（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）hardy空間上的加權(quán)復(fù)合算子.pdfVIP

中文摘要 本文主要討論了單位球上h a r d y 空間之間加權(quán)復(fù)合算子的本性模估計(jì)，即用 本性模這個(gè)工具來(lái)研究加權(quán)復(fù)合算子并給出了我們所研究算子的本性模的上界 或下界估計(jì)，并由此可以得到此算子緊的充分或必要條件。全文共分為四部分。 第一部分里，簡(jiǎn)要介紹了近些年在多復(fù)變中不同函數(shù)空間上研究復(fù)合算子、 加權(quán)復(fù)合算子以及乘子等常見(jiàn)問(wèn)題的結(jié)果和方法，這一部分相當(dāng)于一個(gè)前言。 第二部分，給出了本文所涉及到的一些重要的概念及其性質(zhì)定理。 第三部分，是證明本文主要結(jié)果所需的一些主要引理及其證明。 ， 最后一部分，就是本文的預(yù)備引理以及主要結(jié)果和證明。 關(guān)鍵詞：h a r d y 空間單位球加權(quán)復(fù)合算子本性模 t h et i t l eo ft h i sa r t i c l ei sw e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r so nt h eh a r d ys p a c e s t h a ti st os a y , b yu s i n gt h et o o lo ft h ee s s e n t i a ln o r m ，w eg e tt h eu p p e ro rl o w e r e s t i m a t e so ft h ew e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r sw h i c hw eh a v es t u d i e d i na d d i t i o n ， w eg e tas u f f i c i e n to rn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o r t h ew e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o rt ob e c o m p a c t t h ea r t i c l ei sd i v i d e di n t o 內(nèi)u rp a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，s o m er e s u l t sa n dm e t h o d sa b o u to p e r a t o rt h e o r yi nf u n c t i o n s p a c e s o fs e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s ，s u c ha s c o m p o s i t i o no p e r a t o r s ，w e i g h t e d c o m p o s i t i o no p e r a t o r sa n dm u l t i p i i e r s ，a r ei n t r o d u c e db r i e f l y i tc a nb et a k e na sa p r e l i m i n a r y i nn e x tp a r t ，s o m ei m p o r t a n tc o n c e p t sa n dt h e o r e m sw h i c ha r er e l a t e dt ot h e a r t i c l ea r eg i v e n t h ef l a i r dp a r tc o n t a i n s 、s o m el e m m a sa n dt h e i rp r o o f sw h i c ha r en e c e s s a r yt ot h e p r o o f so f o u rm a i nt h e o r e m s t h el a s tp a r tc o n t a i n ss o m ep r e p a r a t o r yl e m m a s ，a n dp r o o f so ft h em a i n t h e o r e m si nt h ea r t i c l e k e yw o r d s ：h a r d ys p a c e s ，u n i tb a l l ，w e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r ，e s s e n t i a l n o n n 獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特另0 加以標(biāo)注和致謝之處外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表 或撰寫過(guò)的研究成果，也不包含為獲得墨鲞盤塋或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證 書而使甩過(guò)的材料。與我一同工作的同志對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中 作了明確的說(shuō)明并表示了謝意。 學(xué)位論文作者簽名：弓斗以簽字日期：幻。6 年f 月牛日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解鑫鲞盤莖有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定。 特授權(quán)鑫星盤堂可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢 索，并采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存、匯編以供查閱和借閱。同意學(xué)校 向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤。 ( 保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)說(shuō)明) 學(xué)位論文作者簽名：蟊千d f 簽字日期：7 “年j 月牛日 導(dǎo)師簽名：閨 簽字日期：加“年月日 第章臂量知l r 俺舟 第章背景知識(shí)簡(jiǎn)介 眾所周知，多復(fù)變函數(shù)理論的研究是當(dāng)代數(shù)學(xué)發(fā)展里的個(gè)嶄新的領(lǐng)域由于空 間維數(shù)從維跳躍到高維，很多基本性質(zhì)已不能保證，例如，復(fù)平面匕的任意域都是全 純域，但當(dāng)維數(shù)大于一時(shí)就不存在這個(gè)性質(zhì)，在加上多復(fù)變函數(shù)中域的構(gòu)成很復(fù)雜， 就連最簡(jiǎn)單的兩類域一超球和多圓柱一也不是雙全純等價(jià)的( 事實(shí)上，多復(fù)變中域的 分類問(wèn)題伲髟副剞碑挾：的難曬之一) ，都給多復(fù)變的研究帶來(lái)了很大的困難在這些研 究中比較活躍的部分內(nèi)容是關(guān)于多復(fù)變函數(shù)空間上復(fù)合算子理論的研究因?yàn)椴煌?蝎止函數(shù)空間的結(jié)構(gòu)不同，所以研究不同域上的函數(shù)空間上的箅亍礙到的結(jié)果也二唇不 樣的；再者，對(duì)同個(gè)域匕的函數(shù)又可以定義很多不同的函數(shù)空間，常見(jiàn)的例如， b e r g m a u 空間、h a r d y 空間、l i p s c h i t z 空間以及d i r i c h l e t 空間等，這些空間大多數(shù)是由 單復(fù)變中的相應(yīng)情形推廣而來(lái)的，但是這些空間上算子的性質(zhì)不僅比單復(fù)變的情形復(fù) 雜，而且有些甚至有本質(zhì)的不同由于算子的多樣性和研究方法的不同，我們雖然 已經(jīng)獲得了豐富的成果，但這也僅僅是向科學(xué)的顛峰邁了一小步就研究?jī)?nèi)容而言， 我們可以探討算子的有界性和緊性，以及譜的性質(zhì)，此外還有乘子的性質(zhì)等等就方 法而寓，可以用般凝函分析的力鞋淶研究復(fù)合算| 子的性頃，也可以結(jié)合復(fù)變函數(shù)的 特點(diǎn)來(lái)進(jìn)行研究，比如說(shuō)利用內(nèi)函數(shù)、n e v a n l i n u a 計(jì)數(shù)函數(shù)以及角導(dǎo)數(shù)、本性模等來(lái) 刻畫算子的性質(zhì) 在各式各樣的算子中，復(fù)合算子的研究無(wú)疑是比較重要的，也是碩果較多的，因 為它有其重要意義比如。它在解析動(dòng)力系統(tǒng)理論中起到重要作用；d eb r a n g e s 關(guān)于 b i e b e r b a c h 猜想的證明就是依賴于解析函數(shù)空間上的復(fù)合算子；遍歷變換有時(shí)可以看 為導(dǎo)致復(fù)合算子自7 0 年代以來(lái)，動(dòng)力系統(tǒng)的研究更廣泛的向各個(gè)應(yīng)甩領(lǐng)域發(fā)展，在 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、氣象預(yù)報(bào)數(shù)值計(jì)算，統(tǒng)計(jì)力學(xué)等領(lǐng)域里，動(dòng)力系統(tǒng)理論的應(yīng)用已經(jīng)嶄露 頭角在系統(tǒng)控制、天體力學(xué)、流體力學(xué)、振動(dòng)理論、化學(xué)反應(yīng)，生理過(guò)程、生態(tài)和 人口理論等許多方面的研究中，動(dòng)力系統(tǒng)也展示了廣泛的應(yīng)用前景函數(shù)空間上的算 子理論之所以受到普遍的螢阮不僅因其豐富而深入的理論，而且特別是由于它的廣 泛而有成效的應(yīng)用隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理問(wèn)題研究的深入，不同域上的函數(shù)空間及其算 子不斷出現(xiàn)，許多問(wèn)題尚待進(jìn)步研究加權(quán)復(fù)合算子作為復(fù)合算子的推廣也得到廣 泛的研充1 9 8 7 年s h a p i r o 給出了艫( d ) ( 其中d 為單位圓盤) 上復(fù)合算子緊的充要 條件，并用n e v n l i n n a 計(jì)數(shù)函數(shù)給出了口：( 研到點(diǎn)產(chǎn)( d ) 的復(fù)合算子的本性模公式 近年，m a c c l u e r 在定假設(shè)下得到了伊中單位球匕h a r d y 空間z p ( 玩) 到伊( 玩) ( 0 q p m ) 的復(fù)合算子的本性模估計(jì)在這篇文章中，我們得到了更廣的加權(quán)復(fù) 合算子的本性模估計(jì)，并給出了c r 中單位球匕不同r b r d y 空間之間的加權(quán)復(fù)合算子 緊的些充分或必要條件 2 第= 章基本和文性質(zhì)及主并結(jié)果 在本章中，首先簡(jiǎn)要介紹下本文所涉及到的些主要榻念、術(shù)語(yǔ)、性質(zhì)和結(jié)論 鬟習(xí)謎概念和結(jié)論的更詳細(xì)內(nèi)容，貝參考二女j 歐( i l 】，【3 】，1 4 】、【5 】，m 、【8 】、 【1 2 1 、【1 4 1 、p t 、【1 9 】，【2 3 】) 下面我們依次介紹單位球晶與多圓柱、單位球e 的h a r d y 空間以及它的些基 本性貳加投= 斃合算子矸0 ，以及本性模i i t i i ， 1 單位球晶 在本文中，我們用c 表示復(fù)數(shù)域，儼表示復(fù)數(shù)域tn 維線性空間 礦； 伍，鈿) ：乃a j = 1 ，醇 設(shè)：= ( z l ，) ，”= 如，饑) 是伊中的兩點(diǎn)，定義它們的內(nèi)積為 n = 巧巧 j = l z 的模定義為i z i ：再i 萬(wàn)了：( 妻j 1 2 ) 1 這樣伊是個(gè)n 維的l 王i l b e r t 空間 c n 中單位球定義為： n 晶= 似，鈿) 伊：i z j l 2 o ，j = 1 - 一，n ，則 伊中以a 為中，5 - , r 為半徑的多圓柱定義為： p ( o ，r ) ； ( z l ，) ：f 句一呀i 吩，j = 1 ，帕 設(shè)n 為中儼的堍我們用日( o ) 表示n 上的全純函數(shù)的全體 對(duì)有畸穆嘲a = ( a 1 ，) ，其中q 都是非負(fù)整數(shù)記 1 口l = 口1 + + ， a ! = 口11 ! ， 礦= 貫1 磅“ 其中z = ( 釓，) 同單位圓盤上的解析函數(shù)有t a y l o r 展開(kāi)樣，單位球e 的全純 函數(shù)f 也洧冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，( z ) = 。oc ( n ) 。4 ，此式又可寫成，( z ) = 墨。兄( z ) ，這里 f ( z ) = i 。l f f i c ( n ) 擴(kuò)是z l ，的s 次齊次多項(xiàng)式。下面是證明中涉及到的多復(fù)變 中r i 介基本定理 3 第二章基奉骺氬性質(zhì)及主耍結(jié)果 c a u c h y 不等式( 見(jiàn)【1 p 9 ) 設(shè)n 是伊中的域，多圓柱p c a ，r ) c o ，若，h ( n ) ( 表 示n 上的所有全純函數(shù)) ，記m = s u p i ( e ) i ：e o o p ( o o p 表示p 的特征邊界) ，則 i ( d “烈口) ism 嘉 這里 c 肼= 錨篙掣l w e i e r s t r a s s 定理( 見(jiàn) 1 p 1 0 )設(shè)。是伊中的域， ) 是q 匕列全純函數(shù)若它 在。上內(nèi)閉致收斂于， 則，日( n ) ，而且 d a ) 也在n 上內(nèi)閉致收斂于d 。， m o n t e 啶理( 見(jiàn)【1 p 1 2 ) 設(shè)。是伊中的域，n 上的全純函數(shù)族f 是q 上的正規(guī)族 的充要條件是f 在n 匕局部致有界 2 復(fù)合算子郇與加投復(fù)合算子矸0 ， 設(shè)妒= ( 妒，) 是晶上的全純自映射，妒為風(fēng)上的全純函數(shù)，我們以后的 討論中都假定妒0 ，i i ( b 。) 上的復(fù)合算子與加權(quán)復(fù)合算子分別定義為； ( ，) ( z ) = ，( 妒( z ) ) 1 ，( ，) ( z ) = 妒( z ) ，婦( z ) ) 對(duì)任意的，日( 晶) ，2 如 3 h a r d y 空間 我們用日( 島) 表黍隼啦球最上的全純函魏菟對(duì)0 p o o ，h a r d y 空間艫( 鞏) 定義為： h p ( b 。) = ，日( 玩) ：l i f i l ；, = s u p i ，) l 打( f ) o o o r lj o b 當(dāng)p = 0 0 時(shí)，我們用日一( 風(fēng)) 表示單位球匕所有有界全純函數(shù)全體，它的元素的范數(shù) 定義為l i f lj 。；s u pi ，( z ) i 性質(zhì)1 ( 見(jiàn)f 8 p i p a ) ：假定，日p ( ) ( o p o o ) ，則對(duì)于點(diǎn)e a 島，徑向極限 ，+ 傳) 一l i m ，一- ，( 嘈) 幾乎處處存在，且l l 川；= 厶鞏l ，+ ( f ) l ，如( ) 性質(zhì)2 ：如粕箏在0 p 使得o ：儼一日p 有界，則對(duì)任意0 p 0 ，使得 l i t z l l rsm i l x l l x ( 壇x ) 4 冪= 章基硨。文性質(zhì)瑟主耍結(jié)果 緊鼾設(shè)x , y 是b a a a c h 空間設(shè)a ：x y 線性；稱且是緊算子如果對(duì)任 意有界點(diǎn)列 ) cx ， 缸。中有收斂子列( 或者，對(duì)于x 中的任意有界集口， i 兩在y 中是緊集) 4 本佐漠i i t i i 。 t 是兩個(gè)賦范線性空間之間的任意有界線性算子，它的本性模定義為- l t i i 。，i n f i i t x ”：j r 是緊算子) 即算子t 到緊算子的距離 基席牲質(zhì)：i i t i i 。= 0 營(yíng)t 是漂崮 子 由此性質(zhì)及本性模的估計(jì)可以得出緊的相應(yīng)條件，這一點(diǎn)在本= 艾最后的推論中可 以看到本文均在假定存在0 1 ，0 q o o 的情形 l l h 0 ，p i i 。2 ( 腳m q ( 妒( e ) ) ) 1 。 特別的，當(dāng)l p g h 寸 有，( 妒( e ) ) = 0 ，此時(shí) i f 磯l 梁，厶若與曼牟咖“習(xí) 并證明了w ；，緊的充要條件是 。翠。厶矗亳宅i 咖一。，= 。 5 第三章幾十引理及其證啊 說(shuō)明：此后為方便。我們常把函數(shù)f 的徑向極限取值廣仍i 已為，這點(diǎn)請(qǐng) 讀者注意區(qū)分此外我們常把日，( 晶) 簡(jiǎn)記為t i p 設(shè)0 p o o ，i p 是風(fēng)上的全純自映射，并且妒h q ( b n ) ，我們定義瓦上的測(cè) 度 ， 腳m g ( 刀) ：上叫聊n a 氏9 如j 妒。i 墨j il 口h 其中e 為砩中的可瀏子第顯然。為正的有限b o r e j 測(cè)度由關(guān)于。的假定及 性質(zhì)2 ，我們就有 l i 矸“列| ；= o 凰f ( 妒，。妒) 叩打= 厶曠( ，。礦) p 曲 引理1 固定0 p + ，妒是晶上的全純自映射，且妒艫，則有 i g 咖m p ：! i 妒i ，o 。妒) 由 厶g 咖一2 以b 挪o 。妒 其中g(shù) 是瓦上的任意可測(cè)正函數(shù) 證明：特殊的，如果g 是定義在百_ 上的簡(jiǎn)單可測(cè)函數(shù)，即口= ：，n t x 置，則有 厶。舢= 砉a 帆“黝一喜毗上叫聊。風(fēng)9 曲 2 厶p ( 善州一( 剮慨弦 = i 妒i q o 妒) d 9 n o 且n 般情形，如果g 是豆。上的可測(cè)正函數(shù)，存在單增的正的簡(jiǎn)單函數(shù)序列 鯫 滿足( z ) 一g ( z ) 黼z 瓦都成立因j 埔 厶細(xì)一一厶，咖一 另方面，i 妒i ，0 。o 糾是粵增序列使得 妒0 ) i ，( 9 m ( 妒如) ) 呻 妒( z ) i p 婦( 妒o ) ) 對(duì)所有z 磊成丑所以 厶。仉m ，= z 如( 。妒) 如一z 鞏。妒) 出 第三章幾十引理及其正明 結(jié)詫- 肚 引理2 設(shè)0 p 且f 儼，則 m ) 莖耘 對(duì)任z 風(fēng)成立 證明：固定f 儼和z 晶對(duì)于任意的0 r 0 ，則 裟l 苗i 0 ，對(duì)任意的d 蜀，多圓柱 ，只= 忙，鈿) 伊：吻一町f 赤，= ”一，n ) 含于g 由c a u c h y 不等式得 i 苗( 。) i 孚確s u p r i f ( 列等躲| ，( 硎 對(duì)。k 取e 確界就得到所證不等式 ， 引理4 固定0 j 1 ，且g = 仁既：1 一n 則 一l i r a s u pi f ( z ) 一，( r z ) l = 0 r + 1z e g 對(duì)h p ( b = ) 中的任意單位向量f 成莧 證明： 刪s u p l f ( 礦，( r 列2 ：罌i 薹( ，( r 釓晰一 川 i f - i t 幾十引理及萁砭啊 一y ( r z l ，r 釔，r ，+ l 。，) ) l s 裟耋 z 1 j 勺苗( 吻，- 1 , t z j , z j + i , , z n 川 ( 1 - r ) n 罌i 嵩i 定義g 1 = 乜風(fēng)：h s l 一g ，則g c g l 并且d i , t ( a ，粥- ) = g 由引理3 ，我們有 裟i 若圳s 竽蒯s u p 。i ( 刮 如果p = o o s u pi f ( z ) 一( r z ) l 蘭2 ( 1 - - r ) n 何l l y l l 。 對(duì)于0 p 1 ) 上的有界序歹! i ，并且 ) 弱趨于0 ，則對(duì) s p ( s ) 到y(tǒng) 為賦范線睦空間) 上的任意緊算子k ，都有i j k ，m f l y 一0 證明：此引理直接由引理5 和k 的緊性得到 8 第四章主要定理及其證明 情形1h * 一儼即p = o 。，q = 2 我們先計(jì)算下空間n 2 c b ) 中元素的棋 x 于- 7 ：，z - 產(chǎn)c b ) 荊2 莓c ( a 驢2 莩c 陋) l l z 2 氚口a ” 。一 其中 翁e 是鏟( 晶) 中的組正交基，且c ( = d 。，( o ) 口l ，故而 i l f l l = l e ( o , ) 1 2 妒舊 其中 i i z 舊= 踹 對(duì)于正整數(shù)m 定義從空間h 2 c b ) 到自身的算子t ( f o ) ；f o 口m = i - p 一 顯然有j kj j = 1 設(shè)矸0 ，p ：h o o h q ，0 q ，很容易驗(yàn)證w , p ，p 有界的充要條件是妒h q 事實(shí)e ，如果矸0 ，有界，只要取檢驗(yàn)函數(shù)，= 1 即有妒h q 反過(guò)來(lái)，顯然有 i i w , ，p | i 1 1 , p 1 1 口 引理7 設(shè)，p ：h ”一日2 ，妒儼，則 i i w , ，”i i c2i 驄i | 冗m 。v | i 證明：方面 對(duì)任意m ，o 。為有限秩算子，從而為緊算子由假定w 0 ，有 界，所以o 。矸，是緊算子，從而 i i w , 口，i l 。= 1 1 ( 屆。+ 0 。) 肌，l l 。= l i i 。i l ?！白?。吼，l i 因此i i w , ，p i | 。5l i m i 一。j | 吼肌 另方面，設(shè)k ：日* 一日2 為任意緊算子由于i l j k i | = 1 ， w ；，p k l i i l 焉t ( i ，一g ) l l = i i w ；。，一凰l f | l h 0 ，p | j j 】r 。k l | 9 注意到k 是緊的。日m 中的單位球在映照k 下的像在鏟中有緊的閉包由于i l j k “j l 而且耳在艫中逐點(diǎn)趨于0 ，所以耳在h 。中單位球上_ 玫趨于0 ，即當(dāng) m 一有x ”- - , 0 散而 w ；，p e l i r a s u p i i p , m w 9 ，9 m 命題得證 引理8 設(shè)吼，p ：日* 一抒2 ，妒艫，如果k 是固定的正齜g 是鞏睢意 的非常值解析函數(shù)滿足i l g l l 。51 ，則當(dāng)m m 時(shí)，有i 仉i ，一( g “) l i 。- - * 0 證明：如果。是蒲足sk 的多重指標(biāo)，則 i i z “l(fā) i ；= i 踹s ( ! ) ”s c ( 仲，) 由于礦( 0 擊) 風(fēng)。應(yīng)用c 出y 估計(jì)，對(duì)于鞏上任意的全純函數(shù)，有 旦筆掣曼h 硎。m 艄 口! 一” 其申i i f l l 。肌擊) 表示f 在多圓柱礦【o ，芻) 上的最燃 由于f 展成冪級(jí)數(shù)的系數(shù)為c ( 吐) = d 。f0 ，我們得到妒g ”。妒的系數(shù)的上界由 ( 2 n ) l a q l 妒礦。l p 憶礦( 。，擊) 控制設(shè)c ，m 分另9 為和 go 糾在多圓柱d - “( o ，去) 上的 最大值，則s 0 ，定義& = a 鞏：i 妒( 圳1 一e ) ，且令霹表示它在峨中的 補(bǔ)集，妒日2 定義算子k ：艫一日2 耳( ，) = 尸( x 毋妒( ，o 妒) ) 1 0 第西簟主要龜彀其證明 其中p 為工。到z r 2 上的正交投影( 這里我們把日2 中的函數(shù)等價(jià)為它的徑向極限函 數(shù)) 則對(duì)任意的2 p o o ，k 為從h p 到h 2 的緊算- r - 證明：設(shè)( 知 為艫申單啦球里的序列由引理2 對(duì)于2 p ， ，m ) 為正 規(guī)瓷當(dāng)p = o o 時(shí)亦然所以存在玩上的內(nèi)閉致收斂子列，不妨i 殳它收斂到為 方便我們?nèi)杂沴 h ，亍現(xiàn)i 為 ) ，顯然，h p 因此 l l k 一k i i i i i p i l 2 i i x 研妒( ，mo 妒) 一x 騭妒u 。計(jì)惦 s l x 研妒( 知。妒) 一x 研妒( ，o 妒) 1 2 d 礦 ，口e h = l 妒( ，mo l p ) 一妒( ，o d l 2 缸 j 等 由于 ，m ) 在研匕致有界且妒鏟，故由l e a g u e 控制收斂定理，上面的表達(dá)式當(dāng) m c o 時(shí)趨于0 此即證明了k 的緊性 定理1 設(shè)肌，：日* 一鏟滿足妒鏟，則 i i h 0 ，= ( 腳，p ，2 ( 妒( e ) ) ) 1 膽 害# 中e = 0 b ：i 礦化) l = 1 ， 證明：我們先考慮下羅m 占計(jì)設(shè)g 為鞏上的非常值內(nèi)函數(shù)，對(duì)正整數(shù)m ，令 h = g m ，則有 f l - 飾，p 0 ”) i l l = i 咖( h 。妒+ ) 1 2 出 j 8 b ，= l 礦嚴(yán)西腳。2 j 爿“ 2 l 1 2 d 腳m 2 腳m 2 ( 妒( 四) ) 其中最后個(gè)不等號(hào)是因?yàn)槎蔿 = 1 在妒( e ) 匕依測(cè)度pn 乎處處成立，這是因?yàn)閔 為內(nèi)函數(shù)且腳。限制到躕。上關(guān)于，是絕對(duì)連續(xù)的事實(shí)上，對(duì)0 b 的任意可測(cè) 子集e ，有 肛9 m 2 ( e ) = i 妒1 2 d ， j p _ 1 ( 目n a 艮 由關(guān)于的假定，如果口( e ) = 0 ，則一( 妒一1 ( 司n a 晶) = o ，從而腳，。2 ( 功= o 所以 i 鳳- ，j l | i 吼 ，p 0 ”) 1 1 2 1 1 2i i 矸勺，p 0 ”) i 1 2 一i i q k w p ，p 0 “) 1 1 2 2 ( 腳m 2 ( 妒) ) ”一i i q k l l 。p ( 礦) 1 1 2 對(duì)所有m 成立 固定k 并令m o o ，應(yīng)用引理8 我側(cè) i l 風(fēng)佴0 。p | l 芝( 腳m 2 ( 妒( e ) ) ) 1 2 對(duì)任意k 成立現(xiàn)在令一0 0 ，由引理7 我們刪想要的l l 矸0 ，的下界倍汁 下面我們看匕界估計(jì) 定義引理9 中的k ，從而k ：胃* 一日2 是緊的對(duì)任意滿足吲i 。= 1 的口日* 我們有 f f 。p 一k ( 9 ) t 1 2 一f i 妒g o p p ( x e ：妒( ，o 妒) ) f 1 2 一i i p 僅晶妒( ，o ) 1 1 2 x 研妒( ，o 計(jì)1 1 2 = ( l 妒g o 妒1 2 曲) l j e t si i go 川。( 2 如) j ，日 i i go 糾i 。( 川2 糾j o 妒一1 【p j k ) ) n a k = i i go 糾k ( 腳，p ，2 ( 妒( 丑) ) ) ” 設(shè)io 并令k m 表示由( ，) = p ( x 妒( ，。妒) ) 定義的算子對(duì)于p - - - - o o 就有 f i 矸0 ，p i l 。| j h p 一。 r 贏j i ( ，郵，p ，2 ( 妒( 最m ) ) ) 1 2 對(duì)所有m 成立。令m o o ，命題得證 推論1 設(shè)w ；，：日”一日2 有界，則它緊的充要條件是i e i = 0 ，其中e = “ 鶘；：i 礦f = 1 ，這里f 引表示e 的正規(guī)化l e b 哪m 測(cè)度 證明：由定理1 我們知道矸0 ，緊，則有腳。2 ( 1 p ( 曰) ) = 0 ，也即口( 妒一- ( 妒( e ) ) n 8 b n ) = o ( 見(jiàn) 4 p 8 35 5 9 ) ，從而0 舊口( 妒一1 ( 妒( e ) ) n 鎦；) = 0 另方面由定理1 的 證明過(guò)程知 ， i i h 0 ，p i | 。( m 2 打) i j 日 當(dāng)e 一0 時(shí)，再由蚓= 0 ，就有h 0 ，緊 第四章主要窟匣受其證明 注1 在推論1 證明過(guò)程中取妒= 1 ，即有| l 啊，i i 。= i i c ，l l 。i e i ”而在定理1 中取定妒= 1 ，就有i i c ，l l 。( p - ，2 ) 1 2 = d p 一1 ( 妒( e ) ) ) 1 2 ，h 廁和一1 ( 妒( 目) d = i e i 推論2 設(shè)：h ”一艫存界，則 i i c p l l 。= 舊1 2 其中e 同上( 此即1 1 7 1 中的定理” 證明：在定理1 中取妒= 1 ，由注1 即得 情形2h o o h q ，q 2 即p = o o ，g 2 定理2 設(shè)，p ：日。一日口，且妒h e ，則 ， 去( 腳，p ，口( 妒( e ) ) ) 1 e i i w , ，p 。s2 ( 腳，p ，口( 妒( e ) ) ) 1 加 其中e = f a 日。：i 妒( ) i = 1 ) 證明：我們先估計(jì)e 界顯然h 0 。對(duì)于固定的0 m ，存在0 1 ，口= o 。 定理3 設(shè)p ：儼一儼( p 1 ) ，則，p 有界當(dāng)且僅當(dāng) 一s u p 礦黲 1 ) 有界，則 溉。，船非。礦絮警耘劍磯s 。甥鼬。，暑腳礦卡箋籌b 證明：我們先劾基匕界借計(jì)對(duì)固定的0 r 1 ，很容易驗(yàn)證h 0 。是緊的 因此 i l w j p i l es | | ，p i ，r rj i 現(xiàn)在對(duì)任意的0 6 1 l i ，p i | i =s u pi i ( w ；，p w i w ) 1 1 一 f l l l p ，l = s u ps u pl 妒0 ) i l ，( 妒( z ) ) 一，( r 妒( z ) ) j i i i i ，掣1z e b si i 妒| i 。s u ps u p i ，( 妒( z ) ) 一，( 嬸( z ) ) i j i f l l w = l 出，t ( p 扣) ，a 丑n ) j + s u p s u p l 妒( z ) l i ，( 妒( 2 ) ) 一，( r l p ( z ) ) 由弓l 理4 ，我們選定足夠趨于1 的r ，使得右側(cè)的第項(xiàng)小于任意給定的。我們用i 表 示第二頃i 則 i s u ps u p l 妒( z ) i ( i ，( 妒( z ) ) i + l ，( r 妒o ) ) 1 ) j 1 1 l l p = 1d t i t ( p ( ：) ，別) j 曼，唧姍。m s u p i j l l p = l 峨i 礦嵩裂齊i - 兩+ 礦牖i r )l出t ( p ( ；) ，a b n ) j 1 一l 妒o jj ”- 一妒崢jj ， 糾酬吣s u p 琳。f 糍南 第四章主蔓自豇受其證鳙 先令r 一1 ，然后令j 一0 ，便得到要的e 界估計(jì) 現(xiàn)在看下界估計(jì) 設(shè)k 為從艫到h * 的艴對(duì)任意”鞏，定義厶( ；) = 芒老騫南，顯然 有l(wèi) l 厶= 1 且當(dāng)川一1 時(shí)，丸弱趨于0 ，因此當(dāng)i l 一1 時(shí)，i i k 厶i l 一0 所以對(duì)任意0 j 1 矸0 ，p k i i2l i r a s u pi i ( i ，p k ) 九i l * l i 一1 2 l i m s u p i | w ；，p 厶1 1 0 0 h m s u p i i k 丘 | 一 m l _ ll 塒卜，1 = l i m s u ps u pl 妒( z ) i i 厶 如) ) i 岫i lz e b l i r a s u ps u p l 妒c z ) l l 厶( 妒( z ) ) f 當(dāng)j 一0 時(shí)i 妒( z ) i 一1 ，故令 = 妒( ：) ，我們得到l i 矸0 ，p | i 。的下界佑計(jì) 推論5 設(shè)w 0 。，：艫一日”有界，則它緊的充要條件是 舢l i r a s u 刪p 。；f 船南= 。 注2 ：如果m k 1 ，0 q 1 ，0 口 定理5 設(shè)吼，p ：日，一伊( 1 p 1 ，0 q o o 是緊的，則i e i = o 其中e 同上 注3 ：我們將看到當(dāng)0 p q o o 且w 0 ，p ：h p 一日口有界，有腳m 口( 妒( e ) ) ；0 所以上面的估計(jì)是無(wú)效的，我們需要給出其它的估計(jì)： 設(shè)p 表示工。p ) 到h q ( b ) 映上s z e 9 6 投影，即 ， p 【，】( z ) = ( 1 一 ) 一”，( f ) 面 。 j a b “ 當(dāng)q = 2 時(shí)，剛好為l 2 ( 一) 到z r 2 ( k ) 的正交投影，且當(dāng)1 q o 。時(shí)p 為有界算子 ( 見(jiàn) 3 1 中的6 3 1 ) ，我們記它的范數(shù)為| ip l i 定理6 設(shè)1 q p q 使得儼_ 1 2 r ( 1 p o o ) 有界， 則 i i 吼，l i 。i i p i 肌，別鏟 其中e = 代喝。：i 妒i = 1 ，f e f 表示e 的覷化l e b e s g u e 測(cè)度 證明：我們同樣考慮k ：h p h q k ( f ) = p ( x 置：妒( ，o 妒) ) 這里p 為s z e 9 6 投影同引理9 的證明類似，l f 為h p 到h q 的緊算子從而有對(duì)任 意滿足i ，= 1 的口儼，我們有 | 1 w ；，國(guó)) 一j f ( g ) 令e o ，命踟 = i i 妒g o 妒一p ( x e 妒( ，o 曲) i i g = l i p ( x 五妒( ，o p ) ) 5j i p ij j x 毋妒盯o = | | p ( l 妒g o 妒嚴(yán)西) j e 。 s i i p | i ( 。x 研陟g 。妒p d ，v o 如 。 i i p i w 0 ，( g ) 川最l 冪 s i i p i i 1 1 w , ，川i 最i 等 第四章主奠定理及其證明 掐侖7 條件如定理6 ，則有吼，：日，一日a 緊的寬彰酣牛是i e i = 0 證明直接由定理6 與推論4 得到 定義設(shè)盧1 p 為瓦上的有限正測(cè)度 ( 1 ) 如果 肌p 躺s h m ，則稱p 為有界盧一c a r l e s o n 測(cè)度 o h 2 ，拒a 乳 c 2 ) 如果j 嗵s u p 出殺鱸= 0 ，則稱p 為消滅盧一o a r l e s o n 測(cè)度 t t - 0 f a b 。 其中甌化) = d 瓦：1 1 一 1 5 耐，0 h 2 引理1 0 c 見(jiàn)1 1 0 】推論2 ) 設(shè)，為瓦上的有限正測(cè)度，且0 p s 口 o o ，則下列條 件等價(jià)l ( i ) p 為有界的g c a r l e s o n 測(cè)度 ( 趕) 存在常數(shù)d o o 使得 _ i ，i 咖c l l f l l g j b n 對(duì)所有，h v ( b n ) 都成立 定理7 對(duì)固定的0 p s 口 0 0 ，妒為風(fēng)上的全純自映射，且妒h q ，則下列條 件等價(jià)i ( i ) 腳。為有界的：一c a r l e s o n 測(cè)度 ( i i ) 肌，p ：h v 一伊有界 ( i i i ) 惡厶芒器一小o o 證明：( i ) = 爭(zhēng)由引理1 0 ，若腳，。為有界的：一c a r l e s o n 測(cè)度，則存在常數(shù) 0 使得 ll ( i 腳m a c l i l l ； 對(duì)所有，三p ( 晶) 都成立應(yīng)用引理1 ，并取g = i i i q ，我們有 - l 卯m 口= 4 i f o l p r d o = i i h 0 ，p 川： j b 。j 8 8 5 因此，就有 l i w , ，p ( f ) l l gsc 1 1 q l i 川， 對(duì)所有，h v ( b n ) 都成立也即矸0 ，：h p 一日一有界 ( i i ) 號(hào)( i i i ) 1 8 撇。晶，令五舢) = 面p - w l 。p ，) ) ，而- ，則1 1 五1 1 p = 1 ( 俐) 辛( i ) 假定 c i i w , p i l 9 = s u pl i w , ，p ，： l i f l l ，, = l 。 m , 1 pi i w , ，, a i i ： z 島 = s u p ( ，i 妒1 9 i 厶。妒r d z e b nj a 日n 2 般厶 咖m 。 = 惡厶芒三磐南小， m = 惡厶芒搗扣) o o 我懶腳m 。為有界的；一c a r l e s a n 測(cè)度首先令# = 0 ，則腳m a ( 瓦) s m 因此 腳m 口有限并且m 口( ) ) m s4 m h * q l p 對(duì)所有f a 鞏和h ( ) 磚i 成立假定 h ( ) 赤并且對(duì)a 風(fēng)，令如= ( 1 一) f ，則對(duì)任意t l ，甌( f ) 因?yàn)?i - - i = 1 1 - i h + i h 一 i = i ( 1 一；) ( 1 一 ) + 互h 曼i ( 1 - 銣+ i h 竺 一 2 且1 一1 2 = ( 1 一i , e o d ( 1 + i 如i ) ( 1 一i 0 1 ) ，從而有 ( 1 一2 ) l 口p 、( 1 1 如1 ) 吲p c f j i i 和三r 2 h n e l ， 所以 m 厶若三絮并一”， 厶麗c 。d 腳m 一 2 塑篇趔 此即一為有界的；一c a r l e s o n 測(cè)度 推論8 如果0 p 口 0 0 且，p ：甘p 一日口有界，則 i 郇m 口( 妒( e ) ) = 0 翻：由于腳。限制在a 晶上關(guān)于口絕對(duì)譴繡用g 表示腳m 。限制在隅。 關(guān)于口的覷幽一m 女d 嘶m 導(dǎo)所以，我們有 刪= f r m ，【雨1 兩厶( ”加 = 溉錯(cuò) h _ o 礦( j ( d ” l i r a 。洲咖“ =0 在陽(yáng)i 上幾乎處處成立其中倒數(shù)第= 介不等號(hào)用到了礦( s h c b ) ) 和臚等價(jià)無(wú)窮小( h 很小時(shí)) ( 見(jiàn)f 4 】p 6 7 】) 現(xiàn)在就有腳。i a 晶；0 ，推論：成也 定理8 假定1 p 口 o o 并且加權(quán)復(fù)合算子矸0 ，p ：王p h a 有界，則 艘，二。芒三警南一：) 證明：設(shè)k 為從儼到h q 的緊算子對(duì)任意的”既定義厶( z ) = 岳爿媯， 從而有i i 凡p = 1 并且當(dāng)一1 時(shí)，有厶弱趨于0 ，因此當(dāng)m 一1 時(shí)i i 耳丘一0 故而對(duì)任意的0 6 1 l w 十p 一耳i i2 l i 帥r a s u l p ( 吼，p 一置川口 之l i m s u p ij i ，p 厶一l i r a s u p i 凡 i 伽l + 1l l - - 1 = l i r a 。s u 。p f j , g b 嚴(yán)d 鍺等南i 酢，山i 葉1 1 1 一l p l z j ”， 之 i m s u p _ 。巷妄警南以， 引理1 l ( 見(jiàn)【9 1 ) 假定0 p 口 o o 并且自啼蝴算子w 。，：伊一腫有界，則下 列條件等價(jià)。 腳m g 為消滅：一c o r e s o a 瀏度 ( i i ) 吼，：艫一h q 為緊算子 定理9 假定1 r 0 ，當(dāng)m r 時(shí)，有 l 厶芒1 - 搗咖。f 厶芒爿籌備扣， 厶南咖m 。 ，璺生些d 墨盟! 。h n q n 對(duì)任意的：慨都成立，故腳m - 為消滅一c a r i e s m 測(cè)龐 參考文獻(xiàn) 【1 】1 史濟(jì)懷，多復(fù)變函數(shù)論基礎(chǔ)，高等教育出版社，1 9 9 6 【2 】周民強(qiáng)，實(shí)變函數(shù)論，北京大學(xué)出版社，2 0 0 1 f 3 】張恭慶，林源渠，泛函分析講義，北京t 高等教育出版社，1 9 8 7 f 4 】w r u d i n , f u n c t i o nt h e o r yi nt h eu n i tb 8 l lo f 滬，s p t i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 8 0 【5 1c c c o w e n a n d b d m a c c l u e r ，c o m p o s i t i o n o p e r a t o r s o n s p a c e s o f a n a l y t i c f u n c t i o n s ，c r c p r e s s ，b o c ar a t o n ，f l ，1 9 9 5 1 6 】j o e l h s h a p i r o ，c o m p o e i t i o no p e r a t o r sa n dc l a s s i c a lf u n c t i o nt h e o r y , s p r i g e r - v e r l a g ，1 9 9 3 吲k h z h u ，o p e r a t o rt h e o r yi nf u n c t i o ns p a c e s ，m a r c e ld e k k e r n e wy o r k 1 9 9 0 【8 】k l z h u ，s p a c e so fh o l o m o r p i n cf u n c t i o n si nt h eu n i tb a l l ，s p r i n g e r2 0 0 4 【9 】h m x ua n dt s l i u ，w e i g h t e dc o m p o s i t o no p e r a t o e r sb e t w e e nh a r d ys p a c e so nt h eu n i t b a l l ，c h i n q u a r t j o f - m s t h ，2 0 0 4 ，1 9 ( 2 ) ：1 1 1 1 1 9 1 1 0 l l u oa n dj h s h i ，c o m p o s l t o no p e r a t o e r sb e t w e e nh a r d ys p a c e so nt h eu n i tb a l l ， a c t s m a t h s i n i c a ，2 0 0 1 ，4 4 ：2 0 9 2 1 6 【1 1 】m d c o n t r e r a s a n d a g h e r t m d e d i a z ，w e i g h t e d c o m p o s i t i o n o p e r a t o r s b e t w e e n d i f f e r e n t h a r d ys p a c e s ，i n t e g r e q u o p e r t h e o r y ，2 0 0 3 ，4 8 ：1 6 5 1 8 8 【1 2 】p l d 1 1 r e i l ，t h e o r yo f 艫s p a c e s ，a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k ，1 9 7 0 【1 3 】b d m j t c c l u e r ，c o m p a c t c o m p n s i t o n o p e r a t o r s o n i i p ( b n ) ，m i c h i g a n m a t h j ，1 9 8 5 ，3 2 ：2 3 7 2 4 8 f 1 4 k h o t f m a n ，b a n s c hs p a c e