數(shù)列通項公式方法大全很經(jīng)典.doc

1，數(shù)列通項公式的十種求法：（1）公式法（構(gòu)造公式法）例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：兩邊除以，得，則，故數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式，得，所以數(shù)列的通項公式為。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出，進而求出數(shù)列的通項公式。（2）累加法例2 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由得則所以數(shù)列的通項公式為。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進而求出，即得數(shù)列的通項公式。變式：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。（3）累乘法例3已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以，則，故所以數(shù)列的通項公式為評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進而求出，即得數(shù)列的通項公式。變式：已知數(shù)列滿足，求的通項公式。（4）待定系數(shù)法例4已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)將代入式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入式得由及式得，則，則數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則，故。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式。變式：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。（5）對數(shù)變換法例5已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以。在式兩邊取常用對數(shù)得設(shè)將式代入式，得，兩邊消去并整理，得，則，故代入式，得 由及式，得，則，所以數(shù)列是以為首項，以5為公比的等比數(shù)列，則，因此則。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過對數(shù)變換把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式。（6）數(shù)學(xué)歸納法例6已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由及，得由此可猜測，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。（1）當(dāng)時，所以等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)時等式成立，即，則當(dāng)時，由此可知，當(dāng)時等式也成立。根據(jù)（1），（2）可知，等式對任何都成立。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項，進而猜出數(shù)列的通項公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。（7）換元法例7已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，則故，代入得即因為，故則，即，可化為，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，因此，則，即，得。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式。（8）不動點法例8已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，得，則是函數(shù)的兩個不動點。因為。所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，故，則。評注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動點，即方程的兩個根，進而可推出，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，再求出數(shù)列的通項公式，最后求出數(shù)列的通項公式。例9已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，得，則是函數(shù)的不動點。因為，所以。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式。課后習(xí)題：1數(shù)列的一個通項公式是（ ）A、 B、 C、 D、2已知等差數(shù)列的通項公式為 , 則它的公差為（ ） A 、2 B 、3 C、 D、3在等比數(shù)列中, 則（ ） A、 B、 C、 D、4若等比數(shù)列的前項和為，且，則 5已知數(shù)列通項公式，則該數(shù)列的最小的一個數(shù)是 6在數(shù)列an中，且，則數(shù)列的前99項和等于 7已知是等差數(shù)列，其中，公差。（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列從哪一項開始小于0？（3）求數(shù)列前項和的最大值，并求出對應(yīng)的值8已知數(shù)列的前項和為，（1）求、的值；（2）求通項公式。9等差數(shù)列中，前三項分別為，前項和為，且。（1）、求和的值；（2）、求=;數(shù)列等差數(shù)列與等比數(shù)列的有關(guān)知識比較一覽表等 差 數(shù) 列等 比 數(shù) 列遞推關(guān)系 （） （） （） （） （） （）通項 （） （） （）（）求和公式 （） ()()求積公式 () () (，)主要性質(zhì)若p+q=s+r, p、q、s、rN*,則.對任意c0,c1,為等比數(shù)列.若、分別為兩等差數(shù)列，則為等差數(shù)列.數(shù)列為等差數(shù)列.若為正項等差自然數(shù)列，則為等差數(shù)列.為等差數(shù)列.，n2m，m、n.若則.若p+q=s+r, p、q、s、rN*,則.對任意c0,c1, 若an恒大于0，則為等差數(shù)列.若、為兩等比數(shù)列，則為等比數(shù)列.若an恒大于0，則數(shù)列為等比數(shù)列.若為正項等差自然數(shù)列，則為等比數(shù)列.為等比數(shù)列.，n2m，m、n，.若則.重要性質(zhì)若p、q，且,則.若且,則 p、q. =.若|q|1,則.求數(shù)列an通項公式的方法1=+型累加法：=（）+（）+（）+ =+例1.已知數(shù)列滿足=1，=+（nN+），求.解 =+ =+1 =1 =1 （nN+）2=p+q 型（p、q為常數(shù)）方法：（1）+=， 再根據(jù)等比數(shù)列的相關(guān)知識求. （2）= 再用累加法求. （3）=+，先用累加法求再求.例3.已知的首項=a（a為常數(shù)），=2+1（nN+，n2），求.解 設(shè)=2（），則=1+1=2（+1）為公比為2的等比數(shù)列.+1=（a+1）=（a+1）13型累乘法：=例2.已知數(shù)列滿足（nN+），=1，求.解 = =（n1）（n2）11=（n1）！ =（n1）！ （nN+）4=p+型（p為常數(shù)） 方法：變形得=+，則可用累加法求出，由此求.例4.已知滿足=2，=2+.求.解 =+1為等差數(shù)列.=n5= pq 型（p、q為常數(shù)）特征根法：（1）時，=+（2）時，=（+n）例5.數(shù)列中，=2，=3，且2=+（nN+，n2），求.解 =2 =（+n）=+n 6“已知，求”型方法：=（注意是否符合）例6.設(shè)為的前n項和，=（1），求（nN+）解 =（1） （nN+）當(dāng)n=1時，=（1）=3當(dāng)n2時，=（1）（1）=3 =（nN+）求數(shù)列an的前n項和的方法（1）倒序相加法（2）公式法 此種方法主要針對類似等差數(shù)列中,具有這樣特點的數(shù)列此種方法是針對于有公式可套的數(shù)列，如等差、等比數(shù)列，關(guān)鍵是觀察數(shù)列的特點，找出對應(yīng)的公式例：等差數(shù)列求和 把項的次序反過來，則：+得：公式： 等差數(shù)列： 等比數(shù)列： ； 1+2+3+n = ； （3）錯位相減法（4）分組化歸法此種方法主要用于數(shù)列的求和，其中為等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，只需用便可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和，但要注意討論q=1和q1兩種情況此方法主要用于無法整體求和的數(shù)列，可將其通項寫成等比、等差等我們熟悉的數(shù)列分別進行求和，再綜合求出所有項的和例：試化簡下列和式： 解：若x=1，則Sn=1+2+3+n = 若x1,則 兩式相減得：+ 例：求數(shù)列1，+的和.解： （5）奇偶求和法（6）裂項相消法此種方法是針對于奇、偶數(shù)項，要考慮符號的數(shù)列，要求Sn，就必須分奇偶來討論，最后進行綜合此方法主要針對這樣的求和，其中an是等差數(shù)列例：求和解：當(dāng)n = 2k (kN+)時, 當(dāng)， 綜合得：例：an為首項為a1,公差為d的等差數(shù)列，求解： (7)分類討論（8）歸納猜想證明此方法是針對數(shù)列的其中幾項符號與另外的項不同，而求各項絕對值的和的問題，主要是要分段求.此種方法是針對無法求出通項或無法根據(jù)通項求出各項之和的數(shù)列，先用不完全歸納法猜出的表達式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明之.例：已知等比數(shù)列中，=64，q=