試談布萊克-舒爾斯期權(quán)定價公式的擴展.doc

第七章 布萊克-舒爾斯期權(quán)定價公式的擴展在第六章中，我們在一系列假定條件下推導(dǎo)得到了著名的布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式，在現(xiàn)實生活中，這些假設(shè)條件往往是無法成立的，本章的主要目的，就是從多個方面逐一放松這些假設(shè)，對布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式進行擴展。但是我們也將看到，在有些時候，模型在精確度方面確實獲得了相當?shù)母倪M，但其所帶來的收益卻無法彌補為達到改進而付出的成本，或是這些改進本身也存在問題，這使得布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式仍然在現(xiàn)實中占據(jù)重要的地位。第一節(jié) 布萊克-舒爾斯期權(quán)定價模型的缺陷在實際經(jīng)濟生活中，布萊克-舒爾斯期權(quán)定價模型（為簡便起見，我們后文都稱之為BS模型）應(yīng)用得非常廣泛，對金融市場具有很大的影響。其三個作者中的兩個更是曾經(jīng)因此獲得諾貝爾獎。因此，無論是從商業(yè)上還是從學(xué)術(shù)上來說，這個模型都非常成功。但是理論模型和現(xiàn)實生活終究會有所差異，對于大多數(shù)理論模型來說，模型假設(shè)的非現(xiàn)實性往往成為模型主要缺陷之所在，BS公式也不例外。本章的主要內(nèi)容，就是從多方面逐一放松BS模型的假設(shè)，使之更符合實際情況，從而實現(xiàn)對BS定價公式的修正和擴展。BS模型最基本的假設(shè)包括：1. 沒有交易成本或稅收。2. 股票價格服從波動率和無風(fēng)險利率為常數(shù)的對數(shù)正態(tài)分布。3. 所有證券都是高度可分的且可以自由買賣，可以連續(xù)進行證券交易。4. 不存在無風(fēng)險套利機會。在現(xiàn)實生活中，這些假設(shè)顯然都是無法成立的。本章的后面幾節(jié)，將分別討論這些假設(shè)放松之后的期權(quán)定價模型。1. 交易成本的假設(shè)：BS模型假定交易成本為零，可以連續(xù)進行動態(tài)的套期保值，從而保證無風(fēng)險組合的存在和期權(quán)定價的正確性。但事實上交易成本總是客觀存在的，這使得我們無法以我們所希望的頻率進行套期保值；同時，理論上可行的價格，考慮了交易成本之后就無法實現(xiàn)預(yù)期的收益。我們將在第二節(jié)中介紹一些對這一假設(shè)進行修正的模型。2. 波動率為常數(shù)的假設(shè)：BS模型假定標的資產(chǎn)的波動率是一個已知的常數(shù)或者是一個確定的已知函數(shù)。這一點在標的資產(chǎn)價格的實證檢驗中被否定，期權(quán)市場本身反映的隱含波動率也提出了相反的證據(jù)。實際上波動率本身就是一個隨機變量。為了解決這個問題，人們從兩個角度來對BS模型進行修正：從期權(quán)價格的隱含波動率中獲取波動率的信息，來為期權(quán)定價；從標的資產(chǎn)市場出發(fā)獲取波動率變化過程的信息，對BS公式進行修正和擴展。我們將在第三節(jié)和第四節(jié)討論這個問題。3. 不確定的參數(shù)：BS模型假設(shè)波動率、利率、股利等參數(shù)都是已知的常數(shù)（或是已知的確定函數(shù)）。但事實上它們都不是一個常數(shù)，甚至也不是一個時間和標的資產(chǎn)價格的確定函數(shù)，波動率甚至完全無法在市場觀察到，也無法預(yù)測。這時可以采取的方法之一是為這些參數(shù)的價值確定一個變動區(qū)間，從而在最糟糕的情景下為期權(quán)定價。我們將在第五節(jié)介紹這一方法。4. 資產(chǎn)價格的連續(xù)變動：BS模型假定標的資產(chǎn)的價格是連續(xù)變動的，服從對數(shù)正態(tài)分布。然而在我們的市場中，不連續(xù)是常見的：資產(chǎn)價格常常跳躍，并且經(jīng)常是向下跳躍。這在對數(shù)正態(tài)分布的資產(chǎn)定價模型中并沒有體現(xiàn)出來：對于正態(tài)分布來說，這些突然變動的幅度太大，發(fā)生太過頻繁；同時，由于跳躍來得太突然，這使我們無法單純依靠對數(shù)正態(tài)擴散模型對它們進行動態(tài)保值。因此我們需要在模型中考慮跳躍的情形，同時我們也需要考察在極端變動的情況下，可能導(dǎo)致的最差結(jié)果。我們將在第六節(jié)和第七節(jié)中對跳躍擴散模型和崩盤模型進行分析，討論這些問題。第二節(jié) 交易成本BS期權(quán)定價公式的一個重要假設(shè)就是沒有交易成本，在此基礎(chǔ)上，BS公式的分析過程要求對股票和期權(quán)組合進行連續(xù)的調(diào)整再平衡，以實現(xiàn)無風(fēng)險定價策略。在實際生活中，這個假設(shè)顯然是難以成立的。即使交易成本很低，連續(xù)的交易也將導(dǎo)致很高的交易費用；即使只進行離散的保值調(diào)整，但只要進行交易，投資者就必須承擔(dān)或多或少的交易成本。一般來說，交易成本在以下兩種情形下是尤其重要的：1. 在一個交易費用很高的市場中進行保值操作，比如股票市場和新興證券市場。2. 組合頭寸經(jīng)常需要進行調(diào)整。其中包括處于平價狀態(tài)附近的期權(quán)和即將到期的期權(quán)，這樣的期權(quán)的套期比率對標的資產(chǎn)價格的變動最為敏感，從而導(dǎo)致調(diào)整頻率較高。所以，交易成本在期權(quán)價格的確定當中是不可忽略的部分。因此，人們對存在交易費用的情形進行了考察，并得到了基于BS公式的一些修正模型。值得注意的是，在美國，主要的證券市場都實行專家（Specialists）或做市商(Market-maker)制度，因此，這里的交易成本主要是指在標的資產(chǎn)買賣過程中發(fā)生的買賣價差（Bid-offer Spread）。一、 交易成本的影響分析交易成本的存在，會影響我們進行套期保值的次數(shù)和期權(quán)價格：交易成本一方面會使得調(diào)整次數(shù)受到限制，使基于連續(xù)組合調(diào)整的BS模型定價成為一種近似；另一方面，交易成本也直接影響到期權(quán)價格本身，使得合理的期權(quán)價格成為一個區(qū)間而不是單個數(shù)值，同時許多理論上值得進行的策略，一旦考慮交易成本之后，就變得不可行。進一步來看，交易成本的影響具有以下兩個性質(zhì)：1.規(guī)模效應(yīng)和交易成本差異化。不同的投資者需要承擔(dān)的交易成本是不一樣的，交易規(guī)模越大，成本的重要性程度越低。這就意味著與基本的BS定價公式相悖，現(xiàn)實世界中并不存在唯一的期權(quán)價值，而是有賴于投資者的具體情況，相同的合約對于不同的投資者具有不同的價值。2.即使是同一個投資者，在調(diào)整過程中，持有同一個合約的多頭頭寸和空頭頭寸，價值也不同。為什么呢？這是因為交易成本對于保值者來說總是一種沉沒成本，無論是多頭還是空頭，對保值成本的估計都必須從期權(quán)價值中扣除。這樣一個投資者會認為多頭的價值低于BS公式理論價值，而空頭價值則應(yīng)高于理論價值。因此，交易成本的存在，實際上意味著動態(tài)保值不再產(chǎn)生期權(quán)價格的唯一均衡，而是會針對每一個投資者的不同頭寸都出現(xiàn)一個可行價格區(qū)間。在這個范圍內(nèi)波動的期權(quán)價格都無法進行套利，因為套利獲得的無風(fēng)險收益將被交易費用所抵消。當價格跌到這個區(qū)間的下限之外的時候，才存在利用期權(quán)多頭進行套利的機會，當價格漲到這個區(qū)間的上限之上的時候，才存在利用期權(quán)空頭進行套利的機會。我們將在后面對交易成本模型的描述中進一步闡述這些性質(zhì)。二、 Hoggard-Whalley-Wilmott交易成本模型交易成本模型最早是由Leland參見H. E. Leland, “Option pricing and replication with transaction costs,” Journal of Finance, 40 (1985), 1283-1301.在1985年提出的，他的主要結(jié)論是：可以用一個考慮了交易成本后的波動率代入BS公式得到期權(quán)價格，這個模型采用的策略和基本結(jié)論為后來的交易成本研究奠定了重要的基礎(chǔ)，但是具有一定的局限性?；诖?，Hoggard，Whalley和Wilmott三個人于1992年提出了一個考慮交易成本的期權(quán)組合定價模型（簡稱為H-W-W模型） 更詳細的推導(dǎo)和分析參見T. Hoggard, A. E. Whalley and P. Wilmott, “Hedging option portfolios in the presence of transaction costs,” Advances in Futures and Options Research, 7 (1994), 21-35.，這個模型也是衍生工具理論中最早的非線性模型之一。Leland的結(jié)論同樣可以在H-W-W模型中得到解釋。（一） 基本思路H-W-W模型仍然采用推導(dǎo)BS微分方程時的無套利均衡的分析思路，采用無收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)組合為代表來進行分析，但是現(xiàn)在的整個組合價值修正為原來的價值減去交易成本，而這個交易成本的計算則根據(jù)事先確定的保值調(diào)整策略和交易成本結(jié)構(gòu)進行，由此得到一個新的非線性偏微分方程，即考慮了交易成本之后的期權(quán)定價微分方程。（二） 基本假定H-W-W模型的主要假定基本與推導(dǎo)BS微分方程的假設(shè)相同，主要變量符號不變，只是做了如下修正，：第一， 投資者投資于歐式期權(quán)的組合而不僅僅是單個期權(quán)；第二， 整個投資組合的調(diào)整存在交易成本，交易成本結(jié)構(gòu)假設(shè)如下：買賣資產(chǎn)時的交易成本正比于所交易的資產(chǎn)價格，這樣如果買賣股（買入時0，賣出時0）價格為的股票，交易成本為，其中是取決于投資者個人具體成本情況的常數(shù)；第三， 投資者的組合調(diào)整策略事先確定：按照規(guī)定的時間長度進行調(diào)整，即每隔時間進行一次再平衡，這里的不再是無窮小的，不再求趨于0的極限，而是一個固定的很短的時間段；第四， 股票價格的隨機過程以離散的形式給出：，其中是一個服從標準正態(tài)分布的隨機變量；第五， 保值組合的預(yù)期收益率等于無風(fēng)險銀行存款利率。（三） 推導(dǎo)過程1.構(gòu)造與BS分析類似的無風(fēng)險組合無風(fēng)險組合包括一單位價值為的衍生證券組合多頭和 為了與業(yè)界習(xí)慣和本書其它章節(jié)統(tǒng)一，我們同時用表示無風(fēng)險組合中標的資產(chǎn)的數(shù)量以及變量的變化，如，請讀者注意區(qū)分。單位的標的資產(chǎn)空頭（價值為-）。這里，為了消除組合中的不確定性，仍然要求。令代表整個投資組合的價值，則。 2.計算一個時間長度之后的預(yù)期組合價值變化 由于需要考慮交易成本，整個組合價值的變化會相應(yīng)減少： （7.1） 其中由Ito引理求得。我們可以看到，實際上這就是第六章中的離散形式再減去一個交易成本項。由無風(fēng)險套利假設(shè)，有 （7.2）3.求交易成本的預(yù)期值要求交易成本項，關(guān)鍵在于獲得值，即為了保值需要買賣的資產(chǎn)數(shù)量。顯然：即為經(jīng)過時間后持有的標的資產(chǎn)數(shù)量與期初持有數(shù)量之差。應(yīng)用Ito引理，的主要部分是 （7.3）4.得到期權(quán)定價方程將（7.1）和（7.3）代入（7.2）中計算得到（我們簡稱為H-W-W方程）：（7.4）其中是的期望值 推導(dǎo)過程如下：。（四） 對H-W-W方程的理解我們將H-W-W方程與BS微分方程進行比較，可以發(fā)現(xiàn)，在考慮交易成本問題之后，我們得到了一個類似的偏微分方程，唯一的區(qū)別在于項。這一項具有十分重要的意義。1. 項在實際中具有深刻的金融含義首先，讓我們來考察項。我們知道，通過選定適合的，我們消去了資產(chǎn)價格變動導(dǎo)致的不確定性，但是因為期權(quán)組合價格對資產(chǎn)價格的函數(shù)是一條曲線而非直線，這個僅僅對很短的時間間隔成立，隨著資產(chǎn)價格的變化，如果繼續(xù)維持原先的保值比率，就不再是無風(fēng)險組合，這時如果不進行調(diào)整，就會出現(xiàn)“保值誤差”。而公式中的，又稱為，其含義是期權(quán)價格對標的資產(chǎn)價格的二階偏導(dǎo)，就是對保值誤差程度的衡量。由于存在保值誤差，就需要調(diào)整資產(chǎn)頭寸，因此很自然地它必然和預(yù)期的調(diào)整交易成本相聯(lián)系。其次，實際上可以分解為絕對值和資產(chǎn)價格的乘積，該項中的其他部分都是已知的，可以看作一個與具體交易成本相關(guān)的常數(shù)。因此，這整項確實體現(xiàn)了組合調(diào)整成本的影響，是BS公式中沒有的。值得注意的是，其中的是依賴于投資者個人特殊情形的常數(shù)，因此相應(yīng)的期權(quán)價格顯然將會隨著投資者情況的不同而不同。2. 的存在使得H-W-W方程大部分時候是一個非線性方程H-W-W方程的一個重要特點在于它同時適用于單個期權(quán)和期權(quán)組合，這是它優(yōu)于Leland模型的主要原因之一。在不考慮交易成本的時候，期權(quán)組合的價值是單個期權(quán)價值的線性加總；但是當存在交易費用時，這個線性關(guān)系就不再成立。這是因為組合中可能存在內(nèi)部互相保值的現(xiàn)象而無需進行保值操作，這樣，計算期權(quán)組合時需要考慮的交易成本會相應(yīng)減少，從而使得考慮了交易費用之后的單個期權(quán)價值之和并不等于整個組合的價值。因此，H-W-W方程是一個非線性的偏微分方程。在這里也可以體現(xiàn)交易成本的規(guī)模效應(yīng)性質(zhì)：組合規(guī)模越大，相互保值的可能性越大，從而大大減少交易費用。H-W-W方程的非線性來源于的絕對值符號。由于是期權(quán)價格曲線的二次偏導(dǎo)，這意味著對于期權(quán)的多方來說（無論是看漲還是看跌期權(quán)），始終存在；相反，期權(quán)的空方。因此只有在整個組合中所有S的都是同一符號即同為多頭（或同為空頭）的情況下，這個方程才是線性的，否則就會出現(xiàn)內(nèi)部自我保值的現(xiàn)象而導(dǎo)致非線性。3. 期權(quán)多頭和空頭價值的不一致性從以上分析可見，對于期權(quán)合約的多頭和空頭而言，如果考慮交易費用，期權(quán)的價值會因符號不同而不同。這和我們用直觀分析得到的結(jié)論一致：考察交易成本的情況下，即使是同一個投資者，在套期保值過程中，持有同一個合約的多頭頭寸和空頭頭寸，價值也不同。關(guān)于這一點，我們會在后面進一步講解。4. 考慮單個普通期權(quán)的情形由于單個普通期權(quán)的符號確定，所以我們可以去掉絕對值符號，得到更精確的結(jié)論。對式（7.4）進行整理，我們發(fā)現(xiàn)，對于單個期權(quán)多頭，由于，H-W-W方程實際上是一個以（7.5）為波動率的BS公式；相反，由于單個期權(quán)的空頭，H-W-W方程則化為一個以（7.6）為波動率的BS公式。也就是說，考慮了交易成本之后的單個期權(quán)的定價，在BS公式中使用一個修正后的波動率即可求得。這實際上是Leland模型的基本結(jié)論。但是Leland模型只適用于單個簡單期權(quán)或是所有的符號都相同的情形，因此H-W-W模型可以說是它的推廣。式（7.5）和（7.6）顯示，當處于多頭情形時，考慮交易費用后的波動率要明顯小于實際波動程度。這是因為當資產(chǎn)價格上漲時，需要賣出部分資產(chǎn)實現(xiàn)保值，賣出資產(chǎn)的交易成本降低了因價格上升而帶來的收益，可以理解為波動水平在一定程度上被降低了?？疹^時情況正好相反。因此，我們進一步看到，對于同一個投資者而言，同一份期權(quán)合約上的多頭頭寸價值要低于空頭頭寸的價值。這種在BS公式中使用修正后波動率的辦法也可以推廣到期權(quán)組合，條件是期權(quán)組合中的值必須無論何時何地都總是保持同一個符號。（五）交易成本和保值頻率選擇對于單個期權(quán)而言，我們可以通過，即用原來波動率和修正后波動率得到的期權(quán)價值之差算出交易成本。對于很小的展開上式得：代入歐式期權(quán)的表達式可得預(yù)期的交易費用為其中定義同BS公式。進一步定義（7.7）當遠大于1時，說明交易成本過高，太小，調(diào)整過于頻繁；如果很小，說明成本對期權(quán)價值影響很小，選擇的時間間隔太長，因此要降低，增加組合保值調(diào)整次數(shù)，以降低風(fēng)險。三、 交易成本的其他模型H-W-W模型是比較完善的交易成本模型，但是其中也存在一些問題，經(jīng)濟學(xué)家和實際工作者對此做了進一步的修正。主要問題包括：1. 期權(quán)組合中的值不是同一個符號的情形。由于H-W-W模型是非線性的，一般情況下，都使用數(shù)值方法為其定價。關(guān)于數(shù)值方法的使用，我們將在第八章作深入的闡述。2. 交易成本不是前述的簡單結(jié)構(gòu)，而是資產(chǎn)價格和調(diào)整數(shù)量的函數(shù)的情況。更具體的說，一個最常見的假設(shè)就是（7.8）即交易成本包括一個固定成本，一個與交易規(guī)模成比例的成本和一個與交易總價值成比例的成本。這時相應(yīng)的微分方程擴展為（7.9）注意式（7.9）是非線性的。3. H-W-W模型的整個組合調(diào)整策略是固定的，即按照規(guī)定的時間長度進行調(diào)整，而不考慮這樣調(diào)整是否最優(yōu)。而在現(xiàn)實生活中，投資者采取的策略一般都是對價格變動進行持續(xù)的監(jiān)測，并給定一個風(fēng)險限度，當頭寸變動超過風(fēng)險限度時才進行保值調(diào)整。Whalley & Wilmott（1993） A. E. Whalley and P. Wilmott, “Option Pricing with Transaction Costs,” MFG Working Paper,Oxford, 1993.和Henrotte(1993) P. Henrott, “Transaction Costs and Duplication Strategies,” Working Paper, Standford University, 1993.都對這一情形進行了研究。他們發(fā)現(xiàn)，由于沒有進行完美保值，在時間段中投資組合的方差為，這里的是投資者實際持有的標的資產(chǎn)空頭數(shù)量。投資者總是設(shè)定一個參數(shù)，投資組合的風(fēng)險要保持在此限度之內(nèi)，即（7.10）當和的變動超過式（7.10）給定的寬度時，就需要進行組合的調(diào)整和再平衡。Whalley & Wilmott發(fā)現(xiàn)，一個考慮了和形如（7.8）的交易成本結(jié)構(gòu)的微分方程為這同樣是一個依賴于值的微分方程，是對BS微分方程的非線性修正。第三節(jié) 波動率微笑和波動率期限結(jié)構(gòu)BS公式的另一個重要假設(shè)是：標的資產(chǎn)的波動率是常數(shù)。在現(xiàn)實世界中，這個假設(shè)顯然是無法成立的。盡管我們無法直接在市場中觀測到資產(chǎn)波動率的大小，然而任何處于市場中的投資者都可以明顯感覺到這一點，對資產(chǎn)價格時間序列數(shù)據(jù)的統(tǒng)計檢驗更進一步證實了資產(chǎn)價格波動率并非常數(shù)。換一個角度來看，假如波動率是常數(shù)，那么對于標的資產(chǎn)相同的一類期權(quán)，無論其執(zhí)行價格或到期時間有多大的差異，從它們的期權(quán)價格中推導(dǎo)出來的隱含波動率都應(yīng)該是大致相同的，否則就意味著期權(quán)市場存在著套利機會。更具體地說，隱含波動率高的期權(quán)價值相對被高估，可以做空；隱含波動率低的期權(quán)相對被低估，可以做多，從而獲得無風(fēng)險收益。從理論上說，這種套利行為的大量存在會使得不同期權(quán)品種所對應(yīng)的隱含波動率差異消失。但是，人們卻發(fā)現(xiàn)這種差異始終存在，顯然，不同的執(zhí)行價格和不同的到期時間對應(yīng)不同的隱含波動率，這一現(xiàn)象似乎是客觀存在的，而非市場偶然性錯誤定價的結(jié)果。也就是說，波動率并非常數(shù)，因而BS公式得到的期權(quán)價格并不完全符合現(xiàn)實。更具體地說，人們通過研究發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用期權(quán)的市場價格和BS公式推算出來的隱含波動率具有以下兩個方向的變動規(guī)律：1. 隱含波動率會隨著期權(quán)執(zhí)行價格不同而不同，這個規(guī)律被稱為“波動率微笑”（Volatility Smiles）；2. 隱含波動率會隨期權(quán)到期時間不同而變化，這叫做波動率期限結(jié)構(gòu)（Volatility Term Structure）。通過把波動率微笑和波動率期限結(jié)構(gòu)放在一起，實際從業(yè)人員構(gòu)造出一個波動率矩陣（Volatility Matrices），它是我們考察和應(yīng)用波動率變動規(guī)律的基本工具之一。一、波動率微笑對具有相同標的資產(chǎn)和到期日，但執(zhí)行價格不同的期權(quán)價格隱含波動率進行比較，我們就可以繪出一個隱含波動率對執(zhí)行價格的變化曲線。一般來說，這條曲線常常呈現(xiàn)形如圖7.1的形狀，象是一個微笑的表情，波動率微笑因此而得名。顯然，波動率微笑很直觀地告訴我們，執(zhí)行價格不同，也就是說，當期權(quán)分別處于平價、實值和虛值狀態(tài)時，即使其他條件全都相同，標的資產(chǎn)的隱含波動率也并不相同。為了解釋這一廣泛存在的現(xiàn)象，人們提出了一些理論，由于波動率微笑的具體形狀會隨著標的資產(chǎn)的不同而不同，而這些形狀往往可以在標的資產(chǎn)價格的概率分布中得到解釋，因此最具說服力的是“分布理論”。該理論認為， BS定價模型假設(shè)標的資產(chǎn)價格服從對數(shù)正態(tài)分布，但市場并不這樣認為，市場分布和BS 分布之間的差異導(dǎo)致了波動率微笑的出現(xiàn)。一般說來，波動率微笑有以下兩種常見模式：1.貨幣期權(quán)的波動率微笑對于貨幣期權(quán)而言，隱含波動率常常呈現(xiàn)如7.1所示的近似U形。也就是說，平價期權(quán)的波動率最低，而實值和虛值期權(quán)的波動率會隨著實值或虛值程度的增大而增大，兩邊比較對稱。這一波動率微笑對應(yīng)著如圖7.2中實線所描繪的概率分布，為了與虛線表示的BS對數(shù)正態(tài)分布相區(qū)別，我們把它叫做隱含分布。注意，這兩個分布具有同樣的均值和標準差，但是隱含分布比BS分布尖峰胖尾。我們可以從如下分析中看到這兩個圖是相互一致的。先考慮一個深度虛值的貨幣看漲期權(quán)，執(zhí)行價格很高，為，當且僅當匯率上升到高于時，這個期權(quán)才會被執(zhí)行，圖7.2顯示隱含分布中價格大于的概率顯然大于BS分布的概率。因此，隱含概率分布意味著更高的期權(quán)價格，從而得到更高的隱含波動率。這顯然符合圖7.1中較高的執(zhí)行價格對應(yīng)較高的波動率的現(xiàn)象。然后再考慮一個深度虛值的貨幣看跌期權(quán)，價格是較低的，只有當標的資產(chǎn)價格下降到低于時，這個期權(quán)才會被執(zhí)行。圖7.2同樣顯示，低于的概率大于正態(tài)分布的情形。因此，我們可以預(yù)期隱含分布會得到一個更高的價格從而得到更高的隱含波動率。由于PCP公式的得到與資產(chǎn)價格概率分布無關(guān)，假設(shè)和分別代表期權(quán)的市場價值而和分別代表從BS公式得到的理論期權(quán)價值，那么，我們可以同時得到： 兩式相減得到可見，具有相同的標的資產(chǎn)和到期日的歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)，它們的理論價格和市場價格之間的差異是等同的，這意味著它們所適用的隱含波動率將是一樣的。所以以上兩種情形同樣適用于以為執(zhí)行價格的深度實值貨幣看跌期權(quán)和以為執(zhí)行價格的深度實值貨幣看漲期權(quán)。 圖7.1 貨幣期權(quán)的波動率微笑 圖7.2 貨幣期權(quán)的對數(shù)正態(tài)分布和隱含分布研究發(fā)現(xiàn)，貨幣期權(quán)的波動率微笑符合我們對匯率數(shù)據(jù)的實證結(jié)果。實證數(shù)據(jù)同樣表明，匯率的極端變化要比對數(shù)正態(tài)分布所描繪的更經(jīng)常出現(xiàn)。這是因為一種資產(chǎn)的價格為對數(shù)正態(tài)分布需要兩個條件：第一，資產(chǎn)波動率為常數(shù)；第二，資產(chǎn)價格變動連續(xù)平滑，沒有跳躍。但是在現(xiàn)實中，匯率價格的變化并不滿足這兩個條件。匯率的波動率不是常數(shù)，而且匯率常常出現(xiàn)跳躍。這兩個原因?qū)е铝藰O端情況變得更有可能出現(xiàn)。實際上許多金融資產(chǎn)價格都具有以上兩個特征，從而使得它們對應(yīng)的隱含波動率也常常呈現(xiàn)“波動率微笑”，只是它們往往同時也受到其他因素的影響，使波動率的形狀發(fā)生了相應(yīng)的變化，如我們將在下面介紹的波動率偏斜。需要注意的是，價格的跳躍和波動率的隨機性對波動率微笑的影響還會因時間而改變。離到期時間越遠，跳躍和隨機波動率對波動率微笑的影響都會降低，因為時間越長，跳躍和隨機波動所造成的效果越可能被“平均化”，從而在價格的分布中幾乎看不到，因此到期日越遠，波動率微笑越不明顯，隱含波動率越接近常數(shù)。2.股票期權(quán) 股票指數(shù)期權(quán)也具有類似特征。的波動率偏斜股票期權(quán)的波動率微笑則呈現(xiàn)另一種不同的形狀，如圖7.3所示。有時被叫做“波動率偏斜”（Volatility Skew），看起來象一個偏斜了的微笑。當執(zhí)行價格上升的時候，波動率下降，而一個較低的執(zhí)行價格所隱含的波動率則大大高于執(zhí)行價格較高的期權(quán)。也就是說，這時，波動率曲線的形狀不再象貨幣期權(quán)那么對稱，而是向右下方偏斜的。股票期權(quán)的波動率微笑對應(yīng)著圖7.4給出的隱含分布。與虛線的對數(shù)正態(tài)分布相比，隱含分布左尾更大，這意味著一個執(zhí)行價格為的深度虛值看跌期權(quán)（或深度實值看漲期權(quán)）價格會偏高，從而有較高的波動率；同時隱含分布的右尾更小，這意味著一個執(zhí)行價格為的深度虛值看漲期權(quán)（或深度實值看跌期權(quán)）價格會偏低，從而波動率較低。這顯然符合7.3的波動率微笑曲線。圖7.3 股票期權(quán)的波動率微笑（偏斜） 圖7.4 股票期權(quán)的對數(shù)正態(tài)分布和隱含分布股票期權(quán)之所以會有偏斜的波動率微笑，一個可能的解釋與股市的“崩盤”有關(guān)。偶爾發(fā)生的崩盤事件深刻影響了投資者的心理，投資者很擔(dān)心一個類似于1987年10月的暴跌再次發(fā)生，因此市場對價格變化的概率估計是不對稱的，即價格顯著下跌的可能性遠遠大于顯著上升的可能性，這導(dǎo)致了隱含波動率的偏斜。二、波動率期限結(jié)構(gòu)除了波動率微笑，期權(quán)交易者還常常使用波動率期限結(jié)構(gòu)。這是指其他條件不變時，平價期權(quán)所對應(yīng)的隱含波動率隨到期日不同所表現(xiàn)出來的變化規(guī)律。一般來說，不同的標的資產(chǎn)所表現(xiàn)出來的期限結(jié)構(gòu)具體形狀會有所不同，但它們大都具有以下兩個特點：1.從長期來看，波動率大多表現(xiàn)出均值回歸（Mean-reverting）。即到期日接近時，隱含波動率的變化較劇烈，隨著到期時間的延長，隱含波動率將逐漸向歷史波動率的平均值靠近，呈現(xiàn)均值回歸現(xiàn)象。2波動率微笑的形狀也受到期權(quán)到期時間的影響。大多時候，期權(quán)到期日越近，波動率“微笑”就越顯著，到期日越長，不同價格的隱含波動率差異越小，接近于常數(shù)。因此，為了消除時間因素對波動率微笑的影響，一些交易者把波動率微笑定義為。其中為剩余到期時間，為資產(chǎn)相應(yīng)的遠期價格。由于，應(yīng)用這個公式意味著用來表示執(zhí)行價格與資產(chǎn)價格之間的關(guān)系，即期權(quán)的平價、實值或虛值狀態(tài)，再除以一個，從而使得資產(chǎn)的隱含波動率對時間的依賴程度大大降低，更好地反映執(zhí)行價格對波動率的影響。三、波動率矩陣把波動率微笑和波動率期限結(jié)構(gòu)結(jié)合在一張表里，可以得到任何執(zhí)行價格和任何到期時間的期權(quán)所對應(yīng)的隱含波動率，就形成了波動率矩陣。如表7.1所示波動率矩陣的一個方向是執(zhí)行價格，另一個方向是距離到期的時間，矩陣中的內(nèi)容是從BS公式中計算得到的隱含波動率。在任意給定的時刻，該矩陣中的某些期權(quán)在市場中有交易，從而這些期權(quán)的波動率可以直接從它們的市場價格中計算出來，其余的點則可以用線性插值法確定。當必須為某個新的期權(quán)定價時，交易人員就從矩陣中尋找適當?shù)牟▌勇省＠?，當為一個執(zhí)行價格為1.05的9個月期權(quán)定價時，交易人員將在13.4和14.0之間進行線性插值，得到適合的波動率為13.7，這個波動率將在BS公式或二叉樹定價方法（我們將在第九章討論這一方法）中使用。剩余有效期執(zhí)行價格0.900.951.001.051.10一個月14.213.012.013.114.5三個月14.013.012.013.114.2六個月14.113.312.513.414.3一年14.714.013.514.014.8兩年15.014.414.014.515.1五年14.814.614.414.715.0表7.1 波動率矩陣四、波動率微笑和波動率期限結(jié)構(gòu)的意義和應(yīng)用波動率微笑和波動率期限結(jié)構(gòu)的存在，證明了BS公式關(guān)于波動率為常數(shù)的基本假設(shè)是不成立的，至少期權(quán)市場不是這樣預(yù)期的。因此放松波動率為常數(shù)的假設(shè)，成為期權(quán)理論發(fā)展的一個重要方向。目前主要有兩種不同的策略：1.從期權(quán)市場出發(fā)的改良策略，即仍然以BS模型為基礎(chǔ)，但同時假定期權(quán)市場已經(jīng)認識到真實的波動率函數(shù)，考慮不同期權(quán)市場和期權(quán)品種所對應(yīng)的波動率矩陣，運用隱含波動率信息對BS公式作相應(yīng)的調(diào)整應(yīng)用。我們前面所介紹的從波動率矩陣中獲取適合的波動率就是屬于這一策略。應(yīng)用這一策略時要非常小心，因為期權(quán)市場的隱含波動率具有一定的局限性：（1）這一隱含波動率可能是市場供求的影響結(jié)果而不完全是市場對波動率的預(yù)期，而我們難以對供求關(guān)系推動的和市場預(yù)期推動的波動率加以區(qū)分；（2）我們無法保證市場中的所有參與者都采用同一個定價模型。如果市場使用的模型差異很大，波動率矩陣也將不同，說明市場對波動率的認識是不同的。這時我們使用BS公式倒推出來的隱含波動率就可能具有誤導(dǎo)性。（3）波動率矩陣實際上反映的是期權(quán)市場對于未來波動率的瞬時預(yù)期，和我們目前觀察到的實際波動率可能很不一樣，而且這一預(yù)期不一定會實現(xiàn)，甚至幾天之內(nèi)就會發(fā)生變化。因此，在改良策略中我們使用BS模型具有一定的限制條件。市場交易者主要利用它來幫助我們了解與BS模型相對應(yīng)的隱含波動率的瞬時情形，并且為流動性差的期權(quán)（比如我們后面將介紹的奇異期權(quán)）定出與交易活躍的常規(guī)期權(quán)一致的市場價格。這時我們必須在買賣奇異期權(quán)的同時用這些交易活躍的期權(quán)進行相應(yīng)的套期保值，才能降低模型錯誤的風(fēng)險。2. 創(chuàng)新策略。對于那些對波動率變動很敏感的期權(quán)，僅僅使用改良策略可能具有較大的風(fēng)險，這時一些交易者傾向于采用新的模型來為期權(quán)定價。這些創(chuàng)新策略的主要思路是：改變BS模型波動率為常數(shù)的基本假設(shè)，一般是從標的資產(chǎn)市場數(shù)據(jù)出發(fā)，建立波動率的模型，使之反映真實情形，在此基礎(chǔ)上計算期權(quán)的價值。這就是我們在下一節(jié)將闡述的內(nèi)容。后面我們將會看到，這些模型的結(jié)果往往都會和波動率微笑和期限結(jié)構(gòu)相呼應(yīng)，這進一步向我們證實了研究隱含波動率矩陣的重要性。第四節(jié) 隨機波動率一、隨機波動率模型在現(xiàn)實世界中，波動率顯然并非常數(shù)，而且無法直接在市場上觀測到，人們甚至發(fā)現(xiàn)波動率是無法預(yù)測的。在很多情況下，象股價這樣的因素并不能完全解釋波動率的變化。因此，有必要考慮更一般的方法，即將作為隨機變量，建立隨機波動率模型。到目前為止，為隨機波動率建模的文獻已經(jīng)相當多，其一般模型為：其中和的相關(guān)系數(shù)為。這時對函數(shù)和的選擇很重要，它不僅關(guān)系到波動率的確定，也對期權(quán)定價有重要影響。在為期權(quán)定價過程中，隨機波動率也同樣可以采用BS方程所使用的無套利定價過程，只是這時候，在期權(quán)組合中，由于期權(quán)的價格函數(shù)由變?yōu)?，這時不僅需要份的標的資產(chǎn)以消除帶來的不確定性，還需要加入份的另一種期權(quán)以消除帶來的不確定性，即，在此基礎(chǔ)上再進行相應(yīng)的分析，為期權(quán)定價。當然這時的模型往往非常復(fù)雜，常常無法得到解析解。因此，盡管這些復(fù)雜的模型更接近現(xiàn)實，但BS公式仍然使用廣泛，尤其在它的一些假設(shè)影響不是很大的時候。下面我們介紹其中一些較為有名的波動率模型。Hull和White考慮了一般的和特殊的隨機波動率模型，其中一個股票風(fēng)險中性的隨機波動率模型為其中、和是常數(shù)，和都是維納過程，則是股票的方差率，即波動率的平方。顯然方差率本身是一個隨機過程，并以的速度回歸到水平。Hull和White把這個模型得到的期權(quán)價格同使用BS公式得到的價格進行了比較，其中BS公式中使用的方差率是期權(quán)存續(xù)期間預(yù)期的平均方差率。他們發(fā)現(xiàn)：隨機波動率確實會引起定價的偏差，而波動率和資產(chǎn)價格之間的相關(guān)性在其中相當重要。1. 當波動率是隨機的，且與股票價格不相關(guān)時，也就是和不相關(guān)時，情形比較簡單，歐式期權(quán)的價格是BS價格在期權(quán)有效期內(nèi)平均方差率分布上的積分值，即歐式看漲期權(quán)的價格為 具體內(nèi)容參見J. C. Hull and A. White, “The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities,” Journal of Finance, 42 (June 1987), 281-300.這里的是方差率在期權(quán)有效期內(nèi)的平均值；是應(yīng)用和BS公式計算出的期權(quán)價格，為的函數(shù)；則是在風(fēng)險中性世界中的概率密度函數(shù)。Hull和White發(fā)現(xiàn)BS公式傾向于高估平價或接近平價的期權(quán)價格，低估深度實值和深度虛值期權(quán)，這和上一節(jié)中波動率微笑模式一致（見圖7.1）。2. 在股票價格和波動率相關(guān)的情況下，這個隨機波動率模型沒有解析解，只能使用數(shù)值方法得到期權(quán)價格。當波動率和股票價格負相關(guān)時，得到的結(jié)果類似于股票期權(quán)的波動率偏斜模式（見圖7.3）；當它們之間是正相關(guān)時，結(jié)果正好相反，BS模型傾向于低估虛值看漲期權(quán)而高估虛值看跌期權(quán)。3. 波動率隨機性質(zhì)的影響，也會因到期時間的不同而不同。我們在上一節(jié)曾經(jīng)提到，有效期越長，隨機波動率對波動率微笑的影響越不顯著，因為隨機變化會在長期中平均化。但是隨機波動率對定價偏差絕對值的影響則正好相反，時間越短，隨機波動率引起的定價偏差絕對值越?。ǖ菍τ谏疃忍撝灯跈?quán)而言，這個偏差用百分比衡量時可能是很大的）。二、GARCH模型另一個廣泛使用的波動率模型是廣義自回歸條件異方差模型（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, GARCH）。1. GARCH(1,1)模型簡介GARCH模型又可以分為多種，其中最常見的是GARCH(1,1)模型：（7.11）其中、和都為常數(shù)，且，為恒定的長期平均股票方差率。，即n時刻收益率對收益率均值的離差，可以看作是關(guān)于方差率的最新信息。從式（7.11）可以看出，該模型意味著在n時刻的方差率是三個因素的加權(quán)平均：恒定的長期平均方差率、前一時期的方差率和關(guān)于方差率的最新信息。由于只建立在最新一期和估計值的基礎(chǔ)上，因而被稱為GARCH(1,1)。更一般的GARCH(p,q)模型則從最近p期的和最近q期的信息中估計方差率。采用的形式，用最大似然估計法估計三個參數(shù)、和，可以進一步得到和的值，并可計算出特定時刻波動率的大小。例7.1 假設(shè)我們從每日交易數(shù)據(jù)中估計出GARCH（1,1）模型為：這說明，。根據(jù)，我們可以算出；進一步由于，。也就是說模型中得到的長期平均日方差率為0.0002，那么每日波動率就為1.4%。如果已經(jīng)估計出第n-1天的為0.016，為0.01，則因此，第n天波動率的估計值就為每天即1.53。2.不同時期的權(quán)重分布對式（7.11）的右邊重復(fù)的迭代過程，可以得到 （7.11）這說明在任意給定的時刻，方差率又可以看作是一個常數(shù)加上所有過去的的加權(quán)和。時刻的分配的權(quán)重為，即隨著時間往前推移，分配的權(quán)重是以速率指數(shù)下降的，越早的數(shù)據(jù)權(quán)重越小。這里的被稱為衰減率（Decay Rate）。比如，如果，那么的重要性就只有的90，而的重要性更進一步下降到的81。時間距離當前越近的數(shù)據(jù)，權(quán)重越大，這是符合實際的。3.應(yīng)用GARCH(1,1)模型預(yù)測未來的波動率通過適當?shù)淖儞Q，我們可以將式（7.12）寫作由于，可得未來波動率的預(yù)期值為由于我們設(shè)定，隨著的增加，以上式子中的最后一項會越來越小，這意味著方差率會呈現(xiàn)出向的均值回歸，這和我們前面所討論的隨機波動率模型具有相似的特點，也正是我們在波動率期限結(jié)構(gòu)中曾經(jīng)討論過的性質(zhì)。如果，說明長期平均方差率不起作用，未來預(yù)期波動率等于目前的波動率水平；如果，的權(quán)重為負，波動率是均值偏離的而非均值回歸的，無法進行最大似然估計，這時需要轉(zhuǎn)向其他的模型來解釋和估計波動率。第五節(jié) 不確定的參數(shù)考慮了紅利收益率的BS方程可以寫作。在這個拋物形偏微分方程中，包括了兩個變量和，三個參數(shù)，和。BS方程假定這些都是已知的，但現(xiàn)實世界并沒有那么完美。即使是看起來很簡單的和，也需要考慮諸如買賣價差、非交易日等的影響，更不用說每個期權(quán)合約各自還有其特有的參數(shù)如執(zhí)行價格X，邊界水平等條件。在這些變量和參數(shù)里面，和的不確定性是最強的，因此，現(xiàn)實生活當中存在著這樣的問題：當參數(shù)價值是不確定的時候，如何為期權(quán)定價？我們可以使用的一個方法是為這些參數(shù)再確定一個模型，將其與標的資產(chǎn)價格結(jié)合起來使用，比如我們之前介紹的關(guān)于隨機波動率的模型。但這種辦法也有其缺陷：一旦我們引入新的模型，我們還需要再考慮新模型的正確性，以及更多參數(shù)的不確定性。因為實際上只有期權(quán)到期的時候，我們才能真正知道這些參數(shù)的正確值和遵循的路徑，再復(fù)雜精密的預(yù)測模型也有錯誤的風(fēng)險。因此，Avellaneda, Levy, Paras和Lyons等人 參見M. Avellaneda, A. Levy and A. Paras, “Pricing and Hedging Derivative Securities in Markets with Uncertain Volatilities,” Applied Mathematical Finance, 2 (1995), 73-88; M. Avellaneda and A. Paras, “Managing the Volatility Risk of Derivative Securities: the Lagrangian Volatility Model,” Applied Mathematical Finance, 3 (1995), 21-53; T. J. Lyons, “Uncertain Volatility and the Risk-free Synthesis of Derivatives,” Applied Mathematical Finance, 2 (1995), 117-133.提出了另一種解決方法：我們不再假設(shè)已經(jīng)知道參數(shù)的精確值，而是假設(shè)我們知道這些參數(shù)位于某個特定的區(qū)間之內(nèi)（我們選擇的區(qū)間代表了我們對期權(quán)或期權(quán)組合的參數(shù)價值在有效期間上下限范圍的預(yù)測），之后考慮最悲觀的情況下我們的期權(quán)至少值多少。用這樣的假設(shè)和思路，我們不會計算出期權(quán)的某一特定價值，而會發(fā)現(xiàn)期權(quán)的價值也將位于某個區(qū)間之內(nèi)。下面，我們將介紹針對不確定的，和為期權(quán)定價的具體方法。一、 不確定的波動率我們先假設(shè)波動率位于的范圍內(nèi)。然后我們?nèi)匀谎赜肂S模型的無套利組合方法，構(gòu)造一個價值為的期權(quán)多頭，并用份標的資產(chǎn)對其進行保值。這樣組合的價值為。我們?nèi)匀患僭O(shè)，即使未知，我們?nèi)匀豢梢缘玫浇M合的價值變化為。從這里開始，這個方法和傳統(tǒng)的BS模型有了微妙的區(qū)別。由于我們只知道的范圍，所以無法得到期權(quán)價值的特定值。但是我們可以計算出最糟糕的情況下的期權(quán)價值。其方法是在給定的波動率范圍內(nèi)取組合價值的最小值，并使之等于無風(fēng)險收益。這樣我們就可以計算出我們手中持有的期權(quán)至少值多少。這顯然是符合投資者的心理和實際情況的。用數(shù)學(xué)公式表示為： 。那么，在求最小值的時候要使用哪一個波動率呢？觀察上式中的波動率項，它和期權(quán)的相乘。因此，的取值要取決于的符號。當是正的時候，我們選擇下限，當為負的時候，我們選擇上限。這是因為期權(quán)多頭的都大于零，投資者當然會選擇最小的波動率得到最低的價值；而期權(quán)空頭的都小于零，投資者會選擇最大的波動率，使其賣空的價值最大，意味著損失最大?？傊跈?quán)價值下限滿足 （7.13）其中， 且 。我們也可以計算出期權(quán)價值上限， 其中，。但這次。因此我們可以計算出期權(quán)的可能價值區(qū)間，但是我們通常不會去使用價值上限，計算上限的價值在于：對于同一份合約來說，它的多頭和空頭價值區(qū)間在數(shù)值上是相等的，只是最好和最差情景要顛倒過來而已。因此我們只需要計算多頭最大價值，就可以得到空頭的價值下限。值得注意的是，在這個模型中，我們又一次遇到了H-W-W交易成本方程中出現(xiàn)的非線性問題。多頭和空頭的價值不同，并且都是由于的符號不同產(chǎn)生的。相應(yīng)地也就出現(xiàn)了單個期權(quán)和期權(quán)組合的區(qū)別。由于多頭和空頭之間可以互相抵消，因此如果期權(quán)組合中的的符號不同，期權(quán)組合的價值并不等同于單個期權(quán)的價值之和。只有對單個期權(quán)或是的符號始終一致的期權(quán)組合而言，這個方程才是線性的。二、不確定的利率不確定利率的處理思想非常類似。假設(shè)無風(fēng)險利率位于之間，我們的投資組合還是，同樣設(shè)定組合的收益率等于無風(fēng)險利率，可以得到。這時我們觀察到是和相乘，因此我們發(fā)現(xiàn)給出最低和最高期權(quán)價值的要取決于組合的符號。更具體的說，最差的情況下，如果我們的組合有一個正的價值，那么利率應(yīng)取最高值r+；如果有一個負的價值，利率應(yīng)取最低值r-。原因在于如果，意味著，即我們在期權(quán)上有一個正的投資（賣空標的資產(chǎn)的收入不足以支付期權(quán)多頭價格），利率越高越不利。這樣，我們選擇的利率將依賴于的符號。相應(yīng)的方程為其中，期權(quán)價值上限的方程也可以用上述方法很容易地推導(dǎo)出來。三、不確定的紅利收益率我們把紅利問題限制在它獨立于資產(chǎn)價格的情況下。我們主要介紹連續(xù)支付紅利的情況下，其推導(dǎo)過程很類似。假設(shè)股利率位于，那么對于最糟糕的情況，我們只要解出即可。其中， 顯然這是因為紅利問題與標的資產(chǎn)市場中需要進行的套期保值數(shù)額有關(guān)。四、模型的擴展和深入理解1. 可以把上述結(jié)果結(jié)合起來形成一個波動率、利率和紅利率都不確定的模型。2. 同樣的思想也可以被應(yīng)用到基于多個標的資產(chǎn)的投資工具上，這類投資工具價值依賴于標的資產(chǎn)之間的相關(guān)關(guān)系。相關(guān)關(guān)系是一個特別難以計算或預(yù)測的東西，此時不確定性扮演了一個重要的角色，可以應(yīng)用同樣的方法。3. 在這些不確定參數(shù)的模型中，一個主要的思路是：考慮最悲觀的情況，假設(shè)最糟糕的結(jié)果，并相應(yīng)地為合約定價。這么做，只要我們的參數(shù)區(qū)間不被突破，就可以保證永遠不會損失。4. 我們需要再次強調(diào)，在本節(jié)中得到的所有偏微分方程都是非線性的，需要對多頭和空頭進行區(qū)別。解析解只在特殊情況下存在，而這些情況都要求波動率、利率和股利所分別對應(yīng)的變量、和是統(tǒng)一符號的。這種情況下，模型就退化成簡單的BS公式，其參數(shù)對應(yīng)相應(yīng)的上下限價值。由于模型的非線性，因此期權(quán)組合的價值未必等于單個期權(quán)價值之和，并且由此得到一個很重要的結(jié)論：一份合約的價值取決于組合中的其他合約。5. 不確定參數(shù)模型的一個重要缺點在于：如果參數(shù)或者是相關(guān)關(guān)系區(qū)間過大，往往會導(dǎo)致預(yù)測的價格區(qū)間過寬。這時這個模型就沒有什么實際意義。但是我們前面所提到的模型非線性可以幫助我們縮小這個區(qū)間，我們可以在組合中加入相關(guān)的期權(quán)多頭或空頭，減少參數(shù)不確定性帶來的影響，從而縮小定價范圍。第六節(jié) 跳躍擴散過程實際生活中充分的證據(jù)表明，許多金融變量，無論是股票價格、匯率還是利率，都不服從對數(shù)正態(tài)隨機漫步過程，而這正是BS公式（也是幾乎所有金融學(xué)文獻）的重要假設(shè)。這一假設(shè)隱含認為資產(chǎn)價格變化的路徑是連續(xù)的，這種連續(xù)性允許我們構(gòu)造一個包含資產(chǎn)與期權(quán)的瞬時無風(fēng)險組合，從而為期權(quán)的定價提供了一個出發(fā)點。但在現(xiàn)實生活中，突然的跳躍（Jump）發(fā)生的次數(shù)比擁有一個合理波動率的對數(shù)正態(tài)分布所預(yù)測的要多得多，短期來看這種變化是不連續(xù)的，我們無法通過動態(tài)保值的方法規(guī)避這種跳躍帶來的風(fēng)險。因此，將跳躍引入到原先的擴散方程 BS方程可以轉(zhuǎn)換為工程學(xué)中的熱擴散方程形式，并進一步求解，因此常被稱為“擴散方程”。中，對衍生資產(chǎn)理論和實踐具有重要意義。在本節(jié)中我們主要討論由Merton提出的跳躍擴散模型（The Jump Diffusion Model）。所謂的跳躍擴散過程是普通的（路徑連續(xù)的）擴散過程和一個在隨機時刻發(fā)生跳躍的（跳躍幅度也是隨機的）跳躍過程的結(jié)合，顯然這種變化過程更能反映現(xiàn)實價格路徑，對應(yīng)的模型則可以認為是考慮資產(chǎn)價格有不連續(xù)的跳躍時對BS公式的推廣。一、 資產(chǎn)價格所遵循的跳躍擴散過程除了使用原先的連續(xù)布朗運動來反映連續(xù)擴散過程之外，我們還需要引入泊松過程來描述資產(chǎn)價格的跳躍：其中，部分是資產(chǎn)價格不發(fā)生跳躍時所服從的連續(xù)擴散過程，其變量定義如前，其中的和都是不發(fā)生跳躍時的波動率和收益率。方程的后半部分是對跳躍過程的描述。其中的為泊松過程，定義為。即在一個很小的時間間隔里的一個跳躍的概率為。叫做泊松過程的強度。模型中一般假設(shè)在布朗運動和泊松過程之間沒有相關(guān)關(guān)系。在隨機時刻，如果發(fā)生一個跳躍即時，那么立刻達到。比如若，那么資產(chǎn)價格會立刻下跌10。我們還可以進一步假設(shè)本身也是一個隨機變量，和布朗運動及泊松過程分別獨立。另外，各次跳躍對應(yīng)的幅度也是相互獨立的。運用Ito引理，我們可以得到價格對數(shù)遵循的跳躍擴散過程為二、跳躍擴散