牡丹江市中考滿分作文-勾股定理中數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用

好文檔好好學(xué)習(xí) 勾股定理中數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用 一 .勾股定理中方程思想的運(yùn)用 方程思想 是指：在含有直角三角形的圖形中，求線段的長(zhǎng)往往要使用勾股定理，如果無(wú)法直接用勾股定理來(lái)計(jì)算，則需要列方程解決。 例題 1如左圖所示，有一張直角三角形紙片，兩直角邊 AC=5cm， BC=10cm，將 ABC 折疊，使點(diǎn) B 與點(diǎn) A重合，折痕為 DE，則 CD 的長(zhǎng)為（ ） 分析 ：折疊問(wèn)題是近幾年來(lái)中考中的常見(jiàn)題型，解折疊問(wèn)題關(guān)鍵抓住對(duì)稱性，圖中 CD 在 tACD 中，由于 AC 已知，要求 CD，只需求 AD，由折疊的對(duì)稱性，得 AD=BD，注意到 CD+BD=BC，利用勾股定理即可解之。 解 ：如右圖所示，要使 A， B 兩點(diǎn)重合，則折痕 DE 必為 AB 的垂直平分線。連結(jié) AD，則 AD BD。設(shè) CD x，則 AD=BD=10 x在 RtACD 中，由勾股定理，得 故選 D。 點(diǎn)撥 ：勾股定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式是一個(gè)含有平方關(guān)系的等式，求線段的長(zhǎng)時(shí)，可由此列出方程， 運(yùn)用方程思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，以便簡(jiǎn)化求解。 二 .勾股定理中分類(lèi)討論思想的運(yùn)用 好文檔好好學(xué)習(xí) 分類(lèi)討論思想 是指：在解題過(guò)程中，當(dāng)條件或結(jié)論不確定或不惟一時(shí)，往往會(huì)產(chǎn)生幾種可能的情況，這就需要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)，再針對(duì)各種不同的情況分別予以解決。最后綜合各類(lèi)結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的結(jié)論。分類(lèi)討論實(shí)質(zhì)上是一種 “ 化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整 ” 的數(shù)學(xué)方法。 例題 2已知 ABC 中， AB=20， AC=15， BC 邊上的高為 12，求 ABC 的面積。 分析 ：應(yīng)分 ABC 是銳角三角形或鈍角三角形兩種情況分別求之。 解 ： AD 是 ABC 的高，由勾股定理，得 BD2 = AB2 AD2 = 202 122 = 256, BD = 16 CD2 = AC2 AD2 = 152 - 122 = 81, CD = 9 （ 1）若 C 為銳角，如圖（ 1）所示， 則 BC = BD + CD = 16 + 9 = 25 （ 2）若 C 為鈍角，如圖（ 2）所示， 則 BC = BD CD = 16 9 = 7 好文檔好好學(xué)習(xí) 即 ABC 的面積為 150 或 42 點(diǎn)撥 ：在一些求值計(jì)算題中，有些題目沒(méi)有給出圖形，當(dāng)畫(huà)出符合題意的圖形不惟一時(shí)，要注意分情況進(jìn)行討論，避免漏解。 三 .勾股定理中類(lèi)比思想的運(yùn)用 類(lèi)比思想 是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要發(fā)現(xiàn)式思維，它是一種學(xué)習(xí)方法，同時(shí)也是一種非常重要的創(chuàng)造性思維。它通過(guò)兩個(gè)已知事物在某些方面所具有的共同屬性，去推測(cè)這兩個(gè)事物在其他方面也有相同或類(lèi)似的屬性。從而大膽猜想得到結(jié)論 (必要時(shí)要加以證明 )。 例 題 3如圖 ，分別以直角三角形 ABC 三邊為直徑向外作三個(gè)半圓，其面積分別用 S1、 S2、 S3表示，則不難證明 S1=S2+S3 （ 1）如圖 ，分別以直角三角形 ABC 三邊為邊向外作三個(gè)正方形，其面積分別用 S1、 S2、 S3表示，那么 S1、S2、 S3之間有什么關(guān)系？ (不必證明 ) （ 2）如圖 ，分別以直角三角形 ABC 三邊為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其面積分別用 S1、 S2、 S3表示，請(qǐng)你確定 S1、 S2、 S3之間的關(guān)系并加以證明 分析 ：從同學(xué)們熟悉的勾股定理入手， 容易得證， 中要求出等邊三角形的面積。 解 ：設(shè)直角三角形 ABC 的三邊 BC、 CA、 AB 的長(zhǎng)分別為 、 b、 c，則 c2 = 2 + b2 （ 1） S1 = S2 + S3 （ 2） S1 = S2 + S3證明如下：顯然， 點(diǎn)撥 ：本題從特殊到一般，從已知到未知，類(lèi)比勾股定理的探究過(guò)程，其關(guān)鍵就在于理解勾股定理當(dāng)然，學(xué)習(xí)了相似三角形的知識(shí)后，還可以繼續(xù)探究：分別以直角三角形 ABC 三邊為邊向外作三個(gè)一般三角形，上述結(jié)論是否還成立呢？ 好文檔好好學(xué)習(xí) 四 .勾股定理中整體思想的運(yùn)用 整體思想 是指：對(duì)于某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果拘泥常規(guī)，從局部著手， 則難以求解；如果把問(wèn)題的某個(gè)部分或幾個(gè)部分看成一個(gè)整體進(jìn)行思考，就能開(kāi)闊思路，較快解答題目。 例題 4在直線 l 上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖）已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是 1、 2、 3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是 S1、 S2、 S3、 S4，則 S1 S2 S3 S4=_ 分析 ：本題不可能求出 S1、 S2、 S3、 S4，但我們可以利用三角形全等和勾股定理分別求出 S1 S2、 S2 S3、 S3 S4 解 ：易證 RtABC RtCDE AB = CD 又 CD 2 + DE2 = CE2,而 AB2 = S3,CE2 = 3,DE2 = S4 S 3 S4 = 3，同理 S1 S2 = 1， S2 S3 = 2 S 1 S2 S2 S3 S3 S4 = 1 2 3 = 6，即 S1 S2 S3 S4 4 點(diǎn)撥 ：化零為整，化分散為集中的整體策略是數(shù)學(xué)解題的重要方法，利用整體 思想，不僅會(huì)使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，化難為易，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。 五 .勾股定理中數(shù)型結(jié)合思想的運(yùn)用 所謂 數(shù)形結(jié)合思想 ，就是抓住數(shù)與形之間本質(zhì)上的聯(lián)系，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“ 以形助數(shù) ” 或 “ 以數(shù)解形 ” ，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，從而達(dá)到迅速解題的目的。 例題 5在一棵樹(shù)的 10m 高處有兩只猴子，其中一只爬下樹(shù)直奔離樹(shù) 20m 的池塘，而另一只爬到樹(shù)頂后直撲池塘，如果兩只猴子經(jīng)過(guò)的距離相等，問(wèn)這棵樹(shù)有多高？ 分析 ：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再在直角三角形中運(yùn)用勾股定理構(gòu)建方程求解。 好文檔好好學(xué)習(xí) 解 ：如右圖所示， D 為樹(shù)頂， AB = 10m， C 為池塘， AC = 20m 設(shè) BD 的長(zhǎng)是 xm，則樹(shù)高（ x + 10） m AC + AB = BD + DC ， DC = 20 + 10 x 在 ACD 中 A = 90 ， AC 2 + AD2 = DC2 20 2 +（ x + 10） 2 = （ 30 x） 2，解得 x = 5 x + 10 = 15，即樹(shù)高 15 米 點(diǎn)撥 ：勾股定理本身就是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)典范，它把直角三角形有一個(gè)直角