命制數(shù)學(xué)題目的意義與方法.doc

命制數(shù)學(xué)題目的意義與方法 （1.南京師范大學(xué)附屬揚(yáng)子中學(xué)，210048；2.江蘇省南京市教學(xué)研究室，210008） 摘要：命題能力是中小學(xué)教師的一項(xiàng)重要能力。教師命題能力薄弱的原因主要有：思想上沒有正確認(rèn)識(shí)命題的意義與價(jià)值，行為上沒有充分掌握命題的方法與技巧。只有不斷加強(qiáng)命題研究，提高命題能力，才能幫助學(xué)生看透題目的本質(zhì)，領(lǐng)悟解題的“大道”，從而帶領(lǐng)學(xué)生跳出題海。命題時(shí)可以圍繞考查內(nèi)容，“萬變不離其宗”地改造；抓住關(guān)鍵細(xì)節(jié)，“形變而質(zhì)不變”地移植；改變呈現(xiàn)方式，“百花齊放”地創(chuàng)新。 關(guān)鍵詞：命制題目題海戰(zhàn)術(shù)改造移植創(chuàng)新 題目是教學(xué)（幫助學(xué)生理解知識(shí)、掌握方法、提高能力）的重要內(nèi)容，也是評(píng)價(jià)（考查學(xué)生學(xué)習(xí)情況，從而診斷、改進(jìn)教學(xué)）的重要載體。命題（命制題目）是教師的常規(guī)工作，也是教師專業(yè)發(fā)展的基本手段。xx年4月，上海市教委在全國(guó)率先發(fā)布了上海市中小學(xué)教師專業(yè)（專項(xiàng)）能力提升計(jì)劃，明確提出了命題能力是中小學(xué)教師的一項(xiàng)重要能力。 借助網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)庫(kù)，通過檢索關(guān)鍵字，不難發(fā)現(xiàn)，關(guān)于命題的論文（研究）在多如牛毛的教育教學(xué)論文（研究）中很難看到。這個(gè)現(xiàn)象從一個(gè)側(cè)面反映了教師的命題能力普遍薄弱。根據(jù)從教近二十年的觀察和調(diào)研，筆者發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)教師認(rèn)為命題是專家的事，不是自己的事，而且現(xiàn)在各種與題目有關(guān)的教輔資料、資源平臺(tái)多如牛毛，自己也不缺題目。對(duì)于命題，絕大多數(shù)教師只會(huì)簡(jiǎn)單地組裝，能進(jìn)行簡(jiǎn)單改編的教師不到一半，能帶著目標(biāo)和思考進(jìn)行有質(zhì)量的改造或原創(chuàng)的教師更是難得一見?？梢?，教師命題能力薄弱的原因主要有：思想上沒有正確認(rèn)識(shí)命題的意義與價(jià)值（命題在所有教學(xué)工作中容易被忽視），行為上沒有充分掌握命題的方法與技巧（命題在所有教學(xué)工作中很難被學(xué)會(huì)）。 下面，筆者結(jié)合自己的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐，談?wù)剶?shù)學(xué)教學(xué)(評(píng)價(jià))中命題的意義、價(jià)值和方法、技巧。 一、命題的意義與價(jià)值 命題是一項(xiàng)理論性與技術(shù)性都十分強(qiáng)的工作。為了實(shí)現(xiàn)教學(xué)或評(píng)價(jià)的目的，全面地促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，準(zhǔn)確地檢測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)，在命題的過程中，教師既要進(jìn)一步分析課標(biāo)、把握教材，拓寬知識(shí)面、排除疑難點(diǎn)，又要深層次了解當(dāng)下教學(xué)實(shí)際、過往評(píng)價(jià)情況，學(xué)習(xí)、運(yùn)用各種方法展開教育科研；既要關(guān)注素材的生活性、情境的實(shí)踐性、內(nèi)容的綜合性、問題的開放性等，又要關(guān)注學(xué)生的知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、情感態(tài)度、個(gè)體差異等。從某種意義上說，數(shù)學(xué)命題的過程就是理解數(shù)學(xué)和理解學(xué)生的過程。所以，編制出一些高質(zhì)量的題目對(duì)于深刻理解學(xué)科核心素養(yǎng)和學(xué)科教學(xué)本質(zhì)具有重要的意義，是教師專業(yè)發(fā)展和提高教學(xué)質(zhì)量的必然要求。 特別地，加強(qiáng)命題研究能讓教師在教材理解、考點(diǎn)把握、學(xué)生實(shí)際掌握情況上具有更精準(zhǔn)的認(rèn)識(shí)，從而能夠幫助教師在高考復(fù)習(xí)教學(xué)中避免題海戰(zhàn)術(shù)，有的放矢地精講精練，輕負(fù)高效地達(dá)成目標(biāo)。一個(gè)缺乏命題能力的教師往往也會(huì)缺乏對(duì)題目研究、鑒別和選擇的能力，從而習(xí)慣性地帶領(lǐng)學(xué)生走入題海深淵。在當(dāng)前高考復(fù)習(xí)教學(xué)普遍負(fù)擔(dān)較重、壓力很大的情況下，缺乏命題能力的教師往往還會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為，只要是數(shù)學(xué)題總有它的用處，給學(xué)生做總沒有壞處。實(shí)際上，題海戰(zhàn)術(shù)追求的是量而不是質(zhì)，會(huì)使學(xué)生“懂而不會(huì)”：遇到形式熟悉或常見的題目，尚可對(duì)付；遇到形式不熟或少見的題目，則茫然無措。而近幾年的高考中出現(xiàn)了一些背景新、能力要求高、內(nèi)在聯(lián)系密切、思維方法靈活的問題，充分體現(xiàn)了新課程“注重知識(shí)形成的過程，關(guān)注學(xué)生獲取知識(shí)的過程”的理念，考查了學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力等。這些問題靠題海戰(zhàn)術(shù)是解決不了的。因此，教師只有不斷加強(qiáng)命題研究，提高命題能力，才能幫助學(xué)生看透題目的本質(zhì)，領(lǐng)悟解題的“大道”，從而帶領(lǐng)學(xué)生跳出題海。 二、命題的方法和技巧 （一）圍繞考查內(nèi)容，“萬變不離其宗”地改造 命題最常用的方法就是圍繞考查內(nèi)容進(jìn)行改造，使其“萬變不離其宗”。而教材中的例題、習(xí)題是改造的重要。當(dāng)前的高考復(fù)習(xí)教學(xué)普遍存在對(duì)教材的地位與功能認(rèn)識(shí)不到位的現(xiàn)象。首先，教材是依據(jù)課標(biāo)編寫的，是教學(xué)和評(píng)價(jià)的重要依據(jù)。其次，教材的編寫濃縮了大量專家的心血，經(jīng)過了長(zhǎng)期教學(xué)實(shí)踐的檢驗(yàn)，因此教材中的習(xí)題、例題有著豐富的知識(shí)和方法內(nèi)涵，自帶知識(shí)和方法的本質(zhì)屬性，形成了巨大的改造空間，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性和普適性。因此，每年高考都有大量試題對(duì)教材題目的改造。 源題1（蘇教版高中數(shù)學(xué)必修4第89頁第13題）如圖1，在?ABCD中，AB2，AD1，BAD60，求ABAC。 變題1如圖2，在?ABCD中，AB2，AD1，BAD60，P是DC邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)，求APBP。 變題2（xx年江蘇高考第12題）如圖3，在?ABCD中，AB8，AD5，CP3PD，APBP2，則ABAD_。 變題3如圖4，在?ABCD中，P、Q是DC邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，若APBP29，AQBQ49，則ABAD的值是_。 變題4（xx年江蘇高考第13題）如圖5，在ABC中，D是BC中點(diǎn)，E、F是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，若BACA4，BFCF1，則BECE的值是_。 這里，四道變題都是在源題1的基礎(chǔ)上通過改造命制的，題目的功能都是圍繞如何求向量的數(shù)量積考查的。 變題1是在源題1的基礎(chǔ)上添加條件P是DC邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)，改結(jié)論為求APBP。其求解思路和方法與源題1完全相同，求數(shù)量積的三種方法定義法、基底法、坐標(biāo)法都可以用。這是一種“換湯不換藥”式的改造。 變題2實(shí)質(zhì)是將變題1的一個(gè)條件BAD60和結(jié)論APBP互換。這種互換改造導(dǎo)致很多學(xué)生解題產(chǎn)生了障礙，因?yàn)樗：藢W(xué)生選擇熟悉解法的一些特征，如基底不知怎么選，坐標(biāo)法要引很多變量。這種改造的靈感是怎樣獲得的呢？讓我們從變題1的常見解法中一窺端倪：由APBP14AB+AD-34AB+AD=-316AB2+AD2-12ABAD，可以看到APBP、AB、AD、ABAD四個(gè)量知三可求另一。所以，變題2對(duì)變題1的改造是一種基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)與方法認(rèn)識(shí)層面的靈活改造。 變題3將變題2的條件進(jìn)一步隱藏，借助于兩個(gè)不定方程聯(lián)立求解的思想，巧妙地改造了變題2，使得學(xué)生解決問題的難度進(jìn)一步加大。不過，只要對(duì)命題改造的技巧與方法進(jìn)行探究，解法的獲得就會(huì)變得非常簡(jiǎn)單。 變題4將變題3的圖形信息由?ABCD換成了ABC，形式和本質(zhì)仍然同變題3。 從上面的例子中可以看到：一道題由條件和結(jié)論組成，僅僅圍繞題目想考查的內(nèi)容（考點(diǎn)），通過添加或減少條件、改變結(jié)論得到新題，不是難事，但是，要想改造出有質(zhì)量的新題，就要對(duì)題目的信息形態(tài)（文字、圖形和數(shù)學(xué)關(guān)系等）、解題需要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與思想方法進(jìn)行命題技術(shù)分析。 （二）抓住關(guān)鍵細(xì)節(jié)，“形變而質(zhì)不變”地移植 關(guān)鍵細(xì)節(jié)是指一道題目的求解思路和方法的核心要素。關(guān)鍵細(xì)節(jié)是解題思維的發(fā)動(dòng)機(jī)，在題目分析與解決的過程中起著關(guān)鍵作用，對(duì)解題思路的尋找和解題方法的確定起著決定性作用。解題者如果未能發(fā)現(xiàn)或理解關(guān)鍵細(xì)節(jié)，則對(duì)題目的分析與解決必將無從下手或走入死胡同。近年來，不少高考?jí)狠S題和競(jìng)賽題都有關(guān)鍵細(xì)節(jié)。抓住關(guān)鍵細(xì)節(jié)進(jìn)行移植也是命題常用的方法，可以很好地實(shí)現(xiàn)“形變而質(zhì)不變”的效果。 源題2（xx年江蘇高考第19題）已知函數(shù)f(x)=ax+bx(a0,b0,a1,b1)。若0 變題5（xx屆南京市高三三模第20題）已知R，函數(shù)f(x)=exex(xlnxx+1)的導(dǎo)函數(shù)為g(x)。 （1）若函數(shù)g(x)存在極值，求的取值范圍； （2）若當(dāng)x1時(shí)，f(x)0恒成立，求的最大值。 變題6（xx屆揚(yáng)州市高三考前調(diào)研測(cè)試第19題）已知函數(shù)f(x)=lnx+a(x23x+2)，其中a為參數(shù)。 （1）討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由； （2）若對(duì)任意x1,+)，f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 這里，兩道變題和源題2都屬于函數(shù)、導(dǎo)數(shù)綜合題，兩道變題都是源題2的“形變而質(zhì)不變”式移植，源題2的關(guān)鍵細(xì)節(jié)是g(0)=0，兩道變題的關(guān)鍵細(xì)節(jié)是f(1)=0。 單從題目上，肯定看不出兩道變題和源題2有任何聯(lián)系，因?yàn)闊o論條件還是結(jié)論，它們之間都沒有任何相同的地方。這就是重量級(jí)考試把關(guān)題或者創(chuàng)新題的厲害之處，它會(huì)讓那些只知道就題講題，在題海里不斷刷題的人充滿挫敗感。 下面，我們來看看關(guān)鍵細(xì)節(jié)對(duì)解題思路和方法起到的作用和影響。求解源題2時(shí)，如果沒有發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵細(xì)節(jié)g(0)=0，則不可能找到完整的解題思路和方法。一旦發(fā)現(xiàn)了g(0)=0，就可以斷言g(x)有唯一的零點(diǎn)0，從而利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)，就可以輕易地發(fā)現(xiàn)g(x)也有唯一的極小值點(diǎn)x0，所以問題變?yōu)樽C明x0=0，至此所有的困難都迎刃而解。變題5和變題6的解題思路和方法相同，同樣源于關(guān)鍵細(xì)節(jié)f(1)=0，而函數(shù)形式的變化和問題結(jié)論的變化則體現(xiàn)出了這種“形變而質(zhì)不變”的移植命題的難度和價(jià)值。 高考是復(fù)習(xí)教學(xué)的風(fēng)向標(biāo)。在教材內(nèi)容基本不變、考點(diǎn)要求基本不變的情況下，每年的高考依然能讓人感覺到新意與亮點(diǎn)頻出。這一方面說明專家命題水平高，另一方面也說明他們是花了大力氣來命題的有一位經(jīng)常命題的專家曾經(jīng)戲言：“命題、命題，拿命來出題。”年復(fù)一年的高考積累了很多有質(zhì)量的題目，其中（尤其一些創(chuàng)新題和把關(guān)題）的命題方法和技巧特別值得我們一線教師研究和學(xué)習(xí)。只要充分領(lǐng)會(huì)了這些題目的命題方法和技巧，準(zhǔn)確把握了它們的本質(zhì)，就能通過移植命制出很好的新題目，從而強(qiáng)化此類題目的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思想方法的訓(xùn)練。 （三）改變呈現(xiàn)方式，“百花齊放”地創(chuàng)新 改變經(jīng)常孕育著創(chuàng)新。在高考復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師可以嘗試設(shè)置一些半開放的題目，讓學(xué)生參與命題，開展命題的微探究活動(dòng)，則不僅可以看到學(xué)生“百花齊放”的創(chuàng)新命題，還可以收到良好的教學(xué)效果。 示例在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線yx2與圓x2y2r2(r0)交于A、B兩點(diǎn)。請(qǐng)?jiān)黾右粋€(gè)條件，進(jìn)而求出圓的方程。 對(duì)此，部分學(xué)生給出的命題條件如下：（1）AB22；（2）AOB60；（3）AOB的面積為2；（4）|OA+OB|r；（5）OAOB2；(6)圓上存在一點(diǎn)C，滿足OC54OA34OB。 可見，學(xué)生給出的命題條件經(jīng)常出乎意料地精彩。其實(shí)，如果教師再讓學(xué)生解釋一下他們的命題想法和解題思路與方法，可能就會(huì)發(fā)現(xiàn)自己正在努力追求的高考復(fù)習(xí)教學(xué)的課堂生態(tài)。 改變題目的呈現(xiàn)方式不僅給學(xué)生的解題活動(dòng)留下了發(fā)展空間，更重要的是給學(xué)生的數(shù)學(xué)思維留下了更深、更廣的發(fā)展機(jī)會(huì)。在高考復(fù)習(xí)教學(xué)中，讓學(xué)生參與命題活動(dòng)，能幫助學(xué)生看透題目的本質(zhì)，思考命題的方法和技巧，培養(yǎng)創(chuàng)新思維，促進(jìn)教學(xué)相長(zhǎng)；能幫助學(xué)生提升對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，反思自己的解題行為和習(xí)慣，提高自己的解題能力和水平。 最后，需要指出的是，正如廣義的教學(xué)評(píng)價(jià)是一項(xiàng)世界性難題，命題作為狹義教學(xué)評(píng)價(jià)（考試）的基本手段，也充滿了挑戰(zhàn)性當(dāng)然，挑戰(zhàn)同時(shí)意味著樂趣。因此，教師命題能力的提高絕不是一蹴而就的事情，而需