高中數(shù)學(xué) 1.7.1簡單幾何體的側(cè)面積課件 北師大版必修2 .ppt

1 圓柱 圓錐 圓臺的側(cè)面積的求法由圓柱的側(cè)面積公式可知 要求其側(cè)面積 必須已知 或能求出 它的底面圓的半徑和它的母線長 要求圓錐的側(cè)面積應(yīng)已知它的母線長和底面圓的半徑 要求圓臺的側(cè)面積應(yīng)已知圓臺的母線長和上 下兩底面圓的半徑 簡單旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 2 圓柱 圓錐 圓臺的側(cè)面積之間的關(guān)系旋轉(zhuǎn)體中軸截面可以將母線 底面半徑 高等主要元素聯(lián)系在一起 因此處理好軸截面中的邊角關(guān)系是正確計算的關(guān)鍵 例1 2010 上海高考 如圖所示 為了制作一個圓柱形燈籠 先要制作4個全等的矩形骨架 總計耗用9 6米鐵絲 再用s平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面 不安裝上底面 1 當圓柱底面半徑r取何值時 s取得最大值 并求出該最大值 結(jié)果精確到0 01平方米 2 若要制作一個如圖放置的 底面半徑為0 3米的燈籠 請作出燈籠的三視圖 作圖時 不需考慮骨架等因素 審題指導(dǎo) 根據(jù)總計耗用9 6米鐵絲可以推出圓柱的高與底面半徑之間的關(guān)系 以及半徑r的取值范圍 另外要注意到s是由圓柱的側(cè)面和圓柱的一個底面組成的 規(guī)范解答 1 設(shè)圓柱形燈籠的高為h 則4 4r 2h 9 6 所以h 1 2 2r 所以s s底面 s側(cè)面 r2 2 rh r2 2 r 1 2 2r 2 4 r 3 r2 0 r 0 6 所以 當 米 時s有最大值 最大值為2 4 0 4 3 0 42 1 51 平方米 2 由 1 知r 0 3 米 時 h 0 6 米 其主視圖與左視圖均為邊長是0 6米的正方形 俯視圖是直徑為0 6米的圓 如圖 變式訓(xùn)練 2011 嘉峪關(guān)高一檢測 已知圓臺的上 下底面半徑分別是2 5 且側(cè)面面積等于兩底面面積之和 求該圓臺的母線長 解析 設(shè)圓臺的母線長為l 則s圓臺側(cè) r1 r2 l 2 5 l 7 l 兩底面的面積之和為 r12 r22 22 52 29 由題意知7 l 29 1 正棱柱 正棱錐 正棱臺的側(cè)面積之間的關(guān)系 簡單多面體的表面積 2 簡單多面體的側(cè)面積的求法 1 關(guān)鍵 找到多面體的特征幾何圖形 如棱柱中的矩形 棱臺中的直角梯形 棱錐中的直角三角形 它們是聯(lián)系高與斜高 側(cè)棱 底面邊長間的橋梁 架起了求側(cè)面積公式中未知量與條件中已知幾何元素間的橋梁 2 策略 正棱柱 正棱錐 正棱臺的所有側(cè)面的面積都相等 因此求側(cè)面積時 可先求一個側(cè)面的面積 然后乘以側(cè)面的個數(shù) 解決臺體的問題 通常要補上截去的小棱錐 尋找上下底面之間的關(guān)系 棱柱的側(cè)面積不一定等于底面周長和側(cè)棱長的乘積 只有直棱柱的側(cè)面積等于底面周長與側(cè)棱長的乘積 例2 正四棱錐底面正方形的邊長為4cm 高與斜高的夾角為30 求正四棱錐的側(cè)面積和表面積 審題指導(dǎo) 審題時要畫出正四棱錐的高 斜高 底面正方形的邊心距組成的直角三角形 在此三角形中計算正四棱錐的關(guān)鍵量 規(guī)范解答 如圖 正棱錐的高po 斜高pe 底面邊心距oe組成rt poe ope 30 又s底 42 16 cm2 s表 s側(cè) s底 32 16 48 cm2 互動探究 把本題中的條件 高與斜高的夾角為30 改為 高與側(cè)棱的夾角為30 應(yīng)如何解答 解題提示 pob和 pbe都是直角三角形 通過解這兩個三角形求出正四棱錐的斜高 進而計算側(cè)面積和表面積 解析 正棱錐的高po 側(cè)棱pb 底面線段ob組成rt pob 其中在rt pbe中 be 2 cm peb 90 1 求組合體的表面積的基本步驟 1 首先要弄清楚它是由哪些基本幾何體構(gòu)成的 組成形式是什么 2 其次根據(jù)組合體的組成形式設(shè)計計算思路 3 最后根據(jù)公式計算求值 組合體的表面積 2 求組合體的表面積的解題策略 1 對于由基本幾何體拼接成的組合體 要注意拼接面重合對組合體表面積的影響 2 對于從基本幾何體中切掉或挖掉的部分構(gòu)成的組合體 要注意新產(chǎn)生的截面和原幾何體的表面的變化 例3 如圖 abc中 ac 3 bc 4 ab 5 以ab所在直線為軸 三角形面繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成一旋轉(zhuǎn)體 求此旋轉(zhuǎn)體的表面積 審題指導(dǎo) 該旋轉(zhuǎn)體是一個組合體 由兩部分組成 上部為圓錐 下部為與上部同底面的另一圓錐 規(guī)范解答 過c點作cd ab 垂足為d abc以ab所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周 所得到的旋轉(zhuǎn)體是兩個底面重合的圓錐 如圖所示 這兩個圓錐的高的和為ab 5 底面半徑故即所得旋轉(zhuǎn)體的表面積為 變式訓(xùn)練 一個幾何體的直觀圖如圖 求該幾何體的表面積 解題提示 此幾何體的表面積等于下面長方體的全面積加上面圓柱的側(cè)面積 解析 由幾何體的直觀圖可知 該幾何體上面是一個圓柱 下面是一個長方體 其表面積等于下面長方體的全面積加上面圓柱的側(cè)面積 其中下面的長方體的長 寬 高分別為8 8 4 上面的圓柱的底面直徑為4 高為8 所以該幾何體的表面積為2 8 8 8 4 8 4 4 8 256 32 展開圖問題的解題方法 1 基本思想 曲面上有關(guān)距離的問題 往往需根據(jù)側(cè)面展開圖來處理 2 基本方法 解答幾何體表面上兩點間最短線路問題 一般都是將幾何體表面展開 轉(zhuǎn)化為求平面內(nèi)兩點間線段的長 3 有關(guān)知識 兩點之間線段最短 解直角三角形等有關(guān)知識 展開圖問題 例 如圖所示 長方體abcd a1b1c1d1中 ab a bc b bb1 c 并且a b c 0 求沿著長方體的表面自a點到c1點的最短線路的長 審題指導(dǎo) 沿著長方體的表面自a點到c1點由以下三種可能 1 沿平面aa1b1b 平面bb1c1c 2 沿平面aa1b1b 平面a1b1c1d1 3 沿平面abcd 平面bb1c1c 規(guī)范解答 將長方體相鄰兩個面展開有下列三種可能 如圖所示 圖 1 2 3 中ac1的長分別為 a b c 0 ab ac bc 0 故最短線路的長為 變式備選 如圖所示 在直三棱柱abc a1b1c1中 abc 90 e f分別為aa1 c1b1的中點 求沿棱柱的表面從e點到f點的最短路徑的長度 解析 將三棱柱的側(cè)面 底面展開有三種情形 如圖所示 在 1 中 在 2 中 取b1b的中點g 連接eg 則eg b1b 故在 3 中 作eg a1c1 fg a1a 交點為g 則易知eg fg 故比較后可知 如圖 3 所示的e點到f點的路線最短 典例 12分 一個幾何體的三視圖如圖所示 其中主視圖中 abc是邊長為2的正三角形 俯視圖為正六邊形 求該幾何體的表面積 審題指導(dǎo) 審題時要注意以下信息 1 幾何體是正六棱錐 2 正六棱錐的底面是正六邊形 其邊長為1 側(cè)棱長為2 求該幾何體的表面積時需先求底面積和側(cè)面積 然后求和即可 規(guī)范解答 由三視圖可知該幾何體是正六棱錐 如圖 其底面邊長為 2分側(cè)棱長為ac 2 4分 斜高 6分 8分 10分 12分 誤區(qū)警示 對解答本題時易犯的錯誤具體分析如下 即時訓(xùn)練 2010 安徽高考改編 一個幾何體的三視圖如圖 求該幾何體的表面積 解析 由幾何體的三視圖可知 該幾何體由兩個長方體組合而成 其表面積等于下面長方體的全面積加上面長方體的側(cè)面積 其中下面長方體的長 寬 高分別為8 10 2 上面的長方體的長 寬 高分別為6 2 8 所以該幾何體的表面積為2 8 10 8 2 10 2 2 6 8 2 8 360 1 下圖不是棱柱的展開圖的是 解析 選c 觀察可知選項c 不是棱柱的展開圖 2 一個邊長為a的正方體 切成27個全等的小正方體 則表面積增加了 a 6a2 b 12a2 c 18a2 d 24a2 解析 選b 切成27個小正方體后 每個正方體的棱長為故表面積為而原來的表面積是6a2 故增加了12a2 3 已知圓錐的母線長為5 底面半徑為3 則圓錐側(cè)面積為 a 15 b 24 c 30 d 39 解析 選a s圓錐側(cè) 3 5 15 4 如圖所示 一個圓柱的底面半徑為3 高為5 o o 分別為上 下兩個底面圓的圓心 aa bb 為兩條母線 用平面aa o o 平面bb o o截此圓柱 其中 aob a o b 60 剩余幾何體的表面積為 解析 答案 40 30 5 圓臺的較小底面半徑為1 母線長為2 一條母線和底面的一條半徑有交點且成60 則圓臺的側(cè)面積為 解析 由題意得 圓臺的上 下底面半徑r1 1 r2 2 母線l 2 s圓臺側(cè) r1 r2 l 6 答案 6 6 如圖所示 一個簡單的空間幾何體的主視圖和左視圖均是邊長為2的正三角形 俯視圖輪廓為正方形 試描述該幾何體的特征 并求該幾何體的表面積 解析 該幾何體為底面是邊長為2的正方形 高為的正四棱錐 四棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形 設(shè)其高為h 則 該幾何體的表面積為12 一 選擇題 每題4分 共16分 1 某同學(xué)制作了一個對面圖案相同的正方體禮品盒 如圖 則這個正方體禮品盒的表面展開圖應(yīng)該為 解析 選a 觀察可知b c d選項不符合對面圖案相同 2 表面積為3 的圓錐 它的側(cè)面展開圖是一個半圓 則該圓錐的底面直徑為 a 1 b 2 解析 選b 設(shè)圓錐的底面半徑為r 母線長為l 則由題意得 l 2 r l 2r 又 r2 rl 3 3 r2 3 r2 1 r 1 1舍去 圓錐的底面直徑為2 3 2011 嘉峪關(guān)高一檢測 圓柱的一個底面面積為s 側(cè)面展開圖是一個正方形 那么這個圓柱的側(cè)面積是 a s b 2 s c 4 s 解析 選c 設(shè)圓柱的底面半徑為r 則由題意得母線長為2 r 又 r2 s s側(cè) 2 r 2 4 s 4 2010 福建高考 若一個底面是正三角形的三棱柱的主視圖如圖所示 則其側(cè)面積等于 a b 2 c 2 d 6 解題提示 把三視圖恢復(fù)成直觀圖 求出各個側(cè)面的側(cè)面積 進而求出總的側(cè)面積 解析 選d 三棱柱的直觀圖如圖 其底面是邊長為2的正三角形 側(cè)棱長為1的正三棱柱 s側(cè) 1 2 3 6 二 填空題 每題4分 共8分 5 已知一個幾何體的三視圖如圖所示 則此幾何體的表面積是 解析 s圓柱側(cè) 2 a 2a 4 a2 s底面 a2 s表面 s圓錐側(cè) s圓柱側(cè) s底面答案 6 正四棱臺的高是12cm 兩底面邊長相差10cm 表面積是512cm2 則正四棱臺的側(cè)面積為 解析 如圖所示 o o分別為上 下底面中心 則o o 12cm 分別取b c bc的中點e e 過點e 作e f oe于點f 設(shè)上 下底面邊長分別為acm bcm 故b a 10 在rt e ef中 e f o o 12cm 則斜高e e 13cm 由即有a2 b2 2 a b 13 512 結(jié)合 可得a 2 b 12 則答案 364cm2 方法技巧 棱錐 棱臺中的重要圖形1 棱臺中三個重要的直角梯形 如本題中的直角梯形o e eo b e eb o b bo 因為它們和臺體的特征量 上下底邊長 高 斜高 緊密相關(guān) 所以做此類題目時關(guān)鍵是要作出示意圖 將與解題有關(guān)的特征量 轉(zhuǎn)化到同一直角梯形中求解 2 正棱錐中幾個重要的直角三角形 1 側(cè)棱 高 底面正多邊形外接圓的半徑構(gòu)成的直角三角形 2 側(cè)棱 斜高 底面邊長的一半構(gòu)成的直角三角形 3 斜高 高 邊心距構(gòu)成的直角三角形 三 解答題 每題8分 共16分 7 直角梯形的一個底角為45 下底長為上底長的這個梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的表面積是求這個旋轉(zhuǎn)體的體積 解題提示 先根據(jù)表面積建立方程 求出計算體積時所需的關(guān)鍵量 再求體積 解析 如圖所示 梯形abcd中 ab cd a 90 b 45 繞ab邊旋轉(zhuǎn)一周后形成一圓柱和一圓錐的組合體 設(shè)cd x 則 s表 s圓柱底 s圓柱側(cè) s圓錐側(cè) ad2 2 ad cd ad bc由題意得 則x 2 cd 2 ab 3 v v圓柱 v圓錐 方法技巧 方程思想在幾何體體積計算中的妙用此類已知旋轉(zhuǎn)體 或其他幾何體 表面積 或體積 的問題 常利用方程思想 先通過分析題目條件選出與該幾何體關(guān)鍵量聯(lián)系最密切的量作為未知數(shù) 列方程求出各關(guān)鍵量的值 8 如圖所示是某幾何體的三視圖 試根據(jù)三視圖求該幾何體的表面積 解析 此幾何體是四棱錐 作出其直觀圖 如圖所示 由三視圖可知四棱錐p abcd中 底面四邊形abcd是矩形 po 平面abcd o是ad的中點 且ab cd 2 ad bc 6 po 4 易證pd cd pa ab 取bc的中點e 連接oe pe 則bc 平面poe bc pe 且pd pa 5 同樣得s pcd 5 s矩形abcd 6 2 12 該