2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次月考試題 理(含解析).doc

2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次月考試題 理(含解析)一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 設(shè)復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位，則( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：直接利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和共軛復(fù)數(shù)的定義化簡(jiǎn)即可得結(jié)果.詳解：因?yàn)閺?fù)數(shù) 所以所以，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則以及共軛復(fù)數(shù)的定義，意在考查對(duì)基本概念與運(yùn)算的掌握情況.2. 下列各命題中，不正確的是( )A. 若是連續(xù)的奇函數(shù)，則B. 若是連續(xù)的偶函數(shù)，則C. 若在上連續(xù)且恒為正，則D. 若在上連續(xù)且，則在上恒為正.【答案】D【解析】分析： ,若是連續(xù)的奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及定積分的幾何意義可判斷出結(jié)論； ,若是連續(xù)的偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及定積分的幾何意義可判斷出結(jié)論；，若在上連續(xù)且恒為正，根據(jù)其單調(diào)性即可判斷出是否正確； ，舉出反例即可否定. 詳解：是連續(xù)的奇函數(shù)，故正確；是連續(xù)的偶函數(shù)，故正確；在上連續(xù)且恒正，故正確；.舉反例，而在區(qū)間上恒小于，即函數(shù)在區(qū)間上不恒為正，故不正確，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查定積分的定積分的性質(zhì)與計(jì)算，意在考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于容易題，定積分的計(jì)算通常有兩類(lèi)基本方法：一是利用牛頓-萊布尼茨定理；二是利用定積分的幾何意義求解.3. 如果復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位，為實(shí)數(shù)）的實(shí)部和虛部互為相反數(shù)，那么等于( )A. -6 B. C. D. 2【答案】C【解析】分析：利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部定義求解即可.詳解：由題意，復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位，為實(shí)數(shù)）的實(shí)部和虛部化為相反數(shù)，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查的是復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算，屬于中檔題解題時(shí)一定要注意和以及 運(yùn)算的準(zhǔn)確性，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.4. 易知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)在上的圖象如圖所示，則函數(shù)在上的極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】分析：由導(dǎo)函數(shù)在上的圖象以及函數(shù)取得極大值點(diǎn)的充要條件是：在左側(cè)的導(dǎo)數(shù)大于， 右側(cè)的導(dǎo)數(shù)小于，即可得出結(jié)論.詳解：導(dǎo)函數(shù)在上的圖象如圖所示，由函數(shù)取得極大值點(diǎn)的充要條件是：在左側(cè)的導(dǎo)數(shù)大于， 右側(cè)的導(dǎo)數(shù)小于，由圖象可知，函數(shù)只有在點(diǎn)處取得最大值，而在點(diǎn)處取得極小值，而在點(diǎn)處無(wú)極值，函數(shù)在上的極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)取得極大值在一點(diǎn)的充要條件，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，數(shù)形結(jié)合思想分法，推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.5. 由函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖像所圍成的封閉圖形的面積為( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析：由和在的交點(diǎn)坐標(biāo)為，兩函數(shù)圖象所圍成的封閉圖形的面積為.故選D.考點(diǎn)：定積分在求面積中的應(yīng)用、正弦函數(shù)的圖象、余弦函數(shù)的圖象.6. 已知，函數(shù)，若在上是單調(diào)減函數(shù)，則的取值范圍是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：函數(shù)，若在上是單調(diào)減函數(shù)，等價(jià)于恒成立，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想列不等式求解即可.詳解：，在上是單調(diào)減函數(shù)，設(shè)，結(jié)合二次函數(shù)圖象可得，故選C.點(diǎn)睛：利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍的常見(jiàn)方法： 視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)需注意若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的; 利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式或恒成立問(wèn)題求參數(shù)范圍，本題是利用方法 求解的7. 將一張等邊三角形紙片沿著中位線剪成4個(gè)小三角形，稱(chēng)為第一次操作；然后將其中一個(gè)三角形按同樣的方法再剪成4個(gè)小三角形，共得到7個(gè)小三角形，稱(chēng)為第二次操作；同理第三次操作得到10個(gè)小三角形，若要得到100個(gè)小三角形，則需操作的次數(shù)是( )A. 31 B. 32 C. 33 D. 34【答案】C【解析】分析：由歸納推理可得第次操作后三角形共有個(gè)，由，可得結(jié)果.詳解：第一次操作后，三角形共有個(gè)；第二次操作后，三角形共有個(gè)；第三次操作后,三角形共有個(gè)；,第次操作后,三角形共有個(gè)，當(dāng)時(shí)，解得，故選C.點(diǎn)睛：歸納推理的一般步驟: 一、通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì). 二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想）. 常見(jiàn)的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類(lèi)：(1) 數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2) 形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.8. 定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：構(gòu)造函數(shù)，可得為上的減函數(shù)，結(jié)合的單調(diào)性，利用排除法即可的結(jié)果.詳解：，即，設(shè)，則為上的減函數(shù)，為上的減函數(shù)，即，故錯(cuò)誤；，即，故錯(cuò)誤；，即,錯(cuò)；，即，正確，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)比較大小,屬于難題.聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類(lèi)問(wèn)題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問(wèn)題，?？墒箚?wèn)題變得明了，準(zhǔn)確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵；解這類(lèi)不等式的關(guān)鍵點(diǎn)也是難點(diǎn)就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時(shí)往往從兩方面著手：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；若是選擇題，可根據(jù)選項(xiàng)的共性歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).9. 已知函數(shù)有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】函數(shù)既存在極大值，又存在極小值， 方程 有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，解得或，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選B.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與劃歸思想.屬于中檔題.轉(zhuǎn)化與劃歸思想解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決知識(shí)點(diǎn)較多以及知識(shí)跨度較大的問(wèn)題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn).以便將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識(shí)領(lǐng)域，進(jìn)而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用于解題當(dāng)中.解答本題的關(guān)鍵是將極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問(wèn)題.10. 某校有四件作品參加航模類(lèi)作品比賽.已知這四件作品中恰有兩件獲獎(jiǎng)，在結(jié)果揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四件參賽作品的獲獎(jiǎng)情況預(yù)測(cè)如下：甲說(shuō)：“同時(shí)獲獎(jiǎng)”；乙說(shuō)：“不可能同時(shí)獲獎(jiǎng)”；丙說(shuō)：“獲獎(jiǎng)”；丁說(shuō)：“至少一件獲獎(jiǎng)”.如果以上四位同學(xué)中有且只有二位同學(xué)的預(yù)測(cè)是正確的，則獲獎(jiǎng)的作品是( )A. 作品與作品 B. 作品與作品 C. 作品與作品 D. 作品與作品【答案】D【解析】 根據(jù)題意，作品中進(jìn)行評(píng)獎(jiǎng)，由兩件獲獎(jiǎng)， 且有且只有二位同學(xué)的預(yù)測(cè)是正確的， 若作品與作品獲獎(jiǎng)，則甲、乙，丁是正確的，丙是錯(cuò)誤的，不符合題意； 若作品與作品獲獎(jiǎng)，則乙、并、丁是正確的，甲是錯(cuò)誤的，不符合題意； 若作品與作品獲獎(jiǎng)，則甲、乙，丙是正確的，丁是錯(cuò)誤的，不符合題意； 只有作品與作品獲獎(jiǎng)，則乙，丁是正確的，甲、丙是錯(cuò)誤的，符合題意， 綜上所述，獲獎(jiǎng)作品為作品與作品，故選D.11. 若函數(shù)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最大值為( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由，可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域即可.詳解：由，可得，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，故，因?yàn)楹瘮?shù)有零點(diǎn)，所以 ，故的最大值為，故選D.點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)，求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：(1)直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解一是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的圖象 12. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.給出以下命題：當(dāng)時(shí)，；：函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)；：若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是；恒成立，其中真命題為( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：當(dāng)時(shí)，則，可得正確，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得，從而可得錯(cuò)誤，利用排除法可得結(jié)果.詳解：當(dāng)時(shí)，則，是奇函數(shù)，故，正確，排除；當(dāng)時(shí)，設(shè)，在上遞增；在上遞減，時(shí)，是奇函數(shù)，且時(shí)，所以，若方程有解，錯(cuò)誤，排除，故選C.點(diǎn)睛：特殊法是“小題小做”的重要策略，排除法解答選擇題是高中數(shù)學(xué)一種常見(jiàn)的解題思路和方法，這種方法即可以提高做題速度和效率，又能提高準(zhǔn)確性，這種方法主要適合下列題型:(1)求值問(wèn)題（可將選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證）；（2）求范圍問(wèn)題（可在選項(xiàng)中取特殊值，逐一排除）；（3）圖象問(wèn)題（可以用函數(shù)性質(zhì)及特殊點(diǎn)排除）；（4）解方程、求解析式、求通項(xiàng)、求前 項(xiàng)和公式問(wèn)題等等.二、填空題（每題5分，滿(mǎn)分20分，將答案填在答題紙上）13. 若，則 _【答案】. 【解析】分析：由，可得，根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式以及積分公式，即可結(jié)果.詳解：由分段函數(shù)可知當(dāng)時(shí)，而，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查分段函數(shù)的解析式、函數(shù)的周期性和積分公式，屬于中檔題.對(duì)于分段函數(shù)解析式的考查是命題的動(dòng)向之一，這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)是綜合性強(qiáng)，對(duì)抽象思維能力要求高，因此解決這類(lèi)題一定要層次清楚，思路清晰.14. 已知是復(fù)數(shù)，與均為實(shí)數(shù)，且復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)【答案】.【解析】分析：設(shè)，由為實(shí)數(shù)，可得，化簡(jiǎn)，根據(jù)為實(shí)數(shù)，可得化簡(jiǎn)，根據(jù)實(shí)部、虛部都大于零列不等式求解即可.詳解：設(shè)，則為實(shí)數(shù)，即，又為實(shí)數(shù)，而對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，解得，故答案為.點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過(guò)分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn)，防止簡(jiǎn)單問(wèn)題出錯(cuò)，造成不必要的失分.15. 若函數(shù)是函數(shù)的圖像的切線，則的最小值是_【答案】-1.【解析】設(shè)切點(diǎn)（），則，切線斜率 又，所以，令，對(duì)求導(dǎo)易得在（0,1）上遞減，在（1，+）上遞增.所以.16. 已知，對(duì)任意的，存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，使得，則的最大值為_(kāi)【答案】3.【解析】分析：對(duì)，存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，使得成立，等價(jià)于時(shí)，的圖象始終在的圖象下方，從而利用數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.詳解：當(dāng)時(shí)，作函數(shù)與的圖象如圖,，對(duì)，存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，使得成立，正確；當(dāng)時(shí)，作函數(shù)與的圖象如圖，對(duì)，存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，使得成立，正確；當(dāng)時(shí)，作函數(shù)與的圖象如圖，對(duì)，存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，使得成立，正確；當(dāng)時(shí)，作函數(shù)與的圖象如圖，不正確，故答案為.點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決選擇題、填空題是發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是正確作出函數(shù)圖象以及熟練掌握函數(shù)圖象的幾種變換，充分利用數(shù)形結(jié)合的思想方法能夠使問(wèn)題化難為簡(jiǎn)，并迎刃而解.三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.） 17. 已知是復(fù)數(shù)，和均為實(shí)數(shù)（為虛數(shù)單位）.(1)求復(fù)數(shù)；(2)求的模.【答案】(1).(2).【解析】試題分析：（1）設(shè) ，用表示出和，再由和均為實(shí)數(shù)就可求出的值，從而求得復(fù)數(shù)；（2）由（1）的結(jié)果代入，算出，進(jìn)而就可求出其模來(lái).試題解析：（1）設(shè)，所以為實(shí)數(shù)，可得，又因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，即（2），所以模為，考點(diǎn)：1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念；2.復(fù)數(shù)的除法18. 用分析法證明：當(dāng)時(shí)【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】分析：利用分析法證明，移項(xiàng)、平方，化簡(jiǎn)再平方，直至顯然成立，從而可得原式成立.詳解：證明：當(dāng)時(shí)：要證,只需證,需證,即證,只需證，即證，顯然上式成立，所以原不等式成立，即：.點(diǎn)睛：分析法證明不等式的主要事項(xiàng)：用分析法證明不等式時(shí)，不要把“逆求”錯(cuò)誤的作為“逆推”，分析法的過(guò)程僅需尋求充分條件即可，而不是充要條件，也就是說(shuō)，分析法的思維是逆向思維，因此在證題時(shí)，應(yīng)正確使用“要證”、“只需證”這樣的連接關(guān)鍵詞.19. 已知函數(shù)，()當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；()當(dāng)時(shí)，若在區(qū)間上的最小值為-2，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）求出，由 的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，由的值，可得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）分三種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性求得函數(shù)最小值，令所求最小值等于，排除不合題意的的取值，即可求得到符合題意實(shí)數(shù)的取值范圍.詳解：()當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋郧芯€方程是()函數(shù)的定義域是當(dāng)時(shí)，令得或當(dāng)時(shí)，所以在上的最小值是，滿(mǎn)足條件，于是當(dāng)，即時(shí)，在上的最小，即時(shí)，在上單調(diào)遞增最小值，不合題意；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以在上的最小值是，不合題意.綜上所述有，.點(diǎn)睛：求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn) 出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí)，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.20. 設(shè)，試比較與的大小并證明.【答案】當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí).證明見(jiàn)解析.【解析】當(dāng)n1，2時(shí)f(n).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n3時(shí)，顯然成立；由知，對(duì)任何n3，nN不等式成立21. 已知函數(shù)(1)若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方，求的取值范圍.【答案】(1).(2).【解析】分析：(1)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上恒成立，即，而當(dāng)時(shí)，故，從而可得結(jié)果；(2) 令，在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價(jià)于在區(qū)間上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求得函數(shù)的最大值，可證明時(shí)不合題意， 當(dāng)時(shí)，只需，從而可得結(jié)果.詳解：(1)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上恒成立.即，而當(dāng)時(shí)，故.所以.(2)