以體驗貫串解決函數(shù)教學(xué)難點——“實驗型學(xué)習(xí)”案例研究之一.doc

以體驗貫串解決函數(shù)教學(xué)難點“實驗型學(xué)習(xí)”案例研究之一 【編者按】“實驗型數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”是指，借鑒自然科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，盡可能調(diào)動多種感官，使之協(xié)調(diào)一致，從而引發(fā)思維活動， 克服內(nèi)容抽象、形式化給學(xué)習(xí)帶來的困難的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（教學(xué)）方式。本刊xx年第11期中學(xué)教育教學(xué)版刊登 的從感官到思維的體驗和xx年第1期課堂觀察版刊登的通過“實驗型學(xué)習(xí)”建立數(shù)學(xué)概念，都呈現(xiàn)了上海市金匯高級中學(xué)的蔣云鵬老師關(guān)于“實驗型學(xué)習(xí)”的思考與探索。文章登出后受到很多讀者的歡迎，很多讀者覺得“實驗型學(xué)習(xí)”這一提法內(nèi)涵豐富、啟發(fā)性強，不僅僅是簡單的CAI。因此，從本期開始，我們會在“專題研究”欄目中陸續(xù)呈現(xiàn)一些這方面的研究成果，以蔣云鵬老師的典型案例研究為主 。當(dāng)然，也希望廣大讀者踴躍來稿，積極參與研究、討論。 蔣云鵬 （上海市金匯高級中學(xué)，xx03） 一、函數(shù)教學(xué)中的主要困難及其成因 函數(shù)作為整個數(shù)學(xué)學(xué)科的核心內(nèi)容，在教學(xué)設(shè)計和實施中， 主要存在以下幾個 難以把握或解決的問題：第一，函數(shù)概念的建立和形成比較困難，學(xué)生所學(xué)習(xí)的函數(shù)知識往往比較膚淺、零散，沒有達(dá)到和抓住本質(zhì)；第二， 缺乏對函數(shù)各種表達(dá)方式的價值分析及優(yōu)勢比較，特別是忽視函數(shù)對應(yīng)值列表的過程；第三，函數(shù)圖像的產(chǎn)生過程缺失或冗長。 上述困難從表面上看，都是由于教學(xué)時間不夠所導(dǎo)致的； 但實際上， 都是因為忽視了“實驗型學(xué)習(xí)”的基本思路，或沒掌握“實驗型學(xué)習(xí)”的主要策略。 傳統(tǒng)的函數(shù)教學(xué)，一般都是先給出某類 函數(shù)的 具體定義（解析式），再繪制其大致圖像，然后根據(jù)圖像說明其性質(zhì)， 此后大部分時間則用于解題。在這樣的教學(xué)中，可感實例的呈現(xiàn)多數(shù)比較匱乏，對應(yīng)值列表常常作為繪制圖像的一個步驟被一帶而過，繪制圖像的過程往往比較粗糙。 有些教師認(rèn)為，這些內(nèi)容并不重要，只要講解一下，無需太多的體驗與感悟， 也沒有必要花時間理解與鞏固；多數(shù)教師則是出于無奈，只能把函數(shù)的意義、列表、繪圖這些核心內(nèi)容 講解得“半生不熟”。 “實驗型學(xué)習(xí)”的突出特點是：呈現(xiàn)大量的事實材料和現(xiàn)象，使學(xué)習(xí)主體 通過視覺感受對應(yīng)數(shù)值的計算、變化、聯(lián)系以及數(shù)值轉(zhuǎn)化成點的動態(tài)變化，體會那些解釋不清或難以言表的“演繹”，從而經(jīng)歷學(xué)習(xí)的全部過程，并產(chǎn)生真實的深度體驗； 同時，將大量的精確計算、描點這類沒有思維含量的操作交由計算機在幾秒鐘內(nèi)完成，從而留出時間用于對大量現(xiàn)象進行觀察、思考和分析。 因而“實驗型學(xué)習(xí)”能有效地解決上述困難。 二、函數(shù)教學(xué)的典型案例 【案例1】函數(shù)概念起始課 課始，教師提問：“誰知道自己家汽車的耗油量？這個數(shù)量是怎樣測試出來的？”學(xué)生議論并大致回答后，教師出示表1，并說明：“表中是某輛車在從上海駛往南京的過程中記錄下來的數(shù)據(jù)，你能知道該車的用油量嗎？你能填寫表中的空格嗎？”學(xué)生嘗試填寫后，教師寫出關(guān)系式y(tǒng)=12/100x，并讓學(xué)生寫出汽車行駛120千米、270千米時的用油量。學(xué)生嘗試計算后，教師總結(jié)道：“用油量y隨著汽車行駛路程x的變化而變化，對于每一個x的值，都能找到一個確定的y的值與之對應(yīng)，這種一個變量x的變化確定另一個變量y的變化的關(guān)系， 稱為函數(shù)關(guān)系?！?接著，教師舉例道：“再比如，一條線段的長度r的變化確定了以此線段為半徑的圓的面積S的變化?！比缓?，教師打開幾何畫板，作出一個圓；隨著教師拖動圓的半徑，計算機自動呈現(xiàn)了不同的半徑值，并計算出不同的半徑值對應(yīng)的圓的面積值，同時生成了對應(yīng)值表（如圖1）。由此，教師總結(jié)道：“同樣，S與r的關(guān)系也稱為函數(shù)關(guān)系，我們稱r為自變量，S是r的函數(shù)?！?此后，教師又舉例道：“再比如，某天某地的氣溫T隨時間t的變化而變化，正方體的體積隨棱長的變化而變化”然后，教師再請學(xué)生舉例說明自己所知道的函數(shù)關(guān)系 【案例2】二次函數(shù)概念起始課 在介紹了二次函數(shù)的定義后，教師提問：“如何畫出函數(shù)y=x2的圖像？”學(xué)生回答：“列表、描點、連線。”然后，教師要求學(xué)生在事先準(zhǔn)備好的學(xué)習(xí)單（其中列有表2）上進行填表、描點、連線。 填表、描點都進行得很順利，但是，在連線時部分學(xué)生將所描的點按順序用直尺連成了折線。教師看到后糾正說：“我們在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)時曾強調(diào)過，要用光滑的曲線連線，畫成幾條線段的都是錯誤的，請同學(xué)們更正并牢記?！苯又?，教師打開幾何畫板，利用“繪制新函數(shù)”功能，直接繪制出y=x2的圖像，讓學(xué)生對照。 三、解決函數(shù)教學(xué)中主要困難的思路和策略 （一）通過大量的實驗漸進地建構(gòu)函數(shù)的意義 函數(shù)概念形成的關(guān)鍵是將研究的對象由靜止、不變的現(xiàn)象轉(zhuǎn)移到運動、變化的現(xiàn)象上，將注意力由單個常量的大小轉(zhuǎn)移到兩個變量的關(guān)系上。由于學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中長期面對的是獨立不變的量（常數(shù)），缺乏觀察變化情況、思考聯(lián)系情況的經(jīng)歷和體驗，因此，要實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)變是比較困難的。 案例1的設(shè)計者正是基于這種考慮，在引入函數(shù)概念時，運用了“實驗型學(xué)習(xí)”的基本思路和策略：不急于下準(zhǔn)確定義，而是通過學(xué)生已熟知的、經(jīng)歷過的（耗油量）問題，或當(dāng)場看得到的、能經(jīng)歷的（圓的半徑與面積）現(xiàn)象，讓學(xué)生通過想象或感官去體驗兩個變量的關(guān)系；而且不惜舉出大量的例子（包括學(xué)生自己舉例）來說明這種關(guān)系，目的就是讓學(xué)生增加一些經(jīng)歷，加深一些體驗，產(chǎn)生“變量成對”的印象，為概念的形成奠定基礎(chǔ)。 此外，案例1的設(shè)計者在這節(jié)函數(shù)概念起始課中，自始至終都沒有給函數(shù)下精確的定義，而力求使學(xué)生在經(jīng)過對大量的實例的觀察、思考后，在所歸納出的“描述性定義”的輔助下，大致形成對函數(shù)意義的初步認(rèn)識，即意識到：（1）兩個變量之間會有確定的關(guān)系，一個變量會隨另一個變量的變化而變化；（2）由于變量表示的事物有特定的意義，所以變量有一定的限制范圍；(3)兩個變量的對應(yīng)值可以利用表格列出；(4)其中的規(guī)律可以利用代數(shù)式表達(dá)，從而簡化和精準(zhǔn)。 這種通過大量的實驗（豐富直接的感官體驗引發(fā)的思維活動）漸進地構(gòu)建新概念的意義的做法，因符合學(xué)生本身的經(jīng)驗基礎(chǔ)和認(rèn)知習(xí)慣而顯得自然，因在大量的可感事實的基礎(chǔ)上獲得認(rèn)識而顯得合理，是解決函數(shù)概念教學(xué)困難的有效思路和策略。 （二）突出對應(yīng)值列表的過程，認(rèn)清各種表示方式的價值和優(yōu)勢 對應(yīng)情況（值）列表是一般人實際生活、工作和研究中最常用、最習(xí)慣的方法，也是最直接、最容易理解的函數(shù)表達(dá)形式。學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)時出現(xiàn)的概念模糊、思路狹隘、方法呆板等問題，往往都與忽視對應(yīng)值列表的過程有關(guān)。很多學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)很長時間后， 仍然不知道各種函數(shù)的圖像從何而來，而僅僅記住了它們的樣子，導(dǎo)致了因果關(guān)系混亂。而且，很多學(xué)生在后面學(xué)習(xí)數(shù)列時，也不會列出項數(shù)與其對應(yīng)值的表格以從中找到規(guī)律，甚至連“數(shù)列也是函數(shù)”“用函數(shù)方法研究數(shù)列問題”都需要專門花時間來教學(xué)。這些顯然都是忽視函數(shù)對應(yīng)值列表的過程而造成的惡果。 案例1的設(shè)計者正是基于這種考慮，每舉一個例子后，都進行了對應(yīng)值列表（實驗）其中有些數(shù)據(jù)是間接知道的，有些數(shù)據(jù)是借助計算機直接測量、計算出來的。這給學(xué)生的感覺是，他們看到的都是事實，沒有強加的成分。最關(guān)鍵的是，對應(yīng)值列表清晰地反映出變量變化的規(guī)律如增還是減（單調(diào)性）、有無對稱特點（奇偶性）、有無重復(fù)特點（周期性）等，都一目了然。對列表中數(shù)據(jù)的觀察、分析充分了，圖像的輪廓也就自然地在頭腦中形成了；而經(jīng)過分析、歸納發(fā)現(xiàn)的圖像，無須強記，就會牢牢地固著在記憶中。這種主動的發(fā)現(xiàn)，比記住圖像后反過來“利用圖像說明性質(zhì)”，學(xué)習(xí)效果要好得多。同時， 從思想方法的角度看，各種函數(shù)的部分特殊（自變量取正整數(shù)）對應(yīng)值列表過程，實際上就是各種數(shù)列的研究過程。此過程處理得好，數(shù)列的學(xué)習(xí)就會容易得多，方法就會通透得多。 實際上，“實驗型學(xué)習(xí)”能使函數(shù)對應(yīng)值列表自然、高效地實現(xiàn)，并讓學(xué)生自主地進行觀察、分析，因而，特別有利于學(xué)生認(rèn)清函數(shù)各種表達(dá)方式（列表、圖像、解析式）之間的關(guān)系，并感受到對應(yīng)值列表在實際研究中的必要性和優(yōu)勢。 （三）優(yōu)化繪制圖像的過程 如何描繪圖像，一組對應(yīng)變量由數(shù)轉(zhuǎn)化為點體現(xiàn)了什么思想，圖像為什么是“光滑的曲線”而非折線等，都是函數(shù)教學(xué)中極為重要的問題，事關(guān)整個函數(shù)思想和方法的形成。而這些問題在二次函數(shù)的教學(xué)中尤為突出，因為二次函數(shù)是初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與核心內(nèi)容，也是初中生第一次比較系統(tǒng)地借助函數(shù)圖像研究函數(shù)性質(zhì)的內(nèi)容。 案例2的設(shè)計者似乎也注意到了這些問題，但其具體的做法有以下幾點不妥：（1）在繪制圖像前，沒有讓學(xué)生明白圖像的意義，把握操作的過程。事先列表并規(guī)定了5個特殊的自變量值，忽視了學(xué)生的思考動因，限制了學(xué)生的思考空間。如果讓學(xué)生自己取值，他們未必會只取這5個值，也未必會取得這么均勻、對稱；而只有出現(xiàn)多種取值情況，才能比較、反襯出以上取值方法的合理性。（2）糾正學(xué)生錯誤的方法不妥，問題 的關(guān)鍵出在講解反比例函數(shù)時，只“強調(diào)”了要用光滑的曲線連線，而沒有解釋為什么?！爸v了多次，仍記不住”是許多教師共同的煩惱；而學(xué)生之所以總是記不住，就是因為他們總是不知道“為什么”，卻要勉強地“記住”。（3）利用幾何畫板直接繪制出y=x2的圖像，與在黑板上手繪圖像、利用掛圖或PPT等展示圖像都一樣，沒有呈現(xiàn)實驗的過程，只是告知預(yù)設(shè)的結(jié)果，使學(xué)生沒有思考的機會，更沒有質(zhì)疑的余地，被動接受，當(dāng)然難學(xué)難記。 結(jié)合上述分析，可以對案例2作如下改進和優(yōu)化：首先，利用幾何畫板設(shè)置自變量x，計算出y=x2，然后，順次選取 x、x2，列出動態(tài)表格。這里，教師可以通過鍵盤任意輸入不同的x的值，x2的對應(yīng)值將自動生成在動態(tài)表格中（如果硬件條件許可，學(xué)生可以在自己的移動終端上進行這些及以下操作）。當(dāng)感覺表格中的數(shù)據(jù)夠了時，就可以利用“繪制表格數(shù)據(jù)”功能將表格中的所有點（x，x2）繪制在坐標(biāo)系中。此時可讓學(xué)生觀察點的分布情況，并嘗試說出（或畫出）函數(shù)的圖像。如果出現(xiàn)折線圖，教師則只需讓 意見不同的學(xué)生相互討論，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、自主質(zhì)疑、自主建構(gòu)。 改進和優(yōu)化后的教學(xué)較好地體現(xiàn)了“實驗型學(xué)習(xí)”的優(yōu)勢。利用計算機快速、準(zhǔn)確地完成了較多數(shù)據(jù)的計算、列表和描點，因而有效地簡化和優(yōu)化了繪制圖像這一重要的過程。通過自主學(xué)習(xí)，學(xué)生可能在剛剛描出的折線圖上，讓計算機再生成一些新的點（x，x2），結(jié)果發(fā)現(xiàn)這些點都不在折線圖的各線段上，因此否定了折線圖。盡管這樣的推斷缺乏嚴(yán)格的邏輯支持，但“眼見為實”會讓學(xué)生對自己利用實驗現(xiàn)象證實的結(jié)論確信無疑。同時，這其中還隱含了學(xué)生對“否定一個命題，只需舉出一個反例”的認(rèn)識。學(xué)生還可能產(chǎn)生這樣的想法：“既