（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）拓撲空間中擬平衡問題的解的存在性定理.pdf

獨創(chuàng)性聲明 y9 0 2 2 1 4 學(xué)位論文題目：拓主 窒回生擬堊煎回題的鯉的在查世庭理 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進行的研究 _ 作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地 方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含 為獲得西南大學(xué)或其他教育機構(gòu)的學(xué)位或證書而使用過的材料。與我 一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻均已在論文中作了明確的 說明并表示謝意。 學(xué)位論文作者：織文淳簽字日期： 加綽爭月侈日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解西南大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的捌 定，有權(quán)保留并向國家有關(guān)部門或機構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤，允 許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)西南大學(xué)研究生院司+ 以將學(xué)位論文的 全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用影印、縮印或掃 描等復(fù)制手段保存、匯編學(xué)位論文。 ( 保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)書，本論文：回不保密， 口保密期限至年月止) 。 學(xué)位論文作者簽名：泓泛瞵 簽字日期：伊莎年月，礦日 導(dǎo)師簽名 簽字日期 學(xué)位論文作者畢業(yè)后去向： 工作單位：熏丞蘭魚叁墨 通訊地址：星公蘭魚查蛙理豎衛(wèi)鑒 耍部彘 刎鏟午月f5 日 電話：上絲二蘭z ! 碰 郵編： 握! 2 拓撲空間中擬平衡問題的解的存在性定理 應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)碩士學(xué)位申請人張義萍 指導(dǎo)教師鄧?yán)诮淌?摘要 在非緊的一般拓撲空間中證明了一個新的f a n b r o w d e r 型不動點定理，應(yīng)用此不動點定 理，在非緊的一般拓撲空間中證明了幾個關(guān)于擬平衡問題的解的存在性定理。這些定理推廣 和改進了已有文獻中的一些重要結(jié)論。 定理2 1 1 ( f a n b r o w d e r 型不動點定理) 設(shè)x 是拓撲空間，k 是x 的非空緊子集且 g ：x 哼2 。滿足： ( i ) g 具有非空值且滿足引理1 3 2 中條件( i ) ( ) 之一； ( i i ) 對任意n f ( 彳) ，存在x 中的一個包含n 的非空緊子集l 。，使得存在廣義 r k k m 映射矽：l 斗2 “滿足對任意x x ，若m ( g ( x ) r l ) ，則( m ) c g ( x ) 。 而且“k c u y 。“c i n t g 。( y ) 。 則存在一點x o x 滿足g ( x o ) 。 應(yīng)用定理2 1 1 得到拓撲空間幾個關(guān)于擬平衡問題的解的存在性定理：見本文定理3 1 1 、 定理3 1 2 、定理3 21 、定理3 2 2 關(guān)鍵詞：擬平衡，緊局部交性質(zhì)，轉(zhuǎn)移緊開值，廣義r k k m 映射。 e x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o r q u a s i e q u i l i b r i u m p r o b l e m s i n t o p o l o g i c a l s p a c e s m a s t e ri n a p p l i e d m a t h m a t i c ：z h a n gy ip i n g s u p e r v i s o r ：d e n g l e i a b s t r a c t ：i nt h i s p a p e r ，an e wf a n - b r o w d e rt y p ef i x e dp o i n tt h e o r e mi sp r o v e d u n d e rn o n c o m p a c ts e t t i n go fg e n e r a lt o p o l o g i c a ls p a c e s 。b ya p p l y i n gt h ef i x e d p o i n t t h e o r e m ，s e v e r a ln e we x i s t e n c et h e o r e m so fs o l u t i o n sf o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m s a r ep r o v e du n d e rn o n c o m p a c ts e t t i n go ft o p o l o g i c a ls p a c e s 。t h e s et h e o r e m si m p r o v e a n dg e n e r a l i z ean u m b e ro fi m p o r t a n tk n o w nr e s u l t si n 1 i t e r a t a r e 。 t h e o r e m2 1 1 l e txb eat o p o l o g i c a ls p a c e s ，kb ean o n e m p t yc o m p a c to f x a n dg ：x 哼2 。b es u c ht h a t ： ( i ) gh a sn o n e m p t yv a l u e sa n ds a t i f i e so n eo ft h ec o n d i t i o n s ( i ) ( v i ) i nl e m l l l a 1 3 2 ： ( i i ) f o re a c h n f ( z ) ，t h e r ei san o n e m p t yc o m p a c ts u b s e tl o fx c o n t a i n i n gns u c ht h a tt h e r ei sag e n e r a l i z e dr k 蹦m a p p i n gw ：l j2 如 s a t i s f y i n gf o re a c h x x ，m ( 6 ( x ) n z ) ，i m p l i e st h a t 形( m ) cg ( x ) m o r e o v e r ，l n 世cu “c i m g 一1 ( j ，) 。 t h e nt h e r ee x i s t sap o i n t x o 石s u c ht h a tx o g ( x o ) b yt h e o r e m2 1 1h a v es e v e r a ln e we x i s t e n c et h e o r e m so fs o l u t i o n sf o r q u a s i e q u i l i b r i u m p r o b l e m st h e o r e m ：i ti s i n t h i s p a p e rt h e o r e m3 1 1 、t h e o r e m 3 1 2 、t h e o r e m3 2 1 、t h e o r e m3 2 2 k e y w o r d s ：q u a s i e q u iii b r i u m 、c o m p a c t i yi o o e ii n t e r s e c t i o f fp r o p e r t y 、 t r a n s f e rc o m p a c tj yo p e n v a l u e d 、g e n e r a ii z e dr - k 刪m o p p i n g 2 第一章前言和預(yù)備知識 1 1前言 在現(xiàn)代非線性分析中，著名的k k m 定理以及它的推廣形式具有 非常基礎(chǔ)和重要的作用，自從1 9 9 2 年古典的k k i d 定理建立以來，許 多學(xué)者已從空間類型、映象類、削弱緊性條件等方面對它進行了廣泛 和深入的研究，并把它應(yīng)用到很多理論中如：不動點理論、極大極小 理論等。 平衡理論是非線性分析理論及其應(yīng)用研究的重要組成部分。平衡 理論在數(shù)理經(jīng)濟學(xué)、運籌學(xué)、力學(xué)等方面有著廣泛的應(yīng)用。變分不等 式問題、不動點、優(yōu)化問題等都是平衡問題的特例，后來擬平衡問題 的提出和研究也有了重要的發(fā)展( n o o r 、o c t t l i 1 1 c u b i o t t i 2 及d i n g 3 】) ， 雖然這方面的研究還不是很多，但卻推廣了早先的一些重要結(jié)果。 1 9 9 9 年，v e r m a 首先在g 卅空間內(nèi)引入了r - k 酬映像，證明了一 些r - k k m 定理并給出它的應(yīng)用。2 0 0 3 年d e n g 和x i a 【1 l 】介紹了從非空 集到拓撲空間上的一類新的廣義r - k k t d 映像，它擺脫了以往結(jié)果中關(guān) 于空間凸性的假設(shè)，在不要求空間凸性的條件下證明了一些廣義 r - k k d 定理，作為應(yīng)用，得到了拓撲空間上一些新的極大極小不等式 和鞍點定理。受此啟發(fā)，在此基礎(chǔ)上，本文給出了在非緊的一般拓撲 空間上廣義r - k k d 定理更為廣泛的應(yīng)用，得到了一些新的 f a n b r o w d e r 型不動點定理，并應(yīng)用此定理在非緊的一般拓撲空間中 證明了幾個關(guān)于擬平衡問題的解的存在性定理。 鑒于擬平衡問題在數(shù)學(xué)研究中的重大意義并受上述研究成果 的啟發(fā)，本文試圖從幾個方面對擬平衡問題進行討論。具體安排如下： 第一章：前言和預(yù)備知識。第二章：f a n b r o w d e r 型不動點定理。 第三章：f a n b r o w d e r 型不動點定理的應(yīng)用。 1 2擬平衡問題 設(shè)x 和y 是非空集合，r ；z _ j ，是單值映射，a ：z 一2 。是集值 映射，：z y 一孵u 蜘) 和c a ：x z 斗吼u 。 是兩個函數(shù)。；z 稱 為擬平衡問題q e p ( t ，a ，力的解，如果滿足： x 爿( z ) ， f ( x ，丁( 工) ) f ，r ( x ) ) b 一( x ) 擬平衡問題q e p ( t , 4 ，力是由n o o r 和o e t t l i 在文獻 1 中引入的。 c u b i o t t i 2 和d i n g 3 分別在有限維實數(shù)空間9 1 “和拓撲向量空間中證 明了一些擬平衡問題q e p ( t ，a ，力的解的存在性定理。 ；e 爿稱為擬平衡問題凹( 一，。) 的解，如果滿足： x 爿( x ) ， 巾 ，功o ，劬e 爿( 砷 擬平衡問題q e p ( a ，中) 被許多作者在其論文中研究過，例如文獻 4 - - 8 。擬平衡問題q e p ( t ，a ，) 和q e e ( a ，o ) 包含許多優(yōu)化問題、n a s h 型平衡問題、擬變分不等式問題和擬補問題等為特殊情況，見參考文 獻 1 川 。 本文首先在非緊的一般拓撲空間中證明一個新的f a n - b r o w d e r 型 不動點定理，然后運用這個不動點定理，在非緊的一般拓撲空間中證 明了幾個關(guān)于擬平衡問題q e p ( t ，a ，) 和q e p ( a ，o ) 的解的存在性定理。 這些結(jié)論包含已有文獻中的一些重要結(jié)論為特例。 1 3預(yù)備知識 一記號與用法 2 。集合x 的一切子集的簇 ( 習(xí)集合z 的一切非空有限子集的簇 h 爿的基( 彳( 砷) 。具有頂點疊。巳一，e o l 的n 維標(biāo)準(zhǔn)單形 ，含頂點和，_ ，j 的凸包 d ( x ) z 的閉包 耐( 彳) 彳中的緊閉包 c i n t ( a ) 爿中的緊內(nèi)部 f ：x 哼2 7 從集合z 到集合y 中的冪集2 7 的一個函數(shù) 二定義 下面的定義適用于整篇文章 定義1 3 1z 的子集一稱為在x 中是緊開( 或緊閉) 的，如果 對z 的任意非空緊子集k ，a n k 在k 中是開( 或閉) 的。( 見文獻 9 ) 定義1 3 2 設(shè)x 和j ，是兩個拓撲空間，g ：z 專2 7 是集值映射，g 稱為在z 上是轉(zhuǎn)移緊開值( 或轉(zhuǎn)移緊閉值) ，如果對任意z x 和y 中 的滿足g ( x ) a k 妒的任意緊子集k ，若y g ( x ) n k ( 或j ，芒g ( x ) n k ) ， 則存在一點x e z 滿足j ，e i n t 。( g ( x ) n 置) ( 或( j ，疊c l x ( g ( x ) n k ) ) 。( 見 文獻 9 ) 定義1 3 3 集值映射g ：x 一2 7 稱為在z 上具有緊局部交性質(zhì)， 如果對j 的任意非空緊子集k 和任意滿足g ( x ) 妒的x x ，存在工在x 中的一個開鄰域( 功使得n 。g ( z ) 廬( 見文獻 1 0 ) 。 定義1 3 4 設(shè)是非空集合，y 是拓撲空間，集值映射w ：x 斗2 7 稱 為廣義相對k k l v l ( r - k k m ) 映射，如果對每一個一( z ) 且h = n + l ， 存在一個連續(xù)映射吼：。jj ，使得對每一個j e ( a ) ，有( q ) c ( j ) ， 其中q 是與j 相對應(yīng)的。的面。( 見文獻 1 1 】，d e n g 和x i a ) 定義1 3 5 拓撲空間彳稱為h a s u s d o r f f 型的，如果滿足下面的 ( h a s u s d o r f f ) 條件：對任意一對不同的點x , y x ，存在x 的一個鄰域 和y 的一個鄰域使得圪n = 妒。( 見文獻口7 ) 。 一個空間是h a s u s d o r f f 型的，其充分必要條件是任意一點石的所有 閉鄰域的交就是這個點本身。( 見文獻 1 7 ) 。 三引理 引理1 3 1 ( k k m ) 設(shè)e 是h a s u s d o r f f 拓撲線性空間，s 亡e 為 ”一1 維單型，設(shè)e 1 ，為s 的頂點，m l ，m n 為e 中的玎個閉集。如 果對s 的任意一組頂點忙。e 。一， 其中( 1 k 一) 有 “ c 魚蠔 則存在點；s 使得； 尬( 見文獻 1 6 ) i = 1 引理1 3 2 設(shè)爿和】，是兩個拓撲空間，g ：x 哼2 7 是具有非空值 的集值映射，則下列六個條件等價： ( i ) g 具有緊局部交性質(zhì)； ( i i ) 對x 的任意非空緊子集量和任意y r ，存在z 的開子集q ( 可 以為空集) 使得q f 3 k c g ( y ) r k = u ，( 0 ，n k ) ； ( i i i ) 對x 的任意非空緊子集k ，存在集值映射f ：x 2 7 使得對任 意y y ，f 。( y ) 在x 中是開的或空的，對任意y y 有f 一( y ) n kcg 一1 ( y ) r k = u 。曠一1 ( y ) n k ) ； ( 1 v ) 對z 的任意非空緊子集k 和任意x k ，存在y y 使得 x c i n t g ( y ) n kj l k = u ，。r ( c i n t g 一1 ( y ) n 足) = u ，。r ( g 一( y ) n k ) ； ( v ) g ：y 呻2 。在彳上是轉(zhuǎn)移緊開值的； ( ) z = u c i n t g 一1 。 ( 見文獻d i n g 1 0 、l i n 并j a n s a r i 1 2 ) 證明：由d i n g 1 0 】中的引理1 1 ，( i ) 、( i i ) 、( i i i ) 、( ) 和 ( v ) 等價。由肋，和4 刪，f 【1 2 】中的引理2 2 可知( v ) 和( ) 等 價。證畢 引理1 3 3 設(shè)z 和】，是兩個拓撲空間，d 是彳的非空閉子集， m ，甲：j 寸2 7 是兩個集值映射并且滿足：對任意x x 有中( 功c 甲( x ) 。 假定o - l 甲1 ：y 哼2 。均為j ，上的轉(zhuǎn)移緊開值映射，定義集值映射 g ：x j 2 。為 g = k 黧：冀。 則g 1 ：y 專2 。在y 上也是轉(zhuǎn)移緊開值的。( 見文獻 1 3 ) 本文中所有的拓撲空間都假定是h a s u s d o r f f 型的 第二章f a n b r o w d e r 型不動點定理 2 , 1f a n b r o w d e r 型不動點定理 引理2 1 1( f a n b r o w d e r 型不動點定理)設(shè)e 是h a s u s d o r f f 拓撲線性空間，x 為e 的緊凸集，設(shè)s ：x 專2 。滿足下列之一條件： ( i ) 對任意的x z ，s ( x ) 是非空凸的，且對任一y x ， s 。1 ( j ，) = 扛x ，y s ( 觀是x 中的開集； ( i i ) 對任一工z ，s ) 是開集，且對任一y x ，s ( 。( y ) 為非空凸 集。 則s 在x 中存在不動點。( 見文獻 1 6 ) 下面將上述的f a n - b r o w d e r 型不動點定理的條件削弱將得到一個 新的f a n - b r o w d e r 型不動點定理。 定理2 1 1設(shè)彳是拓撲空間，k 是z 的非空緊子集且g ：z 斗2 z 滿足： ( i ) g 具有非空值且滿足引理1 3 2 中條件( i ) ( ) 之一； ( i i ) 對任意f ( z ) ，存在x 中的一個包含n 的非空緊子集“，使 得存在廣義r - k k m 映射w ：l u 寸2 “滿足對任意x z ，若 m ( g ) n 三_ ) ，則形( c g ( d 。而且三、置c u r a , , , c i n t g 。) 。 則存在一點x o x 滿足o ( x o ) 。 證明：由( i ) 和引理1 3 2 ，有彳= u 眥c i n t g - 1 。由于置為z 的 一個非空緊子集，所以存在有限集n f c 柳使得 k = u 。，( c i n t g 。( j ，) n 眉) ( 1 ) 對于，考慮條件( i i ) q q 的緊子集“c z 滿足 “k c u ，。如c i n t g 一1 ( y ) ( 2 ) 由( 1 ) 式，我們有 “n k 亡u 。( c i n t g ( y ) n l n ) ( 3 ) 其中n c l 。，由( 2 ) 和( 3 ) 得“= u ，k ( c i n t g ( y ) n z 。) 。由于如是 緊的，存在一個有限子集 ，m - ，) c o 使得 “= ，o 。( c i n t g 。1 ( 乃) n “) - 由于w ：l 。呻2 “是一個廣義r 一刪映射，故存在一個連續(xù)映射 ，：，斗“使得對任意廬c j c ，乃一， 有廠( q ) c ( ，) ，其中a ，是 與j cb 。y 。一，兒 相對應(yīng)的。的面。設(shè)婦t p i - 。是從屬于開覆蓋 c i n t g 。1 ( 以) n l 。墨。的連續(xù)單位分解，則對任意i o ，l ，一，m ， 紀(jì)：“專 o ，1 】是連續(xù)的， b 上：仍( o cc i n t g - 1 ( y ，) n l cg _ 1 ( m ) 且對任意z “有妻仍：1 。定義妒：“斗。為： i _ 0 妒( 砷= ( p o ( x ) ，仍x ) , - - - 口( x ) ) ，v x 1 0 。 于是對任意x e l 有尹( 曲小) ，其中，= 饑= y o ，) ，l ，一，y 。：竹( x ) 譬o j 。 因此有 廠( 妒( 砌f ( a ，。) 礦( j ( x ) ) g 0 ) ，專_ k ( 4 ) 易知妒。，：。斗。是連續(xù)的，由f a n - b r o w d e r 不動點定理，存在z ， 使得：( 妒。力( z ) 。令；：，( d ，則；= ，( z ) = f ( e p ( z ) ) g ( ；) 。證畢。 注2 1 1定理2 1 1 將文獻【1 3 】中的定理2 1 的所有可縮條件去掉，而且得 到同樣的結(jié)果。定理2 1 1 是文獻 8 】中定理2 在一般拓撲空間中的一個非緊變形。 第三章f a n - b r o w d e r 型不動點定理的應(yīng)用 3 1 擬平衡問題q e p ( t ，a ，廠) 的平衡存在定理 定理3 1 1 設(shè)x 是拓撲空間，k 是x 的非空緊子集，y 是一個非 空集合。令?。簒 一，r ，a ：x - - - - 2 x 茅 f l f ：x x 寸孵u 滿足： ( i ) a 在x 上具有非空值且滿足引理1 3 2 的條件( i ) ( ) 之一； ( i i ) 集合d = x x ：x 爿( 石) ) 是x 中的一個非空閉集； ( i i i ) 映射b 。：x 專2 。是轉(zhuǎn)移緊開值的，其中b ：x _ 2 。的定義為 曰( x ) = _ y 彳( z ) ：f ( x ，r ( 工) ) 一f ( y ，r ( z ) ) o ) ， ( i v ) 對任意n f ( x ) ，存在x e o 的包含n 的非空緊子集“，使得存 在廣義r - k k m 映射：“專2 “滿足：對任意x e d ，若m ( w ( x ) d l n ) 則矽( m ) c b o ) ；對任意x e x d ，若m ( 一( 圳_ 1 “) 則( m ) c 4 0 ) 。而 且，對任意x l k ，如果x x d ，則存在y e “使得x ec i n t a - ! ( y ) ； 如果x d ，則存在y l u 使得x ec i n t b 。1 0 ) 。 則存在；x 使得 z “( x ) ， f ( x ，“x ) ) s f ( y ，7 ( x ) ) ，b 彳( x ) 即；是擬平衡問題凹仃，a ，力的一個解。 證明定義集值映射g ：x 哼2 。如下： g = l 絮三急 由條件( i ) ，( i i i ) 和引理1 3 2 ，映射b - 1 a 。：z _ 2 。都是x 上的轉(zhuǎn) 移緊開值映射。注意到對任意x e x 有四( 力c 4 0 ) ，且由( i i ) 知d 為 非空閉集。由引理1 3 3 0 3 1 ，映射g 。1 ：x 一2 x 也是石上的轉(zhuǎn)移緊開值映 射。由條件( i v ) ，對每一個n f ( x ) 和每一個x x ，m ( g ( x ) n l 。 意 味著( m ) 圭g ( z ) 。更有“、k c u y 。l u c i n t g 一1 ( y ) 。因此，得到定理2 1 1 的條件( i i ) 滿足?，F(xiàn)假定對每一個x d ，b ( d 廬。由( i ) ，對每 一個x z ，g ( x ) 。顯然，定理2 1 1 的所有條件滿足。由定理2 1 1 ， 存在三x 使得；g ( ：) 。由集合d 和映射g 的定義，我們有 x z ：x eg ( x ) cd 。從而；b ( 三) n d 。特別的，我們有 廠( ；，r ( 三) ) 一廠( x ，r ( 軸 0 ，這是不可能的。因此，存在：d 使得b ( ：) ：， 即三彳( ；) 且對砂4 ( ；) 有，( 安，r ( ；) ) f ( y ，丁( 軸。 證畢。 注3 1 1 定理3 1 1 將文獻 1 3 】中定理3 1 的所有可縮條件去掉， 而且得到了相同的結(jié)果。定理3 1 1 改進和推廣了文獻【3 】中的定理2 1 和文獻 2 中的定理4 2 ，將其從拓撲向量空間推廣到不具任何線性結(jié) 構(gòu)和凸結(jié)構(gòu)的非緊的一般拓撲空間，在較弱的條件下得到了同樣的結(jié) 果。 定理3 1 2z 和y 是兩個拓撲空間，k 是x 中的一個非空緊子集， 令：t ：x 寸y ，a ：石一2 。和f ：x x y 寸锨u 有 a ：z 呻2 。和f ：x x y - - - 孵u + o o ) 滿足 ( i ) a 在x 上具有非空值且爿。：j 一2 。是緊開值映射； ( i i ) 集合d = 扛x ：工彳) 是x 中的非空閉集： ( i i i ) r 和f 都是連續(xù)的； ( i v ) 對每一個e f ) ，存在x 中的包含n 的非空緊子集“，使得 存在一個廣義r - k k m 映射：厶專2 “滿足：對任意x d ，若 m e ( a ( x ) n p ( x ) n l u ) ，則礦) c 彳( x ) n p 0 ) ，其中p ：x 專2 。的定義為 p ( x ) = p x ：f ( x ，r ( 曲) 一f ( y ，丁( x ) ) 0 ：對任意工x d ，若 m ( 彳( z ) n l 。) 則礦( m ) c 4 ( x ) 。進一步，對任意工l 、足，如果 工x d ，則爿( x ) n “廬；如果x d ，則存在y a ( x ) n l 。滿足 ，t y ，t t x d o 是x , 9 的開集，從而p 。：x 斗2 。 具有緊開值。于是由占= a ( x ) n p ( x ) 定義的映射b ：j 一2 。滿足 b = ( a n p ) = a 。1n p 。在丑上也具有緊開值，顯然在z 上是轉(zhuǎn)移緊開 值的。由條件( i v ) ，對任意工l 一足，如果工e x d ，我們有 a ( x ) n l ，因此存在y e l u 使得x e 一1 ( y ) = c i n t a 1 ( ；如果x d ， 我們有少l 。且x a - i ( y ) n p 一1 ( y ) = c i n t ( a 1 ( y ) n e 一1 ( y ) ) 。 因此，條件( i v ) 意味著定理3 1 1 條件( i v ) 滿足顯然定理3 1 1 的所有 條件均滿足由定理3 1 ，得到定理3 1 2 的結(jié)論成立。證畢 3 2 擬平衡問題q e e ( a ，o ) 的平衡存在定理 定理3 2 1x 為拓撲空間，置是z 中的一個非空緊子集， 令：彳：z 一2 。和廠：y 專锨u * ) 滿足： ( i ) 彳在x 上具有非空值且彳。：z 寸2 。具有緊開值，由( c 均( x ) = c i a ( z ) ( 表示a ( x ) 的閉包) 定義的集值映射c l a ：x 哼2 。是上半連續(xù)的； ( i i ) ，是連續(xù)函數(shù)； ( i i i ) 對任意n f ( j ) ，存在x 中包含n 的非空緊子集三。，使得存在 一個廣義r - k k m 映射礦：“j 2 “滿足：對任意z 面，若 m ( a ( x ) n p ( x ) n l n ) ，則( m ) c 7 - 4 n p ( x ) ， 其中- 6 = 扛x ：x e c t 4 ( x ) ) ，p ( x ) = 掃x ：，( z ，d f ( y ，x ) 0 ：對任意 工x 3 ，若m ( 彳( 力n “) ，則形( m ) c 彳( x ) 。進一步，對任意工l 。足， 如果x e x - d ，則a ( x ) n l 。廬；如果x 面，則存在y a ( x ) n l 。滿足 f ( y ，石) o ；對任意x x - d ， 若 竹( 彳( x ) n “ 則形( m ) c 4 ( z ) 。進一步，對任意x e o 髟，如果 x x 一d ，則彳( 曲n o 廬；如果算五，則存在y 彳0 ) n 厶滿足 m ，g ( 砷，y ) 中o ，g o ) ，曲。 則存在；x 和；：g ( 芻丁( 與使得 三。4 ( 島， m ( x ，y ，功m ( z ，y ，z ) ，v z 0 ( 力 進一步，如果我們假定對任意x z 有m o ，g ，o ，則可得到 x 爿( 功， o ( x ，y ，z ) o ，v z a ) 證明定義f ：x x x 豐孵u + o 。 為 f ( z ，x ) = m ，g ( 曲，z ) ，v ( z ，x ) x x x 于是由定理3 2 1 可得到定理3 2 2 的全部結(jié)論 注3 2 2 定理3 2 2 將文獻 1 3 中定理3 4 的所有可縮條件去掉， 并且得到了同樣的結(jié)論。定理4 4 是文獻 8 】中推論5 和文獻 1 4 】 中定理3 1 在一般拓撲空間中的一個非緊變形。 參考文獻： 1 m a n o o ra n dw o e t t l i ，o ng e n e r a ln o n l i n e a rc o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m sa n dq u a s i - e q u i l i b r i a ，l em a t h m a t i c h e4 9 ( 1 9 9 4 ) ，3 1 3 3 3 1 2 ec u b i o t t i ，e x i s t e n c eo fs o l u t i o nf o r l o w e rs e m i c o n t i n u o u s q u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m s ，c o m p u t e r sm a t h a p p l i c 3 0 ( 1 9 9 5 ) ， 1 1 2 2 3 x p d i n g e x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o r q u a s i - e q u i l i b r i u m p r o b l e m s ，j s i c h u a n n o r m a l u n i v 2 1 ( 1 9 9 8 ) ，6 0 3 6 0 8 4 j p a u b i na n di e k e l a n d ， a p p l i e d n o n l i n e a r a n a l y s i s ， j o h nw i l e y s o n s ，n e wy o r l ( ，19 8 4 5 j x z h o ua n dg c h e n ，d i a g o n a lc o n v e x i t y c o n d i t i o n s f o r p r o b l e m s f o ri nc o n v e x a n a l y s i s a n d q u a s i v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s ，j m a t h a n a l a p p l 1 3 2 ( 1 9 8 8 ) ，2 1 3 - 2 2 5 6 x p d i n g ，q u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s a n ds o c i a le q u i l i b r i u m ， a p p l i e d m a t h a n d m e c h 1 2 ( 1 9 9 1 ) ，6 3 9 6 4 6 7 x ed i n g ， q u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ,o p t i m i z a t i o n a n d e q u i l i b r i u m e x i s t e n c e t h e o r e m s ，j s i c h u a n n o r m a lu n i v 2 1 ( 1 9 9 8 ) ，1 - 5 8 l j l i na n d s p a r k ， o ns o m e g e n e r a l i z e d q u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m s ，j m 衲a n a l a p p l 2 2 4 ( 1 9 9 8 ) ， 1 6 7 1 8 1 9 x p d i n g ，n e wh - k k mt h e o r e m s a n dt h e i ra p p l i c a t i n o s 1 6 t o g e o m e t r i cp r o p e r t y , c o i n c i d e n c e t h e o r e m s ， m i n i m a x i n e q u a l i t y a n dm a x i m a l e l e m e n t s ， i n d i a nj p u r e a p p l m a t h l e t t 1 2 ( 1 9 9 9 ) ，9 9 1 0 5 10 x p d i n g ， c o i n c i d e n c et h e o r e m s i n t o p o l o g i c a ls p a c e s a n dt h e i r a p p l i c a t i o n s ，j m a 廿1 a n a l a p p l 2 8 5 ( 2 0 0 3 ) ， 6 7 9 6 9 0 11 l d e n g ，a n dx x i a ，g e n e r a l