2014年寒假 自主招生班型導學2物理部分-運動學 力與牛頓定律

2014 年寒假自主招生班型導學 （第 二 次） （物理） 資料說明 本導學用于學員在實際授課之前，了解授課方向及重難點。同時還附上部分知識點的詳細解讀。每個班型導學共由 4 次書面資料構成。此次發(fā)布的為第 二 次導學，后面的第 三次導學，將于 2013 年 12 月 15 日發(fā)布。在 2013 年 12 月 20 日，公司還會發(fā)布相應班型的詳細授課大綱，敬請關注。 自主招生郵箱： 數(shù)學競賽郵箱： 物理競賽郵箱： 化學競賽郵箱： 生物競賽郵箱： 理科精英郵箱： 清北學堂集中 培訓課程 導學資料 （ 2014 年寒假集中培訓 課程 使用 ） QBXT/JY/DX2013/12-2-1A 2013-12-5 發(fā)布 清北學堂教學研究部 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 1 頁 2014 年寒假自主招生班型導學 （物理 1） 導學內容大綱 . 3 重點與難點 . 5 導學知識點 . 6 1. 運動學 . 6 1.1 相對運動 . 6 1.2 分運動與合運動 . 6 1.3 斜拋運動 . 6 1.4 圓柱螺旋線、阿基米德螺線、擺線、漂移螺線 . 7 1.5 v-t 圖求解運動問題 . 7 2. 力與牛頓定律 . 7 2.1 摩擦力 . 7 2.2 慣性系與非慣性系 . 8 2.3 常見慣性力 . 8 2.4 視重、超重和失重 . 8 3. 物體的平衡 . 8 3.1 共點力作用下物體的平衡 . 8 3.2 物體平衡的種類 . 9 4. 動量 . 9 4.1 質心參考系 . 9 4.2 反沖運動 . 9 5. 機械能 . 9 5.1 引力勢能 . 9 5.2 質點及均勻球殼殼內和殼外的引力勢能公式 . 10 5.3 彈簧的彈性勢能 . 10 5.4 碰撞、恢復系數(shù) . 10 6. 天體運動 . 10 6.1 開普勒定律 . 10 6.2 軌道形狀 . 11 6.3 三個宇宙速度 . 11 7. 機械振動 . 12 7.1 簡諧振動 . 12 7.2 單擺、等效擺長 . 13 7.3 波動方程 . 13 7.4 波的疊加、干涉和衍射 . 13 7.5 多普勒效應及應用 . 14 8. 熱學 . 14 8.1 分子動理論的基本觀點 . 14 8.2 溫度和氣體壓強的微觀解釋 . 14 8.3 分子力、動能、勢能、內能 . 15 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 2 頁 8.4 理想氣體狀態(tài)方程 . 15 8.5 熱力學第一定律 . 16 8.6 熱力學第二定律 . 16 8.7 物態(tài)變化 . 16 8.8 熱傳遞 . 16 導學習題 . 17 1. 運動學 . 17 2. 力與牛頓定律 . 18 3. 物體的平衡 . 20 4. 動量 . 21 5. 機械能 . 22 6. 天體運動 . 23 7. 機械振動 . 23 8. 熱學 . 24 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 3 頁 導學 內容大綱 1.運動學 相對運動、相對速度 伽里略速度變換：絕對速度 =相對速度 +牽連速度 分運動與合運動 斜拋運動 圓柱螺旋線、阿基米德螺線、擺線、漂移螺線 v-t 圖求解運動問題 2.力與牛頓定律 滑動摩擦力、動摩擦因數(shù)、摩擦角、靜摩擦力、最大靜摩擦力 慣性系 非慣性系 慣性力 (離心力、地轉偏向力 ) 視重、超重和失重 3.物體的平衡 共點力作用下物體的平衡 力矩平衡 重心 物體平衡的種類 4.動量 沖量、動量、動量定理 質點與質點組的動量定理 動量守恒定律 反沖運動及火箭 5.機械能 功和功率 動能和動能定理 重力勢能 質點及均勻球殼殼內和殼外的引力勢能公式 (不要求導出 ) 彈簧的彈性勢能 功能原理 機械能守恒定律 碰撞、恢復系數(shù) 6.天體運動 在萬有引力作用下物體的運動 開普勒定律 行星和人造天體的圓軌道和橢圓軌道運動 引力勢能 三個宇宙速度 7.機械振動 機械波 簡諧振動周期、振幅、頻率、位移、速度、加速度、恢復力、能量 單擺、等效擺長 波的函數(shù) 波的疊加、干涉和衍射 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 4 頁 多普勒效應及應用 8.熱學 分子動理論的基本觀點 阿伏伽德羅常數(shù) 溫度和氣體壓強的微觀解釋 分子力 分子動能、勢能、內能 理想氣體狀態(tài)方程 U 型管類型題 熱力學第一定律 理想氣體的內能 熱力學第一定律在理想氣體等容、等壓、等溫和絕熱過程中的應用 熱力學第二定律 物態(tài)變化 熱傳遞 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 5 頁 重點 與 難點 本次導學主要涉及模塊為力學和熱學。力學部分按照研究內容劃分，主要包括運動學、靜力學、動力學等內容，是歷次自主招生考試以及高考中的重點 ， 對 2013 年華約、北約、卓越三個聯(lián)盟的自主招生真題分析顯示，力學部分所占比例分別為 35%、 62.5%、 48%， 熱學部分所占比例分別為 10%、 4%、 4%。這些比例表明力學部分 在自主招生考試中占據(jù)相當大的比例，而熱學部分肯定有所涉及。力學部分 的 重要 考點有 天體運動 、 運動的合成與分解 、動量與能量 以及不同物理情景的受力分析。 其中，由于電磁學部分經(jīng)常會涉及到計算 帶電粒子以及導體在電場、磁場以及重力復合場中的運動軌跡 ，以及 通電導線在磁場中的受力分析以及運動情況分析 ，這些部分是自主招生考試中的難點。熱學部分的重要考點是 理想氣體狀態(tài)方程 和 熱力學第一定律 ，其中難點為 等容過程 、 等壓過程 、 等溫過程 、 絕熱過程 等過程的 內能變化情況，比較復雜且容易混淆，是熱學部分的難點 。 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 6 頁 導學 知識點 1. 運動學 1.1 相對運動 任何物體的運動都是相對于一定的參照系而言的，相對于不同的參照系，同一物體的運動往往具有不同的特征、不同的運動學量。 通常將相對觀察者靜止的參照系稱為靜止參照系；將相對觀察者運動的參照系稱為運動參照系。物體相對靜止參照系的運動稱為絕對運動，相應的速度和加速度分別稱為絕對速度和絕對加速度；物體相對運動參照系的運動稱為相對運動，相應的速度和加速度分別稱為相對速度和相對加速度；而運動參照系相對靜止參照系的運動稱為牽連運動，相應的速度和加速度分別稱為牽連速度和牽連加速度。 絕對運動、相對運動、牽連運動的速度關系是：絕 對速度等于相對速度和牽連速度的矢量和。 =+vvv絕 對 相 對 牽 連 ，也稱為伽里略速度變換。 這一結論對運動參照系是相對于靜止參照系作平動還是轉動都成立。 當運動參照系相對靜止參照系作平動時，加速度也存在同樣的關系： 當運動參照系相對靜止參照系作轉動時，這一關系不成立。 1.2 分運動與合運動 運動的合成與分解是矢量的合成與分解的一種。運動的合成與分解一般包括位移、速度、加速度等的合成與分解。運動的合成與分解的特點主要有： 運動的合成與分解總是與力的作用相對應的； 各個分運動有互不相干的 性質，即各個方向上的運動與其他方向的運動存在與否無關，這與力的 獨立作用原理 是對應的； 位移等物理量是在一段時間內才可完成的，故他們的合成與分解要講究等時性，即各個運動要取相同時間內的位移； 瞬時速度等物理量是指某一時刻的，故它們的合成分解要講究瞬時性，即必須取同一時刻的速度。 兩直線運動的合成不一定就是直線運動，這一點同學們可以證明。如： 兩勻速直線運動的合成仍為勻速直線運動； 兩初速為零（同一時刻）的勻加速直線運動的合成仍為初速為零的勻加速直線運動； 在同一直線上的一個勻速運動和一個初速為零的勻變速運動的 合運動是一個初速不為零的勻變速直線運動，如：豎上拋與豎下拋運動； 不在同一直線上的一個勻速運動與一個初速為零的勻加速直線運動的合成是一個曲線運動，如：斜拋運動。 1.3 斜拋運動 物體以一定的初速度拋出后，若忽略空氣阻力，且物體的運動在地球表面附近，它的運動高度遠遠小于地球半徑，則在運動過程中，其加速度恒為豎直向下的重力加速度。因此，拋體運動是一種加速度恒定的曲線運動。 根據(jù)運動的疊加原理，拋體運動可看成是由兩個直線運動疊加而成。常用的處理方法是 :牽連相對絕對 aaa 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 7 頁 將拋體運動分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的勻變速直線運動。 1.4 圓柱螺旋線、阿基米德螺線、擺線、漂移螺線 圓柱螺旋線 ：在圓柱表面上形成的曲線。圓柱表面上一動點繞圓柱的軸線作等速回轉運動 ,同時沿圓柱的軸線方向作等速直線運動，此動點的運動軌跡為圓柱螺旋線。 阿基米德螺線 ：亦稱 “等速螺線 ”。當一點 P 沿動射線 OP 以等速率運動的同時，該射線又以等角速度繞點 O 旋轉，點 P 的軌跡稱為 “阿基米德螺線 ”。 擺線 ：一個圓沿一直線緩慢地滾動，則圓上一固定點所經(jīng)過的軌跡稱為擺線。 漂移螺線 ：同一平面內圓周運動與勻速圓周運動疊加形成的曲線。 1.5 v-t 圖求解運動問題 巧用 v-t 圖像，可以使一些運動學問 題的求解簡單明了，還可以解決一些運用公式法無能為力的問題。運用 v-t 圖像解題，首先要搞清圖像的意義，圖象代表速度隨時間的變化規(guī)律，圖像上某點的斜率代表對應時刻的加速度的大小，圖像與坐標軸圍成的圖形的面積代表位移的大小，兩圖像的交點僅表示這時刻，兩物體的速度相同。 2. 力與牛頓定律 2.1 摩擦力 當兩個相互接觸的物體之間存在相對滑動的趨勢（就是說：假如它們之間的接觸是 “光滑的 ”，將發(fā)生相對滑動）時，產(chǎn)生的摩擦力為 靜摩擦力 ，其方向與接觸面上相對運動趨勢的指向相反，大小視具體情況而定，由平衡條件或從動力學的運動方程解算出來 ， 最大靜摩擦力 為 式中 稱為 靜摩擦因數(shù) ，它取決于接觸面的材料與接觸面的狀況等， N 為兩物體間的正壓力。 當兩個相互接觸的物體之間有相對滑動時，產(chǎn)生的摩擦力為 滑動摩擦力 ?；瑒幽Σ亮Φ姆较蚺c相對運動的方向相反 ,其大小與兩物體間的正壓力成正比。 為 滑動摩擦因數(shù) ，取決于接觸面的材料與接觸面的表面狀況，在通常的相對速度范圍內，可看作常量。在接觸物的材料和表面粗糙程度相同的條件下，靜摩擦因數(shù) 略大于動摩擦因數(shù) 。在通常情況下， 可不加區(qū)別。 令靜摩擦因數(shù) 等于某一角 的正切值，即 ，這個 角就稱為摩擦角。在臨界摩擦（將要發(fā)生滑動狀態(tài)下） , 。支承面作用于物體的沿法線方向的彈力 N 與最大靜摩擦力 的合力 F（簡稱全反力）與接觸面法線方向的夾角等于摩擦角。 Nf 0max 0Nf 0 與00 tg0 tgNf 0max maxf清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 8 頁 2.2 慣性系 與 非慣性系 牛頓第一定律不成立 的參考系叫非慣性參考系，簡稱 非慣性系 ，如加速運動的小車、考慮自轉時地球等。 非慣性系相對慣性系有加速度，因此相對慣性系沒有加速度的物體對非慣性系有加速度，因此在非慣性系看來認為物體受到了一種 方向與非慣性系相對于慣性系的加速度相反 的力，這種力叫慣性力： amF 慣 ， m 為物體質量， a 為非慣性系相對于慣性系的加速度。 慣性力 不是真實存在 的，因此 沒有反作用力 。引入慣性力后非慣性系中動力學方程與慣性系 形式相同 。 2.3 常見 慣性力 離心力： 是一種虛擬力，它使旋轉的物體遠離它的旋轉中心。在一個非慣性參考系下觀測到的一個慣性力，和向心力的反作用力。 科里奧利力：以地球這個轉動物體為參照系所加入的慣性力，它的水平分量總是指向運動的右側，即指向相對速度的右側。例如速度自北向南，科里奧利力則指向西方。這種長年累月 的作用，使得北半球河流右岸的沖刷甚于左岸，因而比較陡峭。雙軌鐵路的情形也是這樣。在北半球，由于右軌所受壓力大于左軌，因而磨損較甚。南半球的情況與此相反，河流左岸沖刷較甚，而雙線鐵路的左軌磨損較甚。 2.4 視重、超重和失重 加速度有向上的分量時，物體對支持物的壓力或對懸掛物的拉力（即視重）大于重力 超重。常見運動形式為加速上升或減速下降。當加速度有向下的分量時，物體對支持物的壓力或對懸掛物的拉力（即視重）小于物體的重力 失重。常見運動形式為：加速下降或減速上升。當物體加速下降或減速上升時加速度為重力加速度 g 時，物體對支持物的壓力或對懸掛物的拉力（視重）為零 完全失重。 注：超重、失重現(xiàn)象中物體所受的重力并沒有發(fā)生變化。 3. 物體的平衡 3.1 共點力作用下物體的平衡 共點力平衡條件為合力為零，即 0i iF ，分量形式為 0i ixF ， 0i iyF 。物體受三個不平行的力作用平衡時，三力必為共點力。 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 9 頁 3.2 物體平衡的種類 物體一般的受力平衡條件為合力為零且合力矩為零，即 0i iF ， 0i iM 。合力矩為零的含義是對任意轉軸（支點）合力矩為零。 物體的平衡可分為穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡和隨遇平衡三類。 穩(wěn)定平衡 ：當物體 稍稍偏離 平衡位置時，有力或力矩使其回到平衡位置。 不穩(wěn)定平衡 ：當物體 稍稍偏離 平衡位置時，有力或力矩使其偏離繼續(xù)增大。 隨遇平衡 ：當物體偏離平衡位置時，它所受的力或力矩不發(fā)生變化，能 在新的位置再次平衡 。 平衡類型的判斷方法有受力（力矩）分析法、重心升降法和支面判斷法。 受力（力矩）分析法 ：偏離平衡位置時，所受外力指向平衡位置，穩(wěn)定平衡；外力背離平衡位置，不穩(wěn)定平衡；外力為零，隨遇平衡。 重心升降法 ：偏離平衡位置時，重心升高，穩(wěn)定平衡；重心降低，不穩(wěn)定平衡；重心高度不變，隨遇平衡。 支面判斷法 ：有支面物體平衡時 重力作用線過支面 。偏離平衡位置時，重力作用線仍過支面，穩(wěn)定平衡；重力作用線不過支面，不穩(wěn)定平衡。 4. 動量 4.1 質心參考系 以質點組的質心為原點，坐標軸與靜止慣性參考系平行，這種參考系稱為質心參考系或質心系。 我們所研究的系統(tǒng)，如果所受的合外力為零，則質心 C 在靜止慣性參考系中以恒定速度 cV 作慣性運動，此時質心參考系也是慣性參考系。如果所受合外力不為零，則質心相對于靜止慣性系作加速運動，這樣，質心參考系就不再是慣性參考系，而是非慣性參考系。 4.2 反沖運動 反沖運動：根據(jù)動量守恒定律，如果一個靜止的物體在內力的作用下分裂成兩個部分，一部分向某個方向運動，另一部分必然向相反的方向運動。這個現(xiàn)象叫做反沖。反沖運動中，物體受到的反沖作用通常叫做反沖力。 5. 機械能 5.1 引力勢能 引力勢能，物體 (特別指天體 )在引力場中具有的能叫做引力勢能，物理學中經(jīng)常把無窮遠處定為引力勢能 的零勢能點。 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 10 頁 5.2 質點及均勻球殼殼內和殼外的引力勢能公式 兩個相距為 r 的質點 M 、 m ，其間引力勢能為 rGMmEp 。若 M 為質量均勻半徑為 R 的球殼，則引力勢能RrRGM mRrrGM mE p 。 5.3 彈簧的彈性勢能 取彈簧處于原長時為彈性勢能零點，當彈簧伸長（壓縮） x 時，彈力 F=-kx，彈力做的功為： 由前面保守力所做功與勢能變化關系可知 5.4 碰撞、恢復系數(shù) 碰撞過程滿足動量守恒。碰撞前后物體速度在同一直線為正碰，否則為斜碰。碰撞中無機械能損失為彈性碰撞，有機械能損失為非彈性碰撞。當碰撞后兩物體速度相同時，為完全非彈性碰撞。 描述碰撞非彈性程度的量為恢復系數(shù)，定義為碰撞后分離速度與碰撞前接近速度的比值，即1212 vv vve 。對彈性碰撞， 1e ，完全非彈性碰撞 0e ，一般非彈性碰撞 10 e 。對斜碰，取沿碰撞接觸面法線方向的相對速度為接近速度和分離速度即可。 對彈性碰撞，使用 1e 及動量守恒計算碰撞后速度，比使用機械能守恒方便得多。 6. 天體運動 6.1 開普勒定律 開普勒第一定律：行星圍繞太陽的運動軌道為橢圓，太陽在橢圓的一個焦點上。 開普勒第二定律：行星與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積。 開普勒第三定律：各行星橢圓軌道半長軸 a 的三次方與軌道運動周期 T 的平方之比值為相同的常量，即 CTa 23 其中，開普勒第二定律與行星運動中角動量守恒等價。 221 kxW )0( PP EEW 221kxEP 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 11 頁 6.2 軌道 形狀 將行星繞太陽運動的 機械能 記為 E ， E 與三種軌道的對應關系為： 雙曲線軌道拋物線軌道橢圓軌道圓00/0EEE 6.3 三個宇宙速度 （ 1） 第一宇宙速度 第一宇宙速度是使物體繞地球公轉的最小速度，又稱環(huán)繞速度，即萬有引力恰好提供物體公轉所需的向心力，得RmvRMmG 22 ，解得 skm9.7 gRRGMv。 （ 2） 第二宇宙速度 第二宇宙速度是使物體脫離地球引力的最小速度，又稱脫離速度。物體恰好脫離地球引力 即 物 體 到 達 無 窮 遠 處 時 速 度 為 零 ， 得 021 2 RMmGmv ， 解 得skm2.1122 gRRGMv 。 （ 3） 第三宇宙速度 第三宇宙速度是使物體脫離太陽系的最小速度，又稱逃逸速度。物體脫離太陽系的過程分為兩步，第一步脫離地球引力，第二步脫離太陽引力。設脫離地球引力后相對太陽速度為xv ，類似第二宇宙速度的求法，脫離太陽引力需滿足 021 2 日地太陽R mMGmv x ，解得skm2.422 日地太陽RGMv x 。地球繞太陽公轉速度為 skm8.29 ，由伽利略速度變化公式，物體相對地球速度 skm4.12skm)8.292.42( xv 。在地球參考系中由機械能守恒得RMmGmvvm x 22 2121 ，解得 skm7.162 2222 vvRGMvv xx 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 12 頁 7. 機械振動 7.1 簡諧振動 由于簡諧振動是變加速運動，討論起來極不方便，為此?？梢胍粋€連續(xù)的勻速圓周運動，因為它在任一直徑上的分運動為簡諧振動，以平衡位置 O 為圓心，以振幅 A 為半徑作圓，這圓就稱為參考圓，設有一質點在參考圓上以角速度 作勻速圓周運動，它在開始時與 O的連線跟 軸夾角為 ,那么在時刻 t，參考圓上的質點與 O 的連線跟 的夾角就成為 ，它在 軸上的投影點的坐標 這就是簡諧振動方程，式中 是 t=0 時的相位，稱為初相： 是 t 時刻的相位。參考圓上的質點的線速度為 ，其方向與參考圓相切，這個線速度在 軸上的投影是 ） 這也就是簡諧 振動的速度。參考圓上的質點的加速度為 ，其方向指向圓心，它在軸上的投影是 ） 這也就是簡諧振動的加速度： 由牛頓第二定律簡諧振動的加速度為： 因此有 簡諧振動的周期 T 也就是參考圓上質點的運動周期，所以 以水平彈簧振子為例，彈簧振子的能量由振子的動能和彈簧的彈性勢能構成，在振動過程中，振子的瞬時動能為： 振子的瞬時彈性勢能為： 振子的總能量為： 簡諧振動中，回復力與離開平衡位置的位移 x 的比值 k 以及振幅 A 都是恒量，即是恒量，因此振動過程中，系統(tǒng)的機械能守恒。 x 0x 0 t x)c o s ( 0 tAx0 0tA x0cos( tAv2A x02 c os( tAaxa 2xmkmFa mk2kmwT 22)(s in2121 2222 tmAmvE K)(c o s2121 2222 tAmkxE p222 2121 kAAmEEE pK 221kAxAO0清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 13 頁 7.2 單擺、等效擺長 一個質量為 m的小球用一輕質細繩懸掛在天花板上的 O點，小球擺動至與豎直方向夾角，其受力情況如圖 5-2-6 所示。其中回復力，即合力的切向分力為 當 5時， OAB 可視為直角三角形，切向分力指向平衡位置 A，且 ，所以 （式中 ） 說明單擺在擺角小于 5時可近似地看作是一個簡諧振動，振動的周期為 在一些異型單擺中， 和 g 的含意以及值會發(fā)生變化。單擺的等效擺長并不一定是擺球到懸點的距離，而是指擺球的圓弧軌跡的半徑。 7.3 波動方程 一列橫波以速度 沿 軸正方向傳播，設波源 O 點的振動方程為： 在 軸上任意點 P 的振動比 O 點滯后時間 ，即當 O 點相位為 時， P 點的相位為 ，由 ， ， ， P 點振動方程為 這就是波動方程，它可以描述平面簡諧波的傳播方向上任意點的振動規(guī)律。 7.4 波的疊加、干涉和衍射 波的疊加原理：在兩列波的相遇區(qū)域，任何一個質點的位移都等于兩列波分別引起的位移矢量和。注：任意兩列同種波都可疊加。 波的干涉：兩列波疊加時，某些區(qū)域振動加強，某些區(qū)域振動減弱，并且振動加強和減弱的區(qū)域互相間隔的現(xiàn)象（形成穩(wěn)定的干涉圖樣） 。干涉條件為同一種類的、頻率相同的兩列波。 波的衍射：波傳播過程中，偏離 直線傳播的方向而繞到障礙物或小孔的陰影區(qū)的現(xiàn)象。sin mgF回 lxsinxlmgF 回kxF 回 lmgkglkmT 22 lv x)cos( 0 tAyx vxtp )( 0t 0)( vxt f 2 fv Tlf 0)(c o s vxtAy)22c o s ( 0 xftA )22c o s( 0 xtTA 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 14 頁 發(fā)生明顯衍射的條件：障礙物或孔的尺寸比波長小，或者跟波長差不多。注：（ 1）衍射無需條件；（ 2）波長越大，衍射越明顯 7.5 多普勒效應及應用 多普勒效應是波源和觀察者有相對運動時，觀察者接受到波的頻率與波源發(fā)出的頻率并不相同的現(xiàn)象。遠方急駛過來的火車鳴笛聲變得尖細（即頻率變高，波長變短），而離我們而去的火車鳴笛聲變得低沉（即頻率變低，波長變長），就是多普勒效應的現(xiàn)象，同樣現(xiàn)象也發(fā)生在私家車鳴響與火車的敲鐘聲。 觀察者 (Observer) 和發(fā)射源 (Source) 的頻率關系為： 為觀察到的頻率； 為發(fā)射源于該介質中的原始發(fā)射頻率； 為波在該介質中的行進速度； 為觀察者移動速度，若接近發(fā)射源則前方運算符號為 + 號 , 反之則為 - 號； 為發(fā)射源移動速度，若接近觀察者則前方運算符號為 - 號，反之則為 + 號。 8. 熱學 8.1 分子動理論的基本觀點 一切物體都是由大量的分子組成的，分子間有一定間隙，并有相互作用力，分子總是永不停地無規(guī)則地運動著。這就是分子運動論的基本論點。 1、物體是由大量分子組成的 2、分子永不停息地做無規(guī)則運動 3、分子之間存在著相互作用力（引力和斥力） 8.2 溫度和氣體壓強的微觀解釋 將 式代入 式后，可以得到氣體分子的平均平動動能為 這被稱為氣體溫度公式，溫度升高，分子熱運動的平均平動動能增大，分子熱運動加劇。因此，氣體的溫度是氣體分子平均平動能的標志，是分子熱運動劇烈程度的量度。 宏觀上測量的氣體施給容器壁的壓強，是大量氣體分子對器壁不斷碰撞的結果。在通常情況下，氣體每秒碰撞 的器壁的分子數(shù)可達 。在數(shù)值上，氣體的壓強等于單位時間內大量分子施給單位面積器壁的平均沖量。 nkTP KnP 32kTK 2321cm 2310清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 15 頁 其表達式為 式中 n 是分子數(shù)密度， 是分子 的平均平動動能， n 和 增大，意味著單位時間內碰撞單位面積器壁的分子數(shù)增多，分子碰撞器壁一次給予器壁的平均沖量增大，因而氣體的壓強增加。 8.3 分子力 、動能、勢能、內能 分子之間存在的相互作用力。分子之間同時存在引力和斥力，它們都隨距離的增大而減小。其合力具體表現(xiàn)為相吸引還是相排斥，取決于分子間的距離。 由于分子間存在相互作用而具有的能量叫做分子勢能。當分子間距離 ( 為分子力為零的位置 )時，分子力是引力，隨著分子間距離r 的增大，分子勢能減小，故 處，分子勢能最小。而在 時，由于分子間的作用力可略，故分子勢能變?yōu)榱?，如以無窮遠處為勢能的零點，定性的分子勢能曲線可用右圖表示。 物體中所有分子熱運動的動能和分子勢能的總和稱為物體的內能。由于分子熱運動的平均動能跟溫度有關，分子勢能跟體積有關。因此物體的內能是溫度和體積的函數(shù)。 理想氣體的分子之間沒有相互作用，不存在分子勢能。因此理想氣體的內能是氣體所有分子熱運動動能的總和，它只跟氣體的分子數(shù)和溫度有關，與體積無關。 8.4 理想氣體狀態(tài)方程 理想氣體狀態(tài)方程或稱克拉珀龍方程： 式中 R 稱為摩爾氣體恒量，它表示 1mol 氣體在標準狀況的 的值，其值為 ： 1mol 的任何物質含有的粒子數(shù) ，這稱為阿伏伽德羅常數(shù)。設質量為 m、摩爾質量為 M 的氣體，其分子數(shù)為 N，則此氣體的摩爾數(shù)為 同時引用玻耳茲曼常數(shù) k 的物理意義： 1 個分子在標況下的 。 KnP 32221 mK K0rr 0r0rr 010rrRTMmv R TPV TPVKm o lc a IKm o l La t mKm o lJT VPR .1.8 20 00 1231002.6 m oIN AANNMmv / 123 .1038.1/ KJNRk ATPV E 0r r O清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 16 頁 8.5 熱力學第一定律 當系統(tǒng)與外界間的相互作用既有做功又有熱傳遞兩種方式時，設系統(tǒng)在初態(tài)的內能 ，經(jīng)歷一過程變?yōu)槟B(tài)的內能 ，令 。在這一過程中系統(tǒng)從外界吸收的熱量為Q，外界對系統(tǒng)做功為 W，則 E=W+Q。式中各量是代數(shù)量，有正負之分。系統(tǒng)吸熱 Q 0，系統(tǒng)放熱 Q 0；外界做功 W 0，系統(tǒng)做功 W 0；內能增加 E 0，內能減少 E 0。熱力學第一定律是普遍的能量轉化和守恒定律在熱現(xiàn)象中的具體表現(xiàn)。 8.6 熱力學第二定律 表述 1：不可能制成一種循環(huán)動作的熱機，只從一個熱源吸取熱量，使之全部變?yōu)橛杏玫墓?，而其他物體不發(fā)生任何變化。 表述 2：熱量不可能自動地從低溫物體轉向高溫物體。 8.7 物態(tài)變化 相 :指的是熱學系統(tǒng)中物理性質均勻的部分，一個相與其他部分之間有一定的分界面隔離開來。例如冰和水的混合物中，因為冰和水的物理性質不同，故為不同的相，但它們的化學成份相同。一種化學成分稱為 “一元 ”，因此冰水混合 物稱為單元二相系，而水和酒精的混合物就是二元單相系。 相變： 不同相之間的相互轉變稱為相變。 相變特點：伴隨物態(tài)的變化；要吸收或放出的熱量。 8.8 熱傳遞 內能從一個物體轉移到另一個物體，或者從物體的一部分轉移到同一物體的鄰近部分的過程叫熱傳遞。 熱傳遞的方式有三種：對流、傳導和輻射 1E2E 12 EEE 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 17 頁 導學 習題 1. 運動學 例 1 (2011年華約自主招生 ) 如圖 2-11 所示 ,AB桿以恒定角速度繞 A點轉動 ,并帶動套在水平桿 OC 上的小環(huán) M 運動 運動開始時 ,AB 桿在豎直位置 ,則小環(huán) M 的加速度將 ( ) A.逐漸增大 B.先減少后增大 C.先增加后減少 D.逐漸減小 解析 ：如圖所示 ,環(huán)沿 OC 向右運動 ,其速度 v 可分為垂直 AB 的 v1,沿AB 的 v2, 則1 hvrcos ,故環(huán)的速度 12vhv cos cos 環(huán)的加速度 v v (c os )a t (c os ) t 即 23322h x c o sa ( c o s )s in s in 因為 變小 ,則 a 變大 ,故選 A 例 2(2011 年北京大學 )如圖所示 ,AC 為光滑豎直桿 ,ABC 為構成直角的光滑 L 形直軌道 ,B 處有一小圓弧連接可使小球順利轉彎 ,并且 ABC 三點正好是圓上三點 ,而 AC 正好為該圓直徑 ,如果套在 AC 桿上的小球自 A點靜止釋放 , 分布沿 ABC 軌道和 AC 直軌道運動 ,如果沿 ABC 軌道運動的時間是沿 AC 直軌道運動所用時間的 1.5 倍 ,求 的值 解析 ：小球在 AC 段或 ABC 段都只受重力作用運動 ,由勻加速直線運動求解 設 AC=2R,則小球從 A 到 C 做自由落體運動 ,所需時間 2 2 g 2 gACt R / R / 小球沿 ABC 運動時 ,在 AB 方向的加速度為 gcos,所需時間 22 2gg AB R c o st R /c o s 小球到 B 點時其速度為 2gcos gBv R / ,在 BC 段所需時間 1 5 gB C A C A Bt . t t R / 代入21 g sin 2 2B B C B Cv t t R sin可得 tan=4/3 故 =arctan(4/3)53.1 例 3小球在臺階上以一定初速度水平拋出 ,恰落到第一級臺階邊緣 ,反彈后再次落下經(jīng) 0.3s 恰落至第 3 級臺階邊界 ,已知每級臺階寬度及高度均為 18 cm,取 g=10 m/s且小球反彈時水平速度不變 ,豎直速度反向 ,但變?yōu)樵俣鹊?1/4. (1)求球拋出時的高度及距第一級臺階邊緣的水平距離 (2)問球是否會落到第 5 級臺階上 ? 說明理由 解析 ： (1)小球從拋出到落在第一級臺階邊緣 ,做平拋運動 設拋出時距第一級臺階邊緣的水平 A C B 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 18 頁 距離為 s,拋出時的高度為 H,落到第一級臺階邊緣歷時為 t0 在水平方向以 v0 做勻速直線運動： 00vt s 在豎直方向初速度為 0 加速度為 g 做自由落體： 0gt /2 H 第一級臺階反彈后 ,豎直方向的速度為 10v gt 4/ ，從第一級臺階邊緣到第三級臺階邊界有： 0 1 1 1 1v t 2h v t gt /2 2h, ,代入 1 1 0t 0 3 s h 0 1 8 m v g t /4. , . , ， 可得 00v 1 2m/s t 0 12s. , . 故小球拋出時， ,距第一級臺階的高度 H 為 0.072m，距第一級臺階邊緣的水平距離為0.144m (2)小球經(jīng)第三級臺階邊緣反彈后 ,水平速度仍為 v0=1.2m/s,豎直方向速度大小變?yōu)?2 1 1v v gt /4 0 82 5m /s., 大于第一級臺階反彈時豎直方向的速度 ,故小球在被第三級臺階反彈后落地點水平方向的距離大于被第一級臺階反彈后的距離 如具體計算 ,則豎直方向通過位移 2h 時 ,由 2 2 2v t gt 2 2h/解得 2t 036s. ,此時水平方向位移等于 02v t 0 43m 2h.即水平方向已經(jīng)超過了 2 級臺階的距離 ,將會直接落在第 6 級臺階上 ,不會落在第 5 級臺階上 2. 力與牛頓定律 例 4為訓練宇航員能在失重狀態(tài)下工作和生活 ,需要創(chuàng)造一種失重的環(huán)境 ,在地球表面附近 ,當飛機模擬某些在重力作用下的運動時 ,就可以在飛機座艙內實現(xiàn)短時間的完全失重狀態(tài) ,現(xiàn)要求一架飛機在速率為 1 500v m/ s 時進入失重狀態(tài)試驗 ,在速率為 2 1000v m/ s 時退出失重狀態(tài)試驗 重力加速度 210g m/ s 試問 （ ）在上述給定的速率要求下 ,該飛機需要模擬何種運動 ,方可在一定范圍內任意選擇失重時間的長短 ?試定量討論影響失重時間長短的因素 （ ）飛機模擬這種運動時 ,可選擇的失重狀態(tài)的時間范圍是多少 ? 解析：（ ）當飛機做加速度的大小為為重力加速度 g,加速度的方向豎直向下的運動時 ,座艙內的的試驗者便處于完全失重狀態(tài) ,這種運動可以是飛機模擬無阻力下的自由落體運動或豎直上拋運動 ,也可以是斜拋運動 當進入實驗的速率和退出試驗的速率確定后 ,飛機模擬前兩種運動時 ,失重時間的長短都是一定的 ,不可選擇的 當飛機模擬無阻力作用下的斜拋運動時 ,失重時間的長短與拋射角有關 ,可在一定范圍內進行選擇 考察飛機模擬無阻力作用下的斜拋運動 ,設開始試驗時的初速度為 1v ,方向與水平方向成 角 ,起始位置為 A 點 ,經(jīng)過拋物線運動在 B 點退出試驗 如圖所示 ,以 t 表示試驗經(jīng)歷的時間 ,再退出試驗時的速率為 2v ,則有 21xv vcos （ 1） 21yv v sin gt（ 2） 而 2 2 22 2 2xyv v v （ 3） 由（ 1）（ 2）（ 3）式得 2 2 2 21 1 220g t v g t sin v v （ 4） 解（ 4）式得 2 2 2 21 1 2 1v sin v sin ( v v )t g （ 5） 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 19 頁 由（ 5）式可知 ,當進入試驗時飛機的速度 1v 和退出試驗時飛機的速度 2v 確定以后 ,失重時間的長短可通過角 來調節(jié) （ ）當 090 時失重時間最長 ,由（ 5）式可求的最長失重時間 150maxts 當 090 時 ,失重時間最短 ,由（ 5）式可求的最短失重時間 50mints 失重時間的調節(jié)范圍在 150s 到 50s 之間 例 5 (華東師范大學二附中張偉平命制 )如圖所示 ,一塊質量為 M長為 l的均勻質板放在很長的水平桌面上 ,板的左端有一個質量為 m 的物塊 ,物塊上連接一根很長的細繩 ,細繩跨過位于桌面邊緣的定滑輪并與桌面平行 某人以恒定的速度 v 向下拉繩 ,物塊最多只能達到板的中點 ,且此時板的右端距離桌邊定滑輪足夠遠 ,求： (1)若板與桌面間光滑 ,物塊與板的動摩擦因數(shù)及物塊剛到達板的中點時板的位移 (2)若板與桌面間有摩擦 ,為使物塊能達到板右端 ,板與桌面的動摩擦因素的范圍 解析 ： (1)板在物塊對其的摩擦力作用下向右做勻加速運動直至與物塊速度相同 ,此時 ,物 塊剛到達板的中點 設板的運動時間為 1t ,物塊與板的動摩擦因數(shù)為 1 , 木板加速度為： 11 1mg va Mt即1 1Mvt mg 在此過程中 ,板前進的位移為：1112s vt,物塊移動的位移為 21s vt ,而212lss, 由此可得： 21=Mvmgl,1 2ls (2)設 板與桌面間的動摩擦因數(shù)為 2 ,物塊在板上滑行的時間為 2t , 木板的加速度為 1 2 22 2m g ( M m ) g va Mt, 即：2 12Mvt m g ( m M )g 在此時間內 ,物塊需到達板右端 ,即： 2212s s vt vt l 物 板 帶入 2t 得 22= 2 Mv(m M )gl 由于 2 越大 ,板運動越慢 ,物塊與板的相對位移越大 ,所以 , 2 應滿足 22 2 Mv( m M )gl 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 20 頁 3. 物體的平衡 例 6如圖 1-1 所示，長為 L 的均勻木桿重 Q，在木桿上離 A 端 L/4 處放有一重為 Q/2 的重物，平衡時，木桿與水平面的夾角 多大？ 解析：以 O 點為軸，取整體為研究對象，有 00 6 0 6 0 2 4 2Q L LL c o s c o s Q L c o s c o s （ ） （ ） 得 63arccot( ) 例 7將一小球 m 用細繩系起，沿半徑為 R 的半球面緩慢拉起，半球面光滑，試分析拉起過程中， m 對半球壓力及拉力 F 的變化情況 解析：設半球半徑為 R，滑輪到半球距離為 h 對 m 進行受力分析見圖示： _m NQ O m ONR RGQ R hRNGRh: , F O m Omo 其 中 , 其 中恒 定 不 變同 理 在 相 似 三 角 形 中 拉 力 的 變 化 與 中邊 長 線 段 長 度 變 化 相 對 應 ， F 逐漸變小 所以 ，將 m 沿半球拉上過程中， m 對半球壓力不變，拉力變小 例 8 (2010 年北京大學 ) 如圖，一個質量為 M棱邊長為 L 的立方體放在粗糙的平面上，在左上棱施力，使立方體向前或向后翻轉，立方體不與平面發(fā)生相對滑動，求向前和向后施加力的最小值以及對應的摩擦因數(shù) 設想立方體開始翻轉后 ，施加的外力 F 的大小和方向會改變，以維持 F 始終為最小值 解析 ：立方體往前或往后翻轉，實際是沿其右下角的棱所做的轉動，即有固定轉動軸物體的平衡問題 先考慮向前翻轉 ， D 點恰離開地面時最難翻動，當 F 與 AC 垂直時有最小值 (若 F不垂直與 AC，則 F 的力矩只是其沿 AC 垂直方向的分量 )，設 AC 與水平面夾角為 ，則由合力矩為零可得： 2F2 2ML g cos L 當立方體恰能翻轉時 為 45此時 立方體若能翻轉，水平方向的受力方程應為 M g F cos F sin 立方體恰能翻轉時，代入 45 ， 24min MFg， 可得 13 在向后翻轉時，以左下角棱為軸，一開始最難翻動，考慮 C 點將離地狀態(tài)， D Mg B N f 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 21 頁 MgL2FL ， MgF 此時 Mg1F 22， 4. 動量 例 9(2009 年清華大學 )一質量為 m，長為 l 的柔軟細繩自由懸垂，下端恰與一臺秤秤盤接觸， (如圖所示 )某時刻放開柔軟細繩上端，求臺秤的最大讀數(shù) 解析 ：設 t 時刻落到秤盤的繩長為 x，此時繩速 2v gx 在 t t t 時間內，又有 mx 的繩落到秤盤上，由動量定理得F t m v xv (忽略微元段繩本身的重力沖量 ) 即 2 2F v( x / t ) v g x 故 3N F gx gx 因而秤盤的最大讀數(shù)為 3mg，即出現(xiàn)在柔繩將要全部掉到秤盤上時 例 10(2011 年復旦大學千分考 )在一根長的水平桿上穿著 5 個質量相同的珠子，珠子可以在桿上無摩擦地運動，初 始時若各珠子可以有任意的速度大小和方向，則它們間最多可以碰撞次 A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 解析 ：兩個質量相同的圓球在發(fā)生對心碰撞 (初速度沿球心的連線方向 )時是完全彈性碰撞，碰后二者的速度發(fā)生交換 給珠子依次編號為 1， 2， 3， 4， 5.由于珠子完全相同，碰撞后速度交換，可以看做是碰后 2 為 1， 1 為 2，相當于碰撞后二者保持原先的運動狀態(tài)不變 如果1 的速度大于后面 4 個珠子任一個的速度，則 1 的速度會傳遞給 2345，即發(fā)生 4 次碰撞 同理 2 發(fā)生 3 次， 3 發(fā)生 2 次， 4 發(fā)生 1 次，共 4+3+2+1=10 次 若 5 個珠子存在速度反向的情況，則珠子必會相撞，但總的碰撞次數(shù)肯定是小于等于同向的情況 故選 D 例 11(2011 年復旦大學千分考 )設土星質量為 5.671026kg，其相對于太陽的軌道速率為 9.6 km/s，一空間探測器質量為 150 kg，其相對于太陽的速率為 10.4 km/s，并迎向土星方向飛行 由于土星的引力 ，探測器繞過土星沿著和原來速度相反的方向離去，則它離開土星后相對于太陽的速率為 km/s A. 20 B. 29.6 C. 9.6 D. 4.8 解析 ：物體相互作用，交換動量和能量的過程都叫碰撞，而碰撞問題都具有動量守恒和能量守恒兩大特點 本題中探測器和土星就是一種無接觸的 “碰撞 ”問題 以太陽為參考系 ，動量守恒： m v m v m v m v 土 土 探 探 土 土 探 探 能量守恒： 2 2 2 21 1 1 12 2 2 2 m v m v m v mv 土 土 探 探 土 土 探 探 聯(lián)立可得 2 mm mv v vm m m m土 探 土探 探 土土 探 土 探 因為探測器質量遠小于土星質量，故 2 2 9 6v v v . km / s 探 探 土 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 22 頁 5. 機械能 例 12(2011 年華約樣題 )如圖所示，剛性細直棒長為 2l，質量不計，其一端 O 用光滑鉸鏈與固定轉軸連接，在細棒的中點固定一個質量為 4m 的小球 A，在細棒的另一端固定一個質量為 m 的小球 B將棒置于水平位置由靜止開始釋放 ，棒與球組成的系統(tǒng)將在豎直平面內作無摩擦的轉動，則該系統(tǒng)在由水平位置轉至豎直位置的過程中 ( ) A.系統(tǒng)的機械能守恒 B.棒對 AB 兩球都不做功 C.A 球通過棒對 B 球做正功 D.B 球通過棒對 A 球做正功 解析 ：設棒轉過 90時 B 所在平面為零勢能面 系統(tǒng)從水平位置轉至豎直位置的過程中，由機械能守恒得 2211m 4 m242 22 2BB vvm g l l m g l () 解得 2 6gBvl ，單獨對 B 球而言21mg 2 W m2 Blv 得 W mgl ，故選 AC 例 13 (2008 年上海交通大學 )有一勁度系數(shù)為 k 的輕質彈簧豎直放置，下端懸一質量為 m的小球，先使彈簧為原長，而小球恰好與地接觸，再將彈簧上端緩慢提起，直到小球離開地面，在此過程中外力所做的功為 解析 ：小球離地時，彈簧的伸長量為 mgx k 外力做功 2 2 222W m g h k x / m g h m g / ( k ) 例 14(2007 年北京大學 )長為 6L，質量為 6m 的勻質繩置于特制的水平桌面上，繩的一端懸垂于桌面外，另一端系有一個可視為質點的質量為 M 的木塊，如圖所示，木塊在 AB 段與桌面無摩擦，而 BE 段與桌面有摩擦，勻質繩與桌面的摩擦可忽略 初始時刻用手按住木塊使其停在 A 處，繩處于繃緊狀態(tài)， AB BC C D D E L ，放手后，木塊最終停在 C 處，桌面距地面高度大于 6L，求： (1) 木塊剛滑至 B 點時的速度 v 和木塊與 BE 段的動摩擦因數(shù) ； (2) 若木塊在 BE 段與桌面的動摩擦因數(shù)變?yōu)?24 lm / ( M ) ，則木塊最終停在何處 ? (3) 是否存在一個 值，能使木塊從 A 處釋放后，最終停在 E 處，且不再運動，若能，求出該值，若不能，簡要說明理由 解析 ： (1)物從 A 運動到 B 點，由動能定理得 22 3 3 2 6 2Bm g L m g . ( L / ) ( M m ) v / , 即得 56B mv glMm 物體從 A 到 C 點，由動能定理得 2 4 2mg L ( mg . L ) MgL 即 6m/ M (2)由動能定理得 2 2 2mgL ( x / L ) mg ( L x / ) Mg ( x L ) 即 222 13 21 0x Lx L 解得 3x L, 和 35x . L (舍去 ) (3)木塊要停在 E 處需滿足 6 Mg mg 即 6 m/ M 而要木塊滑到 E 點須滿足 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 23 頁 6 3 2 3m g . L m g L Mg . L，即 16 3 m/ M 與前面求得結果矛盾，故沒有滿足要求的 值 6. 天體運動 例 15(2002 年上海交通大學 )飛船沿半徑為 R 的圓周繞地球運動 ,如果飛船要返回地面 ,可在軌道上某一點 A 處將速率降低到適當數(shù)值 ,從而使飛船沿著以地心為焦點的橢圓軌道運動 橢圓與地球表面在 B 點相切如圖 2-10,求飛船由 A 點到 B 點所需的時間 (已知地球半徑為 0R ,地球表面的重力加速度為 g) 解析 ：由開普勒第三定律得 2 3 2 310 22T / R T / ( R / R / )而 2 2 2 20 4G M m / R m g , G M m / R m R ( / T ), A 到 B 的時間 1 2t T/ 故 00022( R R ) R Rt Rg 例 16(2007 年上海交通大學 )質量為 m 的行星在質量為 M 的恒星引力作用下，沿半徑為 r的圓軌道運行，要使該行星運行軌道半徑增大 1%，外界要做多少功， (行星在恒星引力場中的勢能 pE GMm/ r ，其中 G 為引力常量 ) 解析：由 22GmM / r mv / r 得 2 22kE m v / G M m / ( r ) 行星的總能量 22pkE E E G M m / ( r ) G M m / r G M m / ( r ) 故 1 1 0 1 1 2 2 0 2W E E E GMm / ( . r ) / r / GMm / ( r ) 例 17 (2002 年復旦大學 )質量為 m 的人造地球衛(wèi)星，在圓軌道上運行，運行中受到大小恒為 f 的微弱阻力作用，以 r 表示衛(wèi)星軌道的平均半徑， M 表示地球質量，求衛(wèi)星在旋轉一周過程中： （ 1） 軌道半徑的改變量 r （ 2） 衛(wèi)星動能的改變量 kE 解析 ：（ 1）衛(wèi)星受阻力作用，半徑 r 逐漸變小，設轉一周減小 r，則 )2/()2/()(22rrGMmrGMmrrGMmE 而)2( rfWf ， 由EW 得)/(4 3 GMmfrr （ 2） 222kE