（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）跳板跳水的人板多剛體模型及運動解析系統(tǒng).pdfVIP

摘要本文在人體質(zhì)點模型的基礎(chǔ)上對人一板系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行修正，將人體設(shè)計成多剛體系統(tǒng)，將跳板抽象成為一維彈性懸壁梁模型，建立人一板系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，以此模型為基礎(chǔ)，得出以人體各部分關(guān)節(jié)角度為控制函數(shù)的控制模型，以有關(guān)模型和人體生理、解剖學(xué)理論及有關(guān)參數(shù)為重要的約束條件，建立相應(yīng)的人板系統(tǒng)仿真模型，并進(jìn)行理論分析和運動仿真；同時，以最大騰起速度為目標(biāo)函數(shù)，建立相應(yīng)的隱泛函極值問題，對蹬伸過程進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。在對該隱泛函極值問題優(yōu)化計算時，采用動態(tài)規(guī)劃的思想，建立以最大騰起速度為目標(biāo)函數(shù)的非線形規(guī)劃模型，給出在給定空間中求解最優(yōu)控制函數(shù)的方法，并利用我們設(shè)計的數(shù)值優(yōu)化算法對人板運動模型的優(yōu)化問題進(jìn)行數(shù)值計算與分析，給出在給定的約束條件下的運動效果達(dá)到最佳的運動控制函數(shù)和參數(shù)。另外，我們對運動圖像解析系統(tǒng)進(jìn)行研究，給出一個實用快速的人體關(guān)節(jié)點自動識別的算法。最后，在理論和實驗結(jié)果的基礎(chǔ)上設(shè)計了包括運動圖像解析、人體運動動態(tài)仿真和優(yōu)化設(shè)計功能的跳板跳水運動解析系統(tǒng)。關(guān)鍵詞：多剛體系窈7 數(shù)學(xué)模支?？刂苾?yōu)花仿真圖像解析a b s t r a c ti nt h i sp a p e r , t h ep r e v i o u sm a t h e m a t i c a lm o d e lo fh u m a n - b o a r d ( h b ) s y s t e mo nt h eb a s i so f t h ep a r t i c l em o d e lo f h u m a nb o d yi sm o d i f i e d ah bs y s t e mm o d e lb a s e do nt h em u l t i r i g i d _ b o d ys y s t e mm o d e lo fh u m a nb o d ya n dt h eg e o s t a t i c sm o d e lo ft h eb o a r dw h i c hi sao n e - d i m e n s i o n a le l a s t i cc a n t i l e v e rb e a mi sp r e s e n t e d w h e r et h ec o n t r o lf u n c t i o n sa r em o v e m e n tf u n c t i o n so f t h ea n g l e so f t h ej o i n t sa n dt h ec o n s t r a i n tc o n d i t i o n sa r et h ep a r a m e t e r so ft h ep h y s i o l o g i c a la n da n a t o m i c a lc o n s t r a i n t s t h c nw ea n a l y z et h em o d e la n de s t a b l i s ht h ec o r r e s p o n d i n ge m u l a t i o nc o m p u t a t i o n a la l g o r i t h m a ni m p l i c i tf u n c t i o n a le x t r e m ep r o b l e mw h o s eo b j e c t i v ef u n c t i o ni st h em a x i m a lt a k e - o f fv e l o c i t yi sa l s 0e s t a b l i s h e dt oo p t i m i z et h et a k e o f fp r o c e d u r e n l em e t h o do fd y n a m i cp r o g r a m m i n gi su s e dt oo b t a i nt h eo p t i m a lc o n t r o lf u n c t i o n si nc e r t a i ns p a c e s ot h eo p t i m a lm o v e m e n tc o n t r o lf u n c t i o n sa n dp a r a m e t e r so fh bs y s t e mc a l lb eo b t a i n e d i na d d i t i o n ，w ed i s c u s sa l g o r i t h mo ft h ea u t o i d e n t i f i c a t i o ns y s t e mo ft h ej o i n t si nt h em o v i n gi m a g ea n a l y z i n gs y s t e ma n dap r a c t i c a l l ye f f e c t i v ea l g o r i t h mi sp r e s e n t e d i nt h ee n d am o v e m e n ta n a l y t i cs y s t e mo fs p r i n g b o a r di n c l u d i n gt h em o v i n gi m a g ea n a l y z i n gf u n c t i o n ，m o v i n ge m u l a t i o n ，a n do p t i m i z a t i o nf u n c t i o ni sd e s i g n e d k e y w o r d s ：m u l t i - - r i g i d - b o d ys y s t e mm a t h e m a t i c a lm o d e lc o n t r o lo p t i m i z ee m u l a t i o ni m a g ea n a l y z i n g跳板跳水的人- 板多剛體模型及運動解析系統(tǒng)1 1 問題的提出背景1 引言跳板跳水是指運動員在一端固定，另一端有彈性跳板上進(jìn)行跳水，跳板距離水面的高度規(guī)定為l 米和3 米。由于跳板跳水是在塊彈性板上進(jìn)行，而且跳板距離水面的高度較小，所以跳板跳水的起跳技術(shù)很難掌握。跳板跳水技術(shù)由四部分組成，即走板、起跳、空中動作、和入水。起跳技術(shù)是跳板跳水中最基本的技術(shù)，同時也是跳板跳水中最尖端的技術(shù)。它要求動作穩(wěn)定、準(zhǔn)確、起跳高。起跳動作的正確與否，直接影響著空中動作和入水效果。起跳技術(shù)的全過程是運動員從走板的最后步右腳開始支撐時，降低身體重心，兩臂向下擺動左腳著板后，在某一時刻，跳腿( 左腿) 開始蹬伸，同時兩臂向上擺動，擺動腿( 右腿) 屈膝上捉。當(dāng)踏跳腿蹬伸經(jīng)過一定時間以后，腳開始離板。運動員離板后，擺動雙腿迅速伸直，在最高點與踏跳腿一起伸直并攏，兩臂伸直上舉，在身體逐漸下落的過程中，逐漸屈膝，屈髖，屈踝關(guān)節(jié)，兩臂經(jīng)后側(cè)向下擺動，然后經(jīng)前腳掌過渡到全腳掌著板，接著跳板下降，當(dāng)板達(dá)到最低點時，板開始回彈，在這一過程中，人體同時蹬板，蹬板到某一時刻，人體以某一速度離板，人體離板后上升的高度主要取決于離板時的瞬時速度。中國運動員的跳板技術(shù)不如跳臺技術(shù)，這一點為國內(nèi)外專家所公認(rèn)，潭良德的三次奧運會亞軍就是明證。究其原因，主要是在于潭良德的板上技術(shù)比對手差。一個運動員要跳得成功，必須正確運用自己的身體和跳板，以跳到最大可能達(dá)到的高度。如何判別運動員的動作缺陷，提出正確的修正設(shè)想，指導(dǎo)運動訓(xùn)練，以提高運動成績，是運動訓(xùn)練中教練員和科研工作者的基本任務(wù)之一。目前，我國大多數(shù)教練員都是根據(jù)他們的實踐經(jīng)驗，和國內(nèi)外優(yōu)秀運動員的動作特征指導(dǎo)運動員，但我國的跳板跳水水平始終不能達(dá)到國際領(lǐng)先水平，原因是體育科研工作還不夠，問題的實質(zhì)在于解剖運動員的生理特征，將運動生物力學(xué)和數(shù)學(xué)的理論與實踐結(jié)合起來，使訓(xùn)練更加科學(xué)化。跳板跳水的人板多剛體模型及運動解析系統(tǒng)針對跳板跳水，國內(nèi)外在這方面的研究工作不多，如陳延正的“新空翻動作的仿真分析”；徐建成針對人體空中動作建立了簡單的力學(xué)模型，并用藝術(shù)人體造型對空中動作作了動態(tài)模擬；沈有道利用人體的簡化模型對跳水蹬伸瞬間的運動問題通過力學(xué)分析建立了人一板系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。以此模型為基礎(chǔ)，提出了以膝關(guān)節(jié)角或相對距離y ( t ) 為控制函數(shù)的控制模型。但是，這些模型都存在與實際人體模型相差較大，不能用在實際指導(dǎo)運動員進(jìn)行訓(xùn)練和技術(shù)動作矯正上。對人體跳躍運動，國內(nèi)外大多集中在研究剛性支撐下的起跳問題。對于跳板跳水的板上運動，即在有彈性支撐下的起跳問題，特別是蹬伸瞬間的運動問題，國內(nèi)外研究很少，其中大多數(shù)采用影象分析方法作一些技術(shù)診斷和動作技術(shù)論證，如柳濤關(guān)于“跳板跳水最佳蹬伸位置的論證”；郁紅高等曾對人一板系統(tǒng)用彈簧模擬跳板，將人看成質(zhì)點，建立人一板系統(tǒng)方程，并用洛加尼斯的動作攝影解析結(jié)果為模板，提供了以人一板作用力n ( t ) 的標(biāo)準(zhǔn)蹬伴函數(shù)，但模型比較簡單，且缺少對數(shù)學(xué)模型的理論分析，沒有對人一板作用的規(guī)律作定性的或定量的分析和討論；彈簧與跳板運動有一些相似之處，但以彈簧來簡化跳板，此時各參數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系不明確，難以計算；以人一板相互作用力n ( t )為控制量，不易于用來指導(dǎo)實踐，也缺乏實踐意義。而沈有道在“人一板系統(tǒng)最佳蹬伸動作的控制模型及數(shù)值分析”中把跳板簡化成一懸臂梁，如圖1 1 ，并將人簡化為如圖1 2 所示的模型，把人看成由質(zhì)點m 與兩長度為l 的無質(zhì)量剛性細(xì)桿組成，兩桿以圓柱鉸相連，桿的另一端在頂點處與質(zhì)點m 聯(lián)接，另一端在0 點與板相連。圖1 1 跳板的懸臂梁模型跳板跳水的人板多剛體模型及運動解析系統(tǒng)圖1 2 人體的桿件模型而實際上跳板是一端鉸支，另一端自由的彈性板( 如圖1 3 所示) ，中間有一可調(diào)節(jié)支點0 ，運動員在跳板前可根據(jù)自己的實際情況，調(diào)整支點的位景，使之成為人們習(xí)慣上所稱的硬跳板和軟跳板。并且把人看成質(zhì)點與無質(zhì)量細(xì)桿相連的系統(tǒng)，顯得太簡單。圖1 3 跳板的鉸支模型1 3 研究內(nèi)容和方法本文以人一板系統(tǒng)為背景進(jìn)行研究。人一板系統(tǒng)是人在有彈性的物體上運動的耦合系統(tǒng)，人可以在板上利用人體釋放能量以及跳板貯存肌肉能的傳遞，實現(xiàn)體能的最大工作效益。本文在既往工作的基礎(chǔ)上對此進(jìn)行理論與應(yīng)用研究，建立更加合適的人一板偶合問題的數(shù)學(xué)模型，考慮人體的動作和跳板的硬度對起跳效果的影響。我們采用四剛體組成的多剛體系統(tǒng)建立人體模型，由一維彈性懸臂梁建立跳板模型，聯(lián)立得到更加符合實際的人一板系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，并以此模型為基礎(chǔ)，根據(jù)控制理論和數(shù)值計算方法把這個極端復(fù)雜的模型離散化，進(jìn)行仿真。同時我們以人體質(zhì)心的最大騰起速度為目標(biāo)函數(shù)，人體的各段生理約束條件為約束條件，對蹬伸過程進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。并且我們對運動序列圖像中跳板跳水的人一板多剛體模型及運動解析系統(tǒng)人體關(guān)節(jié)的自動識別算法進(jìn)行研究，提出一種快速實用的方法。并且在理論和實驗的基礎(chǔ)上設(shè)計了跳板跳水的運動解析系統(tǒng)。跳板跳水的人- 板多岡】l 體模型及運動解析系統(tǒng)2 1 引言2 人板系統(tǒng)多剛體模型人體肌肉的收縮規(guī)律極為復(fù)雜，它與運動解剖、生物力學(xué)、生物控制論等有關(guān)，目前的研究工作尚處于認(rèn)識階段，特別是對人體環(huán)節(jié)間內(nèi)力和內(nèi)力矩的測算與控制在實際中仍是一個未解決的問題。一般情況下，肌肉作用力的大小和方向是受腦神經(jīng)控制的變量，由運動員的主觀意志所確定，運動員根據(jù)其長期訓(xùn)練形成的習(xí)慣或本能，隨時依據(jù)其感覺器官接受到的各種信息而調(diào)節(jié)其肌肉作用力的大小和方向以完成其預(yù)定的動作，在運動過程中，人體積蓄的肌肉能不斷通過肌肉的活動轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，因而人體的數(shù)學(xué)模型不是一般的剛體系，而是包含肌肉動力系統(tǒng)的一種特殊的相當(dāng)復(fù)雜的“剛體系”。1 9 6 4 年h a n a v a n 建立了最具代表性的人體的剛體系模型，由1 5 個剛體部件組成：1 頭，2 上軀干，3 下軀干，4 右手，5 左手，6 右上臂，7 左上臂，8 右前臂，9 左前臂，1 0 右大腿，1 1 左大腿，1 2 右小腿，1 3 左小腿，1 4 右足，1 5 左足( 見圖2 1 1 ) 。：熱4 號。口口，1 。s”可口- 。假設(shè)各剛體部件皆具有理想化幾何外形( 1 、4 、5 為橢球，2 、3 為圓柱，其余皆為圓錐臺) 和均勻分布質(zhì)量。根據(jù)大量尸體解剖實驗和利用計算機(jī)的回型! 堡墜登塑：堡蘭型堡堡型墾曼墊竺塹墨竺歸分析，提供出各分體的幾何數(shù)據(jù)和慣性數(shù)據(jù)。由n 個剛體組成的剮體系具有3 n + 3 個自由度。如將信息傳遞過程也考慮在內(nèi)，人體的肌肉動力系統(tǒng)是與生物控制論有關(guān)的復(fù)雜動力學(xué)系統(tǒng)，其中除與3 n + 3 個自由度對應(yīng)的廣義坐標(biāo)，還應(yīng)將各相鄰分體之間的肌肉控制力矩以及感覺器官接受到的各種信息都作為未知變量。分析這樣復(fù)雜的動力學(xué)系統(tǒng)自然是十分困難的，它大大超出經(jīng)典力學(xué)的研究范圍。一種簡化的研究方法是只考慮肌肉活動引起的后果，即相鄰分體之間的相對運動，將它看作對廣義坐標(biāo)的動力學(xué)約束條件，而不去追究肌肉施力過程的復(fù)雜的生物物理本質(zhì)。對于由n 個剛體組成的鏈系統(tǒng)，可以列出3 n 3個約束條件。具體約束條件可由以下幾種途徑確定：1 利用對運動過程的高速攝影記錄分析出運動員的肢體相對軀干的實際運動規(guī)律。2 根據(jù)多次實踐經(jīng)驗歸納總結(jié)出為完成某種運動動作所必須的肢體相對運動的一般規(guī)律。3 理論上為滿足某種最優(yōu)要求麗設(shè)計出的理想化的肢體相對運動。本文即采用了基于h a n a v a n 模型的簡化模型。h a n a v a r l 模型是由1 5 個環(huán)節(jié)組成，而跳板跳水的起跳過程中，可以忽略某些細(xì)微的影響。實際上運動員在起跳過程中，身體的許多環(huán)節(jié)始終保持左右對稱的，人體的運動往往也是幾乎是在一平行平面內(nèi)運動，因此起跳過程中人體可以簡化成二維運動，人體簡化成圖2 1 2 所示的4 塊剛體模型，各部分用球鉸連接。圖2l2 人體四剛體模恥跳板跳水的人一板多剛體模型及運動解析系統(tǒng)其中：1 小腿+ 腳，2 大腿，3 頭+ 頸+ 軀干，4 雙手+ 雙前臂+ 雙上臂。人體相應(yīng)的幾何數(shù)據(jù)和慣性數(shù)據(jù)可從有關(guān)資料上獲得。對于多剛體系統(tǒng)，建立數(shù)學(xué)模型的分析方法可以分為兩大類：一是基于動力學(xué)基本定理的方法；一是基于第二類拉格朗日( l a g r a n g e ) 方程的方法。理論分析和比較表明以建立拉格朗日方程的動力分析最具有規(guī)范性，便于計算機(jī)統(tǒng)一處理，因此，本文建立人體模型時采用了基于第二類拉格朗日方程的方法。2 2 跳板的數(shù)學(xué)模型跳板是一端鉸支，另一端自由的彈性板，( 如圖2 2 1 所示) ，中間有一可調(diào)節(jié)支點，對支點位置進(jìn)行調(diào)節(jié)，可以有效地改變跳板長度從而改變它的周期。圖22l 跳板模型設(shè)跳板的長度為，跳板的支點距鉸支端的距離為口，人體對跳板的作用力大小為( f ) ，由于( f ) 的作用，跳板支點處受到的作用力為n ：( f ) ，跳板鉸支端受到的作用力為，( f ) 。板的受力情況如圖2 2 2 所示力及力矩的平衡得e ；l j ”圖2 22 跳板受力分析圖2 ( ，) = n 1 ( ，) + n ( t )旦緲查竺：堡蘭型竺堡型絲墮墊堅塹墨竺n ( t ) l = n 2 ( t ) a 所以n 。( f ) = 竺( f ) ；n 2 ( t ) = 二n ( t ) ；塒，= ：；蘭妾其中：l 為跳板的長度，a 為跳板鉸支端距支點的長度。由梁的彎曲微分方程日毒y 板( t f ) = m ( 互，)( 其中( 工，) 為，時刻跳板距鉸支端長度為x 的點的撓度) 兩邊對x 積分可得劇導(dǎo)y 板( 州) =出掣x2 + c l ，嘁鯫( ，) 丟一嘗。：+ c ：，a x ，2 2 1 其中j = 等，6 為跳板的寬度， 為跳板的厚度，e 為楊氏彈性模量。由未y 板( x ，r ) 在x = a 的連續(xù)性得華日2 + c ，( 岫一掣 c ：由此可得c l ：n ( t ) l a + c 2 代入式f 2 2 1 1 可得e l y 板( x ，)由y & ( o ) = 0 可得l 。- n a n ( 啦3 + 。t n ( t ) l a + c 2 ) z + d l ，o x a掣扛：一掣，d ：皚“，z0d ，= o跳板跳水的人一板多剮體模型肢運動解析系統(tǒng)由y 板( d ) = 0 得d ：塑墮6c ：堂生一三( f ) 婦，63。7。，、l 筆x 3 十( 華一半m呱。娜歸1 一盟 亟 。遂一避巡，蕊【62、63。6瞄歸籌”，f ( r ) 華= 吲掣卜2 劃掣卜眩z y 扳( x ，r ) =y 哆r ) 麗x 3 _ ( g2 x ，。啪f ) 一- x 3 + 1 3 1 x 2 + 兩( a 2r - 4 1 a ) x + l a2 ，口x 莖。工3 一口2 x2 a l ( 1 一日1+ 劃掣 2 塵卜m ( 9 a 4 + 2 4 1 a3 2 0 6 l2 口2 + 2 6 4 l a 一9 9 1 418 4 0 12 ( 1 一d ) 2f 砂扳( ，f ) 1 2l 丁j9，、，f，【出_ertr_lr_jj _ _ = 塑型型塑至型塑墼塑塑墨竺式( 2 2 3 ) 右邊第二項為丟r e l y 扳1 ( 1 , t ) 高( 篙肛+ 吉f 吣，高( 生糍等巡肛：! 堡堡塑：2 l ( 1 一日、2所以，式( 2 2 3 ) 即化為f ( r ) ：一箜塵型立罌墮= r 旱型! 二! 業(yè)f 盟業(yè) 2 + 監(jiān)8 4 0 l2 ( ，一d ) 2ld tj 。2 l ( 1 一口12兩邊對t 求導(dǎo)，令蹦忙( 竽 2令得義腳om ( 9 a 4 + 2 4 l a 3 2 0 6 1 2 a 2 + 2 6 4 13 一9 9 1 4 、8 4 0 l2 ( ，一) 2卅f =砌) = 器llai l 孚釓一m ( 9 l b j + 2 4 1 b b3 - 2 0 6 1 b b2 + 2 6 4 l b b - - 9 9 )4 2 0 ( 1 一，m ) 2以 。商跳板跳水的人- 板多剛體模型及運動解析系統(tǒng)因為( ，) 不恒等于0 ，所以方程兩邊消去，飯( f )m m y 扳( f ) = 一( f ) 一a i h y ( f ) ( 22 4 )2 3 人體的多剛體數(shù)學(xué)模型根據(jù)運動特點，本文把人體簡化為四部分組成的多剛體系統(tǒng)，且設(shè)人體矢狀面對稱，起跳中做平面運動。o 點為板水平時腳與板的接觸點，以o 點為原點建立慣性坐標(biāo)系( o x ，y ) ，以o 為原點建立平動坐標(biāo)系，與人體的矢狀面重合。以a ( i = l ，2 , 3 ，4 ) 表示第i 個剛體，分別模擬小腿，大腿，上軀干和胳膊，連接各部件的圓柱鉸o ( i - l ，2 ，3 ，4 ) 分別模擬踝關(guān)節(jié)，膝關(guān)節(jié)，髖關(guān)節(jié)和肩關(guān)節(jié)，e 為a ，剛體的質(zhì)心，( x ly ，) 為b ，處的坐標(biāo)，如圖2 3 1 所示。記三q d ：= 三。，三。：q = 三。，三叩。= 三，為剛體兩鉸間的距離。a 。的中心軸與zd軸的傾角為臼j ，設(shè)m ，( i _ 1 ，2 ，3 ，4 ) 為a ，的質(zhì)量，m = 至m ；為人體的總質(zhì)量，j = lc ，為a ，的質(zhì)心相對于q 的長度。a ，剛體與a 。剛體鉸接處內(nèi)力矩為m ，( 以逆時針方向為正) ，繞b ，質(zhì)心軸( 與z 軸平行) 的轉(zhuǎn)動慣量為，。跳板跳水的人板多剛體模型及運動解析系統(tǒng)圖2 3 1 人體的四剛體模型1 計算質(zhì)心b 處坐標(biāo)位移函數(shù)、速度函數(shù)、加速度函數(shù)t = ，ic o s o k + c 。c o s 0卜1i = 一，t 幺s i n o k c ，諺s i n 0k = ly ，= yd l + s i n o k + c ，s i n 0f 一1p ? = ，o j + z t k 6 kc o s o k + c 。67 c o s ok = l卜l卜1j j ，= 步m + ， 或c o s o k 一文2s i n o k + c ，諺c o s l 9 一c ，反2s i n o ik = lk = 1其中i = 1 , 2 ，3 ，4 2 計算a ，剛體的動能f 和勢能_ ，每個剛體爿，的動能包括質(zhì)心平動動能和繞質(zhì)一t l , 軸轉(zhuǎn)動動能，則l = 1 2 m 。( j ，2 + 歲，2 ) + 圭，。掃，2對于爿，剛體的勢能，取o 點為重力勢能零點，則爿，剛體的重力勢能為= m 。g y3 肇于分析力學(xué)觀點進(jìn)行系統(tǒng)動力分析。由于本系統(tǒng)為非完全保守系統(tǒng)根據(jù)l a g r a n g e 方程，有! 墮! ! 查些叁：堡童型竺堡型墨堊墊塑塹墨簍丟( 詈) - 瓦o l = 糾峨，川其中：r = 7 1 一v ，r 為剛體系統(tǒng)的總動能，v 為剛體的重力勢能，q ，為非保守力所對應(yīng)的廣義力，在本例中就是關(guān)節(jié)內(nèi)力矩和( f ) 所對應(yīng)的廣義力，q 。為獨立的廣義坐標(biāo)參數(shù)；月為系統(tǒng)的自由度。對于本系統(tǒng)，我們有系統(tǒng)的總動能和總勢能為系統(tǒng)的廣義力為r = z = 寺豫( i ，2 + 加+ ，舀2j = l片lj - l44礦= k = m g y ，q l = m l m 2 ；q 2 = m 2 一膨3q 3 = m 3 一m 4q 4 = m 4 ；q 5 = ( f ) 獨立的廣義坐標(biāo)參數(shù)為：0 1 ( f - l ，2 ，3 ，4 ) 和y 代入l a g r a n g e 方程，整理得人體蹬板過程的數(shù)學(xué)模型( 塒l q2 + 肌2 ，i2 + 肌3 ，l2 + 朋4 ，12 + i ，1 ) 反+ ( m 2 c 2 + m 3 ，2 + m 4 ，2 ) ，lc o s ( 0 , 一0 2 ) 0 2+ ( m 3 c 3 + m 4 ，3 ) ，lc o s ( o l 一島) 口3 + m 4 ，l c 4c o s ( 0 1 0 4 ) 0 4+ ( m 2 c 2 + m 3 1 2 + m 4 1 2 ) z ls i n ( 00 2 ) p ：r+ ( m ，c ，+ m 。，) ，s i n ( 0 一b 炮) 2+ m 。f c 。s i n ( 0 ，一吼貽。) 2 + ( m 。c + m 。，+ m 3 ，- i - m 4 ，) g c o s 0= m l m 2 ：( 2 3 1 )一墜堡墜查墮：堡墨型堡堡型墨至墊塑塹至竺( 2 c 2 十3 ，2 + 蜥4 ，2 ) ，lc o s ( 0 2 0 1 ) o l+ ( m 2 c 2 + m 3 ，2 2 + m 4 ，2 2 + ，2 ) 口2+ ( m 3 c 3 + 小4 f 3 ) f 2c o s ( 0 2 o s ) 穢3 + m 4 f 2 c 4c o s ( 0 2 0 4 ) 坑+ ( 州2 c 2 + m 3 ，2 + 4 f 2 ) z ls i n ( 0 2 一只) ( p 1 ) 2( 2 3 2 )+ ( m 3 c 3 + m 4 1 3 ) 1 2s i n ( 0 2 一島) ( 島) 2+ m 4 ，2 c 4s i n ( 0 2 0 4 ) ( 目4 ) 2 + ( 2 c 2 + m 3 1 2 + m 4 ，2 ) g c o s 0 2；m ，m 1 ：( m 3 c 3 + 塒4 ，) ，lc o s ( 0 3 一只) 反+ ( 肌3c 3 + 塒4 ，3 ) ，2c o s ( 0 3 一幺) 幺+ ( m 4 1 3 2 + r t 1 3 c 3 2 + j 3 ) 包+ 小4 f 3 c 4e o s ( 0 3 一目4 ) 甌+ ( 塒3 c 3 + m 4 j 3 ) j ls i n ( 0 3 一0 1 ) ( 反) 2( 2 3 3 )+ ( m ，c 3 + ，”。，) ，：s i n ( o ，一0 2 ) 僅) 2 + m 。厶c 。s i n ( 0 3 一吼) ( 幺) z+ ( m 3 c 3 + ，”4 ，3 ) g c o s t 9 3 = m 3 一m 4 ；m 4 c 4 ，lc o s ( o 一o , ) o l + m 4 c 4 1 2c o s ( 六0 2 ) 口2+ 7 h 4 c 4 。3c o s ( 曰4 一目3 ) ? 3 + 塒4 c 4 7 3c 0 8 ( p 4 一護(hù)3 ) 臼3 + ( 聊4 c 4 2 + ，4 ) 口4( 2 3 4 )+ m 4 c 4 f 】s i n ( 0 4 一o i ) ( 呂1 ) 2 + m 4 c 4 1 2s i n ( 0 4 0 2 ) ( 日2 ) 2+ m 4 c 4 1 3s i n ( 0 4 一島) ( 掃3 ) 2 + m 4 c 4 9 c o s 0 4 ：m 4 ；( f ) 一鴨gm ，腫) = o同時，因為y 扳= y 由跳板的動力學(xué)方程式( 2 2 4 ) 有m ，j j q + a i b h y 。：+ ( f ) = 0由式( 23 5 ) 和式( 2 36 ) 可得( 2 3 5 )( 2 3 ，6 )z _ _ l 型塑譬型燮塑巡墮一t m l 。l + m 2 l l + m 3 f l + m 4 1 1 ) c o s o l 0 1 + ( 聊2 c 2 + m 3 f 2 + 腳4 2 2 ) c o s 0 ，務(wù)，一即+ ( m 3 c 3q - m a f 一) c 。s b 既+ m 4 c 4c o s 目。舀。十( m 。+ 窆。) 少。一( m l c l + m 2 l l + 聊3 f l + m 4 f 1 ) s i n o l ( 反) 2( 2 3 7 ，一( 肌2 吐+ 坍3 ，2 + m 4 1 2 ) s i n 0 2 ( 幺) 2 一( 肌3c 3 + 肌4 ，4 ) s i n 0 4 ( o ，) 2一m l c 4s i n 六( 舀。) 2 + 4 ( 口) _ y 。+ 童g ：o ，睦( 2 3 8 )其中，d 。，6 ，( f ，= 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 均為諺和只，y 。，的函數(shù)。解之可得q2 _ ( 0 1 ，0 2 ，0 3 ，吼，只，0 2 , 0 3 ，0 。，m l ，m ：，m ，m 。) ；0 22 凡t ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 1 ，0 2 ，83 ，e 4 ，m 1 m 2 ，m3 ，m 。) ；0 ，2 石( q ，島，0 3 ，只，o l ，0 2 ，0 3 ，紋，m ，m 2 ，鴝，m 。) ；吼2 厶( b ，0 2 ，以，0 t ，0 - ，0 ：，0 3 ，0 。，m l ，m 2 ，m 3 ，m 。) ；蘿q = ，5 ( 口j ，0 2 , 0 3 ，0 4 ”00 20 3 ，0 4 ，y 。) 其中m ，m ，m ，m 。y 為控制量。由式( 2 3 1 ) ( 2 3 7 ) 可得：m ，= m ，( 護(hù)，9 ，疹，) ；y 。= y 。( 只，諺，矽) ( f _ l ，2 ，3 ，4 )其中只( ，j ( 汪1 , 2 ，3 ，4 ) 為控制函數(shù)。一只島。島。幺vinoiiiihjo八oooo j44加蚴蚴m 強(qiáng)33333兇咖mmm22222和衄岫鼬幻印啊咖川蚴! ! 堡! ! 查塑叁：堡墨! ! 堡墮型墨堊墊塑塹至竺故本系統(tǒng)可從兩方面來研究。一是以人體關(guān)節(jié)的內(nèi)力矩肘，為控制量，該控制量由運動員的主觀意志所決定，求解運動狀態(tài)臼，即所謂動力學(xué)反問題；一是已知人體的運動狀態(tài)只，求解人體關(guān)節(jié)的內(nèi)力矩m ，即所謂動力學(xué)正問題。根據(jù)實際問題，求解正問題即：已知人體的運動狀態(tài)，來求解人體關(guān)節(jié)的內(nèi)力矩。我們對運動員的動作進(jìn)行分析時，直接對人體的關(guān)節(jié)內(nèi)力矩測量現(xiàn)在還不能實現(xiàn)，一般是已知人體的運動和一些邊界約束，對運動情況進(jìn)行分析。而運動員控制自身運動時，是根據(jù)主觀意志控制肌肉群共同作用的結(jié)果，肌肉群的不同運動決定了關(guān)節(jié)內(nèi)力矩的不同大小，從而改變運動狀態(tài)，即改變p 。根據(jù)以上人體模型，我們可以根據(jù)人體運動情況推知人體該如何主動控制關(guān)節(jié)運動。2 4 系統(tǒng)性能指標(biāo)人體在跳板上起跳的起跳過程如下：由于跨步跳或起跳準(zhǔn)備階段動作的作用，人體質(zhì)心從距離跳板自由端某一高度開始下落，然后腳部撞擊板，與跳板結(jié)合起來運動。經(jīng)過一段時間后，人體解除板的約束上升，即該時刻后，跳板對人體的支持力為0 。該時刻人體質(zhì)心的速度為騰起速度，人體質(zhì)心上升的最大高度為騰起高度。在這一完整過程中，設(shè)由于跨步跳或起跳準(zhǔn)備動作的影響，跳板自由端彈回水平位置時人體質(zhì)心的速度為少，。，跳板自由端的初速度為夕。，此刻開始計時( 即初始時刻) ，經(jīng)過t 時間后人體解除跳板的約束，此時人體質(zhì)心的速度為夕。( r ) ，跳板自由端的速度為夕。( 7 1 ) 。2 4 1 動作指標(biāo)跳板跳水運動中，表征一個起跳動作的質(zhì)量和特征的指標(biāo)定義如下：1 騰起速度歲( r ) ：即人一板系統(tǒng)解體時人體質(zhì)心的垂直速度。人體質(zhì)，l一些堡墜查塑壘：堡墨! ! 堡堡蘭墾堡墊豎塑墨竺豎直位置可按以下公式計算m ，y ，y 。= 型卜m ，i ；i因此，人體質(zhì)心的速度可表示為m 歲，歲。( f ) = 號r 一m一，1，(夕。+薈t-im舀t ( t ) c o s 8 k ( t ) + c , o ( t ) ，c o s o ，c ，k + 反，( f ) i，= l女= l，m 。j = 12 最大壓板幅度y 。：跳板自由端被壓到的最低點，即y 。( f ) ，( f 【o ，r 】)的最小值。3 最大反彈力。：跳板對人的最大作用力，即( f ) ，o o ，r ) 的最大值。4 壓板時間：從計時開始到人體主動壓板動作結(jié)束的時間。5 反彈時白j ：從運動員動作舒展開到脫離跳板的時間。2 4 2 目標(biāo)函數(shù)，人在平地跳躍，衡量一次起跳效果的優(yōu)劣是看起跳的高度或者是人離地的速度的大小。跳板跳水的起跳過程是人體在有彈性支撐下的運動過程，從對第1 一一屆亞運會跳板跳水的反饋數(shù)據(jù)表的分析中可以看出，運動員完成動作的質(zhì)量與騰起高度和騰空時間是商質(zhì)量完成空中高度的最基本保證。而騰起高度和騰空時問是由騰起速度決定的，故我們的目標(biāo)函數(shù)選擇為人體質(zhì)心的垂直騰起速度，即求控制函數(shù)0 ，( f ) ，t f 0 ，t ( i = l ，2 , 3 ，4 ) ，使得目標(biāo)函數(shù)跳板跳水的人- 板多剮體模型應(yīng)運動解析系統(tǒng)達(dá)最大。夕。( 丁)型! 塾竺竺蘭竺：竺! k + ，。幺( 7 1 ) c o s 口。( r ) + c ，分( 丁) ，c o s 曰，( r ) 1f = 1 = 1jm ，2 5 邊界約束條件1 控制函數(shù)的約束我們將人一板相互作用共同運動看成是口( r ) 的相對變化引起的，以o a t ) 為控制函數(shù)，對人體質(zhì)心的騰起速度進(jìn)行優(yōu)化，并由此求出各動作質(zhì)量指標(biāo)的值。1 ) 運動員生理條件的限制。因為人體關(guān)節(jié)的生理限制，0 。( r ) 的值有一定的范圍p 。0 ，0 ) 只。( i = 1 ，2 , 3 ，4 )角加速度礦與人體的肌肉收縮能力有關(guān)，最大角加速度與了人體的最大肌肉收縮能力有關(guān)：0 。0 ，( f ) 只。( i 2 1 ，2 , 3 ，4 )2 ) 人體協(xié)調(diào)性的約束。人體運動過程中，在大腦神經(jīng)的控制下，對身體各部分的運動進(jìn)行協(xié)調(diào)，使身體的各部分的運動使身體重心迅速運動到相應(yīng)的位置或達(dá)到平衡。在本文研究的運動中，我們認(rèn)為人體的協(xié)調(diào)性體現(xiàn)在人體各部分大致運動趨勢相同。2 初始條件的約束根據(jù)初始時刻的定義，人板系統(tǒng)的初始條件如下y 。= 0 ：0 ，( 0 ) = 0 些堡壁堡墮塵墅芝型! ! ! 型絲堡墊塑塑墨墮舀，( o ) = 舀川凡( o ) 2 ，m ( 滓1 ，2 ，3 ，4 )3 人一板系統(tǒng)解體條件當(dāng)人和跳板在跳板自由端運動的一個周期內(nèi)解體時，跳板對人的作用力為0 ，即n ( t 1 = 0 當(dāng)人和跳板在跳板自由端運動的一個周期內(nèi)解體的條件不滿足時，即從跳板和運動員接觸開始到跳板回彈上升到最高點的時問內(nèi)，( r ) 始終大于0 ，則，取為跳板回彈上升到最高點的時刻。燮變塑：堡童型堡壁型絲堡墊壁塑至竺3 人- 板多剛體系統(tǒng)數(shù)值分析及仿真人體在跳板上的起跳動作過程決定了其運動效果。為了探求這一控制系統(tǒng)的運動規(guī)律，找出運動效果的最優(yōu)控制函數(shù)，我們基于前一章給出的人板多剛體系統(tǒng)方程，設(shè)計了人一板多剛體系統(tǒng)的運動仿真系統(tǒng)，對人體在跳板上的起跳動作進(jìn)行運動仿真。通過調(diào)整系統(tǒng)的參數(shù)，控制人體起跳動作，分析不同的運動方式對運動效果的影響。3 1 系統(tǒng)參數(shù)由文獻(xiàn) 2 0 】( 人體環(huán)節(jié)慣性參量的活體測量) 可知人體各環(huán)節(jié)的慣性參量。表3 1 1 列出了人體各環(huán)節(jié)的相對質(zhì)量，表3 12 列出了人體各環(huán)節(jié)或合成環(huán)節(jié)相對質(zhì)心位置，表3 1 3 列出了人體各環(huán)節(jié)長度測量標(biāo)志點。表3 1 1 人體各環(huán)節(jié)相對質(zhì)量表3 1 2 人體各環(huán)節(jié)或合成環(huán)節(jié)相對廊凸位置型墮! ! 墮墮：堡蘭型竺堡型墨堡塑竺塹墨竺表3 1 3 人體各環(huán)節(jié)長度測量標(biāo)志點上肢長小腿長+ 足高大腿長軀干+ 頸+ 頭肩峰點至中指端點之垂直距離脛骨點至足底的直線距離髖關(guān)節(jié)中點至足底的直線距離頭頂正中至髖關(guān)節(jié)中點表3 1 4 列出了人體各段參數(shù)的平均值人體各段參數(shù)的平均值，作為仿真的缺省參數(shù)。表3 1 4 人體備段參數(shù)的平均值3 2 以諺為控制函數(shù)的數(shù)值仿真由于在多剛體系統(tǒng)下以關(guān)節(jié)扭距為控制量來研究過于復(fù)雜，我們研究以p ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 為控制函數(shù)的運動規(guī)律。為了編程方便起見，我們令0 ，表示圖j 引中的0 ：的補(bǔ)角。3 2 1 人板系統(tǒng)指標(biāo)的數(shù)值解法1 跳板自由端運動方程的數(shù)值解法。由式( 2 35 ) 和式( 2 2 4 ) 得+ 4 f ac o s 鞏) y 。吣i n 吼h c 每, c o s 0 , - m ，c , ( 0 c ) 2 s i n 叫又根據(jù)起始時問的定義，初始條件為兒= 0 ：兒( 0 ) = 少m如如。泛。hm，”、+=! 墮! ! 坐墮：堡墨型堡堡型絲墨墊鱉塹墨竺令r 12 戶虬f ( o 。，0 ，0 。) =主 m ，藝以p s 臥p 。2s i n o k h 卅, c o s o ，- mc ( z 。啪，一il女；1j原方程可化為匕，= y 。，( o ) = o ；匕，a t b b y 。一f ( t 9 ，0 ，0 ，)采用四階龍格庫塔方法，有這里l l =卅，6 6 + m匕m 州= 匕，。+ 嵋+ i h 2 ( 厶+ ：+ 厶)y o l ( n + l = v o , o + h ( l t + 2 2 + 2 工，+ l 。)a i b b y 。- f ( o 。( f 。) ，毋。( f 。) ，眵( f 。) )m l b b + ma i b h ( y 。，+ 皇2 礦o 。) 一f ( o ，( + ：) ，毋，( + ：) ，巨( 。+ ；) )，= 一j l 蘭l，l 6 + 厶=4 。( y 。，+ ；圪，十等- ) 一，( 臼，( f 。+ j h ) ，自，( 。+ j h ) ，諺( f 。+ ；) )h a m ( y n 。+ r v ，+ r i ll ! ) 一( 曰，( ，。+ ) ，0 ( ，。+ ) ，只( f 。+ ) )可以解得y 。( r ) ，。( ，) 的離散值。m ，+ 一里! 堡壁查塑：堡蘭型堡堡型些墮墊鱉塹墨笙2 騰起速度歲。( 丁) 。4r 卜1夕。( 7 1 ) = j = ，。( r ) + 豫i f 。文( t ) c o s o ( t ) 。+ c ；毋( t ) c o s o ，( r ) li = ll k = lj其中，r 為離板時間。3 板對人體的支撐力n ( t ) 。因此( r ) = m g + m 歹，= m g + m y 。+ 圭f m ，芝i 奠c 。s 一p 。y 。i 。o k + m t c , 舀，( ，) 。9 一。一( 諺) ：。i 。p = ilk = i= ，”g + ，”卜爿。y 。( f ) 一n ( t ) ) m ，。悱型半m l b b+杖) 2s i n o k + 。，q 諺c o s o i - - m ，c , ( 諺) ：。i 。臼，p t ) 2s i f t o k + 州，c ，諺c 。s 曰，一m ，c ，( 百，) 2s i n 口，1ml + ，m l b b4 離板時間7 1 。7 的取值滿足f 7 1 ) = 0 3 2 2 人板系統(tǒng)仿真分析3 2 2 1 控制函數(shù)的選取控制函數(shù)的獲取可采取解析運動序列圖像的方法。對高速攝影獲得的起姚階段的序列圖像，采用鼠標(biāo)取點的方法，或利用我們設(shè)計的關(guān)節(jié)點自動識別i ：件，標(biāo)u 出人體的踝關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)、髖關(guān)節(jié)和肩關(guān)節(jié)點位置。計算，p ( ，) ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 的離散值。奶釀sl 陬h ml。+&sl 隊fhml。一! ! 堡! ! 查塑：堡蘭型堡堡型絲墮塑堅塑墨笙設(shè)控制函數(shù)o ( t ) 的形式為 a i f3 + 6 1 ，2 + c l f 十d l ，p ( r ) = d 2 f3 + 6 2 ，2 + c 2 ，+ d 2【0 。，r ：l ，t一t 對人體運動進(jìn)行控制，其中i 控制著人體向下曲體達(dá)到最低的時間，t 一正控制著人體蹬板的時間。該方程滿足以下邊界條件和連續(xù)性條件故p ( o ) = 0 0 ；口( i 一) = p ( i + ) = 0 。口( 疋) = 0 。；o ( o ) = o o ；o f t , 一1 = o f t , + ) = 0 ：p ( 疋) = 0 曠盟睪塾qd ?！?2 0 0 五3 + 3 0 。，6 ，：一墊豎墨222跳板跳水的人- 板多剛體模型及運動解析系統(tǒng)d ：2 口。一! j ；j ；i ；熊一t j ，十，+ j ，。3 2 2 2 仿真系統(tǒng)輸入變量仿真系統(tǒng)的輸入變量包括：a o ( 計時開始時的各環(huán)節(jié)初始角度) ( 度) ，o ( 計時開始時的各環(huán)節(jié)初始角速度) ( 度) ，夕。( 計時開始時跳板自由端的初速度) ( 耐s ) ，王( 人向下壓板動作結(jié)束的時刻) ( s ) ，丁2 ( 人蹬板結(jié)束的時刻) ( s ) ，。( 各環(huán)節(jié)角度的最小值) ( 度) ，0 。( 各環(huán)節(jié)角度的最大值) ( 度) ，k ( 跳板的固定端到支點的長度與跳板的長度之比，表征了跳板的硬度) ( m ) 。以下圖例和表中單位略。3 2 2 3 系統(tǒng)輸出變量仿真系統(tǒng)的輸出變量包括：y 。( r ) ( 跳板自由端的位置) ( m ) ，夕。( ，) ( 跳板自由端的速度) ( m s ) ，v 。( 人體質(zhì)心的騰起速度) ( m s ) ，| v ( f ) ( 跳板對人的作用力) ( 。，一( 跳板對人體的最大作用力) ( d ，正( 人體和跳板分離的時刻) o ) ，乃( 跳板向下降的時間) ( s ) ，l ( 反彈時間，即跳板向上運動的時間) o ) ，y ( 跳板自由端下降幅度的最大值) ) 。以下圖例和表中單位略。3 2 2 4 典型動作分析跳板跳水起跳動作中典型的動作有三種：第一種是在跳板下降期進(jìn)行蹬板動作，系統(tǒng)參數(shù)取值見表3 2 1 ，輸出參數(shù)圖見圖( 3 2 1 ) ，輸出參數(shù)表見表3 2 2 ；第二種是在跳板運動到最低點進(jìn)行蹬板動作，系統(tǒng)參數(shù)取值見表3 2 3 ，輸出參數(shù)圖見圖( 3 2 2 ) ，輸出參數(shù)表見表3 2 4 ：第三種是跳板開始上升后進(jìn)行蹬板動作，系統(tǒng)參數(shù)取值見表3 2 5 ，輸出參數(shù)圖見圖( 323 ) ，輸出參數(shù)表見表3 2 6 。旦! ! 燮查塑：堡蘭型堡堡型絲堡塑竺塑墨簍表3 2 1 跳板下降期蹬板動作的系統(tǒng)參數(shù)6 l o6 492 889 09 0，o一0 5100一一0 。5 9 52 529 09 0_ 一_ _ 一0 。9 198 079 09 0z0120 3f m01y n005表3 2 2 跳板下降期蹬板動作的系統(tǒng)輸出i乃ty 。n 。、v 。o4 0 2 4o 2 5 8 00 1 4 4 40 2 2 2 61 5 5 862 4 0 6 9控制函數(shù)0 ( ，) ( i = l ，2 , 3 ，4 )跳板跳水的人- 板多剮體模型及運動解析系統(tǒng)人體質(zhì)心相對于跳板自由端的高度y 。( r )跳板對人體的支承力( f )跳板的位置y 。( t )跳板的速度j = 。( r )圖3 2 1 跳板下降期間露板系統(tǒng)輸出曲線圈從圖3 2 1 中可以看出，當(dāng)f = 0 0 1 時，人體質(zhì)心相對于跳板的位置下降到最小，運動員開始由壓板動作轉(zhuǎn)變?yōu)榈虐鍎又瘢?，此時，跳板繼續(xù)下降( 由跳板的位置y 。( f )在t = o 0 1 時繼續(xù)下降和跳板的：塹度_ ：j 。( ，) 在t = o o l 時小于0 可以看出) 。當(dāng)t = o2 5 8 0 時，跳板下降到最低點j f 。始上升( 由跳板的位置y 。( ，)在t = o 2 5 8 0 時繼續(xù)下降和跳板的速度歲。( f ) 稿0 2 5 8 0 時等于0 可以看出) ，此時跳板對人體質(zhì)心的支承力n ( o 達(dá)到最大。，i = 04 0 2 4 時，跳板對人體質(zhì)心的支承力( ，) 減小劍0 ，人體脫離板，騰起速。為2 4 0 6 9 。! 墮墜查塑：堡蘭型竺堡型墨堊墊塑塑墨竺表3 2 3 跳板下降到最低點蹬板動作的系統(tǒng)參數(shù)0 ，o6 53 69 09 00 ，o一1100只。5 9 52 5 29 09 0只。9 1 98 079 09 0z0 1 8l0 3l b b01j = ，。o2表3 2 4 跳板下降到最低點蹬扳動作的系統(tǒng)輸出一力ty 。n v 。0 3 7 7 60 1 7 9 60 1 9 8 0- 0 2 5 4 91 9 8 912 9 9 1 1控制函數(shù)0 ，( t ) ( i = l ，2 , 3 ，4 )燮! ! 墮：堡蘭! ! 苧堡型墨墮墊塑塹至簍p o s i t i o no ft h ec e n t e rt ob o a r d人體質(zhì)心相對于跳板自由端的高度兒( f )m a po ty b ( 1 l跳板對人體的支承力( f )m a po f d y b ( 1 )跳板的位置y 。( f )跳板自由端的速度少。( ，)圖3 2 2 跳板運動到最低點時蹬板系統(tǒng)仿真輸出圖從圖3 2 2 中可以看出，當(dāng)t = o 1 8 時，人體質(zhì)心相對于跳板的位置下降到最小，運動員丌始由壓板動作轉(zhuǎn)變?yōu)榈虐鍎幼鳎藭r，跳板自由端也下降到最低位置( 由跳板的位置( ，)在t = 01 8 時下降到最低點和跳板的速度夕。( r )在t = 01 8 時等于0 可以看出) ，此時跳板對人體質(zhì)心的支承力( f ) 達(dá)到最大。當(dāng)t = o 3 7 7 6 時，跳板對人體質(zhì)心的支承力( 咖盛小到0 ，人體脫離板，騰起速度v 。，為29 9 1 1 。跳板跳水的人- 板多剛體模型及運動解析系統(tǒng)表3 2 5 跳板上升階段蹬板的系統(tǒng)參數(shù)i - li _ 2i = _ 3i _ 4，o8 57 99 09 0只o- 0 5100表3 2