中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽系列講座講稿及練習(xí)(第3講)求代數(shù)式的值.doc.doc

地址：遠(yuǎn)大路世紀(jì)城遠(yuǎn)大園五區(qū)9號(hào)樓電話：88594404第三講求代數(shù)式的值用具體的數(shù)代替代數(shù)式里的字母進(jìn)行計(jì)算，求出代數(shù)式的值，是一個(gè)由一般到特殊的過程具體求解代數(shù)式值的問題時(shí)，對(duì)于較簡(jiǎn)單的問題，代入直接計(jì)算并不困難，但對(duì)于較復(fù)雜的代數(shù)式，往往是先化簡(jiǎn)，然后再求值下面結(jié)合例題初步看一看代數(shù)式求值的常用技巧例1求下列代數(shù)式的值：分析上面兩題均可直接代入求值，但會(huì)很麻煩，容易出錯(cuò)我們可以利用已經(jīng)學(xué)過的有關(guān)概念、法則，如合并同類項(xiàng)，添、去括號(hào)等，先將代數(shù)式化簡(jiǎn)，然后再求值，這樣會(huì)大大提高運(yùn)算的速度和結(jié)果的準(zhǔn)確性=0-4a3b2-a2b-5=-413(-2)2-12(-2)-5=-16+2-5=-19(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?3x2y-(xyz-5x2z)=3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z)地址：遠(yuǎn)大路世紀(jì)城遠(yuǎn)大園五區(qū)9號(hào)樓電話：88594404=2xyz-2x2z=2(-1)2(-3)-2(-1)2(-3)=12+6=18說明本例中(1)的化簡(jiǎn)是添括號(hào)，將同類項(xiàng)合并后，再代入求值；(2)是先去括號(hào)，然后再添括號(hào)，合并化簡(jiǎn)后，再代入求值去、添括號(hào)時(shí)，一定要注意各項(xiàng)符號(hào)的變化例2已知a-b=-1，求a3+3ab-b3的值分析由已知條件a-b=-1，我們無法求出a，b的確定值，因此本題不能像例1那樣，代入a，b的值求代數(shù)式的值下面給出本題的五種解法解法1由a-b=-1得a=b-1，代入所求代數(shù)式化簡(jiǎn)a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3=-1說明這是用代入消元法消去a化簡(jiǎn)求值的解法2因?yàn)閍-b=-1，所以原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab=-1(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2=-(-1)2=-1說明這種解法是利用了乘法公式，將原式化簡(jiǎn)求值的解法3因?yàn)閍-b=-1，所以地址：遠(yuǎn)大路世紀(jì)城遠(yuǎn)大園五區(qū)9號(hào)樓電話：88594404原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3=a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3=(-1)3=-1說明這種解法巧妙地利用了-1=a-b，并將3ab化為-3ab(-1)=-3ab(a-b)，從而湊成了(a-b)3解法4因?yàn)閍-b=-1，所以(a-b)3=(-1)3=1，即a3+3ab2-3a2b-b3=-1，a3-b3-3ab(a-b)=-1，所以a3-b3-3ab(-1)=-1，即a3-b3+3ab=-1說明這種解法是由a-b=-1，演繹推理出所求代數(shù)式的值解法5a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab=(-1)3+3ab(-1)+3ab=-1地址：遠(yuǎn)大路世紀(jì)城遠(yuǎn)大園五區(qū)9號(hào)樓電話：88594404說明這種解法是添項(xiàng)，湊出(a-b)3，然后化簡(jiǎn)求值通過這個(gè)例題可以看出，求代數(shù)式的值的方法是很靈活的，需要認(rèn)真思考，才能找到簡(jiǎn)便的算法在本例的各種解法中，用到了幾個(gè)常用的乘法公式，現(xiàn)總結(jié)如下：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)解由已知，xy=2(x+y)，代入所求代數(shù)式中，消去xy，然后化簡(jiǎn)所以解因?yàn)閍=3b，所以c=5a=5(3b)=15b地址：遠(yuǎn)大路世紀(jì)城遠(yuǎn)大園五區(qū)9號(hào)樓電話：88594404將a，c代入所求代數(shù)式，化簡(jiǎn)得解因?yàn)?x-5)2，m都是非負(fù)數(shù)，所以由(1)有由(2)得y+1=3，所以y=2下面先化簡(jiǎn)所求代數(shù)式，然后再代入求值地址：遠(yuǎn)大路世紀(jì)城遠(yuǎn)大園五區(qū)9號(hào)樓電話：88594404=x2y+5m2x+10xy2=522+0+10522=250例6如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值分析此題可以用方程組求出a，b的值，再分別代入14a-2b求值下面介紹一種不必求出a，b的值的解法解14a-2b=2(7a-b)=2(4a+3a)+(-3b+2b)=2(4a-3b)+(3a+2b)=2(7+19)=52x+x-1+x-2+x-3+x-4+x-5的值分析所求代數(shù)式中六個(gè)絕對(duì)值的分界點(diǎn)，分別為：0，1，2，據(jù)絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值的符號(hào)，將有3個(gè)x和3個(gè)-x，這樣將抵消掉x，使求值變得容易地址：遠(yuǎn)大路世紀(jì)城遠(yuǎn)大園五區(qū)9號(hào)樓電話：88594404原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)=-1-2+3+4+5=9說明實(shí)際上，本題只要x的值在2與3之間，那么這個(gè)代數(shù)式的值就是9，即它與x具體的取值無關(guān)例8若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？分析x:y:z=3:4:7可以寫成的形式，對(duì)于等比，我們通?？梢栽O(shè)它們的比值為常數(shù)k，這樣可以給問題的解決帶來便利x=3k，y=4k，z=7k因?yàn)?x-y+z=18，所以23k-4k+7k=18，所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以地址：遠(yuǎn)大路世紀(jì)城遠(yuǎn)大園五區(qū)9號(hào)樓電話：88594404x+2y-z=6+16-14=8例9已知x=y=11，求(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值分析本題是可直接代入求值的下面采用換元法，先將式子改寫得較簡(jiǎn)潔，然后再求值解設(shè)x+y=m，xy=n原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n)=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2=(n+1)2-2m(n+1)+m2=(n+1-m)2=(1111+1-22)2=(121+1-22)2=1002=10000說明換元法是處理較復(fù)雜的代數(shù)式的常用手法，通過換元，可以使代數(shù)式的特征更加突出，從而簡(jiǎn)化了題目的表述形式練習(xí)三地址：遠(yuǎn)大路世紀(jì)城遠(yuǎn)大園五區(qū)9號(hào)樓電話：885944041求