一維定態(tài)波函數(shù)宇稱的討論.doc

一維定態(tài)波函數(shù)宇稱的討論 一、一維定態(tài)波函數(shù)波函數(shù)是量子力學(xué)中描寫微觀系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)。在經(jīng)典力學(xué)中，用質(zhì)點(diǎn)的位置和動量（或速度）來描寫宏觀質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)，這是質(zhì)點(diǎn)狀態(tài)的經(jīng)典描述方式，它突出了質(zhì)點(diǎn)的粒子性。由于微觀粒子具有波粒二象性，粒子的位置和動量不能同時有確定值（即測不準(zhǔn)關(guān)系），因而質(zhì)點(diǎn)狀態(tài)的經(jīng)典描述方式不適用于對微觀粒子狀態(tài)的描述，物質(zhì)波于宏觀尺度下表現(xiàn)為對幾率波函數(shù)的期望值，不確定性失效可忽略不計(jì)。在量子力學(xué)中，為了定量地描述微觀粒子的狀態(tài)，量子力學(xué)中引入了波函數(shù)，并用表示。一般來講，波函數(shù)是空間和時間的函數(shù)，并且是復(fù)函數(shù)，即，它是薛定諤方程的解，物理意義表達(dá)為：在空間某點(diǎn)附近發(fā)現(xiàn)實(shí)物粒子的概率正比于粒子波函數(shù)絕對值的平方。二、簡并能級與非簡并能級能級的簡并就是微粒運(yùn)動狀態(tài)不同，但是能量（能級）一樣；非簡并就是每個不同運(yùn)動狀態(tài)的微粒具有不同的能量。量子力學(xué)中，解薛定諤方程能夠得到一些相應(yīng)的量子數(shù)，這些量子數(shù)能描述微粒的運(yùn)動狀態(tài)，比如：氫原子中的電子有：主量子數(shù)n、角量子數(shù)l、磁量子數(shù)m、自旋量子數(shù)s、自旋磁量子數(shù)ms(s是下標(biāo))，擁有不同量子數(shù)的電子說明運(yùn)動狀態(tài)不同。在沒有外加磁場的情況下，電子的能量只和n有關(guān)，而和其他4個量子數(shù)無關(guān)，但是同一個n下有n種運(yùn)動狀態(tài)（量子力學(xué)或者原子物理中的相關(guān)結(jié)論），我們就說能級En是n度簡并的，表示同一個能級En下電子最多可以有n種運(yùn)動狀態(tài)。對于線性諧振子來說，n與能級是一一對應(yīng)的，所以線性諧振子是非簡并系統(tǒng)。需要指出的是，有些簡并能級在特殊情況下會變?yōu)榉呛啿⒌模热珉娮釉诖艌鲋杏捎诖帕孔訑?shù)的變化，能級會分裂。三、對一維定態(tài)波函數(shù)宇稱的理解1.對宇稱的理解引入宇稱算符比較容易說明。宇稱算符沒有經(jīng)典對應(yīng)的力學(xué)量，宇稱算符用標(biāo)記，表示將波函數(shù)的坐標(biāo)變量對原點(diǎn)做空間反演，即。如果勢函數(shù)是偶函數(shù)，那么它在空間反演下是不變的。換句話說，哈密頓量與宇稱算符對易。于是可以選哈密頓量和宇稱算符的共同本征態(tài)作為本征態(tài)組，使得問題得到簡化。而宇稱算符的本征態(tài)只有兩個：奇宇稱態(tài)和偶宇稱態(tài)，所以我們這樣選出的本征態(tài)組要么是奇宇稱要么是偶宇稱。當(dāng)然，我們有選擇的自由，完全可以選那些沒有一定宇稱的態(tài)作為本征態(tài)，但在多數(shù)情況下，這只會徒增麻煩。但是，如果只選擇例如奇宇稱態(tài)作為本征態(tài)組，那么這個本征態(tài)組往往是不完備的，所以多數(shù)情況下不能只選一種宇稱。在一維問題中，可以證明如果兩個本征態(tài)對應(yīng)同一能量，他們最多差一個常系數(shù)，而這個常系數(shù)可以由歸一化消去，所以對應(yīng)同樣的態(tài)；也就是說，此時哈密頓量的本征態(tài)都有確定宇稱。另外在維基百科上得到有關(guān)宇稱的公式定義是其中為角量子數(shù)為偶宇稱，為奇宇稱。所以我認(rèn)為可能是角量子數(shù)決定了波函數(shù)的宇稱奇偶性，不是波函數(shù)本身的奇偶性決定的。宇稱算符是厄米算符也是幺正算符，下面證明它是幺正算符：。證明：我們用作用于得： 又因?yàn)榧?所以 故宇稱算符是厄米算符。下面我們討論在一維勢場中運(yùn)動的粒子，勢能對原點(diǎn)對稱：，討論粒子的定態(tài)波函數(shù)是否具有確定的宇稱。我們知道，一維束縛定態(tài)的能級都是非簡并的，為了方便討論，下面先介紹什么是非簡并性定理，給出兩個定理（它們的證明這里不討論）：定理1.對于一維定態(tài)薛定諤方程，如果和是對應(yīng)于同一本征值E得兩個解，則有 （常數(shù)） 定理2.若一維定態(tài)波函數(shù)在某區(qū)間連續(xù)可微，則時，有，否則在此區(qū)間。非簡并性定理的證明通常如下：設(shè)和是對應(yīng)于同一本征值E得兩個解，對于束縛態(tài)，當(dāng)時，由定理1可得： 因此有 上述證明表明，當(dāng)勢場不存在奇點(diǎn)時顯然正確。然而，在實(shí)際問題中，經(jīng)常是不連續(xù)的，甚至存在奇異點(diǎn)。此時，薛定諤方程應(yīng)該分區(qū)求解，再由邊界條件定解。為了研究定態(tài)波函數(shù)在存在奇異點(diǎn)時的性質(zhì)，不失一般性，可以取一點(diǎn)，（設(shè)在區(qū)域中有限），設(shè)和是對應(yīng)于同一本征值E得兩個解，由于（或）在和中分別滿足定態(tài)薛定諤方程，可得下式： 其中為任意常數(shù)，利用波函數(shù)的連續(xù)性條件： 又由式，有 因此得到 I.當(dāng)不是的奇異點(diǎn)(可以不連續(xù))時，應(yīng)在處連續(xù)，同理導(dǎo)致 結(jié)合、式，要使，則有由定理2，導(dǎo)致。矛盾，所以有 即得到非簡并性定理的結(jié)論。II.當(dāng)是的奇點(diǎn)時（）。一階微商連續(xù)條件并不滿足，可知當(dāng)時，可能成立。此時和顯然線性無關(guān)，得到能級簡并的結(jié)果。綜上所述 , 有以下結(jié)論 :*當(dāng)粒子在不存在奇異點(diǎn)的區(qū)域（或僅在定義域兩端存在奇異區(qū)域中運(yùn)動 時，一維束縛定態(tài)的所有能級都是非簡并的。這即非簡并性定理的充分條件。*能級出現(xiàn)簡并的必要條件是在某區(qū)域內(nèi)存在奇異點(diǎn)，且 下面對上面在一維勢場中運(yùn)動的粒子進(jìn)行分析。I.情況一：非簡并能級的定態(tài)波函數(shù) 在一維勢場中運(yùn)動的粒子的定態(tài)薛定諤方程為 將式中的代換，得 利用，得 比較、式可知，都是描寫在同一勢場作用下的粒子狀態(tài)的波函數(shù)。由于它們描寫的是同一個狀態(tài)，因此之間只能相差一個常數(shù)。方程、可相互進(jìn)行空間反演 而得其對方，由經(jīng)反演，可得， 由再經(jīng)反演，可得，反演步驟與上完全相同，即是完全等價的。 乘 ，得 可見，當(dāng)時，具有偶宇稱，當(dāng)時，具有奇宇稱，故當(dāng)勢場滿足時，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。II.情況二：簡并能級的定態(tài)波函數(shù) 的場合不只是有束縛態(tài)，還有非束縛態(tài)，而兩端均是不限一 維運(yùn)動的能級是二重簡并的，做這種運(yùn)動的粒子的定態(tài)波函數(shù)中就不一定 具有確定的宇稱。例如 : 做一維自由運(yùn)動的粒子， ，滿足