數(shù)列極限的概念ppt課件.ppt

第二章數(shù)列極限,2.1數(shù)列極限的概念,2.2收斂數(shù)列的性質(zhì),2.3數(shù)列極限存在的條件,1,2.1數(shù)列極限的概念,一、概念的引入,二、數(shù)列的定義,三、數(shù)列的極限,四、應用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極限的方法,2,一、概念的引入,引例,1如何用漸近的方法求圓的面積S？用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似圓的面積S.,A1,A2,A3,A1表示圓內(nèi)接正6邊形面積,A2表示圓內(nèi)接正12邊形面積,A3表示圓內(nèi)接正24邊形面積,An表示圓內(nèi)接正62n-1邊形面積,.,顯然n越大,An越接近于S.,因此,需要考慮當n時,An的變化趨勢.,3,2、截丈問題：,“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”,4,二、數(shù)列的定義,例如,5,注意：,1.數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列.可看作一動點在數(shù)軸上依次取,2.數(shù)列是整標函數(shù),6,數(shù)列極限來自實踐，它有豐富的實際背景.我們的祖先很早就對數(shù)列進行了研究，早在戰(zhàn)國時期就有了極限的概念,例1戰(zhàn)國時代哲學家莊周所著的莊子.天下篇引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！币簿褪钦f一根一尺長的木棒，每天截去一半，這樣的過程可以一直無限制的進行下去。將每天截后的木棒排成一列,如圖所示,三、數(shù)列的極限,7,（c11(k)）其長度組成的數(shù)列為,隨著n無限的增加,木棒的長度無限的趨近于零。,8,例如,當n無限增大時,如果數(shù)列xn的一般項xn無限接近于常數(shù)a,則常數(shù)a稱為數(shù)列xn的極限,或稱數(shù)列xn收斂a,記為,數(shù)列極限的通俗定義,9,三、數(shù)列的極限,10,三、數(shù)列的極限,11,三、數(shù)列的極限,12,三、數(shù)列的極限,13,三、數(shù)列的極限,14,三、數(shù)列的極限,15,三、數(shù)列的極限,16,三、數(shù)列的極限,17,三、數(shù)列的極限,18,三、數(shù)列的極限,19,三、數(shù)列的極限,20,三、數(shù)列的極限,21,三、數(shù)列的極限,22,問題:,當無限增大時,是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?,問題:,“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學語言刻劃它.,通過上面演示實驗的觀察:,23,24,當n無限增大時,xn無限接近于a.當n無限增大時,|xn-a|無限接近于0.當n無限增大時,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.當n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先給定的任意小的正數(shù).,分析,因此,如果n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先給定的任意小的正數(shù),則當n無限增大時,xn無限接近于常數(shù)a.,當n無限增大時,如果數(shù)列xn的一般項xn無限接近于常數(shù)a,則數(shù)列xn收斂a.,下頁,25,數(shù)列極限的精確定義,設xn為一數(shù)列如果存在常數(shù)a對于任意給定的正數(shù)e總存在正整數(shù)N使得當nN時不等式|xna|N,目的：,NO,有些點在條形域外面！,數(shù)列極限的演示,33,N,數(shù)列極限的演示,e越來越小，N越來越大！,34,數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.,例1,證,所以,注意：,35,分析:,例1,證明,下頁,0,NN當nN時有|xna|.,36,利用定義驗證數(shù)列極限，有時遇到的不等式|xna|不易考慮，往往采用把|xna|放大的方法。若能放大到較簡單的式子，就較容易從一個比較簡單的不等式去尋找項數(shù)指標N,放大的原則：放大后的式子較簡單放大后的式子以0為極限,例2證明,證明,37,則當nN時，有,38,例3.證明分析，要使（為簡化，限定n只要證.當nN時有由定義適當予先限定nn。是允許的！但最后取N時要保證nn。,39,.例4.證明（K為正實數(shù)）證：由于所以對任意0，取N=,當nN時,便有,40,例5,證,所以,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).,小結:,用定義證數(shù)列極限存在時,關鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.,41,例6,證,42,例7,證,43,由上面數(shù)列極限的證明可總結出數(shù)列極限證明的步驟：,2適當放大,，通常放大成,的形式,，求出需要的,1化簡,3解,總結用定義求極限或證明極限的關鍵是適當放大不等式，關鍵的追求有兩點，一是把隱性表達式變成顯性表達式，在重鎖迷霧中看清廬山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得過份。,44,四收斂的否定:,數(shù)列,發(fā)散,45,五數(shù)列極限的記註:,1滿足條件“”的數(shù)列:。2,改變或去掉數(shù)列的有限項,不影響數(shù)列的收斂性和極限.重排不改變數(shù)列斂散性:,46,3數(shù)列極限的等價定義:,對,對任正整數(shù),47,六無窮小數(shù)列:,定義極限為0的數(shù)列稱為無窮小量（無窮小量是指一個極限概念，趨向常數(shù)0）,命題1.,的極限為n,是無窮小量.,變量有極限,的充要條件為它可分解為,加一個無窮小量。,命題2,無窮小量加