（計算數(shù)學(xué)專業(yè)論文）m帶小波與信號的壓縮重構(gòu).pdf

華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 摘要 由予小波分耩克服了傅立時分析的不怒，使得小波分析在圖像處理和信號處理中 繕到了廣泛靜應(yīng)焉。信號處耀秘潮像楚理串逶鬻勰鋈奪波鼴有粥下靜性豢：緊支，正 交，對稱，正規(guī)和內(nèi)捶。為了建立這樣的小波，關(guān)鍵楚建立兵有以上性質(zhì)麴尺發(fā)丞數(shù)， 由于尺度函數(shù)由其尺度濾波器完全確定，故構(gòu)造具有以上餓質(zhì)的小波化為構(gòu)造具有一 定性質(zhì)的尺度濾波裙。在2 進小波系統(tǒng)中，除了哈爾小波的尺度濾波器對應(yīng)的尺度函 數(shù)，其它都不同時其有以上的性質(zhì)，因為2 迸小波的小波濾波器由尺度濾波器完全確 定，焉醚豢奪渡豹濾波器選擇有更多豹魯蠢。繪定一個m 帶尺度濾波囂藕一個啥爾 小波矩黲可以槐造m 豢小波濾波器進囂褥小波。贗以攙造m 繁小波豹關(guān)鍵在予其尺 度濾波器的構(gòu)造。本文在假設(shè)小波具有n 階消失矩的情況下：對于最少長度，繪出了 m 帶小波尺度濾波器構(gòu)造的公式；對予任意長度，也給出了構(gòu)造的方法。 論文的第二部分從多尺度的憋想出發(fā)，提出一種由小波變換的模極大值及造成小 渡交換橫極大篷點瓣信號靜突交贏的纛規(guī)健來快速重構(gòu)信芍的方法。在備尺度下，依 據(jù)小波變換的模極大蠖及造成小波變換模極大蕊點鮑焦號鴕突變熹戇芷援性寐選取 基滿數(shù)擬舍信號在該尺度下的小波變換，然后利用這些在不同尺度下的擬含的小波分 量科作小波反演得熏構(gòu)信號。實驗結(jié)果表明，它是一種快速而又有較高的信噪比的熏 構(gòu)方法。 ， 關(guān)鍵詞：m 繁小波濾波器模較大馕f 正瓣性；。多尺度分拆 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i sh a sb e e nu s e dw i d e l yi nt h ef i e l d so f s i g n a lp r o c e s s i n ga n di m a g e p r o c e s s i n ga si th a so v e r c o m et h es h o r t a g eo f t h ef o u r i e ra n a l y s i s i nt h ef i e l d so f s i g n a l p r o c e s s i n g a n di m a g ep r o c e s s i n gw a v e l e ti s u s u a l l ye x p e c t e d t oh a v et h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s ：c o m p a c ts u p p o r t ，o r t h o g o n a l i t y , s y m m e t r y , r e g u l a r i t y , a n di n t e r p o l a t i o n t o c o n s t r u c ts u c hw a v e l e t ，i ti sc r u c i a l d e s i g n i n gs c a l i n g f u n c t i o nw i t ht h ea b o v ef i v e p r o p e r t i e s a st h es c a l i n gf u n c t i o ni sd e c i d e dc o m p l e t e l yb yi t sf i l t e r , i ti sc u r i a ld e s i g n i n g t h ef i l t e rt oh a v es o m e p r o p e r t i e s i nt w o b a n dc a s e s ，e x p e c tf o rt h eh a a rf i l t e r , t h e r ei sn o s c a l i n gf i l t e rc r e a t et h es c a l i n gf u n c t i o nw i t h t h ea b o v ef i v ep r o p e r t i e sb e c a u s ei t sw a v e l e t f i l t e ri sd e c i d e d c o m p l e t e l yb y i t ss c a l i n gf i l t e r , i nt h em b a n dc a s e s ，t h e r ei sm u c hf r e e d o m t oc h o i c et h ef i l t e r g i v e nas c a l i n gf i l t e ra n dah a a rw a v e l e tm a t r i x ，t h e r ei saw a yt o c o n s t r u c tt h em b a n dw a v e l e tf i l t e ra n dt h e nt h ew a v e l e t s oi ti sc r u c i a lt oc o n s t r u c tt h e m b a n dw a v e l e ts c a l i n gf i l t e rf o rc o n s t r u c t i n gam - b a n dw a v e l e t s 。i nt h i st h e s i s ，i nt h e c o n d i t i o nt h a tt h em - b a n dw a v e l e th a st h en v a n i s h i n gw a v e l e tm o m e n t ，af o r m u l ao f t h e m - b a n dw a v e l e tf i l t e rh a sb e e n g i v e n t ot h el e a s tl e n g t h t ot h ea r b i t r a r i n e s sl e n g t h , t h e r ei s a w a y t oc o n s t r u c t i o nt h es c a l i n gf i l t e ro f t h em - b a n dw a v e l e t s i nt h es e c o n dp a r to ft h i st h e s i s ，b a s e d0 1 1t h em u l t i s e a l ei d e a l ，af a s ta l g o r i t h mw a s q u i e t t or e c o n s t r u c t i o nt h es i g n a lf r o mi t sw a v e l e tu - a n s f o r mm o d u l u sm a x i m aa n di t s r e 9 1 1 1 a d t y o fs i n g u l a r i t y c r e a t i n g t h ew a v e l e tt r a n s f o r mm o d u l u sm a x i m a t h eb a s e s f u n c t i o nw a sm a d ec h o i c eo f a c c o r d i n gt oi t sw a v e l e tt r a n s f o r mm o d u l u sm a x i m a a n di t s r e g u l a r i t yo fs i n g u l a r i t yt h a t c r e a t et h ew a v e l e tt r a n s f o r mm o d u l u sm a x i m ai no r d e rt o r e c o n s t r u c t i n g t h ew a v e l e tt r a n s f o r mo ft h es i g n a lo ne v e r ys c a l e ，a n da l lo ft h e s e c o m p o n e n t sw e r eu s e dt or e c o n s t r u c tt h es i g n a lb yi n v e r s et r a n s f o r m n u m e r i c a lr e s u l t s s h o w e dt h a tt h er e c o n s t r u c ta l g o r i t h mi sf a s ta n dc a n g e th i g hs i g n a ln o i s e r a t e k e y w o r d s ：m b a n d w a v e l e t sf i l t e r sm o d u l u sm a x i m a r e g n r l a r i t y m u l t i s c a l ea n a l y s i s i i 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 緒論 本章介紹小波分析的發(fā)展及相關(guān)的理論。同時也介紹本人所做的工作及本文的組 織方式。 1 1 從f o u r i e r 分析到小波分析 小渡分析是在不斷完善的f o u r i e r 分析的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。 1 8 0 7 年，f o u r i e r 在研究熱傳導(dǎo)方程時發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間【0 , 1 】上許多函數(shù)f ( t ) 都可以 由它的f o u r i e r 級數(shù)夕( 九) p 2 4 “表示， ，( n ) = - r ，( f ) p 一2 4 “西 這說明一個不可數(shù)的數(shù)據(jù)集合 f ( t ) ：r 0 ，l 】) 能夠通過一個可數(shù)的數(shù)據(jù)集合 f ( n ) ：r t z ) 取代，本質(zhì)上，這可看作是一種數(shù)據(jù)壓縮。后來將這種標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)族 e ”：n z ) 的離散加權(quán)和形式擴展到為標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)族 p ：fer 的連續(xù)加權(quán)和，即 廠( f ) = 寺佇夕( f ) 口蛔d 0 9 其中權(quán)函數(shù) ，( c o ) = f 廠( f ) p d t 1 9 6 5 年，j w c o o l c y 和j t u k e 共同創(chuàng)建的快速f o u r i e r 變換的數(shù)值及計算方法使 得f o u r i e r 變換成為工程技術(shù)人員廣泛應(yīng)用的工具，它廣泛用于信號處理和其他技術(shù) 領(lǐng)域。 然而，f o u r i e r 變換有它固有的缺點，即在時域中沒有分辨能力，即變換夕( ) 關(guān) 于任何有限頻的信息都不足以確定與之對應(yīng)的時域表現(xiàn)，因此無論在理論上還是在實 踐中這個事實都帶來了許多困難和不便。 為了克服f o u r i e r 變換的缺陷，人們經(jīng)歷了長期的探索，最終導(dǎo)致了小波分析的產(chǎn)生。 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 9 1 0 年，h a a r 在描述抽象的h i l b e r t 空間特征的論文中，首次構(gòu)造了空間r ( 【o ，l 】) 上的一個緊支撐正交基，設(shè) ，。= 2 一”門，2 一”( 行+ 1 ) 】r ，m ，胛z 則所有這樣的二進區(qū)間滿足性質(zhì)：，。，。- 。 m m 。，在它上面定 義的緊支撐函數(shù) h 。( f ) ：= 2 一 ：。t2 ，：, 2 ，：- 一m 。n 。g 。+ t 。 ，2 ：，- ；m ，。( ：n 一+ 。1 。： ， l 0 ，其它 是正交的，即 = n ，。( f ) t _ ( o a t = 6 ( m m ) 占( 玎一，l + ) 而且，它們在三2 ( 0 ，1 】) 中是完備的，對于上2 ( 0 ，1 ) ) 中的任何函數(shù)廠( r ) f ( t ) = h ，。( t ) 容易驗證：h m 。( r ) = 2 2 h ( 2 “t - n ) 正是小波基的結(jié)構(gòu)特征，既所有基元素都是通過某 一個函數(shù)的伸縮和平移組成。h a a r 函數(shù)系，目前被稱為h a a r 小波，是早期人們發(fā)現(xiàn) 的第一個最簡單的小波原型。 與h a a r 小波對應(yīng)的一個例子是s h a n n o n 小波，他與古典的s h a n n o n 采樣定理有關(guān)。 設(shè) 吡) = 業(yè)盟祟掣石 r lzj 則它的f o u r i e r 變換 曠( 0 9 ) = 拈是叫2 “一h 2 川 由妒( f ) 的平移和伸縮組成的函數(shù)系似。( f ) ：m ，1 z 構(gòu)成空間l 2 ( r ) 的一種正交基。 h a a r 小波和s h a n n o n 小波是兩個極端例子，前者在時域上有良好的局部特性， 而頻域的局部特性很差：而后者在頻域上有良好的局部特性，而時域局部特性很差。 這兩個例子自然啟示人們考慮這樣的問題：是否有在時域與頻域同時具有良好局部特 2 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 性的函數(shù)? 然而w h e i s e n b e r g 的不確定性原理卻給出令人很悲觀的結(jié)論，即任一個函 數(shù)和它的f o u r i e r 變換的時寬與頻寬之積大于一個常數(shù)。即對任意的島，r 和任意 的單位模函數(shù)y ( r ) l 2 ( r ) ，有下面的不等式： 一f 。( t - t o ) 2 妒。) 1 2 a 一i 。( 一2 眵( ) 1 2 d 國專 本質(zhì)上，這個不等式中的兩個積分分別是對函數(shù)y ( f ) 和礦( ) 分別在氣和處方差的 度量，因此，要對時間和頻率同時測得準(zhǔn)是不可能的。 為了彌補f o u r i e r 變換的不足，1 9 4 6 年，g a b a r 引進了窗口f o u r i e r 變換或稱短時 f o u r i e r 變換： 何( p 川) _ 擊_ l 八烈卜咖叫西 最初，g a b o r 取窗函數(shù)為g a u s s 函數(shù)g o ) = 7 州4 e 一戶坨，因為它具有最小的時寬頻 寬積，即h e i s e n b e r g 不等式中的等號成立，這樣，對于確定的，具有單能量的窗函數(shù) g ( t ) ，有下面的重構(gòu)公式： 廠。) 3 了殺里何( p ，g ( f 一們p 秘勿由 窗口f o u r i e r 變換是一種滑窗大小和形狀均固定的時頻局部化分析。因為頻率與周期 成反比，因此，反映信號高頻成分需要窄的時間窗，而反映信號低頻成分需要寬的時 間窗。這樣，滑窗f o u r i e r 變換不能滿足這一要求。 為便于計算，人們需要將滑窗f o u r i e r 變換離散化，取p = p o ，q = n q o ，m ，療z ， 即頻域和時域的取樣長度分辨為p 。和吼，則得到相應(yīng)的離散窗1 2 1f o u r i e r 變換序列： s f ( m p 。，n q 。) ：m ，刀z ) 。人們自然希望，找一個在時域和頻域都比較集中的窗函數(shù) g ( t ) ，使得函數(shù)系： g 。( r ) = g ( t 一，l go ) p 呷一：m ，力z ) 能構(gòu)成上2 ( 胄) 的正交基。但著名的b a l i a n - l o w 定理表明這是不可能的，因為若有函數(shù) 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 g ( t ) 使得 g 。( ，) ：m ，n z 構(gòu)成上2 似) 的正交基，貝| j t g ( t ) 盛l 2 ( 胄) 與罐( c o ) 茌三2 ( r ) 兩者 中必有一個成立，所以這樣的函數(shù)g ( t ) 不能同時在時域和頻域具有良好的局部化性 質(zhì)a 這樣人們便退一步研究 g 。( ，) ：m ，, z 能構(gòu)成框架理論來研究連續(xù)小波變換的 離散化。 八十年代初，s t r o m b e r g 發(fā)現(xiàn)了第一個非h a a r 系統(tǒng)的正交小波。同一時期，m e y e r 和他的同事們研究l i t t l e w o o d - p l a e y 表示的離散形式，他們給出調(diào)和分析中許多結(jié)果 的統(tǒng)一的解釋。與此同時，f r a z i e r 和j a w e r t h 發(fā)展了妒變換理論，人們開始認識到， 在數(shù)值應(yīng)用中，它們能夠作為f o u r i e r 變換的一種有效的替代工具。它們可將描述函 數(shù)的重點轉(zhuǎn)移到表示本身和原子函數(shù)的構(gòu)造。這時，m e y e r 和m o r l e t 開始用w a v e l e t s 一詞來稱呼原子函數(shù)，由此，早期稱之為l i t t l e w o o d - p l a e y 的一些理論現(xiàn)在就取名 為小波理論。 1 2 小波的發(fā)展 1 9 8 6 年，m s m i t h 和t b a m w e l l 提出了共軛鏡像濾波器組的概念，這為二進緊支 撐小波的構(gòu)造提供了契機。后來，e p v a i d y a n a t h a n 將其推廣到m 帶濾波器組，提出 了完全重構(gòu)的重大抽取系統(tǒng)，并對因果f i r 系統(tǒng)進行了參數(shù)化，這一結(jié)果對信號處理 和后來的m 帶小波都起了重要的作用。同一年，m e y e r 提出了具有一定衰減性質(zhì)的 光滑小波函數(shù)v ( t ) 使得它的二進伸縮和平移函數(shù)系 y ，( r ) = 2 剛2 礦( 2 “t 一甩) ：m ，r z 構(gòu)成二( r ) 的規(guī)范正交基。在那之前，人們認為這樣的函數(shù)是不存在的。 繼m e y e r 小波后，l e m a r i e 和b a t t l e 又分別獨立地給出具有指數(shù)衰減性質(zhì)的小波 函數(shù)。此后不久，m a l l a t 和m e y e r 提出了多分辨分析的概念，這一理論的建立不僅在 理論上統(tǒng)一了在此以前的s t r o n g b e r g 、l e m a r i e 和b a 士t l e 提出的具體小波的構(gòu)造，為人 們系統(tǒng)地構(gòu)造小波基提出了一個統(tǒng)一的框架，而且，在應(yīng)用中，它為信號的多分辨分 解和完全重構(gòu)提供了一個快速算法，這使得小波分析這門在數(shù)學(xué)上較高深和抽象的新 理論易于被工程技術(shù)人員理解和掌握，極大地加快和普及了小波變換在工程技術(shù)領(lǐng)域 的應(yīng)用。多分辨分析是一種介于時間域與頻率域相結(jié)合的分析方法，它基于人們認識 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 事物過程的分辨原則，即人們認識事物是一個逐步深化的過程，首先是總體輪廓，然 后是結(jié)構(gòu)線頭，最后是細節(jié)。 1 9 8 8 年，d a u b e r c h i e s 用m f l l a t 和m e y e r 的方法構(gòu)造了具有緊支撐的正交小波基。 九十年代，隨著理論與實際相結(jié)合的發(fā)展，隨著人們對小波要求的提高，小波的 一些性質(zhì)像對稱，緊支撐，消失矩和正則度被要求，然而在二進小波中這些要求與正 交性是無法同時成立的。為此又提出了雙正交小波、m 帶小波、多小波等小波基。 1 9 9 5 年，w s w e l d e n 提出了通過提升過程構(gòu)造第二代小波的想法。提升過程是一 個簡單而又實用的工具，使小波的構(gòu)造具有靈活性，并且包含了已有小波構(gòu)造的方法， 為在直線上實時或在曲面上實時構(gòu)造與信號自適應(yīng)的小波系統(tǒng)或局部小波系統(tǒng)( 如區(qū) 間小波) 提供了可能。 1 3 本論文的主要工作及論文的安排 本論文主要作了兩方面的工作。一是對m - 帶正交小波尺度濾波器的構(gòu)造的研究， 另一方面是給出了一種快速重夠信號的方法。 m 帶正交小波是由一個尺度函數(shù)9 ( x ) 和m - 1 個小波函數(shù)礦，妖砷2 ，_ 1 構(gòu)成：這個尺度函數(shù)伊( 構(gòu)成r ( r ) 一個多尺度分析，而這m 1 個小波構(gòu)成小波空間。 尺度函數(shù)與小波函數(shù)是相互正交的，不同小波函數(shù)之間也是相互正交的。因為平方可 積函數(shù)( 本文指m 帶小波的尺度函數(shù)和小波函數(shù)) 與平方可和的序列是一一對應(yīng)的。 所以上面的問題化歸為求m 帶正交小波的濾波器問題。又因為一個給定的尺度濾波 器和一個小波矩陣可以唯一地確定一個m 帶小波。而小波矩陣又可以參數(shù)化，故m 帶正交小波的構(gòu)造的關(guān)鍵就是其尺度濾波器的構(gòu)造。本文在假設(shè)m 帶小波具有n 階 消失矩的基礎(chǔ)上對其尺度濾波器的構(gòu)造進行了研究：對于m 帶小波的尺度濾波器最 少長度解給出了顯示的求解公式；對于濾波器長度為任意的情況給出了求解其f o u r i e r 變換的方法，然后由其f o u r i e r 變換再得濾波器。 信號在突變處包含了信號中最重要的信息。這些最重要的信息能體現(xiàn)為信號在不 同尺度上小波變換的模極大值( 包含位置和大小) 。如何利用小波變換的模極大值重 構(gòu)信號在信號處理中具有十分重要的意義。本文在研究信號突變點( 造成小波變換模 極大值點) 的基礎(chǔ)上，認為不同l i p s c h i t z 指數(shù)的信號突變點造成的小波變換模極大值 點不能等同對待，提出一種快速重夠信號的方法：根據(jù)小波變換模極大值在不同尺度 5 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 上的變換情況，把小波變換模極大值對應(yīng)的點分成不同的類別，然后再根據(jù)不同的類 別選取不同的基函數(shù)來擬合信號在各尺度下的小波變換，最后做小波反演得重構(gòu)信號， 實驗結(jié)果顯示它是一種快速而又有較高信噪比的方法。 本論文按如下方式組織：第二章是一些基本知識，它是本論文的基礎(chǔ)，有一些也 是本人學(xué)習(xí)小波分析的心得。第三章介紹了m 帶正交小波尺度濾波器構(gòu)造，由m 帶小波的正交條件和它的正則性推導(dǎo)出：對于m 帶小波的尺度濾波器最少長度解給 出了顯示的求解公式；對于濾波器長度為任意的情況給出了求解其f o u r i e r 變換的方 法，然后由其f o u r i e r 變換再得濾波器。第四章介紹了一種快速重構(gòu)信號的方法：在 研究信號突變點( 造成小波變換模極大值點) 的基礎(chǔ)上提出了一種根據(jù)突變點的不同類 別選取不同的基函數(shù)來擬合信號在各尺度下的小波變換，最后做小波反演得重構(gòu)信號 的方法。 6 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 2 小波的基本理論 本章主要介紹小波的基本理論。它是后兩章的基礎(chǔ)，同時也起到統(tǒng)一符號的作用 有些是本人學(xué)習(xí)小波分析的體會。 2 1 基本概念和定義 全文采用下面的標(biāo)準(zhǔn)記號： z 表示整數(shù)集合 r 表示實數(shù)集 c 表示連續(xù)函數(shù)類 c 表示m 階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)類 二( r ) 表示定義在r 上的所有能量有限信號，即 fi f ( f ) i ! d t 蜘 符號i i ( r ) i i ：表示空間l 2 ( r ) 中信號，( f ) 的范數(shù)，即 l l f l l ：= ( j l f ( t ) l 2 d t ) 定義2 ir ( r ) 中兩個信號的內(nèi)積定義為： _ ( f 廠( r ) g - ( t ) a t ) 其中季( ，) 為g ( r ) 的共軛。 定義2 2 信號，( f ) r ( r ) 的f o u r i e r 變換定義為： 夕( = j 廠( f ) e - j o l t d o ) 相應(yīng)的f o u r i e r 逆變換為： 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 巾，= 蔓m d 仞 小波變換的特點之一就是用上2 ( r ) 中一個固定的函數(shù)的伸縮和平移來表示一個函 數(shù)，在連續(xù)小波變換的情況下，伸縮和平移是連續(xù)變化的，即基函數(shù)的基本構(gòu)成單元 為： 州忙而1 礦c 半加，6 咄 定義23 連續(xù)小波變換定義為： ，廠( 口，b ) = = 廠( f ) 嘸，6 ( t ) c t t 定義2 4 如果f ( r ) 中的函數(shù)滿足下面的允許條件： c ，= ) 鐘m t 伸 那么，( f ) 稱為允許小波。對于允許小波，有下面的重構(gòu)公式： 巾) = 寺l 蔓口，6 等 v 一 ” 定義2 5 如果函數(shù)礦( r ) 滿足下面的條件： tk y ( t ) a t = 0 ，k = 0 ，1 2 ，p 一1 則稱他具有p 階消失矩。 由允許條件，我們知道y ( r ) 至少應(yīng)該具有一階消失矩，即 fy ( f ) d t = 0 2 2 多分辨分析 m a l l a t 和m e y e r 創(chuàng)立了多分辨分折的理論，統(tǒng)一了那時以前的所有正交小波函數(shù) 8 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 基的構(gòu)造并為此后的構(gòu)造設(shè)定了框架。同時，在這一框架下他給出了信號和圖像分解 為不同頻域通道( 小波展開) 的算法及其重構(gòu)( 小波級數(shù)重構(gòu)) 算法。這就是著名的 m a l l a t 算法。m a l l a t 算法在小波分析中的地位就相當(dāng)于快速f o u r i e r 算法在f o u r i e r 分 析中的地位。 定義2 6 空間三2 ( r ) 中的一列閉子空間 一 。稱為一個多分辨分析，如果下列 條件滿足： ( 1 ) 單調(diào)性：一ic 一，w z ； ( 2 ) 逼近性：n = o ) ，u = 工2 ( r ) ； ，e z，t z ( 3 ) 伸縮性：廠( ，) 巧一l 錚f ( 2 t ) _ ； ( 4 ) 平移不變性：，( r ) v oj f ( t - k ) ，v 七z ； ( 5 ) r i e s z 基：存在f ( t ) ，使得 妒( ，一k ) ik z 構(gòu)成的r i e s e 基，即對任 意廠( ，) ，存在唯一的序列乜) 植，使得 廠( f ) = c 。妒( 卜k ) 七e z 反之，任意序列 c n ) 。z ，2 確定一個函數(shù)，( r ) v o ，并且存在正常數(shù)a 和b ，其中 a b ，使得對所有廠( r ) ，不等式 4 帆堋s 川2 s 8 1 1 s ( , ) l i ： i e z 成立。 實際上這個多分辨分析是由函數(shù)妒o ) 生成的，這是因為 ( 1 ) 伊( f 一七) ik z ) 是的r i e s e 基，因此，v o = c l o s l ： ( 2 ) 由伸縮性很容易證明 妒，j ( f ) ik z ) 是_ 的r i e s e 基，從而 礦j = c l o s： ) 9 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 這里，。( f ) = 2 j - , 妒( 2 7 t - k ) 。由于伊( r ) z ock ，所以，存在唯一序列慨) m 1 2 使 得滿足下面的雙尺度方程： 伊( f ) = 厄h k 妒( 2f k ) 女z 這里 h 。) 稱為低通濾波器或尺度濾波器，其z 一變換為： h ( z - )= h 。z “ k z 它滿足歸一化條件：h ( 1 ) = 2 ，伊( ，) 稱為尺度函數(shù)。雙尺度方程是信號廠( r ) 進行快 速小波變換的關(guān)鍵。 2 2 1 正交多分辨分析 設(shè)函數(shù)妒( ，) 生成一個多分辨分析，它還具有整數(shù)平移正交性，即 吧 i 妒( f 一肌) 歹( f 一櫛) a c t = 萬( 以一m ) 則稱伊( ，) 生成三2 ( r ) 的一個正交多分辨分析。上面時域上的正交條件在頻域里的等價 形式為 p ( 2 k t r + 國) i 2=1 由這一條件及雙尺度方程的頻域表現(xiàn) 礦( ) = 六日( 爭) 伊( 爭) 我們有下面的等式 i h ( e ，。) 1 2 + i h ( e ，t m + 口) 1 2 = 2 它在時域里的表現(xiàn)為 h 。h 。一：i = 萬( j ) 不妨設(shè)眵為一在巧+ - 中的正交補，即 l o 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 = = = = = ；= = 目= 那么我們有如下一些關(guān)系式 v i 。l = vi qw i 礦= o 矽， 2 。 三2 ( r ) = v j 。w j 上：( r ) ：。礦w ， ，= - ：m o 同空間一一樣，我們希望找到一個函數(shù)妒( r ) 甄使其整數(shù)平移( y ( ，k ) lk z 構(gòu)成 的正交基，而妒( r ) 的二進伸縮和平移 y 從( t ) l t z ) 構(gòu)成的正交蒸，其中 y ，女( f ) = 2s 2 y ( 2 r 一七) 為此，我們注意到所要找的函數(shù)y ( ，) k ，于是存在唯一，2 序列 ) 使得 其頻域表現(xiàn)形式為 這里 妒( f ) = 厄gk 妒( 2 t 一j ) i ez 礦( 國) = 擊g 。2 ) 妒( 詈) g ( e 。) = g t p 一腩。 七e z 要使它的整數(shù)平移構(gòu)成的正交基，那么高通濾波器應(yīng)該滿足條件 h ( e 細) i 亨( g 岫) + h p 。+ 4 ) z 五p 4 ”州) = 0 | g p ”) f 2 + f g 怕”) 2 = 2 g ( e ”) 稱為高通濾波器如果取g ( p ”) = p 1 。h ( e “?！? ，或& = ( 一1 ) h 嚏。那么，它滿 l l 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 足上面的兩個條件，于是對任意的信號f ( t ) l 2 ( r ) ，有下面的小波級數(shù)展開 廠( f ) = d 卅y 卅( f ) 量e z e z 這里 d i j c = l f q 諺洙( t ) d t = 2 ml f ( t ) 7 ( 2 j t k ) d t 這表明模擬信號( x ) 與一個二元序列 d 肚) 小。：1 2 ( z 2 ) 是一一對應(yīng)的。 小波級數(shù)變換可以用濾波器組實現(xiàn)下面是著名的m a l l a t 塔式算法 分解算法 = = 帕i = 口伽h 川女2 = 乙 向帕i 。乞口伽川女 d j “t = = 廠，y 肋諂脅= 嘭。g 啪 回復(fù)算法 川，=(口i,nh一。+dj,nga 2 d g t 一2 。)“ 2 乙( 口 一。+t n ) h e z 其中a j , k 稱為第j 層的逼近信號，d j ，稱為第j 層的細節(jié)信號。 2 2 2 m - 帶正交多分辨分析 現(xiàn)在介紹m - 帶多分辨分析設(shè)低通濾波器向量( 尺度向量) 為h “，其長度n = m k , 以長度m 將上述向量分成k 段，則其多相位子列為： h o j = 磷“，聰，礎(chǔ)?！? 相應(yīng)的濾波傳遞函數(shù)為上j ( ：) ，于是它的z 變換可表示為 其中尺度向量h 0 可以用下面的式子進行參數(shù)化( 嚴格地說是對尺度向量的多相位字 列的濾波傳遞函數(shù)的參數(shù)化) ： m z日 o z = 、， z ，l 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 f 1 擊如咖1 | 其中v ，為m 維單位列向量。對于給定的一個尺度向量人們可以用c 三一。個參數(shù)通過 g r a m s c h m i d t 正交化過程得一個矩陳s ：s ；s = m i ，使它的第一列正好是給定的 ( 1 ，l ，l 1 7 ，所以有下面的偽正交多相位矩陣： 日( z ) = h o o ( z ) ，h l ，o ( z ) ，_ 厶0 吐o ( z ) h o ，i ( z ) ，日i ，i ( z ) ，吼川( z ) 日o “一i ( 力，h 1 w l ( ：) ，日 f i ，一l ( z ) = 面1 蚪k - i 帥。v j + v l v s 于是可定義m - 帶正交小波妒，y 1 ( ，) ，y 2 ( ，) ，y ”。( ，) ，它們滿足： = 萬( 行) 妒( 撇一n ) y ( f ) = 砑魄( ”) 妒( 腳一九) ，i = 1 ，2 ，3 ，m - 1 9 = m “72 妒( m t n ) y 。m 一= m ”“y ( m t 一一) ，i = 1 , 2 , 3 ，m 一1 匕= s p a n 伊。( ，) ：櫛： 阡：= p 口一 l 礦：。( ，) ：n ：) i = 1 , 2 , 3 m 一1 那么上面的m 帶小波構(gòu)成多尺度分析： m - i j = 一一o ( o 壇一1 ) c e tc ck c c l o s e ( ) j 。= f ( r ) n 一= o j t ： = 1j 、i，) q 心心； h 日 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 3m 帶小波尺度濾波器的構(gòu)造 m 帶正交小波的構(gòu)造就是要找一個尺度函數(shù)妒( 工) 和m 1 個小波函數(shù) 妒，( 工) ，緲2 ( x ) ，一l ( x ) ：這個尺度函數(shù)妒( x ) 構(gòu)成三2 ( r ) 的一個多尺度分析，而這m 1 個小波y 。( x ) ，y ：( 工) ，一( z ) 構(gòu)成小波空間。尺度函數(shù)與小波函數(shù)是相互正交的，不 同小波函數(shù)之間也是相互正交的。因為平方可積函數(shù)的尺度函數(shù)和平方可和的序列是 一一對應(yīng)的。所以上面的問題化歸為求濾波器的問題。又因為一個給定的尺度濾波器 和一個小波矩陣可以唯一地確定一個m 帶小波。而小波矩陣又可以參數(shù)化，故m 帶正交小波的構(gòu)造的關(guān)鍵就是其尺度濾波器的構(gòu)造。 本章按下面的方式組織內(nèi)容。第一節(jié)介紹小波與濾波器：因為尺度濾波器與尺度 函數(shù)、小波濾波器與小波函數(shù)是一一對應(yīng)的，所以無論是二進小波還是m 帶小波的 構(gòu)造都化歸為其濾波器的構(gòu)造，對于二進小波，其小波濾波器由其尺度濾波器唯一確 定，對于m - 帶小波，其小波濾波器在已知尺度濾波器的情況下可以參數(shù)化，所以無 論是二進小波還是m 帶小波的構(gòu)造都化歸為其尺度濾波器的構(gòu)造。第二節(jié)介紹消失 矩：消失矩在m 帶小波中是一個很重要的概念，本章的m - 帶小波尺度濾波器最少長 度解與任意長度解都是就是在這一概念的基礎(chǔ)上得到的。第三節(jié)是m 帶小波尺度濾 波器的最少長度解：在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出一種求解m 帶小波尺度濾波器最少長度解的 方法。第四節(jié)是m 帶小波尺度濾波器任意長度解的求法：對于最少長度解雖然有顯 示的公式，但人們還是不希望濾波器的長度被唯一固定，希望濾波器的長度是任意的， 所以對任意長m 帶小波濾波器的求法研究具有重要的意義。 3 1 小波與濾波器 在2 進小波中，我們知道正交小波濾波器由尺度濾波器唯一確定。因此，2 進小 波的構(gòu)造歸根到底就是尺度濾波器的構(gòu)造。設(shè)2 - 進小波的尺度函數(shù)為9 ( x ) ，小波函 數(shù)為y ( x ) ，尺度濾波器為 以 m ( 又稱為低通濾波器，也稱尺度濾波器系數(shù)) 尺度 濾波器唯一確定的小波濾波器為 既 ( 又稱高通濾波器，也稱高通濾波器系數(shù)) 。 1 4 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 其中g(shù) 。= ( 一1 ) “1 啊一。那么它們滿足 妒( ，) = 2 ht 妒( 2x k ) ( z ) = 厄。伊( 2 x 一七) 上面兩個等式兩邊作f o u r i e r 變換得 礦( 甜) = h 。( 爭) 礦( 爭) 礦( 珊) = h t ( 爭矽( ) 苴中 h 。( ) = 向。e 。 ( 3 i 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) h 。( 國) = g 。p 反復(fù)利用( 3 1 3 ) 和( 3 1 4 ) 我們得下面的等式 ( ) ：r i 日。( 百0 7 ) ( 3 礦( c o ) = h 。( 牛) n 日。( 魯) ，。i ( 3 1 6 ) 由上面的結(jié)論我們知道：對于2 進小波，如果我們知道尺度函數(shù)的濾波器，我們就知 道了小波函數(shù)的濾波器：再f l j ( 3 1 5 ) 和( 3 1 6 ) 求得2 進小波的尺度函數(shù)和小波函數(shù)的 f o u r i e r 變換；然后再儆f o u r i e r 反變換就得2 進小波的尺度函數(shù)和小波函數(shù)。 對于m 帶小波，我們有類似的結(jié)論。設(shè)m 帶小波的尺度函數(shù)為妒( x ) ，小波函數(shù) 為礦5 ( x ) j = 1 , 2 , 3 ，m 一1 ，尺度濾波器為 h o i ) m ( 又稱為低通濾波器，或稱尺度濾 波器系數(shù)) ，小波濾波囂為 k m s = 1 , 2 , 3 ，m - i ( 又稱商通濾波器，或稱高通濾波 器系數(shù)) 。那么它們滿足 妒( 工) = 廳 妒( 壇一k ) ( 3 1 7 ) 華中辭技大學(xué)碩士學(xué)位論文 吵5 ( x ) = 切曠矗啦妒 t 力淤繁奪渡瓣尺液濾波器， 犯，s = l ，2 , 3 ，。，m - 1 為海蒂夸渡 豹，j 、渡濾波囂，n m 為濾波器鵑長度，那么下薔麓矩陣 1 6 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 h = h o ，oh o 1 h i o h j 1 h 2 oh 2 1 一h ?！發(fā) 一 h l 。2 一h i m f l h 2 2 廳2 一l ，_ 1 2 m “一i 稱為小波矩陣。 顯然，如果我們知道了m - 帶小波的小波矩陣，我們就知道m(xù) 帶小波。 定義3 1 2 多相位矩陣 - i 如果設(shè) 。( z ) = h 。+ 。z 7 ，那么稱矩陣 日( = ) = ，o ( ：) 0 l ( z )2 ( z ) 塒一l ( z ) h i o ( z ) h 1 1 ( 引h o 2 ( ：) l 一i ( z ) h 2 o ( z ) h 2 1 ( ：) h 2 2 ( z ) h 2 m - l ( z ) !； ；! ，一i o ( z ) 。一l l ( ：) 矗“一i ，2 ( z ) m 1 ，一i ( z ) 為多相位矩陣。特別的，當(dāng)z = l 時稱為特征小波矩陣。 定義3 1 3h a a r 小波矩陣 如果矩陣s 滿足下面的兩個條件： s s ，t = mj ， so t = 1 ，vk 則稱矩陣s 為h a a r 矩陣，其中矩陣s 為下面的形式。 s = s o 0s 0 1s o 2 $ o a f l 、，一l , s t 0s 1 1s i 2 。s l 塒v i s 2 0s 2 ，ls 2 ，2 s 2 j “一1 8 ) 4 一i 0s m - i 1s m i 2 s m i , m n 如果我們知道m(xù) 帶小波的尺度濾波器和一個h a a r 小波矩陣，那么我們可以用下面 的參數(shù)化方法求得m - 帶小波的多相位矩陣，進而得小波矩陣，即得到了濾波器，從而 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 得m 一帶小波。 定理3 1 1 m 帶小波多相位矩陣構(gòu)造 給定一個m x m 的h a a r 小波矩陣s 和一個尺度l 肘的濾波器可以構(gòu)造一個 肘m 的小波矩陣，它的第一行為h o ，s 為它的多相位矩陣的特征矩陣，假設(shè)u 為單 位列向量，那么它的多相位矩陣為： f - 1 日( z ) = ( n ( ，一v 。v ；+ z 。咋v ；) ) s t 4 0 由定理3 1 我們知道，如果我們構(gòu)造了m 帶小波的尺度濾波器，我們就可以參數(shù) 化構(gòu)造它的小波濾波器。所以構(gòu)造m 帶小波的關(guān)鍵在于構(gòu)造其尺度濾波器。 3 2 消失矩 消失矩在小波分析和圖像處理中是一個非常重要的概念。小波函數(shù)的消失矩越高 小波分析逼近信號的效果就越好。 定義3 2 1 小波函數(shù)的消失矩 如果小波函數(shù)y ( x ) 滿足 鼉 ix ”y ( x ) 出= 0 ，玎= 0 ，l ，2 ， 一1 我們就說該小波具有n 階消失矩。 定理3 2 1 對于2 進小波來說，小波函數(shù)有n 階消失矩等價于其對應(yīng)的尺度濾波器滿足： ( 一1 ) k ”口。= 0 ，n 2 0 ，l ，2 ，n - 1 。 對于m 帶小波的情況，有下面類似的定理。 定理3 2 2 對于m 進小波來說，小波函數(shù)有n 階消失矩等價于其對應(yīng)的尺度濾波器滿足： f k 口= 0 ，n = o ，l ，2 一l t 其中- = e 2 ”。 1 8 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 對于m 帶小波我們知道小波濾波器不能由尺度濾波器唯一確定，小波濾波器的 選取有它的靈活性，正是因為這種靈活性，使m 帶小波可以具有2 帶小波沒有的性 質(zhì)e 它有一個尺度濾波器和m - 1 個小波濾波器，如果我們令 口。) ， 口。) ) ， 口。 ，。 分 別表示尺度濾波器和小波濾波器，它們構(gòu)成一個小波矩陣且滿足 q s , k 口。_ 州= m 萬。 ( 3 2 1 ) 口= m 艿剛( 3 2 2 ) k ( 3 2 1 ) 為m - 帶小波的正交條件，( 3 2 2 ) 為m 帶小波的線性條件。滿足這兩個條 件的濾波器構(gòu)成一個m 帶正交小波濾波器。 我們假設(shè)尺度濾波器和小波濾波器的長度為m g , 如果長度不夠，我們在后面添零， 使它滿足我們的假設(shè)。那么小波矩陣為m g g 階的，把該矩陣分成g 個m m 的小 矩陣。即如下分解： a = ( ao ，4 ”，ag - i ) 令 知；，= 口。，+ n f ：7 那么小波矩陣的多相位矩陣為 h ( ：) = a o + z a l + + z g - i a g 一 定義3 2 如果矩陣h ( z ) 滿足 h ( z ) g7 ( ：一1 ) = 塒h = l 我們就稱它是仿酉的。 定理3 2 3 滿足( 3 2 1 ) 條件的濾波器組成的小波矩陣其對應(yīng)的多相位矩陣為仿酉矩陣；多相 位矩陣對應(yīng)的矩陣的濾波器也滿足( 3 2 1 ) 。 如果我們定義濾波器的f o u r i e r 變換為 1 9 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 ；= = = = 一 a ；( e ”) = 黔s , k e f ko j 那么( 3 2 1 ) 的正交條件在頻率中的表現(xiàn)為 三副佃“) 互- e i ( + 2 x m m ) ) 。 ( 3 2 3 ) 由 h 7 ( z 一1 ) 日( z ) = 尥 有 一i a ，( e ) i ；1 定理3 2 4 m 帶小波濾波器具有n 階的消失矩，等價于下列之一成立 ( i ) 對應(yīng)的小波濾波器有n 階消失矩 ( 2 ) a o 在g - ”= e 2 ”“有n 階零點 ( 3