，記作a?b cos，若?a? 若已知空間向量a（x1，y1，z1），b（x2，y2，z2）則a?bx1x2+y1y2+z1z2， cosa， ?，稱a與b垂直，記作a2? ?x1x2?y1y2?z1z2 x1?y1?z1?x2?y2?z2222222 例如圖，已知直三棱柱abc-a1b1c1中，bca=900,d1、e1分別為a1b1、a1c1中點(diǎn)，若bc=ca=1，求向bd1與ae1所成角的余弦值。 b d11 6 練習(xí)：已知正方體abcda1b1c1d1中，b1e1=d1f1= f c1b1 c db 二、利用向量證線線垂直與線面垂直 a1b1 ，求向量be1與df1所成角的余弦值。4 例2在正方體abcda1b1c1d1中，求證a1c平面ab1d1 練習(xí)：在正方體abcda1b1c1d1中，o為底面abcd的中心，p為dd1的中點(diǎn)，求證：b1o平面pac。 a 例3如圖，pa矩形abcd所在平面，m,n分別是ab,pc中點(diǎn)（1）求證：mncd （2）若pda=45，求證：mn平面pcd 6 nm b c 練習(xí)：正方體abcda1b1c1d1中，m是棱d1d中點(diǎn)，n是ad中點(diǎn)，p為棱a1b1上任一點(diǎn)。求證：npam 作業(yè)： a1 c1 mc1.如圖，正方體abcda1b1c1d1中，e是bb1中點(diǎn)，o是底面abcd中心， 求證：oe平面d1ac. 2.如圖，正方體abcda1b1c1d1中，o,m分別是bd1,aa1中點(diǎn)，求證：om是異面直線aa1和bd1的公垂線. da1 3、如圖，直三棱柱abc-a1b1c1中，acb=90，ac=1，cb=2，側(cè)棱aa1=1，側(cè)面aa1b1b的兩 條對角線交點(diǎn)為d，b1c1的中點(diǎn)為m。求證：cd平面bdm 6 a1 1bb1 4在棱長為a的正方體abcda1b1c1d1中，e，f分別為棱ab和bc的中點(diǎn)，m為棱b1b 上任一點(diǎn)，當(dāng) b1m 值為多少時能使d1m平面efb1mb a e 5、如圖，?abc為正三角形，ae和cd都垂直于平面abc，且ae=ab=2a，cd=a，f為be中點(diǎn)，求證：afbd c a 6、如圖，已知直三棱柱abc-a1b1c1中b1c1=a1c1，a1bac1。求證：a1bb1c 6 111 用向量方法證明空間中的平行與垂直 1.已知直線a的方向向量為a，平面的法向量為n，下列結(jié)論成立的是(c) a若an，則ab若an0，則a c若an，則ad若an0，則a 解析：由方向向量和平面法向量的定義可知應(yīng)選c.對于選項d，直線a?平面也滿足an0. 2.已知，是兩個不重合的平面，其法向量分別為n1，n2，給出下列結(jié)論： 若n1n2，則；若n1n2，則； 若n1n20，則；若n1n20，則. 其中正確的是(a) ab cd 平行的一個向量的坐3.(原創(chuàng))已知a(3，2,1)，b(4，5,3)，則與向量ab 標(biāo)是(c) 1a(3，1,1)b(1，3,2) 13c(2，2，1)d(2，3，2) (1，3,2)2(131)，解析：ab22 13所以與向量ab平行的一個向量的坐標(biāo)是(2，2，1)，故選c. 4.設(shè)l1的方向向量為a(1,2，2)，l2的方向向量為b(2,3，m)，若l1l2，則m等于2. 5.設(shè)平面的法向量為(1,2，2)，平面的法向量為(2，4，k)，若，則k4. 解析：因為，所以(2，4，k)(1,2，2)， 所以2，k2，所以k4. (1,5，2)，bc(3,1，z)若abbc，bp(x1，y，3)，6.已知ab 4015且bp平面abc，則實(shí)數(shù)x7，y7，z4. ?x15y60解析：由已知?bpab 3?x1?y3z0?bpbc 4015解得x7，y7z4.352z0abbc， 7.(原創(chuàng))若a(2,1，3)，b(1,5，3)，則以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為58. 解析：因為ab(2,1，3)(1,5，3)0， 所以ab，又|a|22，|b|29， 所以以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為 |a|b|2229258. 8.如圖，平面pac平面abc，abc是以ac為斜邊的等腰直角三角形，e，f，o分別為pa，pb，ac的中點(diǎn)，ac16，papc10.設(shè)g是oc的中點(diǎn)，證明：fg平面boe . 證明：如圖，連接op，因為papc，abbc，所以poac，boac， 又平面pac平面abc，所以可以以點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ob，oc，op所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz . 則o(0,0,0)，a(0，8,0)，b(8,0,0)，c(0,8,0)，p(0,0,6)，e(0，4,3)，f(4,0,3)由題意，得g(0,4,0) (8,0,0)，oe(0，4,3)，因為ob 設(shè)平面boe的一個法向量為n(x，y，z)， ?nob0?x0則?，即?，0?4y3z0?oe?n 取y3，則z4，所以n(0,3,4) (4,4，3)，得n0.由fgfg 又直線fg不在平面boe內(nèi)，所以fg平面boe . 9.如圖，四棱錐p-abcd的底面為正方形，側(cè)棱pa底面abcd，且pa ad2，e，f，h分別是線段pa，pd，ab的中點(diǎn) (1)求證：pb平面efh； (2)求證：pd平面ahf . 證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系a-xyz， 所以a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(2,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,2)，e(0,0,1)，f(0,1,1)，h(1，0,0) (2,0，2)，eh(1,0，1)，(1)因為pb 2eh，所以pb 因為pb?平面efh，且eh?平面efh， 所以pb平面efh. (0,2，2)，ah(1,0,0)，af(0,1,1)，(2)因為pd 0021(2)10，所以pdaf 0120(2)00，pdah 所以pdaf，pdah， 又因為afaha，所以pd平面ahf. 第四節(jié)利用空間向量求二面角及證明面面垂直 一、二面角 二面角?l?，若?的一個法向量為m，?的一個法向量為n，則cos?,?，二面角的大小為?m,n?或?m,n? 例1如圖，正三棱柱abc?a1b1c1中，e為bb1的中點(diǎn)，aa1?a1b1，求平面a1ec與平面a1b1c1所成銳角的大小。 例2（05年全國）如圖，在四棱錐v-abcd vad是正三角形,平面vad底面abcd（1）證明ab平面vad； （2）求面vad與面vbd所成的二面角的大小 練習(xí)：如圖，棱長為1的正方體abcd?a1b1c1d1中，e是1的中點(diǎn)， 求二面角b?b 1e?d的余弦值。 12 二證面面垂直 若平面?的一個法向量為，平面?的一個法向量為，且?，則?。 例3在四棱錐p-abcd中，側(cè)面pcd是正三角形，且與底面abcd垂直，已知底面是面積為23的菱形， ?adc?600，m是pb的中點(diǎn)。 （1）求證：pa?cd （2）求二面角p?ab?d的度數(shù)；（3）求證：平面pab?平面cdm。 練習(xí)：（04年遼寧）已知四棱錐p-abcd中，底面abcd是菱形，?dab?60?,pd?平面abcd，pd=ad，點(diǎn)e為ab的中點(diǎn)，點(diǎn)f為pd的中點(diǎn)。 （1）證明平面ped平面pab； （2）求二面角p-ab-f的平面角的余弦值. 作業(yè)： 1（04年廣東）如圖，在長方體abcd?a1b1c1d1中， 已知ab?4,ad