（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)專業(yè)論文）幾類變分不等式和算子方程的算法研究.pdf

l j 1 弋 i r a 獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人聲明，所呈交的學(xué)位論文是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下完成的。論文中取得 的研究成果除加以標(biāo)注和致謝的地方外，不包含其他人己經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò) 的研究成果，也不包括本人為獲得其他學(xué)位而使用過(guò)的材料。與我一同工 ， 作的同志對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說(shuō)明并表示謝 意。 學(xué)位論文作者簽名：到確 日期：翮霹弓 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書(shū) 本學(xué)位論文作者和指導(dǎo)教師完全了解東北大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論 文的規(guī)定：即學(xué)校有權(quán)保留并向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和 磁盤，允許論文被查閱和借閱。本人同意東北大學(xué)可以將學(xué)位論文的全部 或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索、交流。 作者和導(dǎo)師同意網(wǎng)上交流的時(shí)間為作者獲得學(xué)位后： 半年n一年口一年半r l兩年口 學(xué)位論文作者簽名：司詢 簽字日期：如8 7 多 導(dǎo)師簽名： 簽字日期： 州) r【-rii 1叫j1 j 東北大學(xué)碩士論文 摘要 幾類變分不等式和算子方程的算法研究 摘要 2 0 世紀(jì)6 0 年代，l i o n s 和s t a m p a c c h i a 創(chuàng)立了變分不等式理論。8 0 年代以來(lái)，作為 現(xiàn)代偏微分方程理論重要部分的變分不等式理論得到了廣泛的發(fā)展。變分不等式理論被 廣泛應(yīng)用于研究力學(xué)、控制論、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、對(duì)策論和最優(yōu)化中的許多重要問(wèn)題。 本文介紹了變分不等式理論發(fā)展的歷史背景、研究現(xiàn)狀及本文所做的工作。討論了 兩種類型的變分不等式的迭代算法。其中第二章討論了廣義集值混合擬變分不等式，建 立了尋求其近似解的一類迭代算法，并利用預(yù)解算子方程和極大單調(diào)算子的性質(zhì)證明了 由此算法生成的近似解序列的收斂性。第三章討論了隨機(jī)廣義集值混合擬變分不等式， 提出了解這類不等式的三階迭代算法，并證明了由此算法生成的近似解序列的收斂性。 最后，在一致光滑b a n a c h 空間中，討論了非線性算子方程問(wèn)題，提出了方程的三階有 偏差修正迭代法，證明了該算法的收斂性，討論了關(guān)于強(qiáng)偽壓縮算子的有偏差修正n o o r 迭代法和有偏差m a n n 迭代法的等價(jià)性。本文的結(jié)果可以看成對(duì)以往一些相應(yīng)結(jié)果的推 。廣和提高。 關(guān)鍵詞：變分不等式；迭代算法；隨機(jī)變分不等式；非線性算子方程 n 東北大學(xué)碩士論文 a l g o r i t h mr e s e a r c h e so ns e v e r a lc l a s s e so f v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i l i e s a n do p e r a t o re q u a t i o n s a bs t r a c t i nt h e19 6 0 s ，l i o n sa n ds t a m p a c c h i ac o n s t r u c tt h ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t yt h e o r y s i n c e t h e19 8 0 s ，v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yt h e o r y , 鶴o n eo ft h em o s ti m p o r t a n tp a r to fm o d e mp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，h a sb e e nw i d e l yd e v e l o p e d v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yt h e o r yi se x t e n s i v e l y u s e di ne l a s t i c i t y , c o n t r o lt h e o r y , e c o n o m i cm a t h e m a t i c s ，g a m et h e o r ya n dt h eo p t i m i z a t i o n i nt h i sp a p e r ，t h eb a c k g r o u n do fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yt h e o r ya n dr e c e n ts i t u a t i o no f r e s e a r c ha r ei n t r o d u c e d t h ei t e r a t i v ea l g o r i t h m so ft w ot y p e so fv a r i t i o n a li n e q u a l i t i e sa r c d i s c u s s e d i nc h a p t e r2 ，t h eg e n e r a l i z e ds e t - v a l u e dm i x e dq u a s i - v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yi s e x p l o r e d , an e w i t e r a t i v ea l g o r i t h mt os o l v et h i sk i n do fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yi sc o n s t r u c t e d a n dt h ec o n v e r g e n c eo ft h ei t e r a t i v es e q u e n c e sg e n e r a t e db yt h ea l g o r i t h mi sp r o v e d i n c h a p t e r3 ，t h er a n d o mg e n e r a l i z e ds e t - v a l u e dm i x e dq u a s i - v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yi ss t u d i e d , a t h r e e - s t e pi t e r a t i v em e t h o di ss u g g e s t e d , a n dt h ec o n v e r g e n c eo ft h e i t e r a t i v es e q u e n c e s g e n e r a t e db yt h ea l g o r i t h mi sp r o v e d f i n a l l y t h en o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n sp r o b l e mi s s t u d i e di nt h eu n i f o r m l ys m o o t hb a n a c hs p a c e am o d i f i e dt h m e - s t e pi t e r a t i v em e t h o dw i t h e r r o r sf o rn o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n si ss u g g e s t e d ，t h ec o n v e r g e n c eo ft h ea r i t h m e t i ci s p r o v e da n dt h ee q u i v a l e n c eb e t w e e n t h ec o n v e r g e n c eo fm o d i f i e dn o o ri t e r a t i o n sw i t he l t o r 8 a n dm o d i f i e dm a n ni t e r a t i o n s w i t he r r o l si sd i s c u s s e df o r s t r o n g l ys u c c e s s i v e l y p s e u d o - c o n t r a c t i v eo p e r a t o r s t h er e s u l t sp r e s e n t e di nt h i sp a p e re x t e n da n di m p r o v em a n y c o r r e s p o n d i n g r e s u l t si n t h el i t e r a t u r e k e yw o r d s ：v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ；i t e r a t i v ea l g o r i t h m ；r a n d o m v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y ；, n o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n s i ， 2 4 廣義集值混合擬變分不等式解的算法的收斂性證明1 6 2 5 本章小結(jié)2 l 第3 章隨機(jī)廣義集值混合擬變分不等式解的算法。2 3 3 1 預(yù)備知識(shí)2 3 3 2 隨機(jī)廣義集值混合擬變分不等式2 5 3 3 隨機(jī)廣義集值混合擬變分不等式解的迭代算法2 5 3 4 隨機(jī)廣義集值混合擬變分不等式解的算法的收斂性定理。2 6 3 5 本章小結(jié)3 2 第4 章非線性算子方程的三階有偏差修正迭代法3 3 i v 東北大學(xué)碩士論文 目錄 4 1 動(dòng)j ! 名 矢口識(shí)3 3 4 2 非線性算子方程的三階有偏差修正迭代法的收斂性證明3 4 4 3 有偏差修正n o o r 迭代法和有偏差修正m a n n 迭代法的等價(jià)性證明3 8 4 4 本章小結(jié)。4 1 第5 章結(jié)論4 3 5 1 結(jié)論4 3 5 2 今后研究工作的展望4 3 參考文獻(xiàn)。4 5 致謝4 9 攻讀碩士學(xué)位期間發(fā)表的論文5 1 v 東北大學(xué)碩士論文第1 章緒論 第1 章緒論 1 1 變分不等式的發(fā)展 “變分不等式 的英文為“v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ，也有人譯為“變分不等方程 。 它起源于數(shù)學(xué)物理問(wèn)題和非線性規(guī)劃問(wèn)題。變分不等式問(wèn)題( v i p ) 是應(yīng)用數(shù)學(xué)中一個(gè)十 分重要的研究領(lǐng)域，是偏微分方程的一個(gè)重要分支。 2 0 世紀(jì)6 0 年代，l i o n s 和s t a m p a c c h i a 等人創(chuàng)建了變分不等式理論。h a r t m a n 和 s t a m p a c c h i a 等人在創(chuàng)建變分不等式理論的基礎(chǔ)之初提出和研究了第一個(gè)變分不等式： 設(shè)k 是掣中的有界閉凸集，b ：k - - - r “是一連續(xù)映像，求i k ，使得： ( 曰i ，v - t ) 0 ，v v k ( 1 1 ) 該變分不等式被稱為h a r t m a n s t a m p a c c h i a 變分不等式，并在有限維空間中討論其 解的存在性，這一變分不等式與極值理論和微分方程緊密相關(guān)。 后來(lái)b r o w d e r 和l i o n s 等人將其推廣到無(wú)窮維空間。作為h a r t m a n 。s t a m p a c c h i a 變分 不等式理論的發(fā)展和深化，1 9 7 6 年b r o w d e r 在局部凸拓?fù)渚€性空間上討論了如下形式的 變分不等式： 設(shè)k 是一局部凸拓?fù)渚€性空間e 中的緊凸集，丁是足一e + ( f 為e 的共軛空間) 的連續(xù)映像， ( t u ，v - u ) 0 ，v v k 該變分不等式稱為b r o w d e r - h a r t m a n s t a m p a c c h i a 型變分不等式，并研究了其解的存 在性問(wèn)題。 l i o n s ，s t a m p a c c h i a 首先提出橢圓變分不等式，即： 設(shè)日是一實(shí)h i l b e r t 空間，f 日( h 的共軛空間) 是一給定元，口是日上的一雙 線性連續(xù)泛函，j ：h - 9 , r 是一給定的泛函，求u h 滿足變分不等式： a ( u ，一”) + j ( d 一( “) ( f ，v - u ) ，v ，h 該變分不等式稱為l i o n s s t a m p a c h i a 變分不等式，偏微分方程中的許多自由邊值問(wèn) 題和許多帶單側(cè)約束的定常力學(xué)和物理問(wèn)題都可歸結(jié)為此類變分不等式的研究。并把所 得的結(jié)果應(yīng)用于研究力學(xué)、控制論、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、對(duì)策論、微分方程和最優(yōu)化理論中的許 多重要問(wèn)題，同時(shí)也在最優(yōu)控制問(wèn)題、彈性問(wèn)題及滲流問(wèn)題等領(lǐng)域中得到了成功的應(yīng)用。 2 0 世紀(jì)8 0 年代以來(lái)，作為現(xiàn)代偏微分方程理論重要部分的變分不等式理論得到了深入 的發(fā)展。1 9 8 1 年，g w i n n e r 借助k k m 定理及其推廣形式研究了一類抽象變分不等式， 其中k yf a n 極大極小原理就是其中一個(gè)很重要的推論。k yf a n 首先提出和研究了下面 形式的變分不等式： 設(shè)e 是局部凸的h a u s d o f f 拓?fù)渚€性空間，kce 是一非空的緊凸集，設(shè)廠：k 專e 是 一連續(xù)映像，求“k 和e 上的連續(xù)半范數(shù)p ，使得： 東北大學(xué)碩士論文 第1 章緒論 p ( ( “) 一x ) 一p ( ( ”) 一“) 0 ，v x k 該變分不等式稱為k yf a n 變分不等式，以后l i n ，r e i c h 和s e h g a l 等作了進(jìn)一步的 改進(jìn)和發(fā)展。這類變分不等式與優(yōu)化理論密切相關(guān)。接著，丁i t 等人研究了多值單調(diào)映 像的b r o w d e r - h a r t m a n - s t a m p a c c h i a 變分不等式；張和向【2 】等人討論了雙線性型變分不等 式解的存在性。同時(shí)也有很多人在b a n a c h 空間的閉球，b a n a c h 空間的球面以及錐上的 凝聚映像，或局部凸空間討論了k yf a n 變分不等式。 另外b e n s o u s s a n 和l i o u s 在研究與隨機(jī)脈沖有關(guān)的某些問(wèn)題時(shí)最早提出了擬變分不 等式，a u b i n ，e k e l a n d 最先提出了如下形式的擬變分不等式： 設(shè)e 是局部凸的h a u s d o f f 拓?fù)渚€性空間，kce 是一非空的緊凸集，設(shè)f ：k 一2 足 是一多值映像，設(shè)廠：k x k r ，求i k 滿足變分不等式： 廠( i ，j ，) 0 ，渺，( 工) 1 9 8 2 年c h a r t ，p a n g 又討論了集值映像的擬變分不等式： 設(shè)scr “是一非空集，設(shè)t ：s 一2 s 。求i s ，歹丁( 習(xí)，使得： 0 ， v x s 后來(lái)，s h i h ，t a n ，k i m 等人討論了廣義擬變分不等式；c h a n g ，z h a n g 等人也進(jìn)行 了深入地研究；p a r i d a 和s e n 首先提出了如下形式的似變分不等式，這類變分不等式與 數(shù)學(xué)規(guī)劃中的某些問(wèn)題有關(guān)： 設(shè)s 和c 分別是r ”和尺”中的子集，設(shè)t ：s 專2 c 是一集值映像，m 和r 分別是 s c _ 彤和s sjr “的單值映像，求i s 和歹r ( x - ) ，使得： ( m ( i ，歹) ，r l ( x ，i ) ) 0 ， v x s 1 9 8 9 年p a r i d a ，s e n 研究了更一般的集值映像的似變分不等式；1 9 9 1 年張和鏟習(xí)研 究了集值映像的擬一似變分不等式。后來(lái)，還有很多作者在此基礎(chǔ)上，除了討論變分不 等式解的存在性，還研究了變分不等式的各種算法并證明了算法的收斂性。 設(shè)e 是一實(shí)線性空間，k 和x 是e 中的閉集且kcx ，g ：五x - ) ( - - o o ，栩】且 對(duì)每一z k ，g ( z ，) - ! - o o ，杪：k x xjr ，且對(duì)任一z 五，緲( z ，工，工) 0 ，v x ex 。 求孑k ，使得： g ( 孑，j ，) + ( 舅，i ，y ) g ( i ，i ) ，v y x 該變分不等式稱為隱變分不等式，這類變分不等式首先在m o s c a 的文章中被提出和 研究，它與經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中的n a s h 限制平衡問(wèn)題緊密相關(guān)。 設(shè)x 是一實(shí)線性拓?fù)淇臻g，設(shè)( y ，s ) 是具偏序一的實(shí)拓?fù)渚€性空間，其中sc y 是 一閉凸錐且i n t s 矽，而一”是由s 引入的偏序。設(shè)f ：c 專y 是s 一凸的，其中cc x 。 求x o c 和b o w f ( x o ) ，使得： s ( x x o ) 疊一h a t s ，壇c 該變分不等式稱為向量值的變分不等式，它與向量值的最優(yōu)化理論緊密相聯(lián)系。這 一2 一 東北大學(xué)碩士論文第1 章緒論 類變分不等式首先由c h e n ，c r a v e n 提出和研究。其中a w l ) 表示廠在處的弱次梯度。 1 9 8 0 年，g i a n n e s s 在有限維歐氏空間中引入了向量變分不等式，這是由于對(duì)多重評(píng)價(jià)指 標(biāo)的考慮，從而把純數(shù)字的變分不等式拓廣到到向量的情況。以后，c h e n y a n g 等作者大 量地研究了向量變分不等式，向量擬變分不等式和在b a n a c h 空間中的相補(bǔ)問(wèn)題。l e e 等 作者和s i d d i q i 給出了在b a n a c h 空問(wèn)和h a u s d o r f f 拓?fù)湎蛄靠臻g中的幾種向量不等式和 向量變分不等式的解的存在性定理。l e e ，c h e n 得到了在抽象空間中廣義向量變分不等 式的解的存在性定理。 設(shè)e 是一線性拓?fù)淇臻g，xce 是一非空緊凸集，e 是e 的共軛空間， 表e 與e 。間的配對(duì)，設(shè)( q ，a ) 是一可測(cè)空間，：q x - e + ，求可測(cè)映像，：q _ x ，使得： r e 0 ，v y x 該變分不等式稱為隨機(jī)變分不等式，它是相應(yīng)的決定性變分不等式的隨機(jī)化。這類 變分不等式與隨機(jī)方程、隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)理論有密切的聯(lián)系，它首先在n g u y e nx u a nt a n 和 的文章中提出和研究。 設(shè)e 是局部凸的h a u s d o f f 拓?fù)渚€性空間，x 是e 的非空緊凸集，陋) 是e 上的一 切f u z z y 集的集合，設(shè)g 和f 分別是z _ f ( x ) 和x - r ( e ) 的f u z z y 映像，設(shè)口( x ) 是 x _ ( o ，1 】的函數(shù)，盧_ ( 0 , 1 】o 求y 。e x ，使得： q 。( y o ) 苫a ( y o ) ，r e s 0 ，v u e f , 。 ) 苫盧，v x e g y oo ) 之口( ) ，o ) 該變分不等式稱為f u z z y 映像的變分不等式，這類變分不等式與f u z z y 對(duì)策和f u z z y 不動(dòng)點(diǎn)理論密切相關(guān)。 另一方面，2 0 世紀(jì)6 0 年代中期，在非線性規(guī)劃的研究中出現(xiàn)了線性和非線性互補(bǔ) 問(wèn)題，它們進(jìn)一步發(fā)展成為有限維空間中的變分不等式問(wèn)題。2 0 世紀(jì)9 0 年代， m a t h p r o g r a m i n g 等雜志出版了非線性互補(bǔ)問(wèn)題與變分不等式的專輯，標(biāo)志著變分不等 式已成為非線性規(guī)劃的一個(gè)重要研究領(lǐng)域。在現(xiàn)代非線性分析中，變分不等式及其應(yīng)用 具有非常基礎(chǔ)和重要的作用。近來(lái)，d i n g 4 巧】等人在h i l b e r t 空間中研究了似變分不等式 問(wèn)題；陳【6 l 和鄧【7 1 等人在b a n a c h 空間中也進(jìn)行了討論。近年來(lái)，變分不等式有許多重要 的推廣，比如涉及集值的、非單調(diào)的、，7 單調(diào)的、強(qiáng)制的、非( 半) 強(qiáng)制的、模糊的、 隨機(jī)的、增生映象的變分不等式、擬變分不等式、擬一似變分不等式已經(jīng)被研究，與非 凸優(yōu)化、均衡問(wèn)題緊密相關(guān)的變分不等式也已被解決。到目前為止，變分不等式作為一 門應(yīng)用學(xué)科有著廣泛的應(yīng)用背景。 1 2 對(duì)于變分不等式的研究 變分不等式把很多看似不相關(guān)的線性和非線性規(guī)劃問(wèn)題最自然、直接、簡(jiǎn)單、有效 地統(tǒng)一在了一起。因此，人們研究了許多方法來(lái)解變分不等式問(wèn)題。同時(shí)，應(yīng)用新的技 術(shù)和方法，已經(jīng)把變分不等式推廣到了幾個(gè)新的方向。1 9 8 8 年，n o o r 引入和考慮了有 兩個(gè)算子的變分不等式，稱為廣義變分不等式。 3 一 東北大學(xué)碩士論文第1 章緒論 由于理論發(fā)展和應(yīng)用的需要，近年來(lái)人們利用各種新的技巧從不同的途徑對(duì) v i ( f ，q ) 進(jìn)行推廣，這些途徑大致可分為四類： ( 1 ) 從不等式形式的推廣 經(jīng)典變分不等式一一般變分不等式( 擬變分不等式，擬一似變分不等式，隱變分不 等式，混合變分不等式等) ( 2 ) 從空間上的推廣 彤空間- - - h i l b e r t 空間- - - - b a n a c h 空間一拓?fù)淇臻g ( 3 ) 從算子上的推廣 單值算子一集值算子，強(qiáng)單調(diào)算子一單調(diào)算子以及經(jīng)典算子一隨機(jī)算子等 ( 4 ) 從變分不等式到變分包含 近幾年變分包含得到了長(zhǎng)足發(fā)展【8 】，已成為一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的研究領(lǐng)域。 變分不等式問(wèn)題的研究具有很重要的意義，受到許多數(shù)學(xué)工作者及工程技術(shù)人員的 重視，并提出了許多數(shù)值解法。 我們通常所說(shuō)的變分不等式理論的基本內(nèi)容，就是研究各種類型的變分不等式解的 存在性和唯一性條件，解( 或解集) 的性狀及其逼近問(wèn)題，以及各種問(wèn)題的應(yīng)用。因此， 變分不等式的基本問(wèn)題之一就是解的存在性問(wèn)題。關(guān)于變分不等式解的存在性，已經(jīng)有 許多理論性的結(jié)果。關(guān)于變分不等式( 1 1 ) 解的存在性，1 9 6 6 年h a r t m a n s t a m p a c c h i a 給 出了一個(gè)最基礎(chǔ)的結(jié)果： 設(shè)k 是彤中的非空有界閉凸集，設(shè)a ：k 呻尺“連續(xù)，則存在u e k ，滿足變分不等 式( 1 1 ) 。 為求解變分不等式問(wèn)題，人們做了大量的工作。解變分不等式的迭代算法是變分不 等式理論發(fā)展的一個(gè)不可或缺的重要研究分支。一方面，各種各樣的應(yīng)用領(lǐng)域要求計(jì)算 變分不等式的近似解；另一方面，算法本身也促進(jìn)了變分不等式的理論研究。本文主要 討論兩類特殊變分不等式解的算法。變分不等式的主要算法包括牛頓算法、近似點(diǎn)算法、 t i k h o n o v 正則化算法和投影算法等。其中，投影方法是一類特殊的迭代方法，盡管大多 數(shù)投影方法有時(shí)是無(wú)效的，但由于它們具有全局收斂性和易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，因而這類方 法得到了人們的廣泛關(guān)注。對(duì)求解單調(diào)非線性變分不等式問(wèn)題，最簡(jiǎn)單的算法是 g o l d s t e i n l e v i l i n p o l y a k 投影法，它是一種顯式法；對(duì)應(yīng)的隱式法是逼近點(diǎn)法?；谶@ 兩種方法，k o r p e l e v i c h 提出t e l 梯度法，它實(shí)際上是一種特殊的預(yù)估一校正法：在預(yù)估 過(guò)程中采用了g o l d s t e i n l e v i l i n p o l y a k 顯式投影法，在校正過(guò)程中使用了隱式逼近點(diǎn)法； k o r p e l e v i c h k h o b o t o v 改進(jìn)了外梯度法，得到k o r p e l e v i c h k h o b o t o v 法。最近，何炳生 教授等【9 】用一個(gè)新的步長(zhǎng)準(zhǔn)則改進(jìn)了k o r p e l e v i c h k h o b o t o v 外梯度法。投影法及它的各 種形式，w i e n e r - h o p f 方程，輔助原理，分解技術(shù)，d e s c e n t ，n e w t o n 和動(dòng)力系統(tǒng)都已經(jīng) 用來(lái)解決變分不等式和相關(guān)的優(yōu)化問(wèn)題。l i o n s 和s t a m p a c c h i a 引入的投影法及它的包括 w i e n e r - h o p f 方程在內(nèi)的各種形式，是找到變分不等式問(wèn)題的近似解的有效工具。這種 4 東北大學(xué)碩士論文 第1 章緒論 方法的主要思想是利用投影來(lái)找到變分不等式和不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題之間的等價(jià)性。迭代成為變 分不等式投影法的重要部分。眾所周知，投影法要求算子必須是強(qiáng)單調(diào)且l i p s c h i z 連續(xù) 的，這些條件嚴(yán)格限制了投影法的應(yīng)用。這個(gè)事實(shí)引起人們對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，調(diào)整投影法 或發(fā)展其它的方法。e x t r a g r a d i e n t - t y p e 法根據(jù)二次投影，通過(guò)在每次迭代利用另外的前 進(jìn)步和投影，克服了上述困難。這些方法的收斂只要求解存在和單調(diào)算子是l i p s c h i z 連 續(xù)的，當(dāng)算子不是l i p s c h i z 連續(xù)的或不知道l i p s c h i z 常數(shù)時(shí)，e x t r a g r a d i e n t 及它的變化 形式要求一個(gè)a r m i j o 1 i k e 線性搜索以計(jì)算新的投影的步長(zhǎng)，這又導(dǎo)致了較多的計(jì)算。為 了克服這些困難，幾種校正投影和e x t r a g r a d i e n t t y p e 已經(jīng)發(fā)展來(lái)解決變分不等式問(wèn)題。 廣義變分不等式與w i e n e r - h o p f 方程密切相關(guān)，由n o o r 引入。要實(shí)施p r o j e c t i o n - t y p e 方 法，先要估計(jì)投影，這將會(huì)遇到困難。其次，投影和w i e n e r - h o p f 方程技術(shù)不能推廣到 涉及到非線性或非可微函數(shù)的變分不等式問(wèn)題【i o 】。這個(gè)缺點(diǎn)激發(fā)我們利用輔助原理的辦 法這種辦法通過(guò)利用不動(dòng)點(diǎn)的方法，找到輔助變分不等式，使輔助問(wèn)題的解是原問(wèn)題 的解。利用各種等價(jià)形式，人們也考慮了與變分不等式密切相關(guān)的全局投影動(dòng)力系統(tǒng)。 d u p u i sn a g u r n e y 利用變分不等式的不動(dòng)點(diǎn)理論引入了投影動(dòng)力系統(tǒng)。在這一方法中， 視變分不等式問(wèn)題為初始值問(wèn)題。這種等價(jià)形式使人們能研究變分不等式的唯一解的穩(wěn) 定性特征。l u e e h e t t ip a t r o n e 把適定性的概念引入了變分不等式，得到了一些適定性結(jié) 果。這種方法也給出了一種計(jì)算變分不等式的近似解的方法。 變分不等式解的迭代算法是變分不等式理論研究的重要組成部分。通常研究無(wú)窮維 空間中的變分不等式( 包含) 解的存在性有兩種方法：其一，靈活地利用幾個(gè)經(jīng)典的大 定理，如b r o w d e r 不動(dòng)點(diǎn)定理、k k m 定理、k yf a n 極大極小原理等，這種方法可以看 作是經(jīng)典不動(dòng)點(diǎn)理論的一個(gè)重要應(yīng)用【l l 】；其二，將變分不等式( 包含) 轉(zhuǎn)化為等價(jià)的不 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，構(gòu)造迭代算法，然后利用空間完備性證明迭代點(diǎn)列收斂到變分不等式( 包含) 的解。近年來(lái)，第二種研究方法越來(lái)越受到人們的青睞【1 2 - i 引。這種方法的核心問(wèn)題有兩 個(gè)：( 一) 、如何把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題? 常用的技巧有：輔助原理、預(yù)解方程 和預(yù)解算子技巧【1 2 。1 s 1 ；( 二) 、如何構(gòu)造迭代算法? 常用方法有：預(yù)估一校正的多步迭代 法、隱式方法以及對(duì)預(yù)解方程或輔助變分不等式做適當(dāng)變形后產(chǎn)生的迭代法。 2 0 0 0 年，張石生在一致光滑b a n a c h 空間框架下研究了變分包含的迭代算法；n o o r 在自反的一致光滑b a n a c h 空間框架下研究了一類變分不等式的迭代算法。b a n a e h 空間 的凸性和光滑性在變分不等式( 包含) 問(wèn)題的研究中起著重要的作用，它是b a n a c h 空 間理論的一個(gè)重要方向，且被廣泛應(yīng)用于算子方程、變分不等式( 包含) 及不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 的理論和迭代逼近等領(lǐng)域。近年來(lái)，k - 凸性和k - 光滑性的研究也日益引起了人們的重 視。 n o o r 和張石生等研究的變分不等式( 包含) 都是關(guān)于強(qiáng)單調(diào)算子的( 統(tǒng)稱為強(qiáng)單 調(diào)變分不等式( 包含) ) 。眾所周知，在單調(diào)算子的情形下( 統(tǒng)稱為單調(diào)變分不等式) 研 究變分不等式( 包含) 的算法與在強(qiáng)單調(diào)算子的情形下有著本質(zhì)的不同。近年來(lái)，人們 也利用不同的技巧研究了偽單調(diào)變分不等式的算法【1 9 1 。 一5 一 東北大學(xué)碩士論文第1 章緒論 變分不等式的發(fā)展，又促進(jìn)了其它學(xué)科的迅速發(fā)展。如對(duì)變分不等式問(wèn)題，常見(jiàn)的 假設(shè)是單調(diào)性，且單調(diào)性在很多應(yīng)用中也是成立的。但是，在管理和經(jīng)濟(jì)的許多問(wèn)題中， 凸性和單調(diào)性的經(jīng)典假設(shè)通常是不成立的。這樣，廣義凸函數(shù)得到了相應(yīng)的發(fā)展。 s k a r a m a r d i a n 和s s c h a i b l e 給出了偽單調(diào)性和偽凸性的關(guān)系，以及擬單調(diào)性和擬凸性的 關(guān)系，這是單調(diào)性和凸性關(guān)系的推廣的一個(gè)重要突破，并把它從可微條件下的單值映射 推廣到非光滑情況下的多值映射。s k a r a m a r d i a n 引入偽單調(diào)算子，從而使一些廣義單調(diào) 性應(yīng)運(yùn)而生【1 9 1 。近幾年來(lái)，人們?cè)陉P(guān)于擬單調(diào)性在變分不等式中的應(yīng)用做了一些研究， 并得到了一些結(jié)論。變分不等式對(duì)許多理論學(xué)科和應(yīng)用性學(xué)科都有著重要的影響。2 0 0 1 年，v e r m a 2 0 l 考慮了非線性變分不等式系統(tǒng)，討論了非線性變分不等式系統(tǒng)的迭代算法 的收斂性。 1 3 擬變分不等式 隨著對(duì)變分不等式問(wèn)題研究的深入，b e n s o u s s a n ，l i o n s 在1 9 7 3 年研究與隨機(jī)脈沖控 制有關(guān)的某些問(wèn)題時(shí)提出了擬變分不等式。變分不等式中的一個(gè)重要推廣是擬變分不等 式，可參見(jiàn)【2 1 - 2 2 1 ?，F(xiàn)在，擬變分不等式無(wú)論在理論或者應(yīng)用方面都取得了重要進(jìn)展，并 被成功地應(yīng)用與解決各種力學(xué)問(wèn)題和經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題。例如，b a i o c c h i a 通過(guò)未知函數(shù)的變換， 解決了非矩形水壩的滲流問(wèn)題；作為比擬變分不等式更一般的形式的廣義擬變分不等式 問(wèn)題也隨之發(fā)展。廣義擬變分不等式問(wèn)題是c h e r t 和p a n g 在1 9 8 2 年提出的。 設(shè)e 是一h a u s d o r f f 拓?fù)渚€性空間，xce 是任一非空子集，設(shè)f 是e 的對(duì)偶空間， 表示礦和e 之間的配對(duì)。設(shè)s ：x 專2 j 和r ：z 一2 f 為兩個(gè)集值映像。所謂廣義 擬變分不等式問(wèn)題： 求一點(diǎn)歹s ( 習(xí)及一點(diǎn)訂r ( 刃，使得： r e 0 及p 0 使得對(duì)x ，y ，z e h ， i i j ；卜j ( z ) 一，：，卜，y ( z ) f s a0 z y0 日 卜嬲i 身( 1 - k ) + ( 盧2 r 2 一亭2 y 2 ) 七( 2 - k ) ，身 叩 p 身 傀 其中， 吒) 是非負(fù)實(shí)數(shù)列，滿足吒一0 ( 刀呻o o ) ，則有l(wèi) i m s u p y 。一0 。 從而利用此引理證明了近似解收斂到精確解的目的，但是這在集值情形下卻無(wú)法做 到。已有的方法和技巧已經(jīng)不夠用了。h u a n g l 3 0 】的單值映像下的方法和技巧已經(jīng)失效， 必須另辟途徑。按照傳統(tǒng)的方法和技巧，希望估計(jì)h 州與u 。的誤差，從而證明 “。) 是 c a u c h y 序列，進(jìn)而證明 h 。) 的收斂性。但在此處顯然是行不通的。因?yàn)榘凑読 s h i k a w a 迭代算法，在估計(jì)“m 與h 。的誤差時(shí)，會(huì)出現(xiàn)迭代參數(shù)口。與口“，這就無(wú)法產(chǎn)生h u a n g 【3 0 1 可利用引理中的遞推不等式的情形。因此，我們無(wú)法轉(zhuǎn)化為h u a n g 3 0 1 所研究的單值映像 情形下的關(guān)于近似解與精確解的誤差的遞推不等式的形式。為了克服這個(gè)困難，我們發(fā) 展了新的方法與技巧，以便將其推廣到集值的情形。 2 2 預(yù)備知識(shí) 設(shè)日是一個(gè)實(shí)h i l b e r t 空間，其范數(shù)為i | 內(nèi)積為 ，令g ，s ，t ：h _ 2 h 是集 值映像，其中2 h 表示表示h 的非空子集族。p ：h _ h 和n ：h x h _ 日是單值映像。 假設(shè)m ：hx h 呻2 是集值映像，使得對(duì)每個(gè)固定的te h ，m ( - ，) ：h 一2 h 是極大單， 調(diào)映像及r a n g e ( p ) n d o m ( m ( 。，f ) ) 乒妒，v t e h 。 定義2 1 設(shè)x 是b a n a c h 空間，x 為其對(duì)偶空間，t ：x _ 2 r 稱為極大單調(diào)映像，如果 其圖像g r a p h t 是x x 中的極大單調(diào)集，或等價(jià)的：丁是極大單調(diào)映像，當(dāng)且僅當(dāng) ( 廠一g ，工一y ) 苫0 ，v y ，g 】g r a p h t 時(shí)，就有x o ( t ) ，x 玖。 定義2 2 設(shè)x 是b a n a c h 空間，x ：為其對(duì)偶空間。集合mc x x x + 稱為單調(diào)集，如果 ( 廠- g ，x - y ) 20 ，v x ，廠】，【y ，g 】m 由此定義知，t ：x 呻2 z 使單調(diào)映像，當(dāng)且僅當(dāng)其圖像g r a p h t 是x 石中的單調(diào)集。 定義2 3 設(shè)z 是b a n a c h 空間，z 為其對(duì)偶空| 日j 。設(shè)x 是一線性空間，mc x 是一子 集，設(shè)驢是定義在x 上的擴(kuò)充實(shí)值泛函，集合d o m q 9 = 石x ，驢o ) 0 ，稱由下 式定義的映像，。m ：日一日： ，o ) = ( ，+ p m ) 。 ) ，v x e h 為m 的預(yù)解算子，其中，為日上的恒等映像。 定義2 5 映像g ：h 一日稱為 ( i ) 6 一強(qiáng)單調(diào)的，如果存在常數(shù)6 0 ，使得： 26lu 1 一“20 2 ，v u ie h ，f = l 2 ， ( i i ) o r - - l i p s c h i t z 連續(xù)的，如果存在o r 0 ，使得： 09 0 。) - g ( u ：) 0sa l lu 。一“：i l ，y u 。e h ，i = l 2 定義2 6n ：日x h _ h 稱為依第一個(gè)變量是一l i p s c h i t z 連續(xù)的，如果存在常數(shù)盧 0 ， 使得： 8 ( “。，。) 一( m ：，) 0s 盧0 “。一h ：0 ，v u ，e h ，i = 1 ，2 同樣方法，可以定義( ，) 依第二個(gè)變量的l i p s c h i t z 連續(xù)性。 定義2 7 集值映像s ：h _ c b ( h ) 稱為h l i p s c h i t z 連續(xù)的，如果存在常數(shù)r 0 ，使得： h ( s ( u 。) ，s ( u ：) ) s 叼l l “。一“：0 ，f = 1 ，2 其中，h ( ，) 是c b ( 日) 上的h a u s d o r f f i 眍離，_ h c b ( h ) 是h 的非空有界閉子集之族。 定義2 8n ：hx h 一日，s ，t ：h _ 2 日，則稱關(guān)于s 與z 是口一混合強(qiáng)單調(diào)的，如果 存在常數(shù)口 0 使得對(duì)任意u ，e h ，f = 1 ，2 ，有 a0 咆一“2 | | 2 ，魄e s ( u f ) ，v y ；丁 f ) 為證明結(jié)論，還需要以下引理： 引理2 2 1 3 2 】：( “，石，y ，z ) 是問(wèn)題1 1 的解當(dāng)且僅當(dāng)( “，x ，y ，z ) 滿足關(guān)系式 p ( u ) = ，：一( p ( 比) 一p n ( x ，y ) ) 其中，p 0 是常數(shù)，j ，2 ( ，+ p m ( ，z ) ) 1 并且，是h 上的恒等映像。 引理2 3 t 3 3 】：設(shè)m ：日呻2 日是極大單調(diào)映像，則m 的預(yù)解算子，了：h 呻h 是非擴(kuò)張的， 即 0 ，| ：，o ) 一，多