試談布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式的擴(kuò)展.doc

第七章 布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式的擴(kuò)展在第六章中，我們?cè)谝幌盗屑俣l件下推導(dǎo)得到了著名的布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式，在現(xiàn)實(shí)生活中，這些假設(shè)條件往往是無法成立的，本章的主要目的，就是從多個(gè)方面逐一放松這些假設(shè)，對(duì)布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式進(jìn)行擴(kuò)展。但是我們也將看到，在有些時(shí)候，模型在精確度方面確實(shí)獲得了相當(dāng)?shù)母倪M(jìn)，但其所帶來的收益卻無法彌補(bǔ)為達(dá)到改進(jìn)而付出的成本，或是這些改進(jìn)本身也存在問題，這使得布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式仍然在現(xiàn)實(shí)中占據(jù)重要的地位。第一節(jié) 布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型的缺陷在實(shí)際經(jīng)濟(jì)生活中，布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型（為簡(jiǎn)便起見，我們后文都稱之為BS模型）應(yīng)用得非常廣泛，對(duì)金融市場(chǎng)具有很大的影響。其三個(gè)作者中的兩個(gè)更是曾經(jīng)因此獲得諾貝爾獎(jiǎng)。因此，無論是從商業(yè)上還是從學(xué)術(shù)上來說，這個(gè)模型都非常成功。但是理論模型和現(xiàn)實(shí)生活終究會(huì)有所差異，對(duì)于大多數(shù)理論模型來說，模型假設(shè)的非現(xiàn)實(shí)性往往成為模型主要缺陷之所在，BS公式也不例外。本章的主要內(nèi)容，就是從多方面逐一放松BS模型的假設(shè)，使之更符合實(shí)際情況，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)BS定價(jià)公式的修正和擴(kuò)展。BS模型最基本的假設(shè)包括：1. 沒有交易成本或稅收。2. 股票價(jià)格服從波動(dòng)率和無風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布。3. 所有證券都是高度可分的且可以自由買賣，可以連續(xù)進(jìn)行證券交易。4. 不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。在現(xiàn)實(shí)生活中，這些假設(shè)顯然都是無法成立的。本章的后面幾節(jié)，將分別討論這些假設(shè)放松之后的期權(quán)定價(jià)模型。1. 交易成本的假設(shè)：BS模型假定交易成本為零，可以連續(xù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)的套期保值，從而保證無風(fēng)險(xiǎn)組合的存在和期權(quán)定價(jià)的正確性。但事實(shí)上交易成本總是客觀存在的，這使得我們無法以我們所希望的頻率進(jìn)行套期保值；同時(shí)，理論上可行的價(jià)格，考慮了交易成本之后就無法實(shí)現(xiàn)預(yù)期的收益。我們將在第二節(jié)中介紹一些對(duì)這一假設(shè)進(jìn)行修正的模型。2. 波動(dòng)率為常數(shù)的假設(shè)：BS模型假定標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率是一個(gè)已知的常數(shù)或者是一個(gè)確定的已知函數(shù)。這一點(diǎn)在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的實(shí)證檢驗(yàn)中被否定，期權(quán)市場(chǎng)本身反映的隱含波動(dòng)率也提出了相反的證據(jù)。實(shí)際上波動(dòng)率本身就是一個(gè)隨機(jī)變量。為了解決這個(gè)問題，人們從兩個(gè)角度來對(duì)BS模型進(jìn)行修正：從期權(quán)價(jià)格的隱含波動(dòng)率中獲取波動(dòng)率的信息，來為期權(quán)定價(jià)；從標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)出發(fā)獲取波動(dòng)率變化過程的信息，對(duì)BS公式進(jìn)行修正和擴(kuò)展。我們將在第三節(jié)和第四節(jié)討論這個(gè)問題。3. 不確定的參數(shù)：BS模型假設(shè)波動(dòng)率、利率、股利等參數(shù)都是已知的常數(shù)（或是已知的確定函數(shù)）。但事實(shí)上它們都不是一個(gè)常數(shù)，甚至也不是一個(gè)時(shí)間和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的確定函數(shù)，波動(dòng)率甚至完全無法在市場(chǎng)觀察到，也無法預(yù)測(cè)。這時(shí)可以采取的方法之一是為這些參數(shù)的價(jià)值確定一個(gè)變動(dòng)區(qū)間，從而在最糟糕的情景下為期權(quán)定價(jià)。我們將在第五節(jié)介紹這一方法。4. 資產(chǎn)價(jià)格的連續(xù)變動(dòng)：BS模型假定標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格是連續(xù)變動(dòng)的，服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。然而在我們的市場(chǎng)中，不連續(xù)是常見的：資產(chǎn)價(jià)格常常跳躍，并且經(jīng)常是向下跳躍。這在對(duì)數(shù)正態(tài)分布的資產(chǎn)定價(jià)模型中并沒有體現(xiàn)出來：對(duì)于正態(tài)分布來說，這些突然變動(dòng)的幅度太大，發(fā)生太過頻繁；同時(shí)，由于跳躍來得太突然，這使我們無法單純依靠對(duì)數(shù)正態(tài)擴(kuò)散模型對(duì)它們進(jìn)行動(dòng)態(tài)保值。因此我們需要在模型中考慮跳躍的情形，同時(shí)我們也需要考察在極端變動(dòng)的情況下，可能導(dǎo)致的最差結(jié)果。我們將在第六節(jié)和第七節(jié)中對(duì)跳躍擴(kuò)散模型和崩盤模型進(jìn)行分析，討論這些問題。第二節(jié) 交易成本BS期權(quán)定價(jià)公式的一個(gè)重要假設(shè)就是沒有交易成本，在此基礎(chǔ)上，BS公式的分析過程要求對(duì)股票和期權(quán)組合進(jìn)行連續(xù)的調(diào)整再平衡，以實(shí)現(xiàn)無風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)策略。在實(shí)際生活中，這個(gè)假設(shè)顯然是難以成立的。即使交易成本很低，連續(xù)的交易也將導(dǎo)致很高的交易費(fèi)用；即使只進(jìn)行離散的保值調(diào)整，但只要進(jìn)行交易，投資者就必須承擔(dān)或多或少的交易成本。一般來說，交易成本在以下兩種情形下是尤其重要的：1. 在一個(gè)交易費(fèi)用很高的市場(chǎng)中進(jìn)行保值操作，比如股票市場(chǎng)和新興證券市場(chǎng)。2. 組合頭寸經(jīng)常需要進(jìn)行調(diào)整。其中包括處于平價(jià)狀態(tài)附近的期權(quán)和即將到期的期權(quán)，這樣的期權(quán)的套期比率對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)最為敏感，從而導(dǎo)致調(diào)整頻率較高。所以，交易成本在期權(quán)價(jià)格的確定當(dāng)中是不可忽略的部分。因此，人們對(duì)存在交易費(fèi)用的情形進(jìn)行了考察，并得到了基于BS公式的一些修正模型。值得注意的是，在美國(guó)，主要的證券市場(chǎng)都實(shí)行專家（Specialists）或做市商(Market-maker)制度，因此，這里的交易成本主要是指在標(biāo)的資產(chǎn)買賣過程中發(fā)生的買賣價(jià)差（Bid-offer Spread）。一、 交易成本的影響分析交易成本的存在，會(huì)影響我們進(jìn)行套期保值的次數(shù)和期權(quán)價(jià)格：交易成本一方面會(huì)使得調(diào)整次數(shù)受到限制，使基于連續(xù)組合調(diào)整的BS模型定價(jià)成為一種近似；另一方面，交易成本也直接影響到期權(quán)價(jià)格本身，使得合理的期權(quán)價(jià)格成為一個(gè)區(qū)間而不是單個(gè)數(shù)值，同時(shí)許多理論上值得進(jìn)行的策略，一旦考慮交易成本之后，就變得不可行。進(jìn)一步來看，交易成本的影響具有以下兩個(gè)性質(zhì)：1.規(guī)模效應(yīng)和交易成本差異化。不同的投資者需要承擔(dān)的交易成本是不一樣的，交易規(guī)模越大，成本的重要性程度越低。這就意味著與基本的BS定價(jià)公式相悖，現(xiàn)實(shí)世界中并不存在唯一的期權(quán)價(jià)值，而是有賴于投資者的具體情況，相同的合約對(duì)于不同的投資者具有不同的價(jià)值。2.即使是同一個(gè)投資者，在調(diào)整過程中，持有同一個(gè)合約的多頭頭寸和空頭頭寸，價(jià)值也不同。為什么呢？這是因?yàn)榻灰壮杀緦?duì)于保值者來說總是一種沉沒成本，無論是多頭還是空頭，對(duì)保值成本的估計(jì)都必須從期權(quán)價(jià)值中扣除。這樣一個(gè)投資者會(huì)認(rèn)為多頭的價(jià)值低于BS公式理論價(jià)值，而空頭價(jià)值則應(yīng)高于理論價(jià)值。因此，交易成本的存在，實(shí)際上意味著動(dòng)態(tài)保值不再產(chǎn)生期權(quán)價(jià)格的唯一均衡，而是會(huì)針對(duì)每一個(gè)投資者的不同頭寸都出現(xiàn)一個(gè)可行價(jià)格區(qū)間。在這個(gè)范圍內(nèi)波動(dòng)的期權(quán)價(jià)格都無法進(jìn)行套利，因?yàn)樘桌@得的無風(fēng)險(xiǎn)收益將被交易費(fèi)用所抵消。當(dāng)價(jià)格跌到這個(gè)區(qū)間的下限之外的時(shí)候，才存在利用期權(quán)多頭進(jìn)行套利的機(jī)會(huì)，當(dāng)價(jià)格漲到這個(gè)區(qū)間的上限之上的時(shí)候，才存在利用期權(quán)空頭進(jìn)行套利的機(jī)會(huì)。我們將在后面對(duì)交易成本模型的描述中進(jìn)一步闡述這些性質(zhì)。二、 Hoggard-Whalley-Wilmott交易成本模型交易成本模型最早是由Leland參見H. E. Leland, “Option pricing and replication with transaction costs,” Journal of Finance, 40 (1985), 1283-1301.在1985年提出的，他的主要結(jié)論是：可以用一個(gè)考慮了交易成本后的波動(dòng)率代入BS公式得到期權(quán)價(jià)格，這個(gè)模型采用的策略和基本結(jié)論為后來的交易成本研究奠定了重要的基礎(chǔ)，但是具有一定的局限性?；诖?，Hoggard，Whalley和Wilmott三個(gè)人于1992年提出了一個(gè)考慮交易成本的期權(quán)組合定價(jià)模型（簡(jiǎn)稱為H-W-W模型） 更詳細(xì)的推導(dǎo)和分析參見T. Hoggard, A. E. Whalley and P. Wilmott, “Hedging option portfolios in the presence of transaction costs,” Advances in Futures and Options Research, 7 (1994), 21-35.，這個(gè)模型也是衍生工具理論中最早的非線性模型之一。Leland的結(jié)論同樣可以在H-W-W模型中得到解釋。（一） 基本思路H-W-W模型仍然采用推導(dǎo)BS微分方程時(shí)的無套利均衡的分析思路，采用無收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)組合為代表來進(jìn)行分析，但是現(xiàn)在的整個(gè)組合價(jià)值修正為原來的價(jià)值減去交易成本，而這個(gè)交易成本的計(jì)算則根據(jù)事先確定的保值調(diào)整策略和交易成本結(jié)構(gòu)進(jìn)行，由此得到一個(gè)新的非線性偏微分方程，即考慮了交易成本之后的期權(quán)定價(jià)微分方程。（二） 基本假定H-W-W模型的主要假定基本與推導(dǎo)BS微分方程的假設(shè)相同，主要變量符號(hào)不變，只是做了如下修正，：第一， 投資者投資于歐式期權(quán)的組合而不僅僅是單個(gè)期權(quán)；第二， 整個(gè)投資組合的調(diào)整存在交易成本，交易成本結(jié)構(gòu)假設(shè)如下：買賣資產(chǎn)時(shí)的交易成本正比于所交易的資產(chǎn)價(jià)格，這樣如果買賣股（買入時(shí)0，賣出時(shí)0）價(jià)格為的股票，交易成本為，其中是取決于投資者個(gè)人具體成本情況的常數(shù)；第三， 投資者的組合調(diào)整策略事先確定：按照規(guī)定的時(shí)間長(zhǎng)度進(jìn)行調(diào)整，即每隔時(shí)間進(jìn)行一次再平衡，這里的不再是無窮小的，不再求趨于0的極限，而是一個(gè)固定的很短的時(shí)間段；第四， 股票價(jià)格的隨機(jī)過程以離散的形式給出：，其中是一個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量；第五， 保值組合的預(yù)期收益率等于無風(fēng)險(xiǎn)銀行存款利率。（三） 推導(dǎo)過程1.構(gòu)造與BS分析類似的無風(fēng)險(xiǎn)組合無風(fēng)險(xiǎn)組合包括一單位價(jià)值為的衍生證券組合多頭和 為了與業(yè)界習(xí)慣和本書其它章節(jié)統(tǒng)一，我們同時(shí)用表示無風(fēng)險(xiǎn)組合中標(biāo)的資產(chǎn)的數(shù)量以及變量的變化，如，請(qǐng)讀者注意區(qū)分。單位的標(biāo)的資產(chǎn)空頭（價(jià)值為-）。這里，為了消除組合中的不確定性，仍然要求。令代表整個(gè)投資組合的價(jià)值，則。 2.計(jì)算一個(gè)時(shí)間長(zhǎng)度之后的預(yù)期組合價(jià)值變化 由于需要考慮交易成本，整個(gè)組合價(jià)值的變化會(huì)相應(yīng)減少： （7.1） 其中由Ito引理求得。我們可以看到，實(shí)際上這就是第六章中的離散形式再減去一個(gè)交易成本項(xiàng)。由無風(fēng)險(xiǎn)套利假設(shè)，有 （7.2）3.求交易成本的預(yù)期值要求交易成本項(xiàng)，關(guān)鍵在于獲得值，即為了保值需要買賣的資產(chǎn)數(shù)量。顯然：即為經(jīng)過時(shí)間后持有的標(biāo)的資產(chǎn)數(shù)量與期初持有數(shù)量之差。應(yīng)用Ito引理，的主要部分是 （7.3）4.得到期權(quán)定價(jià)方程將（7.1）和（7.3）代入（7.2）中計(jì)算得到（我們簡(jiǎn)稱為H-W-W方程）：（7.4）其中是的期望值 推導(dǎo)過程如下：。（四） 對(duì)H-W-W方程的理解我們將H-W-W方程與BS微分方程進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)，在考慮交易成本問題之后，我們得到了一個(gè)類似的偏微分方程，唯一的區(qū)別在于項(xiàng)。這一項(xiàng)具有十分重要的意義。1. 項(xiàng)在實(shí)際中具有深刻的金融含義首先，讓我們來考察項(xiàng)。我們知道，通過選定適合的，我們消去了資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)導(dǎo)致的不確定性，但是因?yàn)槠跈?quán)組合價(jià)格對(duì)資產(chǎn)價(jià)格的函數(shù)是一條曲線而非直線，這個(gè)僅僅對(duì)很短的時(shí)間間隔成立，隨著資產(chǎn)價(jià)格的變化，如果繼續(xù)維持原先的保值比率，就不再是無風(fēng)險(xiǎn)組合，這時(shí)如果不進(jìn)行調(diào)整，就會(huì)出現(xiàn)“保值誤差”。而公式中的，又稱為，其含義是期權(quán)價(jià)格對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的二階偏導(dǎo)，就是對(duì)保值誤差程度的衡量。由于存在保值誤差，就需要調(diào)整資產(chǎn)頭寸，因此很自然地它必然和預(yù)期的調(diào)整交易成本相聯(lián)系。其次，實(shí)際上可以分解為絕對(duì)值和資產(chǎn)價(jià)格的乘積，該項(xiàng)中的其他部分都是已知的，可以看作一個(gè)與具體交易成本相關(guān)的常數(shù)。因此，這整項(xiàng)確實(shí)體現(xiàn)了組合調(diào)整成本的影響，是BS公式中沒有的。值得注意的是，其中的是依賴于投資者個(gè)人特殊情形的常數(shù)，因此相應(yīng)的期權(quán)價(jià)格顯然將會(huì)隨著投資者情況的不同而不同。2. 的存在使得H-W-W方程大部分時(shí)候是一個(gè)非線性方程H-W-W方程的一個(gè)重要特點(diǎn)在于它同時(shí)適用于單個(gè)期權(quán)和期權(quán)組合，這是它優(yōu)于Leland模型的主要原因之一。在不考慮交易成本的時(shí)候，期權(quán)組合的價(jià)值是單個(gè)期權(quán)價(jià)值的線性加總；但是當(dāng)存在交易費(fèi)用時(shí)，這個(gè)線性關(guān)系就不再成立。這是因?yàn)榻M合中可能存在內(nèi)部互相保值的現(xiàn)象而無需進(jìn)行保值操作，這樣，計(jì)算期權(quán)組合時(shí)需要考慮的交易成本會(huì)相應(yīng)減少，從而使得考慮了交易費(fèi)用之后的單個(gè)期權(quán)價(jià)值之和并不等于整個(gè)組合的價(jià)值。因此，H-W-W方程是一個(gè)非線性的偏微分方程。在這里也可以體現(xiàn)交易成本的規(guī)模效應(yīng)性質(zhì)：組合規(guī)模越大，相互保值的可能性越大，從而大大減少交易費(fèi)用。H-W-W方程的非線性來源于的絕對(duì)值符號(hào)。由于是期權(quán)價(jià)格曲線的二次偏導(dǎo)，這意味著對(duì)于期權(quán)的多方來說（無論是看漲還是看跌期權(quán)），始終存在；相反，期權(quán)的空方。因此只有在整個(gè)組合中所有S的都是同一符號(hào)即同為多頭（或同為空頭）的情況下，這個(gè)方程才是線性的，否則就會(huì)出現(xiàn)內(nèi)部自我保值的現(xiàn)象而導(dǎo)致非線性。3. 期權(quán)多頭和空頭價(jià)值的不一致性從以上分析可見，對(duì)于期權(quán)合約的多頭和空頭而言，如果考慮交易費(fèi)用，期權(quán)的價(jià)值會(huì)因符號(hào)不同而不同。這和我們用直觀分析得到的結(jié)論一致：考察交易成本的情況下，即使是同一個(gè)投資者，在套期保值過程中，持有同一個(gè)合約的多頭頭寸和空頭頭寸，價(jià)值也不同。關(guān)于這一點(diǎn)，我們會(huì)在后面進(jìn)一步講解。4. 考慮單個(gè)普通期權(quán)的情形由于單個(gè)普通期權(quán)的符號(hào)確定，所以我們可以去掉絕對(duì)值符號(hào)，得到更精確的結(jié)論。對(duì)式（7.4）進(jìn)行整理，我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于單個(gè)期權(quán)多頭，由于，H-W-W方程實(shí)際上是一個(gè)以（7.5）為波動(dòng)率的BS公式；相反，由于單個(gè)期權(quán)的空頭，H-W-W方程則化為一個(gè)以（7.6）為波動(dòng)率的BS公式。也就是說，考慮了交易成本之后的單個(gè)期權(quán)的定價(jià)，在BS公式中使用一個(gè)修正后的波動(dòng)率即可求得。這實(shí)際上是Leland模型的基本結(jié)論。但是Leland模型只適用于單個(gè)簡(jiǎn)單期權(quán)或是所有的符號(hào)都相同的情形，因此H-W-W模型可以說是它的推廣。式（7.5）和（7.6）顯示，當(dāng)處于多頭情形時(shí)，考慮交易費(fèi)用后的波動(dòng)率要明顯小于實(shí)際波動(dòng)程度。這是因?yàn)楫?dāng)資產(chǎn)價(jià)格上漲時(shí)，需要賣出部分資產(chǎn)實(shí)現(xiàn)保值，賣出資產(chǎn)的交易成本降低了因價(jià)格上升而帶來的收益，可以理解為波動(dòng)水平在一定程度上被降低了?？疹^時(shí)情況正好相反。因此，我們進(jìn)一步看到，對(duì)于同一個(gè)投資者而言，同一份期權(quán)合約上的多頭頭寸價(jià)值要低于空頭頭寸的價(jià)值。這種在BS公式中使用修正后波動(dòng)率的辦法也可以推廣到期權(quán)組合，條件是期權(quán)組合中的值必須無論何時(shí)何地都總是保持同一個(gè)符號(hào)。（五）交易成本和保值頻率選擇對(duì)于單個(gè)期權(quán)而言，我們可以通過，即用原來波動(dòng)率和修正后波動(dòng)率得到的期權(quán)價(jià)值之差算出交易成本。對(duì)于很小的展開上式得：代入歐式期權(quán)的表達(dá)式可得預(yù)期的交易費(fèi)用為其中定義同BS公式。進(jìn)一步定義（7.7）當(dāng)遠(yuǎn)大于1時(shí)，說明交易成本過高，太小，調(diào)整過于頻繁；如果很小，說明成本對(duì)期權(quán)價(jià)值影響很小，選擇的時(shí)間間隔太長(zhǎng)，因此要降低，增加組合保值調(diào)整次數(shù)，以降低風(fēng)險(xiǎn)。三、 交易成本的其他模型H-W-W模型是比較完善的交易成本模型，但是其中也存在一些問題，經(jīng)濟(jì)學(xué)家和實(shí)際工作者對(duì)此做了進(jìn)一步的修正。主要問題包括：1. 期權(quán)組合中的值不是同一個(gè)符號(hào)的情形。由于H-W-W模型是非線性的，一般情況下，都使用數(shù)值方法為其定價(jià)。關(guān)于數(shù)值方法的使用，我們將在第八章作深入的闡述。2. 交易成本不是前述的簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)，而是資產(chǎn)價(jià)格和調(diào)整數(shù)量的函數(shù)的情況。更具體的說，一個(gè)最常見的假設(shè)就是（7.8）即交易成本包括一個(gè)固定成本，一個(gè)與交易規(guī)模成比例的成本和一個(gè)與交易總價(jià)值成比例的成本。這時(shí)相應(yīng)的微分方程擴(kuò)展為（7.9）注意式（7.9）是非線性的。3. H-W-W模型的整個(gè)組合調(diào)整策略是固定的，即按照規(guī)定的時(shí)間長(zhǎng)度進(jìn)行調(diào)整，而不考慮這樣調(diào)整是否最優(yōu)。而在現(xiàn)實(shí)生活中，投資者采取的策略一般都是對(duì)價(jià)格變動(dòng)進(jìn)行持續(xù)的監(jiān)測(cè)，并給定一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)限度，當(dāng)頭寸變動(dòng)超過風(fēng)險(xiǎn)限度時(shí)才進(jìn)行保值調(diào)整。Whalley & Wilmott（1993） A. E. Whalley and P. Wilmott, “Option Pricing with Transaction Costs,” MFG Working Paper,Oxford, 1993.和Henrotte(1993) P. Henrott, “Transaction Costs and Duplication Strategies,” Working Paper, Standford University, 1993.都對(duì)這一情形進(jìn)行了研究。他們發(fā)現(xiàn)，由于沒有進(jìn)行完美保值，在時(shí)間段中投資組合的方差為，這里的是投資者實(shí)際持有的標(biāo)的資產(chǎn)空頭數(shù)量。投資者總是設(shè)定一個(gè)參數(shù)，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)要保持在此限度之內(nèi)，即（7.10）當(dāng)和的變動(dòng)超過式（7.10）給定的寬度時(shí)，就需要進(jìn)行組合的調(diào)整和再平衡。Whalley & Wilmott發(fā)現(xiàn)，一個(gè)考慮了和形如（7.8）的交易成本結(jié)構(gòu)的微分方程為這同樣是一個(gè)依賴于值的微分方程，是對(duì)BS微分方程的非線性修正。第三節(jié) 波動(dòng)率微笑和波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)BS公式的另一個(gè)重要假設(shè)是：標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率是常數(shù)。在現(xiàn)實(shí)世界中，這個(gè)假設(shè)顯然是無法成立的。盡管我們無法直接在市場(chǎng)中觀測(cè)到資產(chǎn)波動(dòng)率的大小，然而任何處于市場(chǎng)中的投資者都可以明顯感覺到這一點(diǎn)，對(duì)資產(chǎn)價(jià)格時(shí)間序列數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)更進(jìn)一步證實(shí)了資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率并非常數(shù)。換一個(gè)角度來看，假如波動(dòng)率是常數(shù)，那么對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)相同的一類期權(quán)，無論其執(zhí)行價(jià)格或到期時(shí)間有多大的差異，從它們的期權(quán)價(jià)格中推導(dǎo)出來的隱含波動(dòng)率都應(yīng)該是大致相同的，否則就意味著期權(quán)市場(chǎng)存在著套利機(jī)會(huì)。更具體地說，隱含波動(dòng)率高的期權(quán)價(jià)值相對(duì)被高估，可以做空；隱含波動(dòng)率低的期權(quán)相對(duì)被低估，可以做多，從而獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益。從理論上說，這種套利行為的大量存在會(huì)使得不同期權(quán)品種所對(duì)應(yīng)的隱含波動(dòng)率差異消失。但是，人們卻發(fā)現(xiàn)這種差異始終存在，顯然，不同的執(zhí)行價(jià)格和不同的到期時(shí)間對(duì)應(yīng)不同的隱含波動(dòng)率，這一現(xiàn)象似乎是客觀存在的，而非市場(chǎng)偶然性錯(cuò)誤定價(jià)的結(jié)果。也就是說，波動(dòng)率并非常數(shù)，因而BS公式得到的期權(quán)價(jià)格并不完全符合現(xiàn)實(shí)。更具體地說，人們通過研究發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格和BS公式推算出來的隱含波動(dòng)率具有以下兩個(gè)方向的變動(dòng)規(guī)律：1. 隱含波動(dòng)率會(huì)隨著期權(quán)執(zhí)行價(jià)格不同而不同，這個(gè)規(guī)律被稱為“波動(dòng)率微笑”（Volatility Smiles）；2. 隱含波動(dòng)率會(huì)隨期權(quán)到期時(shí)間不同而變化，這叫做波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)（Volatility Term Structure）。通過把波動(dòng)率微笑和波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)放在一起，實(shí)際從業(yè)人員構(gòu)造出一個(gè)波動(dòng)率矩陣（Volatility Matrices），它是我們考察和應(yīng)用波動(dòng)率變動(dòng)規(guī)律的基本工具之一。一、波動(dòng)率微笑對(duì)具有相同標(biāo)的資產(chǎn)和到期日，但執(zhí)行價(jià)格不同的期權(quán)價(jià)格隱含波動(dòng)率進(jìn)行比較，我們就可以繪出一個(gè)隱含波動(dòng)率對(duì)執(zhí)行價(jià)格的變化曲線。一般來說，這條曲線常常呈現(xiàn)形如圖7.1的形狀，象是一個(gè)微笑的表情，波動(dòng)率微笑因此而得名。顯然，波動(dòng)率微笑很直觀地告訴我們，執(zhí)行價(jià)格不同，也就是說，當(dāng)期權(quán)分別處于平價(jià)、實(shí)值和虛值狀態(tài)時(shí)，即使其他條件全都相同，標(biāo)的資產(chǎn)的隱含波動(dòng)率也并不相同。為了解釋這一廣泛存在的現(xiàn)象，人們提出了一些理論，由于波動(dòng)率微笑的具體形狀會(huì)隨著標(biāo)的資產(chǎn)的不同而不同，而這些形狀往往可以在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的概率分布中得到解釋，因此最具說服力的是“分布理論”。該理論認(rèn)為， BS定價(jià)模型假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，但市場(chǎng)并不這樣認(rèn)為，市場(chǎng)分布和BS 分布之間的差異導(dǎo)致了波動(dòng)率微笑的出現(xiàn)。一般說來，波動(dòng)率微笑有以下兩種常見模式：1.貨幣期權(quán)的波動(dòng)率微笑對(duì)于貨幣期權(quán)而言，隱含波動(dòng)率常常呈現(xiàn)如7.1所示的近似U形。也就是說，平價(jià)期權(quán)的波動(dòng)率最低，而實(shí)值和虛值期權(quán)的波動(dòng)率會(huì)隨著實(shí)值或虛值程度的增大而增大，兩邊比較對(duì)稱。這一波動(dòng)率微笑對(duì)應(yīng)著如圖7.2中實(shí)線所描繪的概率分布，為了與虛線表示的BS對(duì)數(shù)正態(tài)分布相區(qū)別，我們把它叫做隱含分布。注意，這兩個(gè)分布具有同樣的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，但是隱含分布比BS分布尖峰胖尾。我們可以從如下分析中看到這兩個(gè)圖是相互一致的。先考慮一個(gè)深度虛值的貨幣看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格很高，為，當(dāng)且僅當(dāng)匯率上升到高于時(shí)，這個(gè)期權(quán)才會(huì)被執(zhí)行，圖7.2顯示隱含分布中價(jià)格大于的概率顯然大于BS分布的概率。因此，隱含概率分布意味著更高的期權(quán)價(jià)格，從而得到更高的隱含波動(dòng)率。這顯然符合圖7.1中較高的執(zhí)行價(jià)格對(duì)應(yīng)較高的波動(dòng)率的現(xiàn)象。然后再考慮一個(gè)深度虛值的貨幣看跌期權(quán)，價(jià)格是較低的，只有當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格下降到低于時(shí)，這個(gè)期權(quán)才會(huì)被執(zhí)行。圖7.2同樣顯示，低于的概率大于正態(tài)分布的情形。因此，我們可以預(yù)期隱含分布會(huì)得到一個(gè)更高的價(jià)格從而得到更高的隱含波動(dòng)率。由于PCP公式的得到與資產(chǎn)價(jià)格概率分布無關(guān)，假設(shè)和分別代表期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)值而和分別代表從BS公式得到的理論期權(quán)價(jià)值，那么，我們可以同時(shí)得到： 兩式相減得到可見，具有相同的標(biāo)的資產(chǎn)和到期日的歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)，它們的理論價(jià)格和市場(chǎng)價(jià)格之間的差異是等同的，這意味著它們所適用的隱含波動(dòng)率將是一樣的。所以以上兩種情形同樣適用于以為執(zhí)行價(jià)格的深度實(shí)值貨幣看跌期權(quán)和以為執(zhí)行價(jià)格的深度實(shí)值貨幣看漲期權(quán)。 圖7.1 貨幣期權(quán)的波動(dòng)率微笑 圖7.2 貨幣期權(quán)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布和隱含分布研究發(fā)現(xiàn)，貨幣期權(quán)的波動(dòng)率微笑符合我們對(duì)匯率數(shù)據(jù)的實(shí)證結(jié)果。實(shí)證數(shù)據(jù)同樣表明，匯率的極端變化要比對(duì)數(shù)正態(tài)分布所描繪的更經(jīng)常出現(xiàn)。這是因?yàn)橐环N資產(chǎn)的價(jià)格為對(duì)數(shù)正態(tài)分布需要兩個(gè)條件：第一，資產(chǎn)波動(dòng)率為常數(shù)；第二，資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)連續(xù)平滑，沒有跳躍。但是在現(xiàn)實(shí)中，匯率價(jià)格的變化并不滿足這兩個(gè)條件。匯率的波動(dòng)率不是常數(shù)，而且匯率常常出現(xiàn)跳躍。這兩個(gè)原因?qū)е铝藰O端情況變得更有可能出現(xiàn)。實(shí)際上許多金融資產(chǎn)價(jià)格都具有以上兩個(gè)特征，從而使得它們對(duì)應(yīng)的隱含波動(dòng)率也常常呈現(xiàn)“波動(dòng)率微笑”，只是它們往往同時(shí)也受到其他因素的影響，使波動(dòng)率的形狀發(fā)生了相應(yīng)的變化，如我們將在下面介紹的波動(dòng)率偏斜。需要注意的是，價(jià)格的跳躍和波動(dòng)率的隨機(jī)性對(duì)波動(dòng)率微笑的影響還會(huì)因時(shí)間而改變。離到期時(shí)間越遠(yuǎn)，跳躍和隨機(jī)波動(dòng)率對(duì)波動(dòng)率微笑的影響都會(huì)降低，因?yàn)闀r(shí)間越長(zhǎng)，跳躍和隨機(jī)波動(dòng)所造成的效果越可能被“平均化”，從而在價(jià)格的分布中幾乎看不到，因此到期日越遠(yuǎn)，波動(dòng)率微笑越不明顯，隱含波動(dòng)率越接近常數(shù)。2.股票期權(quán) 股票指數(shù)期權(quán)也具有類似特征。的波動(dòng)率偏斜股票期權(quán)的波動(dòng)率微笑則呈現(xiàn)另一種不同的形狀，如圖7.3所示。有時(shí)被叫做“波動(dòng)率偏斜”（Volatility Skew），看起來象一個(gè)偏斜了的微笑。當(dāng)執(zhí)行價(jià)格上升的時(shí)候，波動(dòng)率下降，而一個(gè)較低的執(zhí)行價(jià)格所隱含的波動(dòng)率則大大高于執(zhí)行價(jià)格較高的期權(quán)。也就是說，這時(shí)，波動(dòng)率曲線的形狀不再象貨幣期權(quán)那么對(duì)稱，而是向右下方偏斜的。股票期權(quán)的波動(dòng)率微笑對(duì)應(yīng)著圖7.4給出的隱含分布。與虛線的對(duì)數(shù)正態(tài)分布相比，隱含分布左尾更大，這意味著一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為的深度虛值看跌期權(quán)（或深度實(shí)值看漲期權(quán)）價(jià)格會(huì)偏高，從而有較高的波動(dòng)率；同時(shí)隱含分布的右尾更小，這意味著一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為的深度虛值看漲期權(quán)（或深度實(shí)值看跌期權(quán)）價(jià)格會(huì)偏低，從而波動(dòng)率較低。這顯然符合7.3的波動(dòng)率微笑曲線。圖7.3 股票期權(quán)的波動(dòng)率微笑（偏斜） 圖7.4 股票期權(quán)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布和隱含分布股票期權(quán)之所以會(huì)有偏斜的波動(dòng)率微笑，一個(gè)可能的解釋與股市的“崩盤”有關(guān)。偶爾發(fā)生的崩盤事件深刻影響了投資者的心理，投資者很擔(dān)心一個(gè)類似于1987年10月的暴跌再次發(fā)生，因此市場(chǎng)對(duì)價(jià)格變化的概率估計(jì)是不對(duì)稱的，即價(jià)格顯著下跌的可能性遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于顯著上升的可能性，這導(dǎo)致了隱含波動(dòng)率的偏斜。二、波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)除了波動(dòng)率微笑，期權(quán)交易者還常常使用波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)。這是指其他條件不變時(shí)，平價(jià)期權(quán)所對(duì)應(yīng)的隱含波動(dòng)率隨到期日不同所表現(xiàn)出來的變化規(guī)律。一般來說，不同的標(biāo)的資產(chǎn)所表現(xiàn)出來的期限結(jié)構(gòu)具體形狀會(huì)有所不同，但它們大都具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：1.從長(zhǎng)期來看，波動(dòng)率大多表現(xiàn)出均值回歸（Mean-reverting）。即到期日接近時(shí)，隱含波動(dòng)率的變化較劇烈，隨著到期時(shí)間的延長(zhǎng)，隱含波動(dòng)率將逐漸向歷史波動(dòng)率的平均值靠近，呈現(xiàn)均值回歸現(xiàn)象。2波動(dòng)率微笑的形狀也受到期權(quán)到期時(shí)間的影響。大多時(shí)候，期權(quán)到期日越近，波動(dòng)率“微笑”就越顯著，到期日越長(zhǎng)，不同價(jià)格的隱含波動(dòng)率差異越小，接近于常數(shù)。因此，為了消除時(shí)間因素對(duì)波動(dòng)率微笑的影響，一些交易者把波動(dòng)率微笑定義為。其中為剩余到期時(shí)間，為資產(chǎn)相應(yīng)的遠(yuǎn)期價(jià)格。由于，應(yīng)用這個(gè)公式意味著用來表示執(zhí)行價(jià)格與資產(chǎn)價(jià)格之間的關(guān)系，即期權(quán)的平價(jià)、實(shí)值或虛值狀態(tài)，再除以一個(gè)，從而使得資產(chǎn)的隱含波動(dòng)率對(duì)時(shí)間的依賴程度大大降低，更好地反映執(zhí)行價(jià)格對(duì)波動(dòng)率的影響。三、波動(dòng)率矩陣把波動(dòng)率微笑和波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)結(jié)合在一張表里，可以得到任何執(zhí)行價(jià)格和任何到期時(shí)間的期權(quán)所對(duì)應(yīng)的隱含波動(dòng)率，就形成了波動(dòng)率矩陣。如表7.1所示波動(dòng)率矩陣的一個(gè)方向是執(zhí)行價(jià)格，另一個(gè)方向是距離到期的時(shí)間，矩陣中的內(nèi)容是從BS公式中計(jì)算得到的隱含波動(dòng)率。在任意給定的時(shí)刻，該矩陣中的某些期權(quán)在市場(chǎng)中有交易，從而這些期權(quán)的波動(dòng)率可以直接從它們的市場(chǎng)價(jià)格中計(jì)算出來，其余的點(diǎn)則可以用線性插值法確定。當(dāng)必須為某個(gè)新的期權(quán)定價(jià)時(shí)，交易人員就從矩陣中尋找適當(dāng)?shù)牟▌?dòng)率。例如，當(dāng)為一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為1.05的9個(gè)月期權(quán)定價(jià)時(shí)，交易人員將在13.4和14.0之間進(jìn)行線性插值，得到適合的波動(dòng)率為13.7，這個(gè)波動(dòng)率將在BS公式或二叉樹定價(jià)方法（我們將在第九章討論這一方法）中使用。剩余有效期執(zhí)行價(jià)格0.900.951.001.051.10一個(gè)月14.213.012.013.114.5三個(gè)月14.013.012.013.114.2六個(gè)月14.113.312.513.414.3一年14.714.013.514.014.8兩年15.014.414.014.515.1五年14.814.614.414.715.0表7.1 波動(dòng)率矩陣四、波動(dòng)率微笑和波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)的意義和應(yīng)用波動(dòng)率微笑和波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)的存在，證明了BS公式關(guān)于波動(dòng)率為常數(shù)的基本假設(shè)是不成立的，至少期權(quán)市場(chǎng)不是這樣預(yù)期的。因此放松波動(dòng)率為常數(shù)的假設(shè)，成為期權(quán)理論發(fā)展的一個(gè)重要方向。目前主要有兩種不同的策略：1.從期權(quán)市場(chǎng)出發(fā)的改良策略，即仍然以BS模型為基礎(chǔ)，但同時(shí)假定期權(quán)市場(chǎng)已經(jīng)認(rèn)識(shí)到真實(shí)的波動(dòng)率函數(shù)，考慮不同期權(quán)市場(chǎng)和期權(quán)品種所對(duì)應(yīng)的波動(dòng)率矩陣，運(yùn)用隱含波動(dòng)率信息對(duì)BS公式作相應(yīng)的調(diào)整應(yīng)用。我們前面所介紹的從波動(dòng)率矩陣中獲取適合的波動(dòng)率就是屬于這一策略。應(yīng)用這一策略時(shí)要非常小心，因?yàn)槠跈?quán)市場(chǎng)的隱含波動(dòng)率具有一定的局限性：（1）這一隱含波動(dòng)率可能是市場(chǎng)供求的影響結(jié)果而不完全是市場(chǎng)對(duì)波動(dòng)率的預(yù)期，而我們難以對(duì)供求關(guān)系推動(dòng)的和市場(chǎng)預(yù)期推動(dòng)的波動(dòng)率加以區(qū)分；（2）我們無法保證市場(chǎng)中的所有參與者都采用同一個(gè)定價(jià)模型。如果市場(chǎng)使用的模型差異很大，波動(dòng)率矩陣也將不同，說明市場(chǎng)對(duì)波動(dòng)率的認(rèn)識(shí)是不同的。這時(shí)我們使用BS公式倒推出來的隱含波動(dòng)率就可能具有誤導(dǎo)性。（3）波動(dòng)率矩陣實(shí)際上反映的是期權(quán)市場(chǎng)對(duì)于未來波動(dòng)率的瞬時(shí)預(yù)期，和我們目前觀察到的實(shí)際波動(dòng)率可能很不一樣，而且這一預(yù)期不一定會(huì)實(shí)現(xiàn)，甚至幾天之內(nèi)就會(huì)發(fā)生變化。因此，在改良策略中我們使用BS模型具有一定的限制條件。市場(chǎng)交易者主要利用它來幫助我們了解與BS模型相對(duì)應(yīng)的隱含波動(dòng)率的瞬時(shí)情形，并且為流動(dòng)性差的期權(quán)（比如我們后面將介紹的奇異期權(quán)）定出與交易活躍的常規(guī)期權(quán)一致的市場(chǎng)價(jià)格。這時(shí)我們必須在買賣奇異期權(quán)的同時(shí)用這些交易活躍的期權(quán)進(jìn)行相應(yīng)的套期保值，才能降低模型錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)。2. 創(chuàng)新策略。對(duì)于那些對(duì)波動(dòng)率變動(dòng)很敏感的期權(quán)，僅僅使用改良策略可能具有較大的風(fēng)險(xiǎn)，這時(shí)一些交易者傾向于采用新的模型來為期權(quán)定價(jià)。這些創(chuàng)新策略的主要思路是：改變BS模型波動(dòng)率為常數(shù)的基本假設(shè)，一般是從標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)數(shù)據(jù)出發(fā)，建立波動(dòng)率的模型，使之反映真實(shí)情形，在此基礎(chǔ)上計(jì)算期權(quán)的價(jià)值。這就是我們?cè)谙乱还?jié)將闡述的內(nèi)容。后面我們將會(huì)看到，這些模型的結(jié)果往往都會(huì)和波動(dòng)率微笑和期限結(jié)構(gòu)相呼應(yīng)，這進(jìn)一步向我們證實(shí)了研究隱含波動(dòng)率矩陣的重要性。第四節(jié) 隨機(jī)波動(dòng)率一、隨機(jī)波動(dòng)率模型在現(xiàn)實(shí)世界中，波動(dòng)率顯然并非常數(shù)，而且無法直接在市場(chǎng)上觀測(cè)到，人們甚至發(fā)現(xiàn)波動(dòng)率是無法預(yù)測(cè)的。在很多情況下，象股價(jià)這樣的因素并不能完全解釋波動(dòng)率的變化。因此，有必要考慮更一般的方法，即將作為隨機(jī)變量，建立隨機(jī)波動(dòng)率模型。到目前為止，為隨機(jī)波動(dòng)率建模的文獻(xiàn)已經(jīng)相當(dāng)多，其一般模型為：其中和的相關(guān)系數(shù)為。這時(shí)對(duì)函數(shù)和的選擇很重要，它不僅關(guān)系到波動(dòng)率的確定，也對(duì)期權(quán)定價(jià)有重要影響。在為期權(quán)定價(jià)過程中，隨機(jī)波動(dòng)率也同樣可以采用BS方程所使用的無套利定價(jià)過程，只是這時(shí)候，在期權(quán)組合中，由于期權(quán)的價(jià)格函數(shù)由變?yōu)?，這時(shí)不僅需要份的標(biāo)的資產(chǎn)以消除帶來的不確定性，還需要加入份的另一種期權(quán)以消除帶來的不確定性，即，在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行相應(yīng)的分析，為期權(quán)定價(jià)。當(dāng)然這時(shí)的模型往往非常復(fù)雜，常常無法得到解析解。因此，盡管這些復(fù)雜的模型更接近現(xiàn)實(shí)，但BS公式仍然使用廣泛，尤其在它的一些假設(shè)影響不是很大的時(shí)候。下面我們介紹其中一些較為有名的波動(dòng)率模型。Hull和White考慮了一般的和特殊的隨機(jī)波動(dòng)率模型，其中一個(gè)股票風(fēng)險(xiǎn)中性的隨機(jī)波動(dòng)率模型為其中、和是常數(shù)，和都是維納過程，則是股票的方差率，即波動(dòng)率的平方。顯然方差率本身是一個(gè)隨機(jī)過程，并以的速度回歸到水平。Hull和White把這個(gè)模型得到的期權(quán)價(jià)格同使用BS公式得到的價(jià)格進(jìn)行了比較，其中BS公式中使用的方差率是期權(quán)存續(xù)期間預(yù)期的平均方差率。他們發(fā)現(xiàn)：隨機(jī)波動(dòng)率確實(shí)會(huì)引起定價(jià)的偏差，而波動(dòng)率和資產(chǎn)價(jià)格之間的相關(guān)性在其中相當(dāng)重要。1. 當(dāng)波動(dòng)率是隨機(jī)的，且與股票價(jià)格不相關(guān)時(shí)，也就是和不相關(guān)時(shí)，情形比較簡(jiǎn)單，歐式期權(quán)的價(jià)格是BS價(jià)格在期權(quán)有效期內(nèi)平均方差率分布上的積分值，即歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為 具體內(nèi)容參見J. C. Hull and A. White, “The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities,” Journal of Finance, 42 (June 1987), 281-300.這里的是方差率在期權(quán)有效期內(nèi)的平均值；是應(yīng)用和BS公式計(jì)算出的期權(quán)價(jià)格，為的函數(shù)；則是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的概率密度函數(shù)。Hull和White發(fā)現(xiàn)BS公式傾向于高估平價(jià)或接近平價(jià)的期權(quán)價(jià)格，低估深度實(shí)值和深度虛值期權(quán)，這和上一節(jié)中波動(dòng)率微笑模式一致（見圖7.1）。2. 在股票價(jià)格和波動(dòng)率相關(guān)的情況下，這個(gè)隨機(jī)波動(dòng)率模型沒有解析解，只能使用數(shù)值方法得到期權(quán)價(jià)格。當(dāng)波動(dòng)率和股票價(jià)格負(fù)相關(guān)時(shí)，得到的結(jié)果類似于股票期權(quán)的波動(dòng)率偏斜模式（見圖7.3）；當(dāng)它們之間是正相關(guān)時(shí)，結(jié)果正好相反，BS模型傾向于低估虛值看漲期權(quán)而高估虛值看跌期權(quán)。3. 波動(dòng)率隨機(jī)性質(zhì)的影響，也會(huì)因到期時(shí)間的不同而不同。我們?cè)谏弦还?jié)曾經(jīng)提到，有效期越長(zhǎng)，隨機(jī)波動(dòng)率對(duì)波動(dòng)率微笑的影響越不顯著，因?yàn)殡S機(jī)變化會(huì)在長(zhǎng)期中平均化。但是隨機(jī)波動(dòng)率對(duì)定價(jià)偏差絕對(duì)值的影響則正好相反，時(shí)間越短，隨機(jī)波動(dòng)率引起的定價(jià)偏差絕對(duì)值越?。ǖ菍?duì)于深度虛值期權(quán)而言，這個(gè)偏差用百分比衡量時(shí)可能是很大的）。二、GARCH模型另一個(gè)廣泛使用的波動(dòng)率模型是廣義自回歸條件異方差模型（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, GARCH）。1. GARCH(1,1)模型簡(jiǎn)介GARCH模型又可以分為多種，其中最常見的是GARCH(1,1)模型：（7.11）其中、和都為常數(shù)，且，為恒定的長(zhǎng)期平均股票方差率。，即n時(shí)刻收益率對(duì)收益率均值的離差，可以看作是關(guān)于方差率的最新信息。從式（7.11）可以看出，該模型意味著在n時(shí)刻的方差率是三個(gè)因素的加權(quán)平均：恒定的長(zhǎng)期平均方差率、前一時(shí)期的方差率和關(guān)于方差率的最新信息。由于只建立在最新一期和估計(jì)值的基礎(chǔ)上，因而被稱為GARCH(1,1)。更一般的GARCH(p,q)模型則從最近p期的和最近q期的信息中估計(jì)方差率。采用的形式，用最大似然估計(jì)法估計(jì)三個(gè)參數(shù)、和，可以進(jìn)一步得到和的值，并可計(jì)算出特定時(shí)刻波動(dòng)率的大小。例7.1 假設(shè)我們從每日交易數(shù)據(jù)中估計(jì)出GARCH（1,1）模型為：這說明，。根據(jù)，我們可以算出；進(jìn)一步由于，。也就是說模型中得到的長(zhǎng)期平均日方差率為0.0002，那么每日波動(dòng)率就為1.4%。如果已經(jīng)估計(jì)出第n-1天的為0.016，為0.01，則因此，第n天波動(dòng)率的估計(jì)值就為每天即1.53。2.不同時(shí)期的權(quán)重分布對(duì)式（7.11）的右邊重復(fù)的迭代過程，可以得到 （7.11）這說明在任意給定的時(shí)刻，方差率又可以看作是一個(gè)常數(shù)加上所有過去的的加權(quán)和。時(shí)刻的分配的權(quán)重為，即隨著時(shí)間往前推移，分配的權(quán)重是以速率指數(shù)下降的，越早的數(shù)據(jù)權(quán)重越小。這里的被稱為衰減率（Decay Rate）。比如，如果，那么的重要性就只有的90，而的重要性更進(jìn)一步下降到的81。時(shí)間距離當(dāng)前越近的數(shù)據(jù)，權(quán)重越大，這是符合實(shí)際的。3.應(yīng)用GARCH(1,1)模型預(yù)測(cè)未來的波動(dòng)率通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，我們可以將式（7.12）寫作由于，可得未來波動(dòng)率的預(yù)期值為由于我們?cè)O(shè)定，隨著的增加，以上式子中的最后一項(xiàng)會(huì)越來越小，這意味著方差率會(huì)呈現(xiàn)出向的均值回歸，這和我們前面所討論的隨機(jī)波動(dòng)率模型具有相似的特點(diǎn)，也正是我們?cè)诓▌?dòng)率期限結(jié)構(gòu)中曾經(jīng)討論過的性質(zhì)。如果，說明長(zhǎng)期平均方差率不起作用，未來預(yù)期波動(dòng)率等于目前的波動(dòng)率水平；如果，的權(quán)重為負(fù)，波動(dòng)率是均值偏離的而非均值回歸的，無法進(jìn)行最大似然估計(jì)，這時(shí)需要轉(zhuǎn)向其他的模型來解釋和估計(jì)波動(dòng)率。第五節(jié) 不確定的參數(shù)考慮了紅利收益率的BS方程可以寫作。在這個(gè)拋物形偏微分方程中，包括了兩個(gè)變量和，三個(gè)參數(shù)，和。BS方程假定這些都是已知的，但現(xiàn)實(shí)世界并沒有那么完美。即使是看起來很簡(jiǎn)單的和，也需要考慮諸如買賣價(jià)差、非交易日等的影響，更不用說每個(gè)期權(quán)合約各自還有其特有的參數(shù)如執(zhí)行價(jià)格X，邊界水平等條件。在這些變量和參數(shù)里面，和的不確定性是最強(qiáng)的，因此，現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中存在著這樣的問題：當(dāng)參數(shù)價(jià)值是不確定的時(shí)候，如何為期權(quán)定價(jià)？我們可以使用的一個(gè)方法是為這些參數(shù)再確定一個(gè)模型，將其與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格結(jié)合起來使用，比如我們之前介紹的關(guān)于隨機(jī)波動(dòng)率的模型。但這種辦法也有其缺陷：一旦我們引入新的模型，我們還需要再考慮新模型的正確性，以及更多參數(shù)的不確定性。因?yàn)閷?shí)際上只有期權(quán)到期的時(shí)候，我們才能真正知道這些參數(shù)的正確值和遵循的路徑，再?gòu)?fù)雜精密的預(yù)測(cè)模型也有錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)。因此，Avellaneda, Levy, Paras和Lyons等人 參見M. Avellaneda, A. Levy and A. Paras, “Pricing and Hedging Derivative Securities in Markets with Uncertain Volatilities,” Applied Mathematical Finance, 2 (1995), 73-88; M. Avellaneda and A. Paras, “Managing the Volatility Risk of Derivative Securities: the Lagrangian Volatility Model,” Applied Mathematical Finance, 3 (1995), 21-53; T. J. Lyons, “Uncertain Volatility and the Risk-free Synthesis of Derivatives,” Applied Mathematical Finance, 2 (1995), 117-133.提出了另一種解決方法：我們不再假設(shè)已經(jīng)知道參數(shù)的精確值，而是假設(shè)我們知道這些參數(shù)位于某個(gè)特定的區(qū)間之內(nèi)（我們選擇的區(qū)間代表了我們對(duì)期權(quán)或期權(quán)組合的參數(shù)價(jià)值在有效期間上下限范圍的預(yù)測(cè)），之后考慮最悲觀的情況下我們的期權(quán)至少值多少。用這樣的假設(shè)和思路，我們不會(huì)計(jì)算出期權(quán)的某一特定價(jià)值，而會(huì)發(fā)現(xiàn)期權(quán)的價(jià)值也將位于某個(gè)區(qū)間之內(nèi)。下面，我們將介紹針對(duì)不確定的，和為期權(quán)定價(jià)的具體方法。一、 不確定的波動(dòng)率我們先假設(shè)波動(dòng)率位于的范圍內(nèi)。然后我們?nèi)匀谎赜肂S模型的無套利組合方法，構(gòu)造一個(gè)價(jià)值為的期權(quán)多頭，并用份標(biāo)的資產(chǎn)對(duì)其進(jìn)行保值。這樣組合的價(jià)值為。我們?nèi)匀患僭O(shè)，即使未知，我們?nèi)匀豢梢缘玫浇M合的價(jià)值變化為。從這里開始，這個(gè)方法和傳統(tǒng)的BS模型有了微妙的區(qū)別。由于我們只知道的范圍，所以無法得到期權(quán)價(jià)值的特定值。但是我們可以計(jì)算出最糟糕的情況下的期權(quán)價(jià)值。其方法是在給定的波動(dòng)率范圍內(nèi)取組合價(jià)值的最小值，并使之等于無風(fēng)險(xiǎn)收益。這樣我們就可以計(jì)算出我們手中持有的期權(quán)至少值多少。這顯然是符合投資者的心理和實(shí)際情況的。用數(shù)學(xué)公式表示為： 。那么，在求最小值的時(shí)候要使用哪一個(gè)波動(dòng)率呢？觀察上式中的波動(dòng)率項(xiàng)，它和期權(quán)的相乘。因此，的取值要取決于的符號(hào)。當(dāng)是正的時(shí)候，我們選擇下限，當(dāng)為負(fù)的時(shí)候，我們選擇上限。這是因?yàn)槠跈?quán)多頭的都大于零，投資者當(dāng)然會(huì)選擇最小的波動(dòng)率得到最低的價(jià)值；而期權(quán)空頭的都小于零，投資者會(huì)選擇最大的波動(dòng)率，使其賣空的價(jià)值最大，意味著損失最大。總之，期權(quán)價(jià)值下限滿足 （7.13）其中， 且 。我們也可以計(jì)算出期權(quán)價(jià)值上限， 其中，。但這次。因此我們可以計(jì)算出期權(quán)的可能價(jià)值區(qū)間，但是我們通常不會(huì)去使用價(jià)值上限，計(jì)算上限的價(jià)值在于：對(duì)于同一份合約來說，它的多頭和空頭價(jià)值區(qū)間在數(shù)值上是相等的，只是最好和最差情景要顛倒過來而已。因此我們只需要計(jì)算多頭最大價(jià)值，就可以得到空頭的價(jià)值下限。值得注意的是，在這個(gè)模型中，我們又一次遇到了H-W-W交易成本方程中出現(xiàn)的非線性問題。多頭和空頭的價(jià)值不同，并且都是由于的符號(hào)不同產(chǎn)生的。相應(yīng)地也就出現(xiàn)了單個(gè)期權(quán)和期權(quán)組合的區(qū)別。由于多頭和空頭之間可以互相抵消，因此如果期權(quán)組合中的的符號(hào)不同，期權(quán)組合的價(jià)值并不等同于單個(gè)期權(quán)的價(jià)值之和。只有對(duì)單個(gè)期權(quán)或是的符號(hào)始終一致的期權(quán)組合而言，這個(gè)方程才是線性的。二、不確定的利率不確定利率的處理思想非常類似。假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率位于之間，我們的投資組合還是，同樣設(shè)定組合的收益率等于無風(fēng)險(xiǎn)利率，可以得到。這時(shí)我們觀察到是和相乘，因此我們發(fā)現(xiàn)給出最低和最高期權(quán)價(jià)值的要取決于組合的符號(hào)。更具體的說，最差的情況下，如果我們的組合有一個(gè)正的價(jià)值，那么利率應(yīng)取最高值r+；如果有一個(gè)負(fù)的價(jià)值，利率應(yīng)取最低值r-。原因在于如果，意味著，即我們?cè)谄跈?quán)上有一個(gè)正的投資（賣空標(biāo)的資產(chǎn)的收入不足以支付期權(quán)多頭價(jià)格），利率越高越不利。這樣，我們選擇的利率將依賴于的符號(hào)。相應(yīng)的方程為其中，期權(quán)價(jià)值上限的方程也可以用上述方法很容易地推導(dǎo)出來。三、不確定的紅利收益率我們把紅利問題限制在它獨(dú)立于資產(chǎn)價(jià)格的情況下。我們主要介紹連續(xù)支付紅利的情況下，其推導(dǎo)過程很類似。假設(shè)股利率位于，那么對(duì)于最糟糕的情況，我們只要解出即可。其中， 顯然這是因?yàn)榧t利問題與標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)中需要進(jìn)行的套期保值數(shù)額有關(guān)。四、模型的擴(kuò)展和深入理解1. 可以把上述結(jié)果結(jié)合起來形成一個(gè)波動(dòng)率、利率和紅利率都不確定的模型。2. 同樣的思想也可以被應(yīng)用到基于多個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)的投資工具上，這類投資工具價(jià)值依賴于標(biāo)的資產(chǎn)之間的相關(guān)關(guān)系。相關(guān)關(guān)系是一個(gè)特別難以計(jì)算或預(yù)測(cè)的東西，此時(shí)不確定性扮演了一個(gè)重要的角色，可以應(yīng)用同樣的方法。3. 在這些不確定參數(shù)的模型中，一個(gè)主要的思路是：考慮最悲觀的情況，假設(shè)最糟糕的結(jié)果，并相應(yīng)地為合約定價(jià)。這么做，只要我們的參數(shù)區(qū)間不被突破，就可以保證永遠(yuǎn)不會(huì)損失。4. 我們需要再次強(qiáng)調(diào)，在本節(jié)中得到的所有偏微分方程都是非線性的，需要對(duì)多頭和空頭進(jìn)行區(qū)別。解析解只在特殊情況下存在，而這些情況都要求波動(dòng)率、利率和股利所分別對(duì)應(yīng)的變量、和是統(tǒng)一符號(hào)的。這種情況下，模型就退化成簡(jiǎn)單的BS公式，其參數(shù)對(duì)應(yīng)相應(yīng)的上下限價(jià)值。由于模型的非線性，因此期權(quán)組合的價(jià)值未必等于單個(gè)期權(quán)價(jià)值之和，并且由此得到一個(gè)很重要的結(jié)論：一份合約的價(jià)值取決于組合中的其他合約。5. 不確定參數(shù)模型的一個(gè)重要缺點(diǎn)在于：如果參數(shù)或者是相關(guān)關(guān)系區(qū)間過大，往往會(huì)導(dǎo)致預(yù)測(cè)的價(jià)格區(qū)間過寬。這時(shí)這個(gè)模型就沒有什么實(shí)際意義。但是我們前面所提到的模型非線性可以幫助我們縮小這個(gè)區(qū)間，我們可以在組合中加入相關(guān)的期權(quán)多頭或空頭，減少參數(shù)不確定性帶來的影響，從而縮小定價(jià)范圍。第六節(jié) 跳躍擴(kuò)散過程實(shí)際生活中充分的證據(jù)表明，許多金融變量，無論是股票價(jià)格、匯率還是利率，都不服從對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)漫步過程，而這正是BS公式（也是幾乎所有金融學(xué)文獻(xiàn)）的重要假設(shè)。這一假設(shè)隱含認(rèn)為資產(chǎn)價(jià)格變化的路徑是連續(xù)的，這種連續(xù)性允許我們構(gòu)造一個(gè)包含資產(chǎn)與期權(quán)的瞬時(shí)無風(fēng)險(xiǎn)組合，從而為期權(quán)的定價(jià)提供了一個(gè)出發(fā)點(diǎn)。但在現(xiàn)實(shí)生活中，突然的跳躍（Jump）發(fā)生的次數(shù)比擁有一個(gè)合理波動(dòng)率的對(duì)數(shù)正態(tài)分布所預(yù)測(cè)的要多得多，短期來看這種變化是不連續(xù)的，我們無法通過動(dòng)態(tài)保值的方法規(guī)避這種跳躍帶來的風(fēng)險(xiǎn)。因此，將跳躍引入到原先的擴(kuò)散方程 BS方程可以轉(zhuǎn)換為工程學(xué)中的熱擴(kuò)散方程形式，并進(jìn)一步求解，因此常被稱為“擴(kuò)散方程”。中，對(duì)衍生資產(chǎn)理論和實(shí)踐具有重要意義。在本節(jié)中我們主要討論由Merton提出的跳躍擴(kuò)散模型（The Jump Diffusion Model）。所謂的跳躍擴(kuò)散過程是普通的（路徑連續(xù)的）擴(kuò)散過程和一個(gè)在隨機(jī)時(shí)刻發(fā)生跳躍的（跳躍幅度也是隨機(jī)的）跳躍過程的結(jié)合，顯然這種變化過程更能反映現(xiàn)實(shí)價(jià)格路徑，對(duì)應(yīng)的模型則可以認(rèn)為是考慮資產(chǎn)價(jià)格有不連續(xù)的跳躍時(shí)對(duì)BS公式的推廣。一、 資產(chǎn)價(jià)格所遵循的跳躍擴(kuò)散過程除了使用原先的連續(xù)布朗運(yùn)動(dòng)來反映連續(xù)擴(kuò)散過程之外，我們還需要引入泊松過程來描述資產(chǎn)價(jià)格的跳躍：其中，部分是資產(chǎn)價(jià)格不發(fā)生跳躍時(shí)所服從的連續(xù)擴(kuò)散過程，其變量定義如前，其中的和都是不發(fā)生跳躍時(shí)的波動(dòng)率和收益率。方程的后半部分是對(duì)跳躍過程的描述。其中的為泊松過程，定義為。即在一個(gè)很小的時(shí)間間隔里的一個(gè)跳躍的概率為。叫做泊松過程的強(qiáng)度。模型中一般假設(shè)在布朗運(yùn)動(dòng)和泊松過程之間沒有相關(guān)關(guān)系。在隨機(jī)時(shí)刻，如果發(fā)生一個(gè)跳躍即時(shí)，那么立刻達(dá)到。比如若，那么資產(chǎn)價(jià)格會(huì)立刻下跌10。我們還可以進(jìn)一步假設(shè)本身也是一個(gè)隨機(jī)變量，和布朗運(yùn)動(dòng)及泊松過程分別獨(dú)立。另外，各次跳躍對(duì)應(yīng)的幅度也是相互獨(dú)立的。運(yùn)用Ito引理，我們可以得到價(jià)格對(duì)數(shù)遵循的跳躍擴(kuò)散過程為二、跳躍擴(kuò)散