專題算法與推理(理).ppt

理數(shù),第8專題算法與推理,回歸課本與創(chuàng)新設計,高考命題趨勢,重點知識回顧,主要題型剖析,專題訓練,試題備選,一、算法,1.算法的含義,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,(1)一般而言,對一類問題的機械的、統(tǒng)一的求解方法稱為算法.,(2)算法是指用一系列運算規(guī)則能在有限步驟內求解某類問題,其中的每條規(guī)則是明確定義的、可行的.,(3)算法從初始步驟開始,每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟,從而組成一個步驟序列,序列的終止表示問題得到解答或指出問題沒有解答.,2.流程圖(也叫程序框圖、算法框圖)是由一些框圖和帶箭頭,的流線組成的,其中框圖表示各種操作的類型,框圖中的文字和符號表示操作的內容,帶箭頭的流線表示操作的先后次序.流程圖通常由輸入、輸出框、流程線、處理框、判斷框、起止框等構成.,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,3.算法的三種基本邏輯結構,順序結構:如圖(1)所示.,條件結構(也稱選擇結構、條件分支結構):如圖(2)和圖(3)所示.,循環(huán)結構:如圖(4)和圖(5)所示.,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,1.合情推理,(1)歸納推理和類比推理統(tǒng)稱為合情推理.,(2)歸納推理是由部分到整體、由特殊(個別)到一般的推理.,(3)類比推理是由特殊到特殊的推理.,2.演繹推理,演繹推理是由一般到特殊的推理.,二、推理,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,(1)綜合法的思維特點是:由因導果.,(2)分析法的思維特點是:執(zhí)果索因.,4.間接證明法反證法,反證法是一種間接證法,它是先提出一個與命題的結論相反的假設,然后從這個假設出發(fā),經過正確的推理,導致矛盾,從而否定相反的假設,達到肯定原命題正確的一種方法.,反證法的步驟是:反設、歸謬、存真.,3.直接證明法,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,(1)證明當n取第一個值n0(初始值)時結論正確;,(2)假設當n=k(kN+,且kn0)時結論正確,證明當n=k+1時結論也正確.,由(1)(2)可知,命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確.,5.數(shù)學歸納法的步驟:,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,算法考題模式仍將保持穩(wěn)定,還是以算法框圖為考查要點,仍以數(shù)列、函數(shù)和統(tǒng)計等知識為背景,但試題將更加新穎靈活.,推理與證明貫穿于整個高中數(shù)學的始終.解題過程中處處離不開分析與綜合的思想方法,某些試題要靠歸納和類比得到問題的答案或者解決問題的方法,在解答題的推理論證中,大多數(shù)題目要靠演繹推理來完成,可以說推理與證明伴隨在解題的整個過程中.高考試題中出現(xiàn)考查歸納推理和類比推理的試題,也出現(xiàn)過用反證法證明的題目,隨著新課標高考的深入,對推理與證明的考查會更加科學合理,特別在合情推理的考查方面定會有新的試題出現(xiàn)在高考試卷中.,算法考題基本上是1道客觀題,分值為5分,常以數(shù)列、函數(shù)、統(tǒng)計等知識為背景,主要考查算法框圖,試題難度不大.展望2012年高考,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,算法與框圖是高考中經?？疾榈膬热?常見于選擇題和填空題,以容易題、中檔題為主.考查的熱點是算法框圖、條件語句和循環(huán)語句的理解和應用,主要是利用算法解決代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、統(tǒng)計等知識交匯的小綜合問題.,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,例1(1)定義函數(shù)CONRND(a,b)是產生區(qū)間(a,b)內的任何一個實數(shù)的隨機數(shù)函數(shù).如圖所示的算法框圖可用來估計的值.現(xiàn)在N輸入的值為100,結果m的輸出值為21,則由此可估計的近似值為.,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,(2)(2011年江西)下圖是某算法的程序框圖,則程序運行后輸出的結果是.,【分析】(1)讀懂算法框圖的循環(huán)結構和隨機數(shù)函數(shù),用幾何概型求之.,(2)先考慮循環(huán)變量s和計數(shù)變量n的初始值,再確定循環(huán)體及循環(huán)次數(shù)并計算每次的運算結果,最后確定輸出變量s的值.,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,【解析】(1)點(A,B)應在矩形區(qū)域(A,B)|-11時,輸出m=21,表示點(A,B)在矩形區(qū)域內部和單位圓的外部有21個點,根據(jù)幾何概率得=,=4=3.16.,(2)第一次,s1=0+(-1)1+1=0,n=2;第二次,s2=0+(-1)2+2=3,n=3;第三次,s3=3+(-1)3+3=5,n=4;第四次,s4=5+(-1)4+4=109,故填10.,【答案】(1)3.16(2)10,(1)算法用來解決實際問題會是高考的一個命題亮點.本題借助框圖,考查了幾何概型,又驗證了圓周率的近似值,是一道好題.(2)算法框圖命題背景常常是數(shù)列、統(tǒng)計、函數(shù)等等.在知識的交匯處命題是高考的一大特色.本題就是用框圖解決數(shù)列的一道好題.,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,同類拓展1(1)(2011年山東)執(zhí)行如圖所示的算法框圖,輸入l=2,m=3,n=5,則輸出的y的值是.,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,(2)執(zhí)行如圖所示的算法框圖,若輸出的S=88,則判斷框內應填入的條件是(),(A)k7?.(B)k6?.(C)k5?.(D)k4?.,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,【解析】(1)輸入l=2,m=3,n=5,l2+m2+n20,故y=702+213+155=278,因y=278105,故y=278-105=173,又y=173105,故y=173-105=68.,(2)第一次循環(huán):k=1+1=2,S=20+2=2;,第二次循環(huán):k=2+1=3,S=22+3=7;,第三次循環(huán):k=3+1=4,S=27+4=18;,第四次循環(huán):k=4+1=5,S=218+5=41;,第五次循環(huán):k=5+1=6,S=241+6=88,滿足條件則輸出S的值,而此時k=6,故判斷框內應填入的條件應是k5?.故選C.,【答案】(1)68(2)C,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,合情推理是科學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的基礎,盡管合情推理的結果不一定正確.高考常在歸納與類比中擇一命題,題型較靈活,難度中等,主要是選擇或填空題.考查兩個推理的應用能力.,例2(1)(2011年山東)設函數(shù)f(x)=(x0),觀察:,f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x)=,f3(x)=f(f2(x)=,f4(x)=f(f3(x)=,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,當nN+且n2時,fn(x)=f(fn-1(x)=.,根據(jù)以上事實,由歸納推理可得:,(2)在平面幾何中,ABC的內角平分線CE分AB所成線段的比=,把這個結論類比到空間:在三棱錐ABCD中,ABCD(如圖所示),面DEC平分二面角ACDB且與AB相交于E,則得到的類比的結論是.,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,(2)類比時,面積常與線段長類比.ACD類比AC,BCD類比BC.,【解析】(1)觀察給定的各個函數(shù)解析式,可知分子都為x,分母都為關于x的一次式的形式且每個式子的常數(shù)項為2,4,8,16,這樣fn(x)對應的函數(shù)的分母的常數(shù)為2n,x的系數(shù)為2n-1;因此fn(x)=f(fn-1(x)=.,【分析】(1)從給出的函數(shù)解析式中x的系數(shù)分析歸納出一般性結論.,(2)ABCD,過E作EFCD交CD于點F,連結AF,BF,則CD平面ABF.故AFB為二面角A-CD-B的平面角,于是EF是AFB的平分線.類比=成立.,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,【答案】(1)(2)=,(1)本題實質是考查數(shù)列的通項歸納,這是歸納推理經?？疾榈姆矫?(2)類比時要了解一些類比對象的對應關系,這便于快捷找到解決問題的思想方法.,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,同類拓展2(1)觀察下列恒等式:,=-,tan-=-,tan2-=-,tan4-=-,由此可知:tan+2tan+4tan-=.,(2)邊長為a的等邊三角形內任意一點到三邊距離之和為定值.將這個結論推廣到空間,棱長為a的正四面體內任意一點到各面距離之和為定值,則這個定值為.,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,【解析】(1)tan+2tan+4tan-,=2tan-+4tan=4tan-4=-8.,(2)在等邊三角形中,設任意一點到三邊的距離分別為x1、x2、x3,則ax1+ax2+ax3=a2x1+x2+x3=a,同理,在正四面體中,可設正四面體內任一點到四個面的距離分別為h1、h2、h3、h4,因為每個面的面積為a2,a2(h1+h2+h3+h4)=a2a,h1+h2+h3+h4=a,即為此正四面體的高.,【答案】(1)-8(2)a,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,綜合法是“由因導果”,而分析法則是“執(zhí)果索因”,它們是截然相反的兩種證明方法,分析法便于我們去尋找思路,而綜合法便于過程的敘述,兩種方法各有所長,在解決具體的問題中,綜合應用,效果會更好.一般直接證明中的綜合法會在解答題中重點考查.而反證法一般作為客觀題的判斷方法,很少單獨命題,但可能會在大題中用到.,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,例3如圖,四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,PCAD,底面ABCD為梯形,ABDC,ABBC,AB=BC,點E在棱PB上,且PE=2EB.,(1)求證:平面PAB平面PCB;,(2)求證:PD平面EAC.,【分析】本題以立體幾何中的四棱錐為載體,重點考查平行與垂直這兩大位置關系的推理論證,其中第(1)問,要證面面垂直,即要證兩平面中的一個平面經過另一平面的一條垂線,從而問題的關鍵在于尋找平面PAB或平面PCB的垂線,根據(jù)圖形的特征,可證CB與平面PAB垂直,這可由條件ABBC,PACB即得;第(2)問要使得線面平行,只需保證線線平行,即使PD,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,與平面AEC內的一條直線平行,連結BD交AC于M,從而問題轉化為探究PD與EM能否平行的問題.,【解析】(1)PA底面ABCD,PABC,又ABBC,PAAB=A,BC平面PAB.,又BC平面PCB,平面PAB平面PCB.,(2)PA底面ABCD,AC為PC在平面ABCD內的射影.,又PCAD,ACAD.,在梯形ABCD中,由ABBC,AB=BC,得BAC=,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,又ABDC,DCA=BAC=,又ACAD,故DAC為等腰直角三角形.,DC=AC=AB=2AB.,連結BD交AC于點M,連結EM,則=2.,在BPD中,=2,PDEM.,又PD平面EAC,EM平面EAC,PD平面EAC.,立體幾何是高中數(shù)學的重要組成部分,在高考中的試,題多以中檔題形式出現(xiàn),綜合考查線面平行及垂直問題等基礎知識,在備考復習時,要依據(jù)課本知識,構建空間思維網(wǎng)絡,熟練掌握線面平行、垂直的性質、判定定理.,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,同類拓展3,(2011年江蘇)如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,AB=AD,BAD=60,E,F分別是AP,AD的中點.,求證:(1)直線EF平面PCD;,(2)平面BEF平面PAD.,【解析】(1)在PAD中,因為E,F分別為AP,AD的中點,所以EFPD.,又因為EF平面PCD,PD平面PCD,所以直線EF平面PCD.,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,(2)連結BD,因為AB=AD,BAD=60,所以ABD為正三角形.因為F是AD的中點,所以BFAD.,因為平面PAD平面ABCD,BF平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以BF平面PAD.,又因為BF平面BEF,所以平面BEF平面PAD.,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,例4已知a0,b0,a+b=1,求證:+2.,【分析】若采用分析法,則易找到思路,用綜合法結合基本不等式進行書寫證明過程.,【證明】(法一)要證原不等式只要證a+b+24,即只要證明1.,也就是要證明ab+(a+b)+1.從而只要證ab.,1=a+b2ab,原不等式成立.,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,(法二)1=a+b2,ab,(a+b)+ab+1,1,從而有2+24,即(a+)+(b+)+24,+24,+2.,本題的關鍵在于找準突破口,合理選擇方法.分析法中的聯(lián)結詞語必不可少,優(yōu)點是利于思考.綜合法條理清楚,但不好下手,兩者結合較好.,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,同類拓展4已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,(a,bR),當實數(shù)p、q滿足p+q=1時,若0p1,求證:pf(x)+qf(y)f(px+qy)對任意實數(shù)x,y成立.,【證明】欲證:pf(x)+qf(y)f(px+qy),只要證:p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)(px+qy)2+a(px+qy)+b.,p+q=1,只要證:px2+qy2(px+qy)2,只要證:p(1-p)x2-2pqxy+q(1-q)y20,只要證:pq(x-y)20.,0p1,p+q=1,0q1,(x-y)20,上式成立,故原不等式成立.,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,例5求證:當x2+bx+c2=0有兩個不相等的非零實數(shù)根時,bc0.,【分析】從所證結論分析不好采用直接證法.若用反證法,則可分為3類情況討論證明.,【證明】假設bc=0,則有三種情況出現(xiàn):,若b=0,c=0,方程變?yōu)閤2=0,x1=x2=0是方程x2+bx+c2=0的根,這與已知方程中有兩個不相等的實根矛盾;,若b=0,c0,方程變?yōu)閤2+c2=0,但當c0時x2+c20與x2+c2=0矛盾;,若b0,c=0,方程變?yōu)閤2+bx=0,方程的根為x1=0,x2=-b,這與已知條件方程有兩個非零實根矛盾.,綜合可知,假設不成立,故當x2+bx+c2=0有兩個不相等的非零實數(shù)根時,bc0.,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,當結論的反面的情形比較多時,要對每一種情形分別推出矛盾.,同類拓展5設Sn為數(shù)列an的前n項和,Sn=2an-3n+5(nN+).,(1)證明:數(shù)列an+3是等比數(shù)列;,(2)證明:不存在正整數(shù)p,q,r(p=,取n=2,有(1+1)(1+)=.,推測(1+1)(1+)(1+)(*).,當n=1時,已驗證(*)式成立;,假設n=k(k1)時(*)式成立,即(1+1)(1+)(1+).,則當n=k+1時,(1+1)(1+)(1+)(1+)(1+)=.,()3-()3,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,=0,(3k+2)=,從而(1+1)(1+)(1+)(1+),即當n=k+1時,(*)式成立,由知,(*)式對任意正整數(shù)n都成立.,于是,當a1時,Snlogabn+1,當0a1時,Sn0,ak+1=-,即n=k+1時,an=-成立.,由知,an=-成立.,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,回歸課本,(2010年湖南)如圖是求12+22+32+1002的值的程序框圖,則正整數(shù)n=.,【解析】按照程序框圖依次執(zhí)行:,第1次,這時s=1,i=2;第2次,這時s=12+22,i=3;,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,第99次,這時s=12+22+32+992,i=100;,第100次,這時s=12+22+32+1002,i=101,輸出.,【答案】100,課本試題對比:,人教A版必修3習題1.1第2題.,設計一個算法求12+22+992+1002的值,并畫出算法框圖.,本題考查了算法中的讀算法框圖問題,這類問題在高考中是必考題,試題難度不大,主要考查循環(huán)結構和條件結構等.通過對比發(fā)現(xiàn),高考題就是設計了一個算法框圖,完成求值.可以說兩題完全相同.由此得到感悟:高考題雖然千變萬化,但萬變不離其宗.算法與推理的許多問題均可以從課本中找到原型,復習時要注意這點,不能丟掉這一核心.,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,1.如圖,在算法框圖中,若p=,則輸出的n=.,創(chuàng)新設計,【解析】由題意得n=1,S=0+=p;n=2,S=+=p;n=3,S=+=b2.(B)1.,(C)log2(a-b)0.(D)2-ab,()a()b,即2-ab0)的不平行于對稱軸且不過原點的弦,M為AB的中點,則kOMkAB=-.那么對于雙曲線有如下命題:AB是雙曲線-=1(a0,b0)的不平行于對稱軸且不過原點的弦,M為AB的中點,則kOMkAB=.,【答案】,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,17.在ABC中,若ABAC,ADBC于D,則=+,那么,在四面體ABCD中,類比上述結論,你能得到怎樣的猜想,并說明理由.,三、解答題,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,18.證明:在ABC中,a,b,c成等差數(shù)列的充要條件是acos2+ccos2=b.,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,19.等差數(shù)列an的前n項和為Sn,a1=1+,S3=9+3.,(2)設bn=(nN+),求證:數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列.,(1)求數(shù)列an的通項an與前n項和Sn;,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,重點知識回顧,主要題型剖析,高考命題趨勢,專題訓練,回歸課本與創(chuàng)新設計,試題備選,(1)求l的方程;,20.已知a0,函數(shù)f(x)=,x(0,+).設0x1,記曲線在x=x1處的切線