北京市東城區(qū)2014屆高三數(shù)學上學期期末考試 理 新人教A版

1 東城區(qū) 2013-2014 學年第一學期期末教學統(tǒng)一檢測 高三數(shù)學 （理科） 學校 _班級 _姓名 _考號 _ 本試卷共 5 頁，共 150 分。考試時長 120 分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 第一部分 （選擇題 共 40 分） 一、選擇題共 8 小題 ， 每小題 5 分 ， 共 40 分 。 在每小題 列 出的四個選項中 ，選出符合 題目要求的 一項。 （ 1） 已知集合 | 0 2A x x ， | ( 1 ) ( 1 ) 0 B x x x ，則 AB （ A） (0,1) （ B） (1,2) （ C） ( , 1) (0 , ) （ D） ( , 1) (1, ) （ 2） 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 2ii 的對應(yīng)點位于 （ A）第 一象限 （ B）第 二象限 （ C）第 三象限 （ D）第四 象限 （ 3） 設(shè) aR ， 則 “ 1a ” 是“直線 10ax y 與直線 50x ay 平行”的 （ A） 充分而不必要條件 （ B） 必要而不充分條件 （ C） 充分必要條件 （ D） 既不充分也不必要條件 （ 4）執(zhí)行右圖所示的程序框圖，輸出的 a 的值為 （ A） 3 （ B） 5 （ C） 7 （ D） 9 （ 5） 在 ABC 中， 15a ， 10b ， 60A ，則 cosB （ A） 13 （ B） 33 （ C） 63 （ D） 223 a =a+2 否 開始 S=1 是 a=3 S=S a S 100? 輸出 a 結(jié)束 2 （主視圖） （ 側(cè) 視圖） （ 俯 視圖） 1 2 1 1 （ 6）已知直線 3y kx與圓 22( 2 ) ( 3 ) 4xy 相交于 M ， N 兩點，若 23MN ，則 k 的取值范圍為 （ A） 33 , 33 （ B） 11 , 33 （ C） 3( , 3 （ D） 3 , )3 （ 7） 在直角梯形 ABCD 中， 90A ， 30B ， 23AB , 2BC ，點 E 在線段 CD 上，若 A E A D A B，則 的取值范圍是 （ A） 0,1 （ B） 0, 3 （ C） 10, 2 （ D） 1 ,22 （ 8 ） 定義 ,m a x , a a babb a b 設(shè) 實 數(shù) ,xy 滿 足 約 束 條 件 2,2,xy則m a x 4 , 3 z x y x y 的取值范圍是 （ A） 6,10 （ B） 7,10 （ C） 6,8 （ D） 7,8 第二部分 （非 選擇題 共 110 分） 二、填空題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分。 （ 9）若函數(shù)()fx為奇函數(shù)，當0x時，2()f x x x，則( 2)f 的值為 （ 10） 一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體 的體積為 （ 11）若點 (4,4)P 為拋物線 2 2y px 上一點，則拋物線焦點坐標為 ；點 P 到拋物線的準線的距離為 3 xyAOP（ 12） 函數(shù) 1y x x 的最大值為 （ 13）如圖， 已知點 1(0, )4A,點0 0 0( , )( 0 )P x y x 在曲線 2yx 上， 若陰影部分面積與 OAP 面積相等時，則0x （ 14） 設(shè)等差數(shù)列 na滿足：公差 *dN ， *na N，且 na中任意兩項之和也是該數(shù)列中的一項 . 若1 1a，則 d ； 若 51 2a ，則 d 的所有可能取值之和為 . 三、解答題共 6 小題，共 80 分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。 （ 15）（本小題共 13 分） 已知函數(shù) 2( ) 2 3 s i n c o s 2 s i n 1f x x x x （）求 ()12f 的值； （）求 ()fx在區(qū)間 0, 2上的最大值和最小值 （ 16）（本小題共 13 分） 已知 na是一個公差大于 0 的等差數(shù)列，且滿足3545aa, 2614aa. （）求數(shù)列 na的通項公式； （） 若數(shù)列 nb滿足： 122 12 2 2 n nnbbb a ( *)N ， 求數(shù)列 nb 的前 n 項和 . （ 17）（本小題共 14 分） 如圖，在三棱柱1 1 1ABC A B C中，1BB平面1 1 1ABC 1 2A C C B C C ，90ACB， D ， E 分別是 11AB ， 1CC 的中點 （）求證：1CD 平面1ABE； （）求證：平面1ABE平面11AABB； （）求直線1BC與平面1ABE所成角的正弦值 BA CA A DA EA A1 B12A C1 4 （ 18）（本小題共 13 分） 已知 aR ，函數(shù) 1( ) lnf x x a xx （）當 0a 時，求 ()fx的最小值 ； （）若 ()fx在區(qū)間 2, ) 上是單調(diào)函數(shù)，求 a 的取值 范圍 （ 19）（本小題共 13 分） 已知橢圓 221xyab( 0)ab上的點到其兩焦點距離之和為 4 ，且過點 (0,1) （）求橢圓方程； （） O 為坐標原點， 斜率為 k 的直線過橢圓的右焦點，且與橢圓交于點11( , )A x y，22( , )B x y，若1 2 1 2220x x y yab，求 AOB 的面積 . （ 20）本小題共 14 分） 若無窮數(shù)列 na滿足： 對任意 *nN ， 2 12nn naa a ； 存在 常數(shù) M ， 對任意 *nN ，naM，則稱數(shù)列 na為“ T 數(shù)列” . （）若數(shù)列 na的通項為 82nna ( *)nN，證明：數(shù)列 na為“ T 數(shù)列”； （）若數(shù)列 na的各項均為正整數(shù)，且數(shù)列 na為“ T 數(shù)列”，證明：對任意 *nN ，1nnaa； （） 若數(shù)列 na的各項均為正整數(shù)，且數(shù)列 na為“ T 數(shù)列”，證明：存在 0 *n N，數(shù)列0nna 為等差數(shù)列 . 5 東城區(qū) 2013-2014 學年第一學期期末教學統(tǒng)一檢測 高三數(shù)學參考答案及評分標準 （理科） 一、選擇題（共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分） （ 1） C （ 2） D （ 3） A （ 4） C （ 5） C （ 6） A （ 7） C （ 8） B 二、填空題（共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分） （ 9） 6 （ 10） 32 （ 11） (1,0) ， 5 （ 12） 2 （ 13） 64 （ 14） 1, 63 三、解答題（共 6 小題，共 80 分） （ 15） （共 13 分） 解：（ ）由 2( ) 2 3 s i n c o s 2 s i n 1f x x x x 3 s i n 2 c o s c o s 2x x x， 得 ( ) 2 s in ( 2 )6f x x 所以 ( ) 2 s in 31 2 3f 8 分 （ ） 因為 02x ， 所以 26 6 6x 當 262x ， 即6x 時 ， 函數(shù) ()fx在區(qū)間 0, 2上 的最大值為 2 當 266x ， 即2x 時 ， 函數(shù) ()fx在 0, 2上 的最 小 值為 1 13 分 （ 16） （共 13 分） 解：（） 設(shè)等差數(shù)列 na的公差為 d ，則依題設(shè) 0d 由2614aa,可得4 7a 6 由3545aa，得 ( 7 ) ( 7 ) 4 5dd ，可得 2d 所以1 7 3 1ad 可得 21nan 6 分 （）設(shè)2nn nbc ，則12 1nnc c c a . 即12 2nc c c n ， 可得1 2c，且1 2 1 2 ( 1 )nnc c c c n 所以1 2nc ，可知 2nc ( *)nN 所以 12nnb ， 所以數(shù)列 nb是首項為 4 ，公比為 2 的 等比數(shù)列 所以前 n 項和 24 (1 2 ) 2412n nnS 13 分 （ 17） （共 14 分） 證明： （）取 AB 的中點 F ，連結(jié) DF ，交1AB于點 M ，可知 M 為 DF 中點， 連結(jié) EM ，易知四邊形1CDME為平行四邊形， 所以1CD EM 又1CD平面1ABE， EM 平面1ABE， 所以1CD 平面1ABE 4 分 證明：（）因為1 1 1 1AC C B，且 D 是11AB的中點， 所以1 1 1C D A B 因為1BB平面1 1 1ABC，所以11BB C D 所以1CD平面11AABB 又1CD EM ，所以 EM 平面11AABB 7 又 EM 平面1ABE， 所以平面1ABE平面11AABB 分 解： （）如圖建立空間直角坐標系 C xyz ， 則 (0,2,0)B ，1(0,0,2)C, (0,0,1)E ，1(2,0,2)A 1 (0, 2, 2 )BC ，1 (2,0,1)EA ， (0, 2, 1)EB 設(shè)平面1ABE的 法向量為 ( , , )x y zn . 則 1 0,0.EAEB nn 所以 2 0,2 0.xzyz 令 1x . 則 (1, 1, 2) n . 設(shè)向量 n 與1BC的夾角為 ， 則113c o s6BCBC nn. 所以直線1BC與平面1ABE所成角的正弦值為 36. 14 分 （ 18） （共 13 分） 解：（）當 0a 時， 1( ) lnf x xx（ 0x ）， 221 1 1( ) xfx x x x 所以，當 01x時， ( ) 0fx ； 當 1x 時， ( ) 0fx 所以，當 1x 時，函數(shù)有最小值 (1) 1f 分 （） 2221 1 1( ) a x xf x ax x x 當 0a 時， 12 xax 在 2, )x 上恒大于零，即 0)( xf ，符合要求 當 0a 時，要使 ()fx在區(qū)間 2, ) 上是單調(diào)函數(shù)， BA CA A DA EA A1 B12A C1 FA MA xA yA zA 8 當且僅當 2, )x 時， 2 10ax x 恒成立 即21 xa x 恒成 立 設(shè)21() xgx x ， 則32( ) xgx x ， 又 2, )x ，所以 ( ) 0gx ，即 ()gx 在區(qū)間 2, ) 上為增函數(shù)， ()gx 的最小值為 1(2)4g ， 所以 14a 綜上， a 的取值范圍 是 14a，或 0a 13 分 （ 19） （共 13 分） 解（）依題意有 2a ， 1b 故橢圓方程為 2 2 14x y 分 （）因為直線 AB 過右焦點 ( 3,0) ，設(shè)直線 AB 的方程為 ( 3 )y k x. 聯(lián)立方程組22 14( 3 ).x yy k x ， 消去 y 并整理得 2 2 2 2( 4 1 ) 8 3 1 2 4 0k x k x k （ *） 故 212 28341kxx k ， 212 21 2 441kxx k 21 2 1 2 2( 3 ) ( 3 )41ky y k x k x k 又 1 2 1 2220x x y yab，即 12 12 04xx yy 所以 2231 04 1 4 1kk，可得 2 12k ，即 22k 方程（ *）可化為 23 4 3 2 0xx ， 由 2121A B k x x ，可得 2AB 9 原點 O 到直線 AB 的距離23 11kdk. 所以 1 12A O BS A B d 13 分 （ 20） （共 14 分） （）證明：由 82nna ，可得 22 82nna ， 11 82nna ， 所以 21212 8 2 8 2 2 ( 8 2 ) 2 0n n n nn n na a a ， 所以 對任意 *nN ， 2 12nn naa a 又數(shù)列 na為遞減數(shù)列，所以 對任意 *nN ，1 6naa 所以數(shù)列 na為“ T 數(shù)列” 5 分 （） 證明：假設(shè)存在 正整數(shù) k ，使得1kkaa 由數(shù)列 na的各項均為正整數(shù)，可得1 1kkaa 由 2 12kk kaa a ，可得212 2 ( 1 ) 2k k k k k ka a a a a a 且2 1 1 1 122k k k k k ka a a a a a 同理31 23k k ka a a ， 依此類推，可得，對任意 *nN ，有k n ka a n 因為ka為正整數(shù)，設(shè)kam，則 *mN . 在k n ka a n 中，設(shè) nm ，則 0kna 與數(shù)列 na的各項均為正整數(shù)矛盾 所以，對任意 *nN ，1nnaa. 10 分 （） 因為數(shù)列 na為“ T 數(shù)列”， 所以，存在 常數(shù) M ， 對任意 *nN ，naM 設(shè)