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數與代數 劉徽(生于公元年左右),是中國數學史上偉大的數學家,在世界數學史上也占有杰出的地位,他的杰作九章算術注和海島算經是我國最寶貴的數學遺產劉徽鉆研學術嚴謹、求實,講究“析理以辭,解體用圖”,他善于啟發(fā),主張“告往而知來,舉一隅而三隅反”1數形結合話數軸解讀課標1數形結合話數軸數學是研究“數”和“形”的一門學科,從古希臘時期起,人們就已試圖把它們統(tǒng)一起來在日常生活中我們通常對有形的東西認識比較快,而對抽象的東西認識比較慢,這正是現階段數學學習的特點,以形助數是數學學習的一個重要方法運用數形結合思想解題的關鍵是建立數與形之間的聯(lián)系,現階段數軸是數形聯(lián)系的有力工具,主要反映在:1利用數軸形象地表示有理數;2利用數軸直觀地解釋相反數;3利用數軸解決與絕對值有關的問題;4利用數軸比較有理數的大小問題例1(1)已知、為有理數,且,將四個數、按由小到大的順序排列是_(2)已知數軸上有、兩點,、之間的距離為,點與原點的距離為,那么點對應的數是_試一試 對于(1),賦值或借助數軸比較大小;對于(2)確定、兩點在數軸上的位置,充分考慮、兩點的多種位置關系例2 如圖,數軸上標出若干個點,每相鄰兩點相距個單位,點、對應的數分別是整數、,且,那么數軸的原點應是( )A點 B點 C點 D點試一試從尋找與的另一關系式入手例3 已知兩數、,如果比大,試判斷與的大小試一試 因、符號未定,故比大有多種情形,借助數軸可直觀全面比較與的大小例4 電子跳蚤落在數軸上的某點,第一步從向左跳個單位到,第一步由向右跳個單位到,第三步由向左跳個單位到,第四步由向右跳個單位到,按以上規(guī)律跳了步時,電子跳蚤落在數軸上的點所表示的數恰是,試求電子跳蚤的初始位置點所表示的數試一試 設點表示的數為,把、點所表示的數用的式子表示例5 已知數軸上的點和點之間的距離為個單位長度,點在原點的左邊,距離原點個單位長度,點在原點的右邊(1)求、兩點所對應的數(2)數軸上點以每秒個單位長度出發(fā)向左運動,同時點以每秒個單位長度的速度向左運動,在點處追上了點,求點對應的數(3)已知在數軸上點從點出發(fā)向右運動,速度為每秒個單位長度,同時點從點出發(fā)向右運動,速度為每秒個單位長度,設線段的中點為(為原點),在運動的過程中線段的值是否變化?若不變,求其值;若變化,請說明理由分析與解 對于(3),設點運動時間為秒,把用的式子表示(1)、兩點所對應的數分別為,;(2)點對應的數為;(3),(為什么?),則,即的值不變生活啟示例6 李老師從油條的制作中受到啟發(fā),設計了一個數學問題如圖,在數軸上截取從原點到的對應點的線段,對折后(點與點重合),固定左端向右均勻地拉成個單位長度的線段,這一過程稱為一次操作(例如,在第一次操作后,原線段上的,均變成;變成;等等)那么在線段上(除點、點外)的點中,在第二次操作后,求恰好被拉到與重合的點所對應的數字之和分析 捕捉問題所蘊含的信息,閱讀理解“一次操作”的意義:將線段沿中點翻折,中點左側的點不動,中點右側的點翻折到左側的對應位置上,由原來的一個等分點變?yōu)閮蓚€等分點解:原圖對折后拉長后對折后拉長后故在第二次操作后,恰好被拉到與重合的點所對應的數字之和是數學沖浪知識技能廣場1數軸上有、兩點,若點對應的數是,且、兩點的距離為,則點對應的數是_2電影哈利波特中,小哈利波特穿墻進入“站臺”的鏡頭(如示意圖中的站臺),構思奇妙,能給觀眾留下深刻的印象,若、站臺分別位于,處,則站臺用類似電影中的方法可稱為“_站臺”3已知點、在數軸上,點表示的數為,那么點表示的數是_4如圖所示,按下列方法將數軸的正半軸繞在一個圓(該圓周長為個單位長,且在圓周的三等分點處分別標上了數字、)上:先讓原點與圓周上數字所對應的點重合,再將正半軸按順時針方向繞在該圓周上,使數軸上、所對應的點分別與圓周上、所對應的點重合這樣,正半軸上的整數就與圓周上的數字建立了一種對應關系(1)圓周上的數字與數軸上的數對應,則_;(2)數軸上的一個整數點剛剛繞過圓周圈(為正整數)后,并落在圓周上數字所對應的位置,這個整數是_(用含的代數式表示)5有理數、在數軸上的位置如圖所示:,則下列各式正確的是()A B C D6文具店、書店、玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上,文具店在書店西米,玩具店位于書店東米處,小明以書店沿街向東走了米,接著又向東走了米,此時小明的位置在( )A文具店 B玩具店 C文具店西邊米 D玩具店東米7將一刻度尺如圖所示放在數軸上(數軸的單位長度是),刻度尺上的“”、“”分別對應數軸上的和,則( )A B C D8在數軸上任取一條長度為的線段,則此線段在這條數軸上最多能蓋住的整數點的個數是( )A B C D9一個跳蚤在一條直線上,從點開始,第次向右跳個單位,緊接著第次向左跳個單位,第次向右跳個單位,第次向左跳個單位依此規(guī)律跳下去,當它跳第次落下時,求落點處離點的距離(用單位表示)10已知數軸上有、兩點,、之間的距離為,點與原點的距離為,求所有滿足條件的點與原點的距離的和思維方法天地11在數軸上,點、分別表示和,則線段的中點所表示的數是_12在數軸上,表示數的點與表示數的點關于原點對稱,則的值為_13數形相伴(1)如圖所示,點、所代表的數分別為,在數軸上畫出與、兩點的距離和為的點(并標上字母)(2)若數軸上點、所代表的數分別為、,則、兩點之間的距離可表示為,那么,當時,_;當時,數所對應的點在數軸上的位置是在_14點、分別是數、在數軸上對應的點,使線段沿數軸向右移動為,且線段的中點對應的數是,則點對應的數是_,點移動的距離是_15點、(為正整數)都在數軸上,點在原點的左邊,且,點在點的右邊,且;點在點的左邊,且,點在點的右邊,且,依照上述規(guī)律,點、所表示的數分別為( )A, B, C, D,16如圖:,數軸上標出若干個點,每相鄰兩點相距個單位,點、對應的數分別是整數、,且,那么數軸的原點對應點是( )A點 B點 C點 D點17有理數、在數軸上的位置如圖,式子化簡結果為( )A B C D18不相等的有理數、在數軸上對應點分別為、,若,那么點( )A在、點右邊 B在、點左邊 C在、點之間 D以上均有可能19在數軸上,點與點的距離是點與所對應點之間的距離的倍,那么點表示的數是多少?20已知數軸上有、三點,分別代表、,兩只電子螞蟻甲、乙分別從、兩點同時相向而行,甲的速度為個單位秒(1)問多少秒后甲到、的距離和為個單位?(2)若乙的速度為個單位秒,兩只電子螞蟻甲、乙分別從、兩點同時相向而行,問甲、乙在數軸上的哪個點相遇?(3)在(1)、(2)的條件下,當甲到、的距離和為個單位時,甲調頭返回,問甲、乙還能在數軸上相遇嗎?若能,求出相遇點;若不能,請說明理由應用探究樂園21操作與探究對數軸上的點進行如下操作:先把點表示的數乘以,再把所得數對應的點向右平移個單位,得到點的對應點點,在數軸上,對線段上的每個點進行上述操作后得到線段,其中,點,的對應點分別為,如圖所示,若點表示的數是,則點表示的數是_;若點表示的數是,則點表示的數是_;已知線段上的點經過上述操作后得到的對應點與點重合,則點表示的數是_22一動點從數軸上的原點出發(fā),沿數軸的正方向以每前進個單位、后退個單位的程序運動,已知點每秒前進或后退個單位,設表示第秒點在數軸上的位置所對應的數(如,),求所對應的數1數形結合話數軸問題解決例1 (1) (2)或或或例2 B 由圖知,又,得例3 當點在原點的右邊時,則;當點在原點的左邊時,則;當點、分別在原點的右、左兩側時,這時無法比較與的大小關系;當點正好在原點位置時,則;當點正好在原點位置時,則例4 設點表示的有理數為,則、點所表示的有理數分別為,由題意得數學沖浪1或 2 3或4(1);(2) 5A 6A 7C 8C9,落點處與點距離為個單位長1011 中點所表示的數是1213(1)如圖所示,點、兩點即為所求(2)或;點的左邊或點的右邊14; 長為,對應數為,點移

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