競(jìng)賽講座 28代數(shù)式的變形（整式與分式）.doc.ppt

競(jìng)賽講座28代數(shù)式的變形（整式與分式）在化簡(jiǎn)、求值、證明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的過程中，常需將代數(shù)式變形，現(xiàn)結(jié)合實(shí)例對(duì)代數(shù)式的基本變形，如配方、因式分解、換元、設(shè)參、拆項(xiàng)與逐步合并等方法作初步介紹.1配方在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，配方的目的就是為了發(fā)現(xiàn)題中的隱含條件，以便利用實(shí)數(shù)的性質(zhì)來解題.例1（1986年全國(guó)初中競(jìng)賽題）設(shè)a、b、c、d都是整數(shù)，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn也可以表示成兩個(gè)整數(shù)的平方和，其形式是_.解mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd=(ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac-bd)2+(ad+bc)2,所以，mn的形式為(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd）2+(ad+bc)2.例2（1984年重慶初中競(jìng)賽題）設(shè)x、y、z為實(shí)數(shù)，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.求的值.解將條件化簡(jiǎn)成2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0x=y=z,原式=1.2.因式分解前面已介紹過因式分解的各種典型方法,下面再舉幾個(gè)應(yīng)用方面的例子.例3(1987年北京初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)如果a是x2-3x+1=0的根,試求的值.解a為x2-3x+1=0的根,a2-3a+1=0,且=1.原式說明:這里只對(duì)所求式分子進(jìn)行因式分解,避免了解方程和復(fù)雜的計(jì)算.3.換元換元使復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)潔明了.例4設(shè)a+b+c=3m,求證:(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.證明令p=m-a,q=m-b,r=m-c則p+q+r=0.P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0p3+q3+r3-3pqr=0即(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0例5(民主德國(guó)競(jìng)賽試題)若,試比較A、B的大小.解設(shè)則.2xy2x-y0,又y0,可知AB.4.設(shè)參當(dāng)已知條件以連比的形式出現(xiàn)時(shí),可引進(jìn)一個(gè)比例系數(shù)來表示這個(gè)連比.例6若求x+y+z的值.解令則有x=k(a-b),y=(b-c)kz=(c-a)k,x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.例7已知a、b、c為非負(fù)實(shí)數(shù)，且a2+b2+c2=1,求a+b+c的值.解設(shè)a+b+c=k則a+b=k-c，b+c=k-a,a+c=k-b.由條件知即a2k-a3+b2k-b3+c2k-c3=-3abc,(a2+b2+c2)k+3abc=a3+b3+c3.a2+b2+c2=1,k=a3+b3+c3-3abc=(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc=(a+b+c)(a+b)2+c2-(a+b)c-3ab(a+b+c),=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca),k=k(a2+b2+c2-ab-bc-ac),k(a2+b2+c2-ab-bc-ca-1)=0,k(-ab-bc-ac)=0.若K=0,就是a+b+c=0.若-ab-bc-ac=0,即(a+b+c)2-(a2+b2+c2)=0,(a+b+c)2=1,a+b+c=1綜上知a+b+c=0或a+b+c=15.“拆”、“并”和通分下面重點(diǎn)介紹分式的變形：（1）分離分式為了討論某些用分式表示的數(shù)的性質(zhì)，有時(shí)要將一個(gè)分式表示為一個(gè)整式和一個(gè)分式的代數(shù)和.例8（第1屆國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）證明對(duì)于任意自然數(shù)n，分?jǐn)?shù)皆不可約.,證明如果一個(gè)假分?jǐn)?shù)可以通約，化為帶分?jǐn)?shù)后，它的真分?jǐn)?shù)部分也必定可以通約.而顯然不可通約，故不可通約，從而也不可通約.（2）表示成部分分式將一個(gè)分式表示為部分分式就是將分式化為若干個(gè)真分式的代數(shù)和.例9設(shè)n為正整數(shù)，求證：證明令通分，比較、兩式，得A-B=0，且A+B=1，即A=B=.令k=1,2,n得(3)通分通分是分式中最基本的變形,例9的變形就是以通分為基礎(chǔ)的,下面再看一個(gè)技巧性較強(qiáng)的例子.例10(1986年冬令營(yíng)賽前訓(xùn)練題)已知求證:.證明6.其他變形例11(1985年全國(guó)初中競(jìng)賽題)已知x(x0，1)和1兩個(gè)數(shù)，如果只許用加法、減法和1作被除數(shù)的除法三種運(yùn)算（可用括號(hào)），經(jīng)過六步算出x2.那么計(jì)算的表達(dá)式是_.解x2=x(x+1)-x或x2=x(x-1)+x例12（第3屆美國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）設(shè)a、b、c、d都是正整數(shù)，且a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b.解由質(zhì)因數(shù)分解的唯一性及a5=b4,c3=d2,可設(shè)a=x4,c=y2,故19=c-a=(y2-x4)=(y-x2)(y+x2)解得x=3.y=10.d-b=y3-x5=757練習(xí)七1選擇題（1）（第34屆美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）把相乘，其乘積是一個(gè)多項(xiàng)式，該多項(xiàng)式的次數(shù)是（）（A）2（B）3（C）6（D）7（E）8（3）已知?jiǎng)t的值是（）.(A)1(B)0(C)-1(D)3（3）（第37屆美國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）假定x和y是正數(shù)并且成反比，若x增加了p%，則y減少了（）.（A）p%(B)%(C)%(D)%(E)%2填空題（1）（x-3）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，則a+b+c+d+e+f=_,b+c+d+e=_.(2)若=_.(3)已知y1=2x,y2=,則y1y1986=_3若（x-z）2-4(x-y)(y-z)=0,試求x+z與y的關(guān)系.4（1985年寧夏初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）把寫成兩個(gè)因式的積,使它們的和為，求這兩個(gè)式子.5.若x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0.求的值.6.已知x,y,z為互不相等的三個(gè)數(shù),求證7已知a2+c2=2b2,求證8.設(shè)有多項(xiàng)式f(x)=4x4-4px3+4qx2+2q(m+1)x+(m+1)2,求證:如果f(x)的系數(shù)滿足p2-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一個(gè)二次三項(xiàng)式的平方.9.設(shè)(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc).求證:ac=bd.練習(xí)七1.C.C.E2.(1)-32,210(2)(3)23.略.4.5.6.略,7.略.8.p2-4q-4(m+1)=0,4q=p2-4(m+1)=0,f(x)=4x4-4px3+p2-4(m+1)x2+2p(m+1)x+(m+1)2=4x4+p2x2+(m+1)2-4px3-4(m+1)x2+2p(m+1)x=2x2-px-(m+1)2.9.令a+b