（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)專業(yè)論文）離散時(shí)間smkphkc（c12）fcfs排隊(duì)系統(tǒng)的年齡過程.pdf

摘要 本文是研究這樣一個(gè)離散時(shí)間的排隊(duì)系統(tǒng)；顧客有著多種類型，成批到達(dá)，到 達(dá)過程是個(gè)半馬爾可夫過程，按照先來(lái)先服務(wù)的服務(wù)準(zhǔn)則，并且每一個(gè)顧客的服 務(wù)時(shí)間服從各自的尸日分布 文章開始部分是引言，對(duì)當(dāng)前有著多種類型顧客的離散時(shí)間的排隊(duì)模型的研 究做了介紹和分析第一章是對(duì)這篇文章的一些知識(shí)點(diǎn)和計(jì)算工具的介紹第二 章是對(duì)s m k i p h k i 1 f c f s 排隊(duì)系統(tǒng)的描述，以及對(duì)其年齡過程做了詳細(xì)分 析，并引進(jìn)一些附加變量構(gòu)造個(gè)關(guān)于年齡過程的馬爾可夫鏈，從而計(jì)算出年齡過 程的轉(zhuǎn)移矩陣第三章是本文的重點(diǎn)，首先還是對(duì)s m k p h k 2 f c f s 排隊(duì) 系統(tǒng)的描述，接著分析了年齡過程為了降低計(jì)算的復(fù)雜，我們巧妙地選取了系統(tǒng) 中某一個(gè)顧客批的年齡作為系統(tǒng)的年齡，并引進(jìn)一些附加變量構(gòu)造一個(gè)關(guān)于年齡過 程的馬爾可夫鏈，最后對(duì)這個(gè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)行了詳細(xì)計(jì)算第四章是對(duì) s m k p h k 2 f c f s 排隊(duì)系統(tǒng)的年齡過程的甲穩(wěn)分布的分析，在計(jì)算出甲穩(wěn) 分布的假定下。對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)的另外一些信息做了初步推導(dǎo) 關(guān)鍵詞：排隊(duì)系統(tǒng)，半馬爾可夫過程，j 口h 分布，馬爾可夫鏈，年齡過程 i i 摘 要 a b s t r a c t i n t h i st h e s i s ，w es t u d yad i s c r e t et i m eq u e u e i n gs y s t e mw i t hm u l t i p l et y p e s o fc u s t o m e r sa n daf i r s t - c o m e - f i r s t - s e r v e d ( f c f s ) s e r v i c ed i s c i p l i n e c u s t o m e r sa r - r i v ea c c o r d i n gt oas e m i - m a r k o va r r i v a lp r o c e s sa n dt h es e r v i c et i m e so fi n d i v i d u a l c u s t o m e r sh a v ep 日d i s t r i b u t i o n s i nt h i st h e s i sa tf i r s ti st h ei n t r o d u c t i o n ，w h i c hi n t r o d u c e sa n da n a l y s e st h es t u d y n o w a d a y so fd i s c r e t et i m eq u e u i n gm o d e l sw i t hm u l t i p l et y p e so fc u s t o m e r s t h e f i r s tc h a p t e rg i v c * a ni n t r o d u c t i o na b o u tt h ek n o w l e d g eo ft h i st h e s i sa n dc m c u l p t i o n a lm e t h o d s t h es e c o n dc h a p t e rd e s c r i b e ss m k p h k 1 f c f s q u e u ea n d a n a l y s e si t sg e n e r a l i z e da g ep r o c e s sp a r t i c u l a r l y w ei n t r o d u c es o m ea u x i l i a r yv a r i - a b l e st oc o n s t r u c tam a r k o vc h a i na s s o c i a t e dw i t ha 9 ( ) a n do b t a i nt h et r a n s i t i o n p r o b a b i l i t ym a t r i xo ft h i sm a r k o vc h a i n t h ep i v o to ft h i st h e s i si st h et h i r dc h a p t e r w h i c ha tf i r s td e s c r i b e ss m k p h k 2 f c f sq u e u ea n dt h e na n a l y s e si t sg e n - e r a l i z e da g ep r o c e s s ，w ec h o o s et i l ea g eo fs o n i cb a t c hi nq u e u e i n gs y s t e ma st h ea g e o ft h i ss y s t e ms k i l l f l l l l yt or e d u c et h ec a l c u l a t i o n a lc o m p l e x i t y w ei n t r o d u c es o m e a t t x i l i a r yv a r i a b l e st oc o n s t r u c tam a r k o vc h a i na s s o c i a t e dw i t ha 9 ( ) a n df i n dt h e t r a n s i t i o np r o b a b i l i t ym a t r i xo ft h i sm a r k o vc h a i ni nd e t a i l t h ef o u r t hc h a p t e ra n a l y s e st h es t e a d ys t a t ed i s t r i b u t i o no ft h ea g ep r o c e s so fs m k j p h k 2 f c f s q u e u e g i v e nt h es t e a d ys t a t ed i s t r i b u t i o n ，w eh a v ep i l o ts t u d yo fo t h e ri n f o r n m t i o n i naq u e u e i n gs y s t e m k e yw o r d s ：q u e u e i n gs y s t e m s ，s e m i - m a r k o vp r o c e s s ，尸日一d i s t r i b u t i o n ，m a r k o v c h a i n ，a g ep r o c e s s 首都師范大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)1 - ，獨(dú)立進(jìn)行研究工 作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個(gè)人或集體 已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在 文中以明確方式標(biāo)明本人完全意識(shí)到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 學(xué)位論文作者簽名 。幻蘚 日期：?jiǎn)柲昀蔶 a 日 首都師范大學(xué)學(xué)位論文授權(quán)使用聲明 本人完全了解苒都師范大學(xué)有關(guān)保留，使用學(xué)位論文的規(guī)定，學(xué)校有權(quán)保留學(xué) 位論文并向國(guó)家主管部門或其指定機(jī)構(gòu)送交淪文的電子版和紙質(zhì)版。有權(quán)將學(xué)位論 文用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許淪文進(jìn)入學(xué)校圖書館被查閱。有權(quán)將學(xué)位論文 的內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索。有權(quán)將學(xué)位論文的標(biāo)題和摘要匯編出版。保密的 學(xué)位論文在解密后適用本規(guī)定。 學(xué)位論文作者簽名： 南蘚 日期：j 司年恥月2 淵 引言 現(xiàn)代通訊網(wǎng)絡(luò)需要處理各類數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)在容量等方面是各不相同的現(xiàn)代 供應(yīng)鏈的設(shè)計(jì)也是要滿足顧客的不同需要這相當(dāng)于在排隊(duì)系統(tǒng)中顧客是有類型 的又在現(xiàn)實(shí)生活中我們還經(jīng)常遇到成批到達(dá)的現(xiàn)象，例如在生產(chǎn)制造系統(tǒng)中需要 加工的部件成批到達(dá)加工車問。再如在庫(kù)存系統(tǒng)中，顧客的需求按照復(fù)合泊松過程 到達(dá)系統(tǒng)以上這些現(xiàn)象都可以描述成成批到達(dá)的排隊(duì)系統(tǒng)。而多服務(wù)臺(tái)問題由于 其應(yīng)用的廣泛而也備受關(guān)注，很多排隊(duì)論的著作中都有多服務(wù)臺(tái)的內(nèi)容，尤其是在 呼叫中心的設(shè)計(jì)方面多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)模型更是必不可少的，但現(xiàn)在呼叫中心的設(shè)計(jì)多 采用單個(gè)到達(dá)的多服務(wù)臺(tái)模型，而隨著呼叫中心應(yīng)用的越來(lái)越廣泛，單個(gè)到達(dá)在實(shí) 際應(yīng)用中漸顯不足，因此引入了批量到達(dá)模式，使得模型更加貼近實(shí)際情況由于 這些隨機(jī)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和功能分析的需要，在這篇論文中，我們將研究一類有著多種 類型顧客的離散時(shí)問的排隊(duì)模型，其顧客是批到達(dá)，且有兩個(gè)服務(wù)臺(tái) 因?yàn)楦鞣N實(shí)際應(yīng)用以及可用于連續(xù)時(shí)間排隊(duì)系統(tǒng)逼近問題的研究，所以對(duì)于離 散時(shí)間排隊(duì)模型的研究很廣在那些經(jīng)典的論文中，很多對(duì)離散時(shí)間排隊(duì)的研究都 集中在單一類型或者多類型的顧客，并且有著不同的服務(wù)先后順序的情況顧客的 到達(dá)過程通常假定為獨(dú)立的泊松過程在劉【1 3 中，主要討論了離散時(shí)間狀態(tài)下的 批量到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)，推廣了經(jīng)典的離散時(shí)問排隊(duì)模型，考慮單個(gè)服務(wù)臺(tái)的情形，假 設(shè)顧客批的到達(dá)服從幾何分布每批到達(dá)的顧客數(shù)服從一般的離散分布，顧客的服 務(wù)時(shí)間也服從幾何分布，使用嵌入馬爾可夫鏈的方法，分析得到了該隨機(jī)排隊(duì)系統(tǒng) 的隊(duì)長(zhǎng)、等待隊(duì)長(zhǎng)等待時(shí)間以及忙期等關(guān)鍵指標(biāo)的母函數(shù)這些結(jié)論與經(jīng)典排隊(duì) 系統(tǒng)中相對(duì)應(yīng)的結(jié)論在形式上十分相似，并且將經(jīng)典排隊(duì)系統(tǒng)作為其特例，從而推 廣了隨機(jī)排隊(duì)系統(tǒng)的研究框架 對(duì)于有標(biāo)記轉(zhuǎn)移( 即顧客有各種類型) 的馬爾可夫到達(dá)過程( m m a p k 1 ) 的研究，在h e 2 1 中，詳細(xì)介紹了從不同類型的顧客觀點(diǎn)出發(fā)的排隊(duì)系統(tǒng)，并給出 了到達(dá)時(shí)刻不同類型顧客的隊(duì)長(zhǎng)和等待時(shí)間在【2 】中引出了m m a p g 1 排隊(duì)系 2 引言 統(tǒng)，并得到了一個(gè)能給出在m m a p c 1 排隊(duì)系統(tǒng)的忙期服務(wù)的顧客數(shù)的期望值 的新的公式【2 】還將這一結(jié)果在m m a p ( k ) g k 1 排隊(duì)系統(tǒng)中進(jìn)行了概括在 h e 3 】，h e 4 】中也都給出了有標(biāo)記轉(zhuǎn)移的馬爾可夫到達(dá)過程的介紹在 4 】中， 與【2 不同的是，【4 】在m m a p k 】模型的問題上給出了更詳細(xì)的討論并且f 2 】 討論的是每一個(gè)顧客批只有一個(gè)顧客的情形，而【4 】是通常的顧客批 4 】考慮了每 個(gè)顧客批中顧客的服務(wù)順序，這是其他論文中很少討論到的問題另外， 【4 】中用 了很正式的方式給出了 2 】中的一些證明【4 給出了一些關(guān)于忙期和虛等待時(shí)問 的l a p l a c e s t i e l t j e s 變換的結(jié)論，并研究了每一類顧客的實(shí)等待時(shí)間 有了這些介紹，那么對(duì)于有多種類型的顧客的復(fù)雜排隊(duì)也就變得可以解決了 比如在h e 5 】和h e 6 中都給出了很好的結(jié)果在這篇論文中，我們用的是有標(biāo)記 轉(zhuǎn)移的半馬爾可夫到達(dá)過程，這比m m a p k 1 顯然要更普遍我們假定在不同類 型的顧客間是沒有服務(wù)優(yōu)先權(quán)的，這樣的排隊(duì)模型仍然是可以解決的 對(duì)于多種類型的顧客沒有服務(wù)優(yōu)先權(quán)的排隊(duì)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，我們叮以根據(jù)顧客個(gè)體 的服務(wù)順序進(jìn)行分類在h e 5 1 和h e 6 1 中排隊(duì)系統(tǒng)就足按照后來(lái)先服務(wù)的服務(wù) 順序進(jìn)行研究的在【5 中，研究了一個(gè)這佯的排隊(duì)系統(tǒng)：有標(biāo)記轉(zhuǎn)移的馬爾可夫 到達(dá)過程，對(duì)每一類型顧客的服務(wù)時(shí)問都服從各自的p h 分布根據(jù)每一侖顧客的 類型，采取后來(lái)先服務(wù)的優(yōu)先服務(wù)準(zhǔn)則重點(diǎn)研究了系統(tǒng)忙期時(shí)隊(duì)長(zhǎng)的穩(wěn)態(tài)分布， 給出了汁算隊(duì)長(zhǎng)穩(wěn)態(tài)分布，忙期服務(wù)的顧客甲均數(shù)、忙期的乎均長(zhǎng)度效率高的汁算 方法在h e 2 和h e 4 1 中每個(gè)類型的顧客的等待時(shí)間就是按照先來(lái)先服務(wù)順序 進(jìn)行研究的但是，對(duì)于先來(lái)先服務(wù)的排隊(duì)模型來(lái)說(shuō)，隊(duì)長(zhǎng)卻屜很難分析的，因?yàn)?得記住隊(duì)內(nèi)顧客的類型在t a k i n e 7 】中，通過利用等待時(shí)問的信息而得到隊(duì)長(zhǎng) 然而通常對(duì)于一些有趣的排隊(duì)系統(tǒng)，不像在一些經(jīng)典的排隊(duì)系統(tǒng)中分析等待時(shí)間那 樣，在等待時(shí)間的分析中對(duì)于隊(duì)長(zhǎng)足沒有信息可利用的幸運(yùn)的是，構(gòu)造一個(gè)與正 在服務(wù)中的顧客批的年齡有關(guān)的馬爾可夫鏈，從而能夠分析等待時(shí)間，逗留時(shí)間， 這篇論文中正是運(yùn)用了這種方法 等待時(shí)間和逗留時(shí)問在排隊(duì)模型中是很重要的，并且關(guān)于對(duì)它們的研究也是很 引言 3 深的s e n g u p t a 在【8 】、 9 】和【1 0 】中證明了在連續(xù)時(shí)間g i i p h l l 排隊(duì)的等待時(shí) 間和逗留時(shí)間有矩陣指數(shù)分布a s m u s s e n 和0 c i n n e i d e 在【1 1 】中將s e n g u p t a 的結(jié)論擴(kuò)展到了連續(xù)時(shí)間a x l p h i c 排隊(duì)中現(xiàn)在，又有一些人研究離散時(shí)間有 著多種類型顧客的排隊(duì)系統(tǒng)的等待時(shí)間和逗留時(shí)間在v a n h o u d t 和b l o n d i a 1 2 l 中，構(gòu)造了一個(gè)類似在這篇論文中用到的用年齡過程得到的馬爾可夫鏈，從年齡過 程的穩(wěn)態(tài)分布得到逗留時(shí)間的分布當(dāng)然在【1 2 】中的到達(dá)過程是馬爾可夫過程， 這是與這篇論文最大的不同之處因此，這篇論文我們考慮的是一個(gè)離散時(shí)間的更 普遍的排隊(duì)模型我們構(gòu)造一個(gè)廣義的年齡過程，這個(gè)過程是沒有水甲0 這個(gè)邊 界的在一個(gè)服務(wù)臺(tái)的情形下我們可以從這個(gè)年齡過程的平穩(wěn)分布得到等待時(shí)間和 逗留時(shí)間的分布而【1 2 】提供了一個(gè)研究?jī)蓚€(gè)服務(wù)臺(tái)的很好的方法，就是研究系 統(tǒng)中在服務(wù)的顧客批中年齡較小的顧客批的年齡這篇論文就是依據(jù)這個(gè)思路對(duì) s m k p h i 引2 f c f s 進(jìn)行研究的 在h e 1 1 中，研究的是一個(gè)離散時(shí)間的排隊(duì)系統(tǒng)，有著多種類型的顧客并且按照 先來(lái)先服務(wù)的服務(wù)準(zhǔn)則顧客到達(dá)是一個(gè)半馬爾可夫過程，并且每一個(gè)顧客的服務(wù)時(shí) 間服從p h 分布引進(jìn)一個(gè)由顧客批的年齡過程構(gòu)造的g 1 m 1 型的馬爾可夫鏈這 個(gè)g i m 1 型的馬爾可夫鏈的穩(wěn)態(tài)分布可以精確計(jì)算出來(lái)，從而正在服務(wù)的顧客批 的年齡。系統(tǒng)總的工作量，等待時(shí)間，不同批不同類型的顧客的逗留時(shí)間等這些變量 的穩(wěn)態(tài)分布也可以得到并且【1 證明出廣義的年齡過程和廣義的總的工作量過程有 相同的穩(wěn)態(tài)分布，等待時(shí)間和逗留時(shí)間的分布為p h 分布并得到這些p h 分布的矩 陣表示【1 】還將到達(dá)過程深入到更特殊的情況：有標(biāo)記轉(zhuǎn)移的馬爾可夫到達(dá)過程，從 而構(gòu)造一個(gè)年齡過程和總的工作量過程的q b d 過程( 擬生滅過程) ，由這個(gè)q b d 過程的穩(wěn)態(tài)分布得到了顧客批和顧客個(gè)體的等待時(shí)間和逗留時(shí)間的穩(wěn)態(tài)分布 1 】 對(duì)s m k i p h k i 1 f c f s 和m m a p i k i p h k 1 f c f s 這兩類型的排隊(duì)系 統(tǒng)做出了很詳細(xì)的分析，也得到了一些很好的結(jié)果并且對(duì)s m k p h k c ( c 2 ) f c f s 這類型的排隊(duì)系統(tǒng)也作了簡(jiǎn)要分析，認(rèn)為對(duì)于個(gè)服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)系統(tǒng)的 使用方法能夠推廣到多個(gè)服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)系統(tǒng)中，這也為多個(gè)服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)系統(tǒng)提供 4 引言 了工具和證明了可行性 這篇論文的基本思想就是采用 1 】的方法，對(duì)于s m k p h k 1 f c f s 型 的排隊(duì)系統(tǒng)，我們構(gòu)造的與顧客批的年齡過程相關(guān)的馬爾可夫鏈與 1 】稍有不同，不 同在于附加變量的定義但最后結(jié)果一樣，從而對(duì)于年齡過程的穩(wěn)態(tài)分布以及后面 其他變量的穩(wěn)態(tài)分布的分析都是不受影響的對(duì)于s m k p h i k 2 f c f s 型的 排隊(duì)系統(tǒng)，我們參照 1 】1 的方法，將一個(gè)服務(wù)臺(tái)的情況擴(kuò)展到兩個(gè)服務(wù)臺(tái)的情況 在這個(gè)過程中難點(diǎn)在于由顧客批的年齡過程怎么去構(gòu)造一個(gè)馬爾可夫鏈，尤其當(dāng)年 齡是負(fù)數(shù)的時(shí)候這篇論文得到了由年齡過程構(gòu)造的馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移矩陣，可以 看到矩陣的結(jié)果很復(fù)雜，從而給后面穩(wěn)態(tài)分布的求解帶來(lái)了困難后面關(guān)于排隊(duì)系 統(tǒng)的其他信息，我們都是在已知年齡過程的穩(wěn)態(tài)分布的前提下推導(dǎo)的 這篇論文的余下部分足這樣組織的：第一章，我們對(duì)一些預(yù)備知識(shí)作簡(jiǎn)要介紹 第二章，是對(duì)s m i k p h k 1 f c f s 型的排隊(duì)系統(tǒng)的分析及由其年齡過程構(gòu)造 的馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算第三章，對(duì)s m k i p h k 2 f c f s 型的排隊(duì) 系統(tǒng)的分析及由其年齡過程構(gòu)造的馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算第四章，在假定 第三章構(gòu)造的年齡過程的馬爾可夫鏈的甲穩(wěn)分布已經(jīng)求出的情況下，能得到的一些 排隊(duì)系統(tǒng)的有用的信息 第一章預(yù)備知識(shí) 1 1g i m 1 型馬爾可夫鏈( 過程) 在排隊(duì)論中矩陣解析方法很好的利用了g r ，m 1 型馬爾可夫鏈和m a a 型 馬爾可夫鏈，在這我們只介紹g u m a 型馬爾可夫鏈 定義1 若狀態(tài)空間e = ( t ，j ) ：t 0 ，1sjsm ) 上的馬爾可夫鏈 ：n o 的概率轉(zhuǎn)移矩陣具有如下形式； p = 玩a o0 b la 1a o j 島a 2a l 鼠a 3a 2 00 00 a o 0 a 1 , 4 0 其中a k ，b k ( k 0 ) 均為m m 階非負(fù)矩陣，則稱馬爾可夫鏈 ：n 0 ) 為 g i m 1 型馬爾可夫鏈。有時(shí)，也稱p 為g x m 1 型馬爾可夫鏈狀態(tài)集 ( ，j ) ： i 0 ，1 j m ) 稱為水平i 1 2離散型p 日分布 文中排隊(duì)系統(tǒng)的服務(wù)過程是一個(gè)尸日分布，我們簡(jiǎn)單地介紹一下離散型p h 分布 考慮狀態(tài)集1 ，2 ， l + 1 上的m a r k o v 過程，狀態(tài)1 ，2 ，m 都是非常返 的，狀態(tài)m + 1 是吸收的狀態(tài)概率陣是 p = tt o 01 ，m 。是隨機(jī)子陣，元素20 ，并有t ese 列向量t o = ( i t ) e ，i t 是 非奇異的 6 第一章預(yù)備知識(shí) 定義2 非負(fù)整值上的離散分布p k ：k 0 稱為p 日分布，當(dāng)且僅當(dāng)它是上述 m a r k o v 鏈達(dá)到吸收時(shí)的轉(zhuǎn)移步數(shù)的分布 若m a r k o v 鏈的初始概率向量是( o ，o z 。+ 1 ) ，則 p o = o t 。+ l ，p a = o t 一1 t o ( k 2 1 ) 離散p 日分布p k ：k 0 的母函數(shù)為：p ( z ) = q 。+ 1 + z o ( 一z t ) 一1 t o ； 離散p h 分布p k ：k 0 的階乘矩為：p ( ( 1 ) = k ! a t k 一1 ( ，一t ) 一e ，k 0 1 3k r o n e c k e r 乘積 在涉及p h 分布時(shí)，經(jīng)常發(fā)生不同階數(shù)矩陣的運(yùn)算，它們是通過k r o n e c k e r 乘積實(shí)現(xiàn)的設(shè)有k 1x 如，k ：砬矩陣a 和b ，其k r o n e c k e r 乘積定義為 a 固b = ( 4 u b ) a l l ba 1 2 b a l k 2 b a 幻l ba k l 2 b a k l 乜b 可以，爵出a o b 的維數(shù)為( - ：) ( 乜k ：) k r o n e c k e r 乘積有如下性質(zhì)： 1 p ( a 8 b ) = ( p 4 ) 8 b = a o ( 肛b ) ；2 ( a + b ) o c = a c + b o g ； 3 a o ( b c ) = ( a b ) o e ；4 ( a o b ) t = a t b t ； 5 ( a 口) ( g 圓d ) = ( a c ) 圓( b d ) ；6 a _ 1 g b 川= ( a 圓b ) _ 1 ； 7 a ，堤列向量，b a 7 = a t 圓b = b oa t ； 對(duì)于以上的性質(zhì)的證明，我們只需按照k r o n e c k e r 乘積的定義很容易得到 在這我們不給出證明，在文中直接加以應(yīng)用 第二章s m k p h 網(wǎng)1 f c f s 排隊(duì)系統(tǒng) 2 1系統(tǒng)介紹 排隊(duì)系統(tǒng)有k 個(gè)類型的顧客( 其中k 為正整數(shù)) ，所有的顧客都加入一個(gè)隊(duì)列， 采取“先到先服務(wù)。的規(guī)則由一個(gè)服務(wù)臺(tái)進(jìn)行服務(wù) 2 1 1顧客的到達(dá)過程 顧客的到達(dá)過程是一個(gè)離散的半馬爾可夫過程顧客分成k 個(gè)類型，并且成批 到達(dá)( 我們暫且稱為顧客批) 為了描述顧客批的性質(zhì)，先定義一個(gè)整數(shù)串的集合； n = j k ：矗= j 1 如矗。，1s 置1 i s 竹k ，1 k s 冊(cè) 其中，是集合r 中不同整數(shù)串的總數(shù)，n k 是第k 個(gè)批中顧客總數(shù)我們假 定是有限的對(duì)于一個(gè)到達(dá)過程，一個(gè)串j 一l j 2 靠r 表示一個(gè)有n 個(gè)顧 客的批，這n 個(gè)顧客分別為類型，矗矗我們稱j 為這個(gè)批的串表示因此， 一共有個(gè)不同的批表示 考慮一個(gè)有m 。個(gè)位相的半馬爾可夫鏈 ( 矗，h ) ，n o ) ，其中矗指第n 個(gè) 批到達(dá)瞬間半馬爾可夫鏈的位相，是第n 一1 個(gè)批和第n 個(gè)批到達(dá)之間的時(shí)間 ( 即轉(zhuǎn)移時(shí)問間隔) 顧客批的到達(dá)與下面方式的半馬爾可夫過程的轉(zhuǎn)移聯(lián)系在一 起令 為與第r t 次轉(zhuǎn)移相聯(lián)系的顧客批的串表示，即：一個(gè)顧客批厶在轉(zhuǎn)移時(shí) 刻到達(dá)定義： p 島= j ，t n = t ，厶= ，i 矗一1 = i ) = p 卻j ( ) ，1 t ，j m 。，禮1 ，r ， 其中t 是個(gè)正整數(shù)，變量以臼( t ) 是在位相為i 的條件上，從上一個(gè)批到達(dá)后經(jīng)過 時(shí)問t ，顧客批j n 達(dá)，并且半馬爾可夫過程的位相變?yōu)閖 的條件概率令現(xiàn)，j ( t ) 是個(gè)( i ，j ) 元素為p j , i d ( ) 的m 。m a 矩陣于是，矩陣序列 d d ，j ( ) ，t 1 ，j 杖) 提供了關(guān)于有標(biāo)記轉(zhuǎn)移半馬爾可夫到達(dá)過程的所有信息定義： d o ( t ) = 拒r 取，j ( t ) ，t 1 ，眈，= b o o l 玩，j ( ) ，t ，k ； 現(xiàn)= e 倒見j = 墨。見( t ) 8 笙三皇蘭絲【絲! ! 里【絲! 蘭里! 蘭堡墜墨絲 于是，矩陣墳為半馬爾可夫鏈“靠，h ) ，n2o ) 的嵌入馬爾可夫鏈在轉(zhuǎn)移時(shí) 刻的轉(zhuǎn)移矩陣我們假定墳是不可約的靠是隨機(jī)矩陣見的不變概率向量，即 有：以玩= 以，口。e = 1 ，其中e 是一個(gè)元素全都為1 的列向量 在穩(wěn)定狀態(tài)，半馬爾科夫鏈的轉(zhuǎn)移間隔時(shí)間( 即顧客批的到達(dá)間隔) 可以通過 下式計(jì)算； 玩( r ) = 以( t d 。( t ) ) e = l 那么顧客批的到達(dá)速率為a = ( e o o ( r ) ) 一，即每個(gè)時(shí)刻到達(dá)的顧客批平均數(shù)任意 一個(gè)顧客批類型為了的的概率為以d 口、e ，j r 類型為，的顧客批的到達(dá)速率 為b = a d 。j e ，即每時(shí)刻到達(dá)的類型為j 的顧客批的個(gè)數(shù)類型為k 的顧客 的到達(dá)速率為 a ( 的= ( z ) a ，1 k s k d e n 其中( zk ) 指類型為j 的顧客批中類型為k 的顧客的個(gè)數(shù)注意：k 為類型為 k 的顧客批的到達(dá)速率， 1 為類型為k 的顧客的到達(dá)速率不失一般性，我們假 定a ， b ，j r ， a ( ) ，1 k k ) 都足正的并且有限 2 1 2 顧客的隊(duì)列過程 個(gè)顧客批到達(dá)后，所有的顧客根據(jù)在批中的順序加入隊(duì)列中所有的批采取 。先來(lái)先服務(wù)”的方式由兩個(gè)服務(wù)臺(tái)服務(wù)對(duì)每一批顧客來(lái)說(shuō)，顧客按他們?cè)谂?的順序依次服務(wù)令g ( ) 為t 時(shí)刻隊(duì)列中顧客類型的數(shù)列串，它可以由在t 一1 時(shí)刻 可能完成服務(wù)的顧客和到達(dá)的顧客得到如果q ( t ) = j l j ：矗，那么系統(tǒng)中在t 時(shí) 刻有n 個(gè)顧客， 類型顧客在接受服務(wù)，而j z 類型顧客為第一個(gè)在排隊(duì)等候的顧 客，j 。類型顧客為最后一個(gè)排隊(duì)等候的顧客這n 個(gè)顧客將按照扎如，j 。 的順序接受服務(wù)。如果接著一個(gè)j 類型的顧客批到達(dá)，那么隊(duì)列將變?yōu)間 ( ) + j 如果接著一個(gè)顧客完成了服務(wù)，那么隊(duì)列將變?yōu)椋? ，j 3 ，j并且五開始接受服 務(wù)。在這我們不對(duì)某類型顧客在其顧客批中擁有優(yōu)先服務(wù)權(quán)的情況進(jìn)行討論 2 1 3 服務(wù)時(shí)間 墨三塞蘭坐【絲j ! 星l 絲! ! ! 旦蘭蘭堡墜墨絲 9 每個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間服從離散的p 分布，它們相互獨(dú)立并且與其到達(dá)過程 相互獨(dú)立對(duì)一個(gè)類型為k 的顧客來(lái)說(shuō)，它的服務(wù)時(shí)間磯服從p 日分布，其矩陣 表示為 m k ，o l k ，t k ) ，其中”i 是p h 分布的位相個(gè)數(shù)，o k 是初始概率向量，孔 是個(gè)次隨機(jī)矩陣我們假定任意一個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)問至少為1 這是因?yàn)閷?duì)于離 散p h 分布來(lái)說(shuō)，一個(gè)位相的轉(zhuǎn)移的時(shí)間為1 。而o z k e = 1 ( 1 ksk ) ，所以顧 客不能一接受服務(wù)就被服務(wù)完記露= ( i 一孔) e ，其中，是單位矩陣我們假定 每個(gè)p h 分布矩陣表示都是不可約的，即死+ 霹a k 是不可約的那么一個(gè)顧客 批的服務(wù)時(shí)間就是這個(gè)顧客批中所有顧客的服務(wù)時(shí)問的總和由于p h 分布的結(jié) 構(gòu)在卷積作用下是閉的，故一個(gè)類型為t ，的顧客批的服務(wù)時(shí)間8 j 也有離散時(shí)問的 p h 分布，矩陣表示為 l j ，o t j ，t j ) ，其中對(duì)j = j l 如矗，有 n m j = ：。； o c j = ( o f 9 l ，0 ，o ) ； t j = 乃。壤 喂 一，豫一； 乃。 刀= o 0 臻 由離散p h 分布的性質(zhì)有，一個(gè)類型為k 的顧客的平均服務(wù)時(shí)間為e ( s k ) = n ( j 一死) - 1 e 那么一個(gè)類型為，的顧客批的甲均服務(wù)時(shí)間：e ( s j ) = i j ie ( ) ， 其中川是類型為j 的顧客批的顧客數(shù)類型為，的顧客批的服務(wù)速率為= ( e ( s j ) ) 根據(jù)顧客批的到達(dá)速率和服務(wù)速率，排隊(duì)系統(tǒng)的交通強(qiáng)度為 i j i耳 p = b = e o j , ) = b ) e ( s k ) j 6 m7 ” 。1 o “ 2 1 ( 2 1 ) = b n ( j , k ) e ( s k ) = a ( 耐鯫 1 0 簍三童蘭坐【絲! ! 堡【絲! ! 蘭竺! 蘭堡墜墨絲 我們知道排隊(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)p 1 ，于是我們?yōu)榱讼到y(tǒng)的穩(wěn)定性假定p 可定義為： a g ( ) = w n ( t ) + 8 j n 一7 i ( t ) + l + t 一7 7 n ( t ) ，( 2 3 ) 其中n ( t ) 為在t 時(shí)刻或t 時(shí)刻之前最后一個(gè)服務(wù)完的顧客批的標(biāo)號(hào)， 仉m 是 指第n ( ) 批顧客離開系統(tǒng)的時(shí)段于是，在t 時(shí)刻若有一個(gè)顧客批離開，那么 n ( ) ，w 。( t ) ，( t ) 這些值就會(huì)發(fā)生改變，其中( c ) 可通過( 2 2 ) 計(jì)算得到 廣義的年齡過程 ( ) ，t 0 ) 分析如下：在一個(gè)顧客批的服務(wù)時(shí)間里， a g ( t ) 每過一個(gè)時(shí)刻增加1 ；當(dāng)?shù)趎 個(gè)顧客批完成服務(wù)，則要服務(wù)的顧客批的等待時(shí)問 笙三蘭蘭絲! 堅(jiān)! 蘭絲【絲1 ! ! 蘭堡墜墨絲 1 1 可以通過計(jì)算這個(gè)得到；+ s j = 一+ 1 當(dāng)+ 3 一+ 1 是非負(fù)的，那么 這就是正要接受服務(wù)的顧客批的等待時(shí)間，也是它在這個(gè)時(shí)刻的年齡，即這個(gè)時(shí)刻 a g ( t ) 的值在第n + 1 個(gè)顧客批的服務(wù)期間，( t ) 每過一個(gè)時(shí)刻增加1 ，一直持 續(xù)8 矗+ ，個(gè)時(shí)刻到結(jié)束服務(wù)這種情況下，a g ( t ) 為正在服務(wù)的的顧客批的年齡當(dāng) + 8 厶一釓 l 是負(fù)數(shù)，那么表明下一個(gè)要接受服務(wù)的顧客批還沒有到來(lái)，還需要 一o 。( ) = 一( 。+ 8 厶一+ 1 ) 個(gè)時(shí)刻才能到達(dá)在( ) 為負(fù)的這段時(shí)聞內(nèi)，系統(tǒng)為 空的，還剩一( ) 長(zhǎng)的閑期總之，如果時(shí)刻t 有a g ( t ) 0 ，那么變量a g ( t ) 記錄 的是正在接受服務(wù)的顧客批的年齡；如果a g ( t ) 0 ，那么一n ，( t ) 記錄的是閑期的 剩余時(shí)問我們稱a g ( t ) 為服務(wù)中顧客批的廣義年齡方程( 2 2 ) 和( 2 3 ) 表明了過 程 ，n20 ) 是 n 口( t ) ，t o 在顧客批離開點(diǎn)的嵌入過程 在一個(gè)顧客批離開的時(shí)刻，下個(gè)接受服務(wù)的顧客批的逗留時(shí)問可由方程( 2 2 ) 可得為；+ 5 對(duì)于a g ( t ) 20 來(lái)說(shuō)，如果+ 5 厶一 r n + 1 0 ，則需5 個(gè) 時(shí)刻完成一個(gè)循環(huán)在這8 個(gè)時(shí)刻中，每過一個(gè)時(shí)刻，a g ( t ) 的值就增加1 基于以上分析，很容易看出a g ( ) 滿足以下方程； r ia g ( t ) + 1 ，如果t + l 時(shí)刻服務(wù)繼續(xù)進(jìn)行； a a ( t + 1 ) = ia g ( t ) + 1 一( t + 1 ) + l ，如果t + 1 時(shí)刻服務(wù)完成 、 為了構(gòu)造一個(gè)與a g ( ) 有關(guān)的的馬爾可夫鏈，我t f g l 進(jìn)一些與到達(dá)位相和服務(wù)過程 相關(guān)的附加變量引進(jìn)附加變量分情況i - i - i 侖如下： ( 1 ) a g ( t ) 0 時(shí)，我們引進(jìn)三個(gè)附加變量l ( ) ，j ( ) ，l ( t ) 我們由a g ( t ) 0 可得，此時(shí)系統(tǒng)為空，下一個(gè)顧客批還需要一a g ( t ) 個(gè)時(shí)刻才能到達(dá)我們由馬爾 可夫鏈 矗，n2o ) 來(lái)定義厶( ) ，l ( t ) = 矗，如果第n 個(gè)顧客批為將要接受服 務(wù)的顧客批，那么l ( t ) 表示將要達(dá)到的顧客批到達(dá)系統(tǒng)時(shí)半馬爾可夫鏈的狀態(tài)， j ( t ) ，l ( ) 則分別表示這個(gè)顧客批的類型和其初始服務(wù)位相。 ( 2 ) a g ( t ) 20 時(shí)，我們?nèi)砸M(jìn)三個(gè)附加變量：l ( ) ，( ) ，厶( t ) 因?yàn)檫@個(gè)時(shí) 候系統(tǒng)中有顧客存在，那么1 0 ( t ) = 矗，如果第n 個(gè)顧客批為正在接受服務(wù)的顧客 1 2 笙三皇蘭絲【絲絲【絲! 里! 墮壁墜墨竺 批，那么厶( ) 表示正在接受服務(wù)的那個(gè)顧客批到達(dá)系統(tǒng)時(shí)半馬爾可夫鏈的狀態(tài)， j ( t ) ，l ( t ) 則分別表示正在接受服務(wù)的那個(gè)顧客批的類型和在t 時(shí)刻的服務(wù)位相 可以看到，雖然在 z + 1 時(shí)， 這個(gè)概率是零根據(jù)從一個(gè)年齡到另一個(gè)年齡的轉(zhuǎn)移，以及每一個(gè)年齡馬爾科夫鏈的 附加變量的取值范圍，可得矩陣只的每個(gè)矩陣塊元素都為( m 。m “) ( m 。m “) 維 ( 1 ) 當(dāng)a g ( t ) = z ，z s 一1 時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)中為空，下一批顧客還要經(jīng)過一z 個(gè) 時(shí)刻才能到達(dá)，在t - f1 時(shí)刻，顧客批要么還沒有到達(dá)，要么剛到達(dá)系統(tǒng)開始接受 服務(wù)，但至少能肯定這個(gè)顧客批沒有服務(wù)完離開系統(tǒng)那么應(yīng)該有( ) 隨時(shí)間應(yīng) 該增加1 ，而厶( t ) ，l 0 + 1 ) 都是指將要到達(dá)的這個(gè)顧客批到達(dá)系統(tǒng)時(shí)半馬爾可夫 鏈的狀態(tài)，j ( ) ，j ( t + 1 ) 都是表示這個(gè)顧客批的類型，h ( 0 ，l 0 + 1 ) 也都表示其 1 4 第二章 s m k p h k i 1 f c f s 排隊(duì)系統(tǒng) 初始服務(wù)位相于是，當(dāng)( t ) = z ，zs - 1 時(shí) p a 9 ( + 1 ) = ，d 0 + 1 ) = j 7 ，j ( t + 1 ) = ，l o + 1 ) = i i ( ) = 一1 ，l ( t ) = j ，j ( t ) = z 厶( t ) 一磅 r i1 ，如果= 。+ 1 ，j = j 7 ，j = ，i = i = 10 ，否則 、 于是，由狀態(tài)按字典排序以及只有當(dāng)y = z + 1 ，j = j ，j = j 7 ，i = i 7 時(shí)概率為1 ， 則b = 厶。) 。( 。) ，而從( ) = z 轉(zhuǎn)到其他年齡的概率都為零 ( 2 ) 當(dāng)a g ( t ) = 墨z 三0 時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)中至少有一個(gè)顧客批在接受服務(wù)，在 t + 1 時(shí)刻，這個(gè)顧客批可能繼續(xù)接受服務(wù)，也可能服務(wù)完畢離開系統(tǒng) 如果t 時(shí)刻接受服務(wù)的顧客批在t + 1 時(shí)刻繼續(xù)接受服務(wù)，此時(shí)轉(zhuǎn)移矩陣塊為 ao ，那么應(yīng)該有： a g ( + 1 ) = z + 1 ，而厶( z ) ，i o ( t + 1 ) 都是指這個(gè)顧客批到達(dá)系統(tǒng) 時(shí)半馬爾可夫鏈的狀態(tài)，j ( ) ，j ( t + 1 ) 都足表示這個(gè)顧客批的類型，但是厶( t ) 表 示t 時(shí)刻的服務(wù)位相，l 0 + 1 ) 表示t + 1 時(shí)刻的服務(wù)位相，這兩者的變化由服務(wù) 位相的轉(zhuǎn)移矩陣決定于是， p ( ( + 1 ) = z + 1 ，i a ( t + 1 ) = j 7 ，d ( t + 1 ) = j ，l ( + 1 ) = i ( t ) = z ，厶( ) = j ，j ( t ) = z 厶( ) = z = h n 簍：2 ，j = 了7 z 4 a o = a j 1a j ” a ：1 m 。 a i 1a ：一a i ”。 a 孑“，1a ：2 - - a 孑。”。 簦三皇蘭絲! 絲! ! 絲l 絲j ! ! 竺蘭蘭堡墜墨堡 1 5 其中鴦( 1s ，jsm 。) 為維數(shù)為m t “m 的矩陣子塊分析每個(gè)a ，由( 2 4 ) 以及2 k 定義有： a 擴(kuò)： 忙工1 一 s 以 d 吃 o 0 n d m l | a 第三章 s m k i p h k i 2 f c f s 排隊(duì)系統(tǒng) 3 1系統(tǒng)介紹 跟前面一個(gè)服務(wù)臺(tái)一樣，排隊(duì)系統(tǒng)有k 個(gè)類型的顧客( 其中k 為正整數(shù)) ，所有 的顧客都加入個(gè)隊(duì)列，采取“先到先服務(wù)。的規(guī)則但由兩個(gè)服務(wù)臺(tái)進(jìn)行服務(wù)， 并且假定同一批中的顧客由同一個(gè)服務(wù)臺(tái)進(jìn)行服務(wù) 3 1 1 顧客的到達(dá)過程 兩個(gè)服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)系統(tǒng)的到達(dá)過程與一個(gè)服務(wù)臺(tái)是一樣的，過程分析見2 1 i 3 1 2顧客的隊(duì)列過程 一個(gè)顧客批到達(dá)后，所有的顧客根據(jù)在批中的順序加入隊(duì)列中所有的批采取 “先來(lái)先服務(wù)”的方式由兩個(gè)服務(wù)臺(tái)進(jìn)行服務(wù)并且假定同一批顧客由同一個(gè)服務(wù) 臺(tái)進(jìn)行服務(wù)，對(duì)每一批顧客來(lái)說(shuō)，顧客按他們?cè)谂械捻樞蛞来畏?wù)令q ( t ) 為t 時(shí)刻隊(duì)列中顧客類型的數(shù)列串，它可以由在t 一1 時(shí)刻可能完成服務(wù)的顧客和到達(dá) 的顧客得到如果q ( t ) = j 。如矗，那么系統(tǒng)中在t 時(shí)刻有n 個(gè)顧客， 類型顧 客在一個(gè)服務(wù)臺(tái)接受服務(wù)，兩另一個(gè)服務(wù)臺(tái)的情況分析有： ( 1 ) 若口( ) 正好為一個(gè)批的顧客，則另一個(gè)服務(wù)臺(tái)為空五類型顧客為第一個(gè) 在排隊(duì)等候的顧客，矗類型顧客為最后一個(gè)排隊(duì)等侯的顧客這n 個(gè)顧客 將按照j - ，如，a 的順序接受服務(wù) ( 2 ) 若q ( ) 中顧客所屬批的個(gè)數(shù)大于1 ，即：j - 如五為一個(gè)批，扎1 j 沖2 a 為第二個(gè)批，則盔+ l 類型的顧客在另個(gè)服務(wù)臺(tái)接受服務(wù)并且第個(gè)服務(wù) 臺(tái)按照j - 如五的順序服務(wù)，第二個(gè)服務(wù)臺(tái)按照 + - 五+ 2 靠的順序服務(wù) 如果接著一個(gè)。，類型的顧客批到達(dá)，那么隊(duì)列將變?yōu)間 ( ) + j 如果接著一個(gè) 顧客完成了服務(wù)，假定為類型為j t 的顧客，那么隊(duì)列將變?yōu)槲?，矗? 一，矗，并且虎 類型顧客開始接受服務(wù)此時(shí)，五必須與j l 同屬一個(gè)批否則這個(gè)服務(wù)臺(tái)將對(duì)如 后面第1 個(gè)與矗不同屬一個(gè)批的顧客進(jìn)行服務(wù)，當(dāng)然，如果如后面的顧客與如都 同屬一個(gè)批，則這個(gè)服務(wù)臺(tái)此時(shí)為空 1 8 笙三皇蘭! ! i 絲! 里 絲3 絲旦蘭壁墜墨絲 3 1 3服務(wù)時(shí)間 兩個(gè)服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間與一個(gè)服務(wù)臺(tái)是一樣的，分析見2 1 3 那么根據(jù)顧客批的到達(dá)速率和服務(wù)速率，兩個(gè)服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)的交通強(qiáng)度為 1 1 1 1 1 p = 沁( 2 p ，) = ；a ，e ( ) = ；( z 南) e ( 軋) j e r j r2 2 l。j rk 。1 f 3 1 ) = ；h j n c j , k ) e ( 船) = ；a 一k = lj k一七= 1 為了系統(tǒng)的穩(wěn)定性我們假定p 1 3 1 4服務(wù)時(shí)間顧客批的實(shí)等待時(shí)間 令為第n 個(gè)顧客批到達(dá)后第個(gè)服務(wù)臺(tái)的剩余工作時(shí)間( 即第k 個(gè) 服務(wù)臺(tái)在第n 個(gè)顧客批到達(dá)后還需多長(zhǎng)時(shí)聞?shì)喌降趎 個(gè)顧客批服務(wù)) 記w n = ( w 蚶，“k ，2 ) ，其中w n ，l 。，2 ，則服務(wù)臺(tái)的標(biāo)記1 ，2 是可以改變的，隨著其剩 余工作時(shí)間的變化而變化那么，我們應(yīng)有： 叫。+ l = o ( ( 叫。1 + 8 一+ 1 ) + ，( w n ，2 7 k + 1 ) + ) ，n 0 其中，礦= m a x o ，。1 ，o ( y ) 表示將n i l l9 的兩個(gè)元索按非降的順序重新排列得到 的新的向量，+ i 表示第n 個(gè)顧客批和第n + 1 個(gè)顧客批到達(dá)的間隔時(shí)間，。厶是 第n 個(gè)顧客批的類型，5 上是第”個(gè)顧客批的服務(wù)時(shí)間于是，”n l 為第n 個(gè)顧 客批的實(shí)等待時(shí)問，并且有 w n + 1 1 = m i n ( w n ，1 + s 一7 k + 1 ) + ，( w n 2 一十1 ) + ) 3 ，2廣義的年齡過程的分析 對(duì)于兩個(gè)服務(wù)臺(tái)，年齡分析比一個(gè)服務(wù)臺(tái)顯然要復(fù)雜一些，每個(gè)服務(wù)臺(tái)都可能 有個(gè)顧客批，每個(gè)顧客批都有一個(gè)年齡當(dāng)然分析每個(gè)正在接受服務(wù)的顧客批的 年齡肯定能像一個(gè)服務(wù)臺(tái)那樣能分析系統(tǒng)的其他指標(biāo)，但足那樣會(huì)增加計(jì)算的復(fù)雜 性，關(guān)于年齡過程的馬爾可夫過程維數(shù)很高，所以我們必須對(duì)系統(tǒng)分析清楚，從中 找出一個(gè)有利于分析系統(tǒng)其他指標(biāo)的年齡過程，降低計(jì)算的復(fù)雜性 苧三蘭蘭絲i 絲! ! 里【絲j 絲! 竺! 蘭堡墜墨絲 1 9 參考【12 】，我們可以考慮正在服務(wù)的兩個(gè)顧客批中年齡較小的那個(gè)顧客批，記 t 時(shí)刻的它為系統(tǒng)的年齡a g ( t ) 那么當(dāng)a g ( t ) 20 ，系統(tǒng)出于繁忙期( 即兩個(gè)服務(wù)臺(tái) 都有顧客批接受服務(wù)) ，此時(shí)系統(tǒng)中至少有兩個(gè)顧客批當(dāng)a g ( t ) 0 時(shí)，那么系統(tǒng) 中至少有一個(gè)服務(wù)臺(tái)為空，即系統(tǒng)中至多有一個(gè)顧客批，那么a g ( t ) 為t 時(shí)刻之后 第個(gè)到達(dá)系統(tǒng)的顧客批的年齡這個(gè)顧客批還要一( ) 個(gè)時(shí)刻才能到達(dá)系統(tǒng) 我們記n ( t ) = n 為t 時(shí)刻a g ( t ) 為第n 個(gè)顧客批的年齡 我們來(lái)分析一下這個(gè)年齡過程 ( ) ，t 之o ) ： 當(dāng)a g ( t ) 0 ，那么在t + 1 時(shí)刻 1 當(dāng)兩個(gè)顧客批都未完成服務(wù)，則有n ( t + 1 ) = u ( t ) ，于是a g ( t + 1 ) = ( ) + 1 ； 2 當(dāng)有一個(gè)顧客批完成服務(wù)，另一個(gè)顧客批繼續(xù)接受服務(wù)， ( a ) 等待的一個(gè)顧客批開始接受服務(wù)，則有( + 1 ) = n ( t ) + 1 ，于是 ( + 1 ) = a g ( t ) + 1 一t w ( t ) + 1 ； ( b ) 系統(tǒng)中沒有等待的顧客批，則有( f + 1 ) = n ( t ) + 1 ，于是a g ( t + 1 ) = a g ( t ) + 1 一 r n ( o + i ； 3 當(dāng)兩個(gè)顧客批都完成服務(wù)離開了系統(tǒng)， ( a ) 系統(tǒng)中等待的兩個(gè)顧客批開始接受服務(wù)，則有n ( t + 1 ) = l v ( t ) + 2 ， 于是a g ( t + 1 ) = a g ( t ) + 1 一r c t ) + l t n c t ) + 2 ； ( b ) 等待的一個(gè)顧客批接受服務(wù)，而另一個(gè)顧客批還未到達(dá)系統(tǒng)，則有0 + 1 ) = n ( t ) + 2 ，于是a g ( t + 1 ) = ( ) + 1 一r n ( o + l 一1 ( t ) + 2 ； ( c ) 系統(tǒng)中沒有等待的顧客批，此時(shí)顧客批都還沒有到達(dá)系統(tǒng)，則有( t + 1 ) = ( ) 4 - 1 ，于是a g ( t + 1 ) = a g ( t ) + 1 一r n ( o + 1 當(dāng)a g ( t ) 0 且系統(tǒng)中只有個(gè)顧客批時(shí)，那么在+ 1 時(shí)刻： 2 0 笙三童蘭! ! 絲! 堅(jiān)f 絲! ! ! g 蘭蘭簍墜墨簍 1 當(dāng)t 時(shí)刻接受服務(wù)的顧客批未完成服務(wù)，則有n ( t + 1 ) = n ( t ) ，于是 + 1 ) = ( ) + 1 ； 2 當(dāng)t 時(shí)刻接受服務(wù)的顧客批完成服務(wù)離開系統(tǒng)， ( a ) 第n ( t ) 個(gè)顧客批還沒有到達(dá)系統(tǒng)，則有p + 1 ) = n ( t ) ，于是a g ( t + 1 ) = ( ) + 1 ； ( b ) 第g ( t ) 個(gè)顧客批正好到達(dá)系統(tǒng)，則有n ( t + 1 ) = n ( t ) + 1 ，于是 ( t + 1 ) = a g ( t ) + 1 一r ( t ) + 1 當(dāng)( ) 0 且系統(tǒng)中沒有顧客批時(shí)，那么在t + 1b f 麴j ： 1 第n ( t ) 個(gè)顧客批正好到達(dá)系統(tǒng)，則有( + 1 ) = ( ) + 1 ，于是( + 1 ) = ( ) + 1 一t n ( t ) q - 1 ； 2 第n ( t ) 個(gè)顧客批還沒有到達(dá)系統(tǒng)，則有( + 1 ) = n ( t ) ，于是( + 1 ) = ( t )