（工程力學(xué)專業(yè)論文）基于小波分析的框架結(jié)構(gòu)故障診斷方法研究.pdf

東南大學(xué)碩士學(xué)位論文 基于小波分析的框架結(jié)構(gòu) 故障診斷方法研究 摘要 結(jié)構(gòu)動態(tài)檢測法是近些年來國內(nèi)外研究非?；钴S的檢測方法之一，它利用工 程振動測試技術(shù)實測結(jié)構(gòu)所受的激勵和動態(tài)響應(yīng)，從而評定結(jié)構(gòu)的實際可靠度和 結(jié)構(gòu)健康狀況。它在航空航天、機械、交通和土木工程等多個領(lǐng)域得到了廣泛地 應(yīng)用，但是在這些領(lǐng)域中的應(yīng)用并不平衡，在土木工程領(lǐng)域中，由于結(jié)構(gòu)本身和 邊界條件的復(fù)雜性以及材料的離散性，使得這一方法的應(yīng)用較其它領(lǐng)域更為困難 和復(fù)雜。針對這種情況，本文在根據(jù)小波基本理論基礎(chǔ)上提出了基于小波進行框 架結(jié)構(gòu)缺陷動態(tài)檢測方法。論文主要包括：1 通過對結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號進行小波變換， 并計算響應(yīng)信號變換后的范數(shù)，提出了一種“范數(shù)缺陷”的框架結(jié)構(gòu)缺陷檢 測法；2 通過對結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號進行小波包分解，提出了一種“能量缺陷”的 框架結(jié)構(gòu)缺陷檢測法；3 通過對結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號進行多分辨分析，并計算響應(yīng)信號 的多分辨統(tǒng)計熵指數(shù)，提出了一種“多分辨統(tǒng)計熵指數(shù)缺陷”的框架結(jié)構(gòu)缺 陷檢測法。 通過對三層框架結(jié)構(gòu)的試驗，結(jié)果表明本文提出的方法具有較強的可行性和 實用性。 關(guān)鍵詞：框架結(jié)構(gòu)；小波；缺陷檢測；多分辨統(tǒng)計熵指數(shù)：范數(shù)；小波包； 小波變換 東南大學(xué)碩士學(xué)位論文 r e s e a r c ho nt h em e t h o do f f a u l t d i a g n o s i s o ff r a m e s t r u c t u r eb a s e do nw a v e l e t a n a l y s i s a b s t r a c t t h em e t h o do fd y n a m i cd e t e c t i o no fs t r u c t u r ei so n eo ft h em e t h o d sr e s e a r c h e d a c t i v e l yi nt h ew o r l d a tr e c e n ty e a r s i tu s e st h em e a s u r e m e n t t e c h n o l o g yo f v i b r a t i o nt o m e a s u r es t r u c t u r a le x c i t a t i o na n dd y n a m i cr e s p o n s e ，t h e ne v a l u a t e sa c t u a lr e l i a b i l i t yo f s t r u c t u r ea n dh e a l t hc o n d i t i o no fs t r u c t u r e i ti sa p p l i e d w i d e l y i ns o m ed o m a i n s ，s u c ha s a v i a t i o n 、m a c h i n e 、t r a n s p o r t a t i o na n dc i v i le n g i n e e re t c b u ti t i sn o tb a l a n c et ob e a p p l i e di nt h e s ed o m a i n s i nt h ed o m a i n o fc i v i le n g i n e e r , b e c a u s eo ft h ec o m p l e xn a t u r e o fs t r u c t u r ea n db o u n d a r yc o n d i t i o na n dt h ed i s p e r s e dn a t u r eo f m a t e r i a l ，t h i sm e t h o di s a p p l i e dd i f f i c u l t l y i no r d e rt os o l v et h e s ep r o b l e m s ，o nt h eb a s eo f w a v e l e tt h e o r yt h i s t h e s i sa d v a n c et h em e t h o do f f a u l td i a g n o s i so f f r a m es t r u c t u r eb a s e do nw a v e l e t a n a l y s i s t h i st h e s i sm a i n l yi n c l u d e s ：1 t h r o u g hw a v e l e tt r a n s f o r mo fs t r u c t u r a lr e s p o n s es i g n a l a n dc a l c u l a t i o no fi t sn o r m t h em e t h o do ff r a m es t r u c t u r ef a u l td e t e c t i o no f “n o 刪 f a u l t i sp r e s e n t e d ；2 t h r o u g hw a v e l e td e c o m p o s i t i o no fs t r u c t u r a lr e s p o n s es i g n a l ，t h e m e t h o do ff r a m es t r u c t u r ef a u l td e t e c t i o no f “e n e r g ) f 孤i t i sp r e s e n t e d ；3 t h r o u g h m u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i so fs t r u c t u r a lr e s p o n s es i g n a la n dc a l c u l a t i o no fm u l t i - r e s o l u t i o n e n t r o p y o f r e s p o n s es i g n a l ，t h e m e t h o do ff r a m es t r u c t u r ef a u k d e t e c t i o no f m u l t i r e s o l u t i o ne n t r o p y 自塒t i s p r e s e n t e d b y v i r t u eo ft h ee x p e r i m e n to ft h r e e - f l o o rf r a m es t r u c t u r e ，t h er e s u l t ss h o wt h a t t h e s em e t h o d sa r ef e a s i b i l i t ya n d p r a c t i c a l i t y k e y w o r d s f r a m es t r u c t u r e ；w a v e l e t ；f a u l td e t e c t i o n ；m u l t i r e s o l u t i o ne n t r o p y ；n o r m ； w a v e l e t p a c k e t ；w a v e l e t t r a n s f o r m i i 學(xué)位論文獨創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是我個人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進行的研究工作及取得 的研究成果。盡我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含 其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含為獲得東南大學(xué)或其它教育機構(gòu) 的學(xué)位或證書而使用過的材料。與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻均 已在論文中作了明確的說明并表示了謝意。 、 簽名：日期： 關(guān)于學(xué)位論文使用授權(quán)的說明 東南大學(xué)、中國科學(xué)技術(shù)信息研究所、國家圖書館有權(quán)保留本人所送交學(xué)位 論文的復(fù)印件和電子文檔，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論文。本人 電子文檔的內(nèi)容和紙質(zhì)論文的內(nèi)容相一致。除在保密期內(nèi)的保密論文外，允許論 文被查閱和借閱，可以公布( 包括刊登) 論文的全部或部分內(nèi)容。論文的公布( 包 括刊登) 授權(quán)東南大學(xué)研究生院辦理。 簽名： 東南大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 1 無損檢測的現(xiàn)狀 3 4 】【3 5 】 第一章緒論 混凝土是當(dāng)代建筑工程中最主要的結(jié)構(gòu)材料之一。由于混凝土通常是在工地進行 配料、攪拌、成型、養(yǎng)護，所以每一個環(huán)節(jié)稍有不慎都將影響其質(zhì)量，危及整個結(jié)構(gòu) 的安全?；炷梁弯摻罨炷两Y(jié)構(gòu)物，有時因施工管理不善或受使用環(huán)境及自然災(zāi)害 的影響，其內(nèi)部可能存在不密實、夾渣、孔洞，其外形形成蜂窩麻面、裂縫或損傷層 等缺陷。這些缺陷的存在會嚴(yán)重影響結(jié)構(gòu)的承載力和耐久性，采用無損檢測方法查明 混凝土缺陷的性質(zhì)、范圍及尺寸，以便進行技術(shù)處理，防患于未然。所謂無損檢測【2 1 ， 就是指在不影響結(jié)構(gòu)或構(gòu)件受力性能或其它使用性能的前提下，直接在結(jié)構(gòu)或構(gòu)件上 通過測定某些適當(dāng)?shù)奈锢砹浚⑼ㄟ^這些物理量與混凝土強度的相關(guān)關(guān)系推定混凝土 強度、均勻性、連續(xù)性、耐久性等一系列質(zhì)量性能指標(biāo)。 目前無損檢測技術(shù)已比較成熟，幾乎涉及現(xiàn)代科學(xué)的每一分支，如射線檢測、聲 與超聲檢測、電學(xué)與電磁檢測、熱力學(xué)與化學(xué)檢測等，具體而言，如x 射線法、超聲 法、超聲回彈法、硬度測試法、磁粉法、同位素法1 2 7 】【2 8 】等。與常規(guī)標(biāo)準(zhǔn)試塊破壞實驗 相比，無損檢測技術(shù)具有以下優(yōu)點：( 1 ) 不破壞構(gòu)件或建筑物的結(jié)構(gòu)：( 2 ) 可進行全 面檢測，能較真實地反映混凝土的質(zhì)量與強度；( 3 ) 能對內(nèi)部空洞、開裂、表層燒傷 等進行檢測；( 4 ) 可用于老建筑物的檢測；( 5 ) 非接觸檢測，簡便快捷；( 6 ) 可進行 連續(xù)測試及重復(fù)測試。但是，這些方法的費用高，有些部位難以接近，特別對大型復(fù) 雜結(jié)構(gòu)在事先無法預(yù)測損傷位置的情況下較難進行【3 6 1 。 1 2 基于小波分析的結(jié)構(gòu)動態(tài)檢測法 近些年來利用結(jié)構(gòu)動態(tài)檢測方法來對結(jié)構(gòu)進行缺陷檢測是目前國內(nèi)外研究的熱 點，許多模態(tài)參數(shù)被用來判斷故障的存在及其程度大小?；舅悸肥鞘紫忍綔y出結(jié)構(gòu) 振動響應(yīng)或結(jié)構(gòu)動態(tài)特性的變化，然后利用結(jié)構(gòu)的固有特性如特征方程、振型的正交 性等建立結(jié)構(gòu)動態(tài)特性變化與結(jié)構(gòu)參數(shù)變化的關(guān)系，進而判定結(jié)構(gòu)缺陷的位置和程度 f 圳，它是一個有約束的優(yōu)化問題【l 】。3 藝n t 2 9 1 采用能量傳遞率來檢測故障；文獻 3 0 】 東南大學(xué)碩士學(xué)位論文 依靠靜態(tài)分析與模態(tài)測試相結(jié)合的方法來進行損傷估計；文獻【3 1 】認為曲率模態(tài)的變 化能準(zhǔn)確地顯示故障點所在；文獻 3 2 1 9 1 1 提出了直接利用頻響函數(shù)來定位損傷位置的 方法。但是由于土木結(jié)構(gòu)本身和邊界條件的復(fù)雜性以及材料的離散性，使得這些方法 的應(yīng)用較其它領(lǐng)域更為困難和復(fù)梨3 3 】，目前主要用于那些結(jié)構(gòu)形式較為簡單的結(jié)構(gòu)， 例如橋梁的檢測，而在建筑結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用僅僅局限于實測其振動的模態(tài)特性，對于建 筑結(jié)構(gòu)物理參數(shù)的準(zhǔn)確識別還缺少有效方法。 由于小波變換能將任何信號映射到由一個母小波伸縮( 變換頻率) 、平移( 搜索非 平穩(wěn)性) 而組成的一組基函數(shù)上，可以實現(xiàn)信號在不同時刻、不同頻帶的合理分離而 不丟失原始信息，這些功能為信號處理及微弱信息的提取提供了高效、有力的工具。 因此本文在根據(jù)小波理論的基礎(chǔ)上，展開了基于小波進行框架結(jié)構(gòu)缺陷動態(tài)檢測法方 法研究，試驗結(jié)果表明本文提出的方法不僅能準(zhǔn)確地對框架結(jié)構(gòu)缺陷進行識別，而且 無需被測對象的數(shù)學(xué)模型，這大大地降低了對檢測對象的要求。 1 3 國內(nèi)外研究進展 近些年來，基于小波分析的故障診斷方法是國內(nèi)外研究的熱點。小波分析出現(xiàn)的 時間不長，但由于它在時域和頻域同時具有良好的局部化性質(zhì)，越來越被廣泛地應(yīng)用 于信號處理、圖像處理、量子場論、地震勘探、語音識別和合成、音樂、雷達、c t 成 像、彩色復(fù)印、流體湍流、天體識別、機器視覺、機械故障診斷與監(jiān)控、分形以及數(shù) 字電視等科技領(lǐng)域。傳統(tǒng)上使用傅里葉分析的地方，都可以用小波分析取代。在國外， w a n g ，w j 掣8 】根據(jù)測得的系統(tǒng)響應(yīng)信號選擇相應(yīng)的小波，繪制出了時間一頻率一尺 度分布圖，進而用其診斷出機械故障部位；m o y o ，p _ 等i9 i 應(yīng)用小波變換來監(jiān)測橋梁的突 變和漸變情況；z h o u 掣1 0 讕小波分解對含有由突變破壞和疲勞積累引起的多種裂縫 的框架結(jié)構(gòu)進行健康檢測。在國內(nèi)，文獻 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 提出用小波變換對故 障進行檢測方法；文獻 1 6 提出了基于脈沖響應(yīng)函數(shù)的正交小波變換系數(shù)對故障進行 檢測的方法；文獻 1 7 采用多分辨信息熵進行故障檢測，并取得很好的效果；文獻 1 8 提出了基于小波網(wǎng)絡(luò)的故障檢測方法。 1 4 小波分析簡述 2 東南_ 人學(xué)碩士學(xué)位論文 小波( w a v e l e t ) 分析是一個新的數(shù)學(xué)分支，它是泛函分析、f o u r i e r 分析、樣條分 析、調(diào)和分析、數(shù)值分析的完美結(jié)晶。小波理論是八十年代發(fā)展起來的，它與傳統(tǒng)的 傅里葉( f o u r i e r ) 理論有密切的關(guān)系。小波函數(shù)存在性證明依賴于傅里葉分析，但它 是傅里葉分析的新發(fā)展，它與傅里葉理論相輔相成，為應(yīng)用科學(xué)提供了新的強有力的 工具【7 1 。它屬于時頻分析的一種，傳統(tǒng)的信號分析是建立在傅里葉變換的基礎(chǔ)之上的， 由于傅里葉分析使用的是一種全局的變換，要么完全在時域，要么完全在頻域，因此 無法表述信號的時頻局域性質(zhì)，而這種性質(zhì)恰恰是非平穩(wěn)信號最根本和最關(guān)鍵的性質(zhì)。 為了分析和處理非平穩(wěn)信號，人們對傅里葉分析進行了推廣乃至根本性的革命，提出 并發(fā)展了一系列新的信號分析理論：短時傅里葉變換、g a b o r 變換、時頻分析、小波 變換、r a n d o n - w i g n e r 變換、分?jǐn)?shù)階傅里葉變換、線調(diào)頻小波變換、循環(huán)統(tǒng)計量理論 等。其中，短時傅里葉變換和小波變換也是應(yīng)傳統(tǒng)的傅里葉變換不能夠滿足信號處理 的要求而產(chǎn)生的。短時傅里葉變換分析的基本思想是：假定非平穩(wěn)信號在分析窗函數(shù) g ( t ) 的一個短時間間隔內(nèi)是平穩(wěn)的，并移動分析窗函數(shù)，使f ( t ) g ( t f ) 在不同的有限 時間寬度內(nèi)是平穩(wěn)信號，從而計算出各個不同時刻的功率譜。但從本質(zhì)上講，短時傅 里葉變換是一種單一分辨率的信號分析方法，因為它使用一個固定的短時窗函數(shù)，因 而短時傅里葉變換在信號分析上還是存在著不可逾越的缺陷。 小波變換是一種信號的時間一尺度( 時間一頻率) 分析方法【1 9 1 ，它具有多分辨率 分析的特點，而且在時頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，是一種窗口大小固定 不變但其形狀可改變、時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法，即在低頻 部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率 和較低的頻率分辨率，很適合于探測正常信號中夾帶的瞬態(tài)反常現(xiàn)象并展示其成分， 被稱為分析信號的顯微鏡，利用連續(xù)小波變換進行動態(tài)系統(tǒng)故障檢測與診斷具有良好 的效果【2 0 1 。 小波分析方法的提出，可以追溯到1 9 1 0 年h a a r 提出的小“波”規(guī)范正交基及1 9 3 8 年l i t t l e w o o d p a l e y 對傅里葉級數(shù)建立的三- p 理論，即按二進制頻率成分分組傅里葉 變換的相位變化本質(zhì)上不影響函數(shù)的形狀及大小。其后，c a l d e r o n 于1 9 7 5 年用其早年 發(fā)現(xiàn)的再生公式給出拋物型空間上的原子分解，這個公式后來成了許多函數(shù)分解的 出發(fā)點，它的離散形式已接近小波展開，只是還無法得到組成一正交系結(jié)論，1 9 8 1 年 s t r o m b e r g 對h a a r 系進行了改進，證明了小波函數(shù)的存在性，1 9 8 2 年b a t t l e 在構(gòu)造量 東南大學(xué)碩士學(xué)位論文 子場理論中使用了類似c a l d e r o n 再生公式的展開，法國地球物理學(xué)家j m o r l e t 于1 9 8 0 年首先提出小波變換并用于地震數(shù)據(jù)分析，隨后與另一位法國理論物理學(xué)家 a g r o s s m a n 共同提出了連續(xù)小波變換的幾何體系，其基礎(chǔ)是仿射群( 即平移和伸縮) 下的不變性【2 ”，這使我們能夠?qū)⒁粋€信號分解成對空間和尺度( 即時間和頻率) 的獨 立貢獻，同時又保留原信號所包含的信息。m e y e r 于1 9 8 6 年創(chuàng)造性地構(gòu)造出具有一定 衰減性的光滑函數(shù)，其二進制伸縮與平移構(gòu)成l 2 口對的規(guī)范正交基，才使小波變換方法 得到發(fā)展，繼m e y e r 提出小波變換之后，l e m a r i e 和b a t t l e 又分別獨立地給出了具有 指數(shù)衰減的小波函數(shù)，s m a l l a t 于1 9 8 9 年首次提出多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ) 并應(yīng)用于小波分析中2 2 1 ，從而成功地統(tǒng)一了在此之前的s t r o m b e r g 、m e y e r 、 l e m a r i e 和b a t t l e 提出的各種具體的小波構(gòu)造方法，給出了構(gòu)造正交小波的一般方法和 快速小波塔式算法。與此同時，d a u b e c h i e s 構(gòu)造了具有有限支集的正交小波基，這樣 小波分析的系統(tǒng)理論初步得到了建立。1 9 8 8 年，a m e o d o 及g r a s s e a u 等人將小波變換 運用于混沌動力學(xué)及分形理論以研究湍流及分形生長現(xiàn)象【2 31 ，1 9 9 0 年崔錦泰和王建 忠構(gòu)造了基于樣條函數(shù)的所謂單正交小波函數(shù)，并討論了具有最好局部化性質(zhì)的多尺 度分析的生成函數(shù)及相應(yīng)的小波函數(shù)。1 9 9 1 年，j a f f a r d 及l(fā) a u r e n c o t 將小波變換應(yīng)用 于偏微分方程數(shù)值解，而w i c k e r h a n s e r 等將m a l l a t 算法進一步深化，得到了小波包算 法。 小波分析是傅里葉分析思想方法的發(fā)展與延拓，自產(chǎn)生以來就一直與傅里葉分析 密切相關(guān)，它的存在性證明、小波基構(gòu)造以及結(jié)果分析都依賴于傅里葉分析，二者是 相輔相成的。兩者相比主要有以下不同： ( 1 ) 傅里葉變換的實質(zhì)是把能量有限信號f q ) 分解到以 e ) 為正交基的空間上 去；小波變換的實質(zhì)是把能量有限信號f q ) 分解到矽，( 戶1 ，2 ，刀和礦，所構(gòu)成 的空間上去。 ( 2 ) 傅里葉變換用到的基本函數(shù)只有s i n ( c a ) ，c o s ( c a ) ，e x p ( c a ) ，具有唯一性；小 波分析用到的函數(shù)則具有不唯一性，小波函數(shù)的選用是小波分析應(yīng)用到實際中的難點， 也是研究的熱點問題。 ( 3 ) 在頻域中，傅里葉變換具有較好的局部化能力，但在時域中，傅里葉變換 沒有局部化能力，無法從信號，( f ) 的傅里葉變換廠( - ) 中看出廠( f ) 在任一時間點附近的 4 東南大學(xué)碩士學(xué)位論文 性態(tài)。 ( 4 ) 在小波分析中，尺度a 的值越大相當(dāng)于傅里葉變換中國的值越小。 1 5 論文的主要內(nèi)容 1 5 1 研究的目的及意義 框架結(jié)構(gòu)是土木工程結(jié)構(gòu)的重要結(jié)構(gòu)形式，它的使用期限長達幾十年，甚至上百 年，在其服役過程中，由于環(huán)境載荷作用、疲勞效應(yīng)、腐蝕效應(yīng)和材料老化等不利因 素的影響，結(jié)構(gòu)將不可避免的產(chǎn)生損傷積累，抗力衰減，甚至導(dǎo)致突發(fā)事故。已建成 使用的許多結(jié)構(gòu)和設(shè)施急需采用有效的手段檢測和評定其安全狀況、修復(fù)和控制損傷。 前面所提到的各種無損檢測方法費用高，有些部位難以接近，對大型結(jié)構(gòu)在事先 無法預(yù)測損傷位置的情況下無法進行。正因為如此，通過對結(jié)構(gòu)動態(tài)特性的測量來診 斷與評價損傷。這一方法對損傷快速定位具有特別重要的意義。 1 5 2 論文的主要貢獻 論文的主要貢獻在于： 1 應(yīng)用計算機進行仿真試驗分析了框架結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)響應(yīng)情況，得出不同模式的響應(yīng)。 2 提出了一種基于小波包分解的“能量缺陷”框架結(jié)構(gòu)缺陷檢測方法。 3 提出了一種基于小波分析的“范數(shù)缺陷”框架結(jié)構(gòu)缺陷檢測方法。 4 提出了一種基于多分辨統(tǒng)計熵的“統(tǒng)計熵指數(shù)缺陷”框架結(jié)構(gòu)缺陷檢測方法。 東南大學(xué)碩士學(xué)位論文 第二章小波分析基本理論 2 1 窗口傅里葉變換w f t 及其時頻局部化特性【7 最初人們?yōu)榱私鉀Q信號分析中存在的一對基本矛盾，即時頻局部化問題，在當(dāng)時掌 握了傅里葉變換的基礎(chǔ)上，對其改進而有了所謂窗口傅里葉變換w f t ( w i n d o wf r e i o r t r a n s f o r m ) 。該方法將非穩(wěn)態(tài)時變信號分為許多小的不同時段，在某個時段內(nèi)認為信號 是平穩(wěn)的，然后在該時段內(nèi)對信號進行f f t 分析。設(shè)實現(xiàn)信號，( r ) 時間分段的函數(shù)為 ，o ) ，i jg ( t ) r ( r ) ，r g ( t ) l 2 ( r ) ，則稱g ( t ) 為窗口函數(shù)。窗口傅里葉變換( w f t ) 的定義如下：當(dāng)g ( t ) r ( r ) 時，定義二元函數(shù)： f ，( 叩) 1 = 了磊1 【，o ) 酏一咖出 ( 2 一1 ) 式( 2 1 ) 中6 0 為頻域變量，t 為時域變量，f 為時延。則f f ( c o , r ) 】稱為f ( t ) 的以g ( t ) 為窗 1 ：1 函數(shù)的窗口傅里葉變換w f t ，式( 2 1 ) 還可寫成如下的頻域表示形式： 俐= 殺牌，( 他糾g 一咿“砌 ( 2 2 ) 其中y 為頻延。設(shè)相空間的點( t 0c o o ) ： 搿矧v w i i g(t)iiu曠atii d c o 協(xié)s ， = 【腳l g ( 曲) 1 2 g + ( ) o 2 i 稱為窗函數(shù)g ( f ) 的中心，而參數(shù)： 。= i 【o t o ) l g ( f ) 1 2 l i g o ) i i 2 a t l t = 一) i g ( c o1 2 i ig ( 叻i l q a c o l ( 2 4 ) 分別稱為窗函數(shù)g ( r ) 的時寬和頻寬。相空間中以( t o 嘞) 為中心，2 a 。為長邊，2 為寬 邊的平行于坐標(biāo)軸的矩形，稱為由g ( t ) 所決定的時頻窗口，它在時一頻平面上的局部化 特性如圖2 1 。時一頻窗口是對窗口函數(shù)時一頻局部化特性的刻畫，由窗口尺度來表征其局 6 東南大學(xué)碩士學(xué)位論文 部性，利用它可以對信號進行時- 頻局部化分析，參數(shù)。和越 小，g ( f ) 在時一頻兩域的局部化程 十 u 。， 度越高。雖然w f t 具有一定的時 一頻局部化分析能力，但由 h e i s e r b e r 測不準(zhǔn)原理可知，信號 的時域波形與其頻譜不可能同時 任意縮小，應(yīng)滿足規(guī)律 頻率升高，窗寬不變 hi 芷 。 _ _ - j 笛 f | 一j 。 圖2 1w f t 及其時頻局部化特性 。磚1 2 ，因此，在利用w f t 來分析信號的局部性質(zhì)的同時，一旦窗口函數(shù)占o(jì) ) 取 定，其窗口尺寸也隨之確定，這就產(chǎn)生了兩個問題：( 1 ) 對于短時高頻及變頻信號，使 用w f t 方法不能同時兼顧高低頻各種成分，為了分析高頻信號而縮小時窗寬會降低頻 率分辨率且對低頻分量不利，為了分析低頻信號需加大時窗寬則對高頻信號不利，故難 以取得期望的效果；( 2 ) 窗口取定則頻率分辨率取定，欲提高頻率分辨率，需要加大窗 口函數(shù)g ( t ) 的寬度，這必將導(dǎo)致短時內(nèi)平穩(wěn)性的前提失效。 2 2 連續(xù)小波變換c w t 及其時頻局部化特性i 2 4 】 連續(xù)小波變換c w t ( c o n t i n u ew a v e l e tt r a n s f o r m ) 的基本思想是用一族同一空間的函 數(shù)表示或逼近某一信號，這一族函數(shù)稱為( ，j 、波函數(shù)系”，它是通過某個稱之為“基本小 波函數(shù)”的不同尺度平移和伸縮構(gòu)成的。設(shè)妒( f ) 是給定的一個基本小波函數(shù)，對于存在 于r ( r ) 中的任意函數(shù)，p ) ，它的c w t 定義為： 吶，6 ) 叫) 制2 y ( 等弘 弦s ， 式( 2 5 ) 其重構(gòu)公式( 逆變換) 為： 州= 專砉帥搠礦( 半卜 泣。， 式( 2 - 5 ) 中的函數(shù)y 。( r ) 滿足相容性條件： 東南大學(xué)碩士學(xué)位論文 鏟馨沼。， 上y o 矽= 0 式( 2 5 ) 、式( 2 7 ) 中的a 為伸縮尺度因子，b 為平移尺度因子，且礦扣) 為y ( ，) 的傅 里葉變換。 設(shè)小波函數(shù)礦( f ) 的中心為t ，半窗寬為a ，；沙( 叻的中心為+ ，半窗寬為墨；則 由式( 2 5 ) 的連續(xù)小波變換c w t 為信號f q ) 提供了如下的時- 頻窗： 旭 b + a t l 以一+ 酗p 】i( 2 _ 8 ) o j 扣l e ) l a ，( + q ) ，口】j 其中的時窗寬度隨伸縮尺度因子a 的變化而變化，頻窗實際上是具有中心頻率a ， 帶寬為2 0l a 的一個變頻帶，也隨a 的變化而變化；時窗寬度與頻窗寬度的乘積為常數(shù)： p + 刪一口y ，6 + 謝+ 口r 】 如+ 一每) 7 q ( 2 9 ) ( 翻+ 虬) 口】= ( 2 a a ，) ( 2 譬l a ) = 4 a ，t 就當(dāng)注意到，雖然時窗寬度與頻窗寬度 的乘積為常數(shù)4 ，虬，但是時- 頻窗的 ” ， 時間寬度和頻率寬度會隨著伸縮尺度因 叫軸 子a 的變化而變化，a 增大，時窗變寬， 頻窗變窄，適宜于低頻的情形；反之a(chǎn) 心厄 縮小，時窗變窄，頻窗變寬，適宜于高 頻的情形。如圖2 2 所示即為小波變換 c w t 的局部化特性，可見小波變換具備 b + a ；pb 。+ a 。七 t 圖2 2o j i r r 及其刊嘶薪附特l 生 整體平坦部分的信息特征，也可以在小尺度上定位信號突變部分的信息特征。 2 3 離散小波變換d w t 以及二進小波 231 離散小波變換 實際應(yīng)用中，尤其是在計算機上實現(xiàn)時，連續(xù)小波變換必須加以離散化。故要將連 續(xù)小波礦。j p ) 和連續(xù)小波變換略 6 ) 作離散化處理，得到信號的離散小波和離散小波 8 東南大學(xué)碩士學(xué)位論文 燹抉d w t ( d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m ) 。 在連續(xù)小波中，考慮函數(shù)： ( f ) ：i d 1 w z y ( 三二魚) ( 2 1 0 ) 這里，6 r ，a r + ，且a 。0 ，y 是容許的，為方便起見，在離散化中，總限制訂只 取正值，這樣相容條件就變?yōu)?q = j o 掣承。 弦 通常把連續(xù)小波變換中伸縮尺度因子a 和平移尺度因子b 離散化公式分別取作： 4 = 2 kda。ojb日o。(bobk a o j b o ( b1 ：r ) ，( ，k ) z ： c ：一，z ， r ) ，( ，) 2 j 則式( 2 1 0 ) 所對應(yīng)的離散小波函數(shù)： 憎) 刮”y ( 上筍問i j l 2 b t 瓴蛾) ( 2 - 1 3 ) 而離散化小波變換系數(shù)則可表示為： c 卅= 廠。妒；( f ) 衍= ( 2 1 4 ) 其重構(gòu)公式為： ，( f ) = c c j ， 少似( f ) ( 2 1 5 ) c 是一個與信號無關(guān)的常數(shù)。 離散小波變換d w t 保留了連續(xù)小波變換c w t 的優(yōu)良時頻特性，即d w t 的離散采 樣點分布是非均勻的，在時間方向上隨著伸縮尺度因子a 的增加，采樣點減少，時域分 辨率降低：在頻率方向上隨著伸縮尺度因子a 的增加，采樣點增加，頻域分辨率升高。 為了保證重構(gòu)信號的精確度，網(wǎng)格點應(yīng)盡可能密，即a o 年1 3 b o 盡可能小。 2 3 2 二進制小波變換 為了使小波變換具有可變化的時間和頻率分辨率，適應(yīng)待分析信號的非平穩(wěn)性，需 改變口和6 的大小，以使小波變換具有變焦距”的功能。在實際中，采用的是動態(tài)的 9 東南大學(xué)碩士學(xué)位論文 采樣網(wǎng)格，最常用的是二進制的動態(tài)采樣網(wǎng)格，即= 2 ，b 。= 1 ，由此得到的小波： y m ( ，) = 2 ) 2 妒( 2 一。7 2 卜)，k z ( 2 1 6 ) 稱為二進小波( d y a d i cw a v e l e t ) 。所對應(yīng)的二進小波變換為： ，( ) = = 古，( r ) ( 2 - q - k ) d t ( 2 1 7 ) 其中函數(shù)序列 暇，( ) 。叫做f 的二進小波變換，其相應(yīng)的逆變換為： 巾) = ，m ) + 妒：m ) = 慨，m ) y ：船1 一k ) d k ( 2 - 1 8 ) ，e ：j e ； 二進小波不同于連續(xù)小波的離散小波，它只是對尺度參數(shù)進行了離散化，而對時間 域上的平移參量保持連續(xù)變化，因此二進小波不破壞信號在時間域上的平移不變量。 二迸小波對信號的分析具有變焦距的作用。假定有一放大倍數(shù)2 - j ”，它對應(yīng)為觀 測到信號的某部分內(nèi)容。如果想進一步觀看信號更小的細節(jié)，就需要增加放大倍數(shù)即減 小，值；反之，若想了解信號更粗的內(nèi)容，則可以減小放大倍數(shù)，即加大，值。在這個 意義上，小波變換被稱為數(shù)學(xué)顯微鏡。 2 4 多分辨分析 m e y e r 于1 9 8 6 年創(chuàng)造性地構(gòu)造出具有定衰減性的光滑函數(shù)，其二進制伸縮與平 移構(gòu)成r ( r ) 的規(guī)范正交基，才使小波得到真正的發(fā)展。1 9 9 8 年s m a l l e t 在構(gòu)造正交小 波基時提出了多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 的概念，從空間的概念上形象地 說明了小波的多分辨特性，將此之前的所有正交小波基構(gòu)造法統(tǒng)一起來，給出了正交小 波的構(gòu)造方法以及正交小波變換的快速算法，即m a l l a t 算法。m a l l a t 算法在小波分析中 的地位相當(dāng)于快速傅里葉變換算法在經(jīng)典傅里葉分析中的地位。 對于多分辨分析的理解以一個三層的分解進行說明，其小波分解如圖2 3 所示。 下圖中，a 表示低頻，d 表示高頻，末尾的序號數(shù)表示小波分鰓的層數(shù)( 也即尺 度數(shù)) ，從圖中可以明顯看出，多分辨分析只是對低頻部分進一步分解，而高頻部分則 不予以考慮。分解具有關(guān)系：s = a 3 + d 3 + d 2 + d 1 。如果要進一步的分解，則可以把低頻 部分a 3 分解成低頻部分a 4 和高頻部分d 4 ，以下再分解以此類推。分解的最終目的是 力求構(gòu)造一個在頻率上高度逼近r ( r ) 空間的正交小波基，這些頻率分辨率不同的正交 1 0 東南大學(xué)碩士學(xué)位論文 小波基相當(dāng)于帶寬各異的帶通濾波器。多分辨分析只是對低頻空間進行進一步的分解 使頻率的分辨率變得越來越高。 圖2 3 三層多分辨分析樹結(jié)構(gòu)圖 空間r ( r ) 中的多分辨分析是指r ( r ) 中滿足如下條件的一個空間序列 巧) 皿： a 調(diào)性：c 對任意_ ，z b 近性：n _ = o ) ，c f o s e u 巧) = r ( 胄) c 縮性：，( r ) f ( 2 t ) _ - l ，伸縮性體現(xiàn)了尺度的變化、逼近正交 小波函數(shù)的變化和空間的變化具有一致性； d 移不變性：對任意女z ，有力( 2 叫2 f ) 巧j 辦( 2 叫2 t 一| j ) _ e i e s z 基存在性：存在( f ) ，使得 6 ( 2 - j 1 2 t 一) 1 z ) 構(gòu)成巧的r i e s z 基； 其中，妒( f ) 稱為該多分辨分析的尺度函數(shù)，并可以由尺度函數(shù)構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正交基。 空間序列 _ ) 腳中一閉子空間巧可以分解為其子空間的直接和形式： = + lo 一，z ( 2 - 1 9 ) 式中o ) 三2 ( r ) 為尺度空間巧的尺度函數(shù)，而彬為小波函數(shù)y r 俾) 生成的小波空 間。若l 2 ( 且) 中的信號以d 在某個子空間n 內(nèi)，或可用函數(shù) 近似地逼近，則以f ) 可以表示為： 東南大學(xué)碩士學(xué)位論文 廠( f ) = f u ( t ) = 厶+ ( z ) + g + m ( f ) + + g + i o ) = g j ( f ) + 厶+ o ) ( 2 2 0 ) 在一定的精度下，g ，( f ) 是信號( t ) d 、波展開的有限和，它代表信號的高頻細節(jié) 成分， + 。( t ) 為信號低頻成分，它是信號的逼近。按m a l l a t 算法，有下列分解公式： ff j ( t ) = c ( 2 卜i ) 1 引f ) ：壹叱酬u t - k ) l i ( 2 2 1 ) 從尺度空間和小波空間的包含關(guān)系v ock 。，w oc 可得到尺度函數(shù)妒( f ) 和小波 函數(shù)p ( f ) 滿足的二尺度關(guān)系方程： f ( f ) = 壓 ( 七) 妒( 甜一) je z i 妒( f ) = 2 g ( 露) y ( 2 f t ) lk e z ( 2 2 2 ) 式中廳( 的、艄為與尺度函數(shù)礦( r ) 和小波函數(shù)妒( r ) 對應(yīng)的二尺度關(guān)系序列，即對應(yīng)低通 慮波器日和帶通慮波器g 的脈沖響應(yīng)序列，萬麗，虱巧為共軛慮波器萬，一g 的脈沖響應(yīng)序 歹uo 則司得分解算法和重構(gòu)算法如f ： 分解算法： ic ( j ，k 一1 ) = h ( 1 - 2 k ) c ( 1 ，) l d ( j - 1 ，k ) = g ( 1 - 2 k ) d ( 1 ，七) l f 重構(gòu)算法： c ( j 一1 ，七) = h ( k - 2 1 ) c ( j ，1 ) + g ( k - 2 1 ) d ( j ，z ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 式中c ( j ，) 為尺度就，上的離散小波逼近，d ( j ，七) 為尺度，上的離散小波細節(jié)，信 號的小波分解與重構(gòu)均可以通過慮波的形式實現(xiàn)。 2 5 小波包分析 短時傅里葉變換對信號的頻帶劃分是線性等間隔的。多分辨分析可以對信號進行有 效的時頻分解，但由于其尺度是按二進制變化的，所以在高頻頻段其頻率分辨率較差， 東南大學(xué)碩士學(xué)位論文 而在低頻頻段其時間分辨率較差，即對信號的進行指數(shù)等間隔劃分( 具有等q 結(jié)構(gòu)) 。 小波包分析( w a v e l e tp a c k e ta n a l y s i s ) 能夠為信號提供一種更加精細的分析方法，它將 頻帶進行多層次劃分，對多分辨分析沒有細分的高頻部分迸一步分解，并能夠根據(jù)被分 析信號的特征，自適應(yīng)地選擇相應(yīng)頻帶，使之與信號頻譜相匹配，從而提高了時一頻分 辨率，因此小波包具有更廣泛的應(yīng)用價值。 關(guān)于小波包分解以一個三層的分解進行說明，其小波包分解如圖2 4 所示。圖中， a 表示低頻，d 表示高頻，末尾的序號數(shù)表示小波包分解的層數(shù)( 也即尺度數(shù)) 。分解 具有關(guān)系：s = a a a 3 + d a a 3 + a d a 3 + d d a 3 + a _ a d 3 + d a d 3 + a d d 3 + d d d 3 。 2 5 1 小波包的定義 圖2 4 在多分辨分析中，p ( r ) 。是一，表明多分辨分析是按照不同的尺度因子，把 h i l b e r t 空問亭( 胄) 分解為所有子空間( z ) 的正交和的。其中，為小波函數(shù)y ( f ) 的 閉包( 小波子空間) 當(dāng)進一步對小波予空間按照二進制分式進行頻率的細分，以提 高頻率分辨率，一種做法是將尺度予空間巧和用一個新的子空間叼統(tǒng)一起來表征， 若令 搿) 泓刁 則h i l b e r t 空闥的正交分解一。= 巧國即可用叼的分解統(tǒng)一為 ( 2 2 5 ) 東南大學(xué)碩士學(xué)位論文 u j o 。= 哪+ 叼 ( z ) ( 2 2 6 ) 定義子空間u j 是函數(shù)( f ) 的閉包空間，而u j ”是函數(shù)“：。( r ) 的閉包空間，并令( f ) 滿 足下面的雙尺度方程： g 2 n + ( 1 罐茹卜( 2 t ： e zl o ) = 2 g ( j ) 一圳 e e zj 式中，g ( k ) = ( 一1 ) h ( 1 一七) ，即兩系數(shù)也具有正交關(guān)系。當(dāng)竹= 0 時，以上兩式為 撩攀( 2 t z ：斟 t e zi ”。o ) = 2 g ?！?。一尼) i i ej 與在多分辨分析中( f ) 和y ( ，) 滿足雙尺度方程 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) q k ( t ) = h k # ( 2 t - k ) 1 川：受喇( 2 h ) 魄) k e ze1 2 , 婦a “2 ( 2 _ 2 9 ) 向比較，u 0 ( f ) 和u l ( r ) 分別退化為尺度函數(shù)( f ) 和小波基函數(shù)y ( f ) 。式( 2 2 7 ) 是式( 2 2 5 ) 的等價表示。把這種等價表示推廣到”z + ( 非負整數(shù)) 的情況，得( 2 2 6 ) 的等價表 示為 。= 町”+ 叼”1( z ；n z + ) ( 2 3 0 ) 由式( 2 - 2 6 ) 構(gòu)造的序列伽。0 ) ) ( 其中訂z + ) 稱為由基函數(shù)( f ) = ( f ) 確定的正 交小波包。當(dāng)r i = 0 時，為( 2 2 7 ) 式的情況 2 5 2 小波包的空間分解 則有 令( 。( f ) ) 。z 是關(guān)于的小波包族，n = l ，2 ；- ，= l ，2 ，對( 2 2 6 ) 式作空間分解 = u j = 暉。o 啦。 u j _ 1 2 = u 二：o 啄：，哼= u 二：o u 工： 1 4 東南大學(xué)碩士學(xué)位論文 因此，得到小波子空間的各種分解如下： = u 知o u ；一， = u 土：o u ，5 一：o u 工：o 叫7 一： = u 二。u s ；1 。u 巖 = u ；o 明o o u 一1 ( 2 3 1 ) 空間分解子空間序列可寫作u 盤”，m = o ，1 ，2 f _ 1 ；z = 1 ，2 ，；j ：1 ，2 ，。 子空間序列，芻”的標(biāo)準(zhǔn)正交基為 2 刪?！埃?，+ 。( 2 川r 一后) ，k z ) 。當(dāng)z = o 和m = 0 時，子 空間序列u 盎”簡化為叫= ，相應(yīng)的正交基簡化為2 叫2 ( 2 一，一七) = 2 - 肌( 2 一j t 一尼) ， 它恰好是標(biāo)準(zhǔn)正交小波族艫m ( f ) 。 若 是一個倍頻程細劃的參數(shù)，即令n = 2 。+ m ，則有小波包的簡略記號 礦，。 ，。( f ) = 2 ”眠( 2 一。r 一七) ，其中，( f ) = 2 “：，+ 。( 2 。f ) 。把p 卅，( f ) 稱為具有尺度指標(biāo) j 、位置指標(biāo)七和頻率指標(biāo)盯的小波包。與前面的小波y 。( f ) 作一比較知，小波只有離 散尺度，和離散平移七兩個參數(shù)，而小波包除了這兩個離散參數(shù)外，還增加了一個頻率 參數(shù) = 2 。+ 卅。正是這個頻率新參數(shù)的作用，使得小波包克服了小波時間分辨率高時 頻率分辨率低的缺陷。于是，參數(shù)n 表示( f ) = 2 “2 ( 2 。f ) 函數(shù)的零交叉數(shù)目，即波 形的振蕩次數(shù)。 2 5 3 小波包算法 i 發(fā)g y ( t ) n ，則g ；可表示為 g ；o ) = 妒( 2 卜，) ， 小波包分解算法 由 “ 求f 吖m ) 與 m + 1 ) ( 2 3 2 ) 堡墮奎堂堡主蘭竺堡苧 d 知 刃”1 小波包重構(gòu)算法 由 d m 與 d m “ 求 a “” 酬“”= 啊。酬2 ”+ g 。州山“】 1 6 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 、【，j 月 ， + + 以 酬 吼 釓 。 一一 = 一一 查墮查蘭堡主堂垡堡蘭 一 第三章基于小波變換的框架結(jié)構(gòu)故障診斷方法研究 3 1 小波變換的基本原理 小波分析的基本思想【2 51 是用一簇函數(shù)去表示或逼近一信號或函數(shù)，這一組函數(shù) 稱為小波函數(shù)系，它是通過一基本小波函數(shù)的平移和伸縮構(gòu)成。 如果r ( 勵滿足“容許條件”：c ，= 埋摯國 0 ( 等號僅在x 為零向量0 時成立) b 1 i c x l i = l i x l i ( c 為任意實數(shù)) c 1 i x + y l l - l i x l l + 則稱為刪是上的向量范數(shù)。向量x 與向量y 差的范數(shù)| l x l i l 稱為x 與y 之間的距 離 設(shè)x 在r ”上的分量為x 1z 2 ，x 。，即爐( 一，x 2 ，x 。) 7 ，則向量x 的2 范數(shù)定義 如下： 悱= 歷石可= 降廠 凈s ， 2 故障診斷原理 系統(tǒng)有故障時，其傳遞函數(shù)將會改變，不同的故障對應(yīng)著不同的傳遞函數(shù)。當(dāng)用 一個含有豐富頻率成份的信號作為輸入對系統(tǒng)進行激勵時，由于系統(tǒng)故障對各頻率成 份的抑制和增強作用發(fā)生改變，通常，它會明顯地對某些頻率成份起著抑制作用，而 對另外一些頻率成份起著增強作用。因此，不同故障的系統(tǒng)其輸出也各不相同。在對 框架結(jié)構(gòu)進行缺陷檢測時，可以結(jié)合框架模型，建立范數(shù)到每一層出現(xiàn)缺陷的映射關(guān) 系，得到表征每一層缺陷的特征范數(shù)序列，從而確定是否有缺陷及缺陷的位黌。 為了用數(shù)值衡量小波變換進行缺陷檢測的有效性，我們用如下范數(shù)定義兩種缺陷 模式之間的距離1 2j ： i | m 1 一m 21 1 2 爿( d l d 0 ) 21 1 ” ( 3 6 ) 其中m 1 和m 2 分別代表兩種缺陷模式，而d l 和艱則為m 1 、m 2 對應(yīng)的小波變換系 數(shù)。此外，為了避免計算離散小波變換時遇到的邊界問題，需要對原始信號進行延拓， 具體方法如下： 弘 s 2 - n n ：0 凈， 其中s