動力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程.ppt

,第二十五章動力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程,25.1動力學(xué)普遍方程,例題1,25.2第二類拉格朗日方程,例題2,例題3,例題4,例題5,第二十五章動力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程,根據(jù)達朗伯原理和虛位移原理，可以導(dǎo)出非自由質(zhì)點的動力學(xué)普遍方程。利用它解決問題時，可以避免約束反力在動力學(xué)方程中的出現(xiàn)，比較方便!,第一類拉格朗日方程：用直角坐標描述的非自由質(zhì)點系的拉格朗日方程-模擬和求解復(fù)雜系統(tǒng)的動力學(xué)問題,第二類拉格朗日方程：將完整約束系統(tǒng)的動力學(xué)普遍方程表示為廣義坐標的形式，可以推得。-可以直接寫出個數(shù)與系統(tǒng)自由度相同的獨立運動方程。,25.1動力學(xué)普遍方程,根據(jù)達朗伯原理，在其上加達朗伯慣性力,(25.1),則,點積虛位移,對這n個式子求和,若為理想約束，由虛位移和理想約束的條件知,在具有理想約束的質(zhì)點系中，在運動的任一瞬時，作用在其上的主動力系和達朗伯慣性力系在任意系統(tǒng)的任何一組虛位移上的虛功之和等于零。,動力學(xué)普遍方程或者達朗伯拉格朗日原理,說明,上式變?yōu)椋?例25.1如圖所示，有兩個半徑皆為r的輪子A，B，輪心通過光滑圓柱鉸鏈與直桿AB相連，在傾角為的固定不動的斜面上作純滾動。設(shè)兩輪重皆為P，重心都在輪上，對輪心的轉(zhuǎn)動慣量為J，連桿重Q。求連桿運動的加速度。,解:(1)以兩輪和連桿組成的系統(tǒng)為研究對象系統(tǒng)所受約束為理想約束,若連桿發(fā)生平行于斜面向下的的虛位移為,則輪心的虛位移也為,輪子相應(yīng)的虛轉(zhuǎn)角,（5）根據(jù)動力學(xué)普遍方程,得：,方向平行于斜面向下.,25.2第二類拉格朗日方程,直接用質(zhì)點系的廣義坐標的變分來表示各質(zhì)點的虛位移,對完整約束系統(tǒng)來說,可推得與系統(tǒng)自由度相同的一組獨立的運動微分方程,設(shè)完整約束的質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成,系統(tǒng)的自由度為k,廣義坐標為,各點的虛位移可表示為,各質(zhì)點相對于定點O的矢徑可表示為,得,（25.7）,交換上式求和順序得,廣義主動力：,廣義達朗伯慣性力：,先引入兩個經(jīng)典的拉格朗日關(guān)系式：,（1）第一個經(jīng)典拉格朗日方程,由對時間求導(dǎo),再對求偏導(dǎo)數(shù),得到,（2）第二個經(jīng)典拉格朗日方程,在上式對s個廣義坐標求偏導(dǎo)數(shù)得,即,也可以寫為,或,對于不變質(zhì)點系,由,得,引入系統(tǒng)動能,對求偏導(dǎo)數(shù),將以上公式代入,得,由以上將,改寫為,因為的相互獨立性,得第二類拉格朗日方程,若質(zhì)點系所受的全部的主動力為有勢力,系統(tǒng)的勢能只是系統(tǒng)廣義坐標的函數(shù),可得,引進L=T-V,成為拉格朗日函數(shù)，則上式為,應(yīng)用動力學(xué)普遍方程解題時的注意事項：,（1）系統(tǒng)中各質(zhì)點的加速度與各剛體的角速度都必須是絕對加速度于絕對角速度。,（2）計算主動力與慣性力的虛功時所涉及到的虛位移必須是絕對虛位移。,拉格朗日方程得解題步驟,（1）以整個系統(tǒng)為研究對象，分析系統(tǒng)的約束性質(zhì)，確定系統(tǒng)的自由度數(shù)，并恰當選取同樣數(shù)目的廣義坐標,（2）寫出廣義坐標，廣義速度表示的系統(tǒng)的動能,（3）計算廣義力。比較方便而且常用得式由公式計算。當主動力均為有勢力時，則需求廣義坐標表示的系統(tǒng)的勢能，并寫出拉氏函數(shù)。,（4）計算各相應(yīng)的導(dǎo)數(shù),（5）根據(jù)相應(yīng)形式的拉氏方程，建立質(zhì)點系的運動微分方程。,例252一質(zhì)量為m的小球與彈簧的一端相連，彈簧的另一端固定。已知彈簧的質(zhì)量不計，彈性系數(shù)為k，在平衡位置式的長度為L。是求小球在同一鉛垂面內(nèi)運動的拉氏方程。,(1)取小球和彈簧組成的系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)由兩個自由度，選取小球的極坐標為廣義坐標,(2)系統(tǒng)的動能為,（3）設(shè)衡位置時系統(tǒng)的勢能為零，則系統(tǒng)的勢能為,其中,（4）系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù),（5）分別計算導(dǎo)數(shù),（6）由保守系統(tǒng)的第二類拉格朗日方程,得,例25.3圖是一質(zhì)量為M的均質(zhì)圓盤，半徑為R,其中心A與彈性系數(shù)為k，彈簧原長為，且與水平地面平行的彈簧一端相連，彈簧的另一端固定。質(zhì)量為m，長為的均質(zhì)桿AB通過以光滑鉸鏈A與圓盤中心相連。若圓盤在水平地面上作純滾動，試求系統(tǒng)運動的拉式方程。,(2)圓盤和桿的動能分別為,解（1）系統(tǒng)的自由度為2，以圖中的x，為系統(tǒng)的廣義坐標。設(shè)桿的質(zhì)心為C，圓盤的速度瞬心為P,故系統(tǒng)的動能為,（3）設(shè)過A的水平面為重力勢能的零勢能面，彈簧原長為彈性勢能的零勢能點則系統(tǒng)的勢能為,（4）系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為,L=T-V,(5)計算導(dǎo)數(shù),（6）由拉氏方程,可得到,例25.4質(zhì)量為M的均質(zhì)圓柱再三角塊斜邊上作純滾動，如圖所示。三角塊的質(zhì)量也為M，置于光滑水平面上，其上有剛度系數(shù)為k的彈簧平行于斜面系在圓柱體軸心O上。設(shè)角試用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運動微分方程。,解：取整個系統(tǒng)為研究對象,三角塊作平動，圓柱作平面運動，系統(tǒng)具有兩個自由度。,選三角塊的水平位移和圓柱中心O沿三角塊斜面的位移為廣義坐標，其中由靜止時三角塊任一點位置計起，由彈簧原長處計起如圖。因為作用在系統(tǒng)上的主動力mg和彈性力均為有勢力，所以，可用拉格朗日方程式求解,取圓柱中心O為動點，動系與三角塊固連，定系與水平面固連，則O點的絕對速度,其中,所以，系統(tǒng)的動能,將以上表達式代入,整理得到系統(tǒng)的微分方程,例25.5如圖所示系統(tǒng)中，均質(zhì)圓柱B的質(zhì)量，半徑R=10cm,通過繩和彈簧與質(zhì)量的物塊M相連，彈簧的剛度系數(shù),斜面的傾角。假設(shè)圓柱B滾動而不滑動，繩子的傾角段與斜面平行，不計定滑輪A，繩子和彈簧的質(zhì)量，以及軸承A處摩擦，試求系統(tǒng)的運動微分方程,解：取整個系統(tǒng)為研究對象。圓柱B作平面運動物塊M作作平動，定滑輪A作定軸轉(zhuǎn)動,系統(tǒng)有兩個自由度，選圓柱B的質(zhì)心沿斜面向上坐標及物塊M鉛垂向下的的坐標為廣義坐標，其原點均在靜平衡位置。如圖,因為作用在系統(tǒng)上的主動力重力和彈性力均為有勢力,所以可用拉格朗日方程式求解,若選彈