2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試卷分類匯編8.3拋物線.doc

高考地理復習第八章圓錐曲線方程三拋物線【考點闡述】拋物線及其標準方程拋物線的簡單幾何性質(zhì)【考試要求】（3）掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì)【考題分類】（一）選擇題（共3題）1.（海南寧夏卷理11）已知點P在拋物線y2=4x上，那么點P到點Q（2，1）的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為（）A.（41，1）B.（41，1）C.（1，2）D.（1，2）解：點P到拋物線焦點距離等于點P到拋物線準線距離，如圖PFPQPSPQ,故最小值在,SPQ三點共線時取得，此時,PQ的縱坐標都是1，所以選A。（點P坐標為1(,1)4）2.（遼寧卷理10）已知點P是拋物線22yx上的一個動點，則點P到點（0，2）的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值為（）A172B3C5D92A.172B.3C.5D.92答案：A解析：本小題主要考查拋物線的定義解題。依題設P在拋物線準線的投影為P,拋物線的焦點為F,則1(,0)2F,依拋物線的定義知P到該拋物線準線的距離為|PPPF,則點P到點(0,2)A的距離與P到該拋物線準線的距離之和22117|()2.22dPFPAAF3.（四川卷理12）已知拋物線2:8Cyx的焦點為F，準線與x軸的交點為K，點A在C上且2AKAF，則AFK的面積為()（）4（）8（）16（）32【解】：拋物線2:8Cyx的焦點為20F，準線為2x20K，高考地理復習設00Axy，過A點向準線作垂線AB，則02By，2AKAF，又0022AFABxx由222BKAKAB得22002yx，即20082xx，解得24A，AFK的面積為01144822KFy故選B【點評】：此題重點考察雙曲線的第二定義，雙曲線中與焦點，準線有關(guān)三角形問題；【突破】：由題意準確畫圖，利用離心率轉(zhuǎn)化位置，在ABK中集中條件求出0x是關(guān)鍵；（二）填空題（共6題）1.（江西卷理15）過拋物線22(0)xpyp的焦點F作傾角為30的直線，與拋物線分別交于A、B兩點（A在y軸左側(cè)），則AFFB【解】：132.（全國卷理14文14）已知拋物線21yax的焦點是坐標原點，則以拋物線與兩坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為答案：2.由拋物線21yax的焦點坐標為1(0,1)4a為坐標原點得，14a，則2114yx與坐標軸的交點為(0,1),(2,0),(2,0)，則以這三點圍成的三角形的面積為141223.（全國卷理15）已知F是拋物線24Cyx：的焦點，過F且斜率為1的直線交C于AB，兩點設FAFB，則FA與FB的比值等于【答案】322【解析】設A（1x，1y）B（2x，2y）由0164122xxxyxy2231x，2232x，（21xx）；由拋物線的定義知22322222242241121xxFBFA【高考考點】直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線定義的應用4.（全國卷文15）已知F是拋物線24Cyx：的焦點，AB，是C上的兩個點，線段AB的中點為(22)M，則ABF的面積等于高考地理復習AyxOBGFF1圖4【答案】2【解析】設過M的直線方程為)2(2xky，由0)1(444)2(22222kkxxkxyxkykxx421，2221)1(4kkxx，由題意144kk，于是直線方程為xy421xx，021xx，24AB，焦點F（1，0）到直線xy的距離21dABF的面積是25.（上海卷文6）若直線10axy經(jīng)過拋物線24yx的焦點，則實數(shù)a【答案】-1【解析】直線10axy經(jīng)過拋物線24yx的焦點(1,0),F則101.aa6.（天津卷理13）已知圓C的圓心與拋物線xy42的焦點關(guān)于直線xy對稱.直線0234yx與圓C相交于BA,兩點，且6AB,則圓C的方程為.解析：拋物線的焦點為(1,0)，所以圓心坐標為(0,1)，2222(032)3105r，圓C的方程為22(1)10xy.（三）解答題（共7題）1.（廣東卷理18文20）設0b，橢圓方程為2212xybb，拋物線方程為28()xyb如圖4所示，過點(02)Fb，作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G，已知拋物線在點G的切線經(jīng)過橢圓的右焦點1F（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；（2）設AB，分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點P，使得ABP為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）【解析】（1）由28()xyb得218yxb，當2yb得4x，G點的坐標為(4,2)b，14yx，4|1xy，高考地理復習過點G的切線方程為(2)4ybx即2yxb，令0y得2xb，1F點的坐標為(2,0)b，由橢圓方程得1F點的坐標為(,0)b，2bb即1b，即橢圓和拋物線的方程分別為2212xy和28(1)xy；（2）過A作x軸的垂線與拋物線只有一個交點P,以PAB為直角的RtABP只有一個，同理以PBA為直角的RtABP只有一個。若以APB為直角，設P點坐標為21(,1)8xx，A、B兩點的坐標分別為(2,0)和(2,0)，222421152(1)108644PAPBxxxx。關(guān)于2x的二次方程有一大于零的解，x有兩解，即以APB為直角的RtABP有兩個，因此拋物線上存在四個點使得ABP為直角三角形。2.（湖南卷理20）若A、B是拋物線y2=4x上的不同兩點，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點P，則稱弦AB是點P的一條“相關(guān)弦”.已知當x2時，點P（x,0）存在無窮多條“相關(guān)弦”.給定x02.（I）證明：點P（x0,0）的所有“相關(guān)弦”的中點的橫坐標相同；(II)試問：點P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，請說明理由.解:（I）設AB為點P（x0,0）的任意一條“相關(guān)弦”，且點A、B的坐標分別是（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,則y21=4x1,y22=4x2,兩式相減得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因為x1x2,所以y1+y20.設直線AB的斜率是k，弦AB的中點是M（xm,ym）,則k=12121242myyxxyyy.從而AB的垂直平分線l的方程為().2mmmyyyxx又點P（x0,0）在直線l上，所以0().2mmmyyxx而0,my于是02.mxx故點P（x0,0）的所有“相關(guān)弦”的中點的橫坐標都是x0-2.()由()知，弦AB所在直線的方程是()mmyykxx，代入24yx中，整理得2222()2()0.mmmmkxkykxxykx（）則12xx、是方程（）的兩個實根，且2122().mmykxxxk高考地理復習設點P的“相關(guān)弦”AB的弦長為l，則22222121212()()(1)()lxxyykxx22221212122222224222222200(1)()44(1)()2()44(1)4(4)(4)4(1)164(1)2(1)4(1)2(3).mmmmmmmmmmmmmmmmmmkxxxxkxxxyxyxyyyxyyyxxxyxxyx因為02my3,則2(x0-3)(0,4x0-8),所以當t=2(x0-3),即2my=2(x0-3)時,l有最大值2(x0-1).若2x03,則2(x0-3)0,g(t)在區(qū)間（0，4x0-8）上是減函數(shù)，所以0l23時，點P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長中存在最大值，且最大值為2（x0-1）；當2x03時，點P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長中不存在最大值.3.（江西卷文22）已知拋物線2yx和三個點00000(,)(0,)(,)MxyPyNxy、2000(,0)yxy，過點M的一條直線交拋物線于A、B兩點，APBP、的延長線分別交曲線C于EF、（1）證明EFN、三點共線；（2）如果A、B、M、N四點共線，問：是否存在0y，使以線段AB為直徑的圓與拋物線有異于A、B的交點？如果存在，求出0y的取值范圍，并求出該交點到直線AB的距離；若不存在，請說明理由（1）證明：設221122(,)(,)AxxBxx、，(,)(,)EEFFExyBxy、則直線AB的方程：222121112xxyxxxxx即：1212()yxxxxx因00(,)Mxy在AB上，所以012012()yxxxxx又直線AP方程：21001xyyxyxyxPNOMAEBF高考地理復習由210012xyyxyxxy得：2210010xyxxyx所以22100012111,EEExyyyxxxyxxx同理，200222,FFyyxyxx所以直線EF的方程：201201212()yxxyyxxxxx令0xx得0120012()yyxxxyxx將代入上式得0yy，即N點在直線EF上，所以,EFN三點共線（2）解：由已知ABMN、共線，所以0000,(,)AyyByy以AB為直徑的圓的方程：2200xyyy由22002xyyyxy得22000210yyyyy所以0yy（舍去），01yy要使圓與拋物線有異于,AB的交點，則010y所以存在01y，使以AB為直徑的圓與拋物線有異于,AB的交點,TTTxy則01Tyy，所以交點T到AB的距離為00011Tyyyy4.（山東卷理22）如圖，設拋物線方程為x2=2py(p0),M為直線y=-2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B.（）求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數(shù)列；（）已知當M點的坐標為（2，-2p）時，410AB，求此時拋物線的方程；（）是否存在點M，使得點C關(guān)于直線AB的對稱點D在拋物線22(0)xpyp上，其中，點C滿足OCOAOB（O為坐標原點）.若存在，求出所有適合題意的點M的坐標；若不存在，請說明理由.高考地理復習解：（）證明：由題意設221212120(2)22xxAxBxxxMxppp，由22xpy得22xyp，得xyp，所以1MAxkp，2MBxkp因此直線MA的方程為102()xypxxp，直線MB的方程為202()xypxxp所以211102()2xxpxxpp，222202()2xxpxxpp由、得121202xxxxx，因此1202xxx，即0122xxx所以AMB，三點的橫坐標成等差數(shù)列（）解：由（）知，當02x時，將其代入、并整理得：2211440xxp，22440xxp，所以12xx，是方程22440xxp的兩根，因此124xx，2124xxp，又222101221222ABxxxxxppkxxpp，所以2ABkp由弦長公式得2221212241()411616ABkxxxxpp又410AB，所以1p或2p，因此所求拋物線方程為22xy或24xyyxBAOM2p高考地理復習（）解：設33()Dxy，由題意得1212()Cxxyy，則CD的中點坐標為12312322xxxyyyQ，設直線AB的方程為011()xyyxxp，由點Q在直線AB上，并注意到點121222xxyy，也在直線AB上，代入得033xyxp若33()Dxy，在拋物線上，則2330322xpyxx，因此30x或302xx即(00)D，或20022xDxp，（1）當00x時，則12020xxx，此時，點(02)Mp，適合題意（2）當00x，對于(00)D，此時2212022xxCxp，2212022CDxxpkx221204xxpx，又0ABxkp，ABCD，所以22220121220144ABCDxxxxxkkppxp，即222124xxp，矛盾對于20022xDxp，因為2212022xxCxp，此時直線CD平行于y軸，又00ABxkp，所以直線AB與直線CD不垂直，與題設矛盾，所以00x時，不存在符合題意的M點綜上所述，僅存在一點(02)Mp，適合題意5.（陜西卷理20文21）已知拋物線C：22yx，直線2ykx交C于AB，兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交C于點N（）證明：拋物線C在點N處的切線與AB平行；高考地理復習（）是否存在實數(shù)k使0NANB，若存在，求k的值；若不存在，說明理由解：解法一：（）如圖，設211(2)Axx，222(2)Bxx，把2ykx代入22yx得2220xkx，由韋達定理得122kxx，121xx，1224NMxxkxx，N點的坐標為248kk，設拋物線在點N處的切線l的方程為284kkymx，將22yx代入上式得222048mkkxmx，直線l與拋物線C