微分中值定理推廣及其應(yīng)用

微分中值定理推廣及其應(yīng)用 目 錄 一、引言 . 2 二、微分中值定理及其證明 . 2 2.1羅爾定理 . 3 2.2 拉格朗日中值定理 . 3 三、微分中值定理的應(yīng)用 . 4 3.1 證明方程根的存在性 . 4 3.2證明不等式 . 5 3.3 利用微分中值定理求極限及證明相關(guān)問題 . 6 3.4 求極限 . 7 3.5 用來證明函數(shù)恒為常數(shù) . 7 3.6 中值點(diǎn)存在性的應(yīng)用 . 8 3.6.1 一個中值點(diǎn)的情形 . 8 3.6.2.2 泰勒公式法 . 10 四小結(jié)： . 11 致謝 . 12 參考文獻(xiàn)： . 12 微分中值定理推廣及其應(yīng)用 【摘要 】 微分中值定理是數(shù)學(xué)分析中非常重要的基本定理 , 它是溝通函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的橋梁 . 本文主要對羅爾中值定理的條件做一些適當(dāng)?shù)母淖儯艿贸鋈缦乱恍┙Y(jié)論，從而 擴(kuò)大羅爾定理的應(yīng)用范圍。從拉格朗日中值定理的幾何意義出發(fā)，通過幾何直觀，把數(shù)學(xué)分析空間解析幾何知識有機(jī)的結(jié)合起來，改變傳統(tǒng)的構(gòu)造函數(shù)差的方法，通過構(gòu)造行列式函數(shù)得出定理的新方法。通過對這兩個定理進(jìn)行分析，并加以推廣，結(jié)合幾個常見的實(shí)例論述了羅爾中值定理、拉格朗日中值定理。在證明不等式，求函數(shù)極限等方面的應(yīng)用，從而加深對兩個定理的理解。 【 關(guān)鍵詞 】羅爾定理 拉格朗日中值定理 推廣 應(yīng)用 一、引言 微分中值定理是微分學(xué)的基本定理，在數(shù)學(xué)分析中占有重要的地位，是研究函數(shù)在某個區(qū)間的整體性質(zhì)的有力工具。 其中， 拉格朗日定理是核心，羅爾定理是其特殊情況，柯西定理是其推廣。 通過查閱大量資料文獻(xiàn)和網(wǎng)上查閱，我找到了很多相關(guān)資料。 本文以案例形式介紹了微分中值定理在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用，論述了微分中值定理在求極限、證明不等式以及泰勒公式和中值點(diǎn)存在性等幾個方面的應(yīng)用研究比較細(xì)致和深入。其中證明某區(qū)間上滿足一定條件的中值點(diǎn)的存在性是微分中值定理非常重要的應(yīng)用，也是在歷年考研試題中經(jīng)常出現(xiàn)的題型之一。利用中值定理證明中值點(diǎn)的存在性，要兼顧條件與結(jié)論，綜合分析，尋求證明思路。充分理解微分學(xué)的相關(guān)知識，掌握微分中值定理的內(nèi)容，并會熟 練的應(yīng)用。 使用微分中值定理證題，方法多種多樣，技巧性強(qiáng)。 本文對這一部分的典型例題進(jìn)行整理歸納總結(jié)，總結(jié)出一套符合初學(xué)者認(rèn)知規(guī)律的解題方法是非常必要的，這也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)。 二、微分中值定理及其證明 為了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算來研究函數(shù)與實(shí)際問題，需要一個聯(lián)系局部與整體的工具，這就是微分中值定理 .微分學(xué)是數(shù)學(xué)分析的重要組成部分 , 微分中值定理作為微分學(xué)的核心 , 是溝通導(dǎo)數(shù)和函數(shù)值之間的橋梁 .羅爾中值定理、 拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式是微分學(xué)的基本定理 , 統(tǒng)稱為微分學(xué)的中值定理 , 這四 個定理作為微分學(xué)的基本定理 , 是研究函數(shù)形態(tài)的有力工具 . 2.1 羅爾定理 若函數(shù) f 滿足如下條件 ： （） f 在閉區(qū)間 ba, 上連續(xù)； （） f 在開區(qū)間 ba, 內(nèi)可導(dǎo)； （） bfaf , 則在 ba, 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得 0 f 羅爾定理的幾何意義是說：在每一點(diǎn)可導(dǎo)的一段連續(xù)曲線上，如果曲線的兩端點(diǎn)高度相等，則至少存在一條切線 . 證明：因?yàn)?f 在 ba, 上連續(xù)，所以有最大值 M 與 m 表示，現(xiàn)分兩種情況來討論： （ 1）若 Mm ,則 f 在 ba, 上必為常數(shù)，從而結(jié)論顯然成立 . （ 2）若 Mm ,則因 bfaf 使得最大值 M 與最小值 m 至少有一個在 ba, 內(nèi)某點(diǎn) 處取得，從而 是 f 的極值點(diǎn)，由條件 f 在開區(qū)間 ba, 內(nèi)可導(dǎo)， f在點(diǎn) 處可導(dǎo)，故由費(fèi)馬定理推知 0 f 注：定理中的三個條件缺少任何一個，結(jié)論將不一定成立 . 先講羅爾定理 ,并由此推出微分學(xué)的兩個基本定理 拉格朗日中值定理和柯西中值定理 . 2.2 拉格朗日中值定理 若函數(shù) f 滿足如下條件： （） f 在閉區(qū)間 ba, 上連續(xù)； （） f 在開區(qū)間 ba, 內(nèi)可導(dǎo)； 則在 ba, 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得 ab afbff （ 1） 顯然，特別當(dāng) bfaf 時為羅爾定理。 這表明 羅爾定理是拉格朗日的定理的一個特殊情形 . 證明：做輔助函數(shù) axab afbfbfxfxF 顯然， bFaF (=0),且 F 在 ba, 上滿足羅爾定理的另兩個條件，故存在 ),( ba 使 fF 0 ab afbf，移項(xiàng)既得到所要證明的（ 1）式 . 拉格朗日中值定理的幾何意義是：在滿足定理 條件的曲線 xfy 上至少存在一點(diǎn) fp , ，該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端點(diǎn)的連線 AB ,我們在證明中引入輔助函數(shù) xF ，正是曲線 xfy 與直線 axab afbfafyAB . 三、微分中值定理的應(yīng)用 3.1 證明方程根的存在性 把要證明的方程轉(zhuǎn)化為 0xf 的形式 .對方程 0xf 用下述方法： （ 1） 根的存在定理若函數(shù) xf 在區(qū)間 ba, 上連續(xù)，且 0 bfaf ，則至少存在一點(diǎn) ba, ， 0f . （ 2） 若函數(shù) xf 的原函數(shù) xF 在 ba, 上滿 足羅爾定理的條件，則 xf 在 ba,內(nèi)至少有一個零值點(diǎn) . （ 3） 若函數(shù) xf 的原函數(shù) xF 在0x處導(dǎo)數(shù)也存在，由費(fèi)馬定理知 00 xF即 00 xf . （ 4） 若函數(shù) xf 的原函數(shù) xF 在0x處導(dǎo)數(shù)也存在，由費(fèi)馬定理知 00 xF即 00 xf . （ 5） 在證明方程根的存在性的過程中，經(jīng)常用到拉格朗日定理，積分中值定理，有時也用到柯西中值定理來證明滿足方程的存在性所需的條件，然后利用上的方法來證明方程根的存在性 . 例 若 fx在 ,ab 上連續(xù)，在 ,ab 內(nèi)可導(dǎo) 0a ，證明在 ,ab 內(nèi)方程 222 x f b f a b a f x 至 少 存 在 一 根 。 分析：由于題目是要求方程 222 x f b f a b a f x 是否有根存在，所以可以先對方程進(jìn)行變形，把方程變?yōu)?2220x f b f a b a f x 。那么方程 222 x f b f a b a f x 有根的話，則原方 程也有根。變形之后的方程有 fx 存在，所以可以利用不定積分把方程 2220x f b f a b a f x ，轉(zhuǎn)變?yōu)?2 2 2 0f b f a x b a f x ?，F(xiàn)在我們返回來看題目，由題目中我們可以知道 fx在區(qū)間 ,ab 上連續(xù)，在區(qū)間 ,ab 內(nèi)可導(dǎo) 0a ，由函數(shù)的連續(xù)性和求導(dǎo)的概念，可以得到函數(shù) 2 2 2f b f a x b a f x 在 ,ab 上連續(xù) ,在 ,ab 內(nèi)可導(dǎo) 0a ，那么我們不難想到利用羅爾中值定理就可以證明該題了。證明 :令 2 2 2F x f b f a x b a f x ， 顯然 Fx在 ,ab 上 連續(xù) ,在 ,ab 內(nèi)可導(dǎo)， 而 22F a f b a b f a F b . 根據(jù) Rolled 定理 , 至少存在一點(diǎn) ， 使 222 f b f a b a f x . 證畢 本文主要在于輔助函數(shù) 2 2 2F x f b f a x b a f x 的構(gòu)造，我們從結(jié)論出發(fā)，構(gòu)造輔助函數(shù)，使得該題可以利用中值 定理來證明，接下來是考慮利用微分中值定理中的哪一個即可。對于構(gòu)造輔助函數(shù)我們可以得到 F a F b ，所以選在利用羅爾定理證明。這是對解該類問題的總結(jié)，也是自己對該類問題解題提出的一個解題思路模式，大家可以借鑒。 3.2 證明不等式 在證明不等式時 ,可以考慮從微分中值定理入手 ,找出切入點(diǎn) ,靈活運(yùn)用相關(guān)微分中值定理 ,進(jìn)行系統(tǒng)的分析 ,從而得以巧妙解決 . 例 設(shè) 0 ba ,證明 lna b a a ba b b. 證明 顯然等式當(dāng)且僅當(dāng) 0ab 時成立 . 下證 當(dāng) 0 ba 時 ,有 lna b a a ba b b 作輔助函數(shù) ( ) lnf x x , 則 ()fx在 , ba 上滿足拉格朗日中值定理 ,則 ( , )ba 使 ln ln 1abab 由于 0 ba ,所以 1 1 1ab 由有 1 l n l n 1aba a b b,即 lna b a a ba b b. 小結(jié) 一般證明方法有兩種 利用泰勒定理把函數(shù) ()fx在特殊點(diǎn)展開 ,結(jié)論即可得證 . 利用拉格朗日 中值定理證明不等式 ,其步驟為： 第一步 根據(jù)待證不等式構(gòu)造一個合適的函數(shù) ()fx ,使不等式的一邊是這個函數(shù)在區(qū)間 , ab 上的增量 ( ) ( )f b f a ； 第二步 驗(yàn)證 ()fx在 , ab 上滿足拉格朗日中值定理的條件 ,并運(yùn)用定理 ,使得等式的另一邊轉(zhuǎn)化為 ( )( )f b a ； 第三步 把 ()f 適當(dāng)放大或縮小 . 3.3 利用微分中值定理求極限及證明相關(guān)問題 例 若 ()fx在 ( , )a 內(nèi)可導(dǎo) ,且 l i m ( ) ( ) 0x f x f x ,求 lim ( )x fx. 分析 由式 ( ) ( ) ( ) xxf x f x e f x e, 引 進(jìn) 輔 助 函 數(shù)( ) ( ) , ( )xxF x f x e g x e,顯然 ( ) 0gx . 解 由 l i m ( ) ( ) 0x f x f x ,知 0 , 0X當(dāng) xX 時 ( ) ( )f x f x , 令 ( ) ( ) xF x f x e , ()xg x e 對 xX ,在 , Xx上利用柯西中值定理有 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )F x F X Fg x g X g , ( , )Xx 即 ( ) ( ) ( ) ( ) xXxXf x e f X e f f ee e e , 亦有 ( ) ( ) ( ) ( )1 XxXxf x f X e ffe , 或 | ( ) | | ( ) | | ( ) ( ) | ( 1 )X x X xf x f X e f f e 由于 lim 0Xxx e ,所以1 ,xX當(dāng)1xx時有 Xxe 和 1Xxe , 于是1xx,使 | ( ) | | ( ) | 2f x f X 即 lim ( )x fx 0 . 小結(jié) 方法 1 選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)和區(qū)間利用拉格朗日中值定理并結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)及極限的迫斂性求的 最終結(jié)果 . 方法 2 選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)和區(qū)間利用柯西中值定理結(jié)合具體題意求的最終結(jié)果 . 3.4 求極限 對于有些求極限的題， 如果使用洛必達(dá)法則 ,則求導(dǎo)數(shù)的計算量很大 .微分中值定理為求這樣一些較難的極限提供了一種簡單而有效的方法 .其方法是對極限題中的某些部分構(gòu)造輔助函數(shù) ,使用微分中值定理 ,然后求出極 . 例 求 1112lim nnn aan,其中 0a . 解：對 xaxf 應(yīng)用拉格朗日中值定理 ,有 1112lim nnn aan = 111lim ；2 nnan xxn = 1lnlim2 nnaann = aln 其中 nn 1,11 3.5 用來證明函數(shù)恒為常數(shù) 導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性態(tài)的重要工具 , 但用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)的著眼點(diǎn)在局部范圍 . 而在整體上或比較大的范圍運(yùn)用導(dǎo)數(shù)這一工具來研究函數(shù)性態(tài) , 主要工具還是微分中值定理 ,它是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究整體性問題的重要工具 . 證明函數(shù)恒為常數(shù)這是函數(shù)的整體性質(zhì) ,在 這個應(yīng)用中微分中值定理很實(shí)用 . 例 9 設(shè) xf 在 1,0 上連續(xù) , 0 cf , 1,0c 且在 1,0 內(nèi)恒有 xfkxf . 其中 k 為小于 1 的常數(shù) ,試證 : xf 為常數(shù)函數(shù) . 證明： 1,0x ,不妨設(shè) xc ,則 1cx ,而 0 cf , 所以有 cfxfxf = cxf 1 1 fk , 其中 xc 1 . 同理 cffkkk 1 1 kfk , kkc 1 , 其中nk ,2,1 所以 221 fkfkxf nn fk , 其中 1nc .又 xf 在 1,0 上連續(xù) , 從而 xf 有界 . 故 0lim nnn fk 0lim xfxf n . 即 0 xf (當(dāng) xc 時同樣成立 ) , 從而 , 0 xf ， 1,0x . 故在 1,0 上 xf 為常數(shù)函數(shù) . 3.6 中值點(diǎn)存在性的應(yīng)用 3.6.1 一個中值點(diǎn)的情形 3.6.1.1原函數(shù)法 在利用微分中值定理證明中值點(diǎn)的存在性問題時，關(guān)鍵是根據(jù)所證明 的結(jié)論構(gòu)造輔助函數(shù)，構(gòu)造輔助函數(shù)最基本最重要的思想就是尋求原函數(shù)，而尋求原函數(shù)的方法又因所證結(jié)論不同而不同 . （ 1）直接法 這種方法的解題思路主要是根據(jù)題目所證結(jié)論中常數(shù)項(xiàng)的特點(diǎn)直接得到輔助函數(shù) . 例 函數(shù) xf 在 ba, 上連續(xù)，在 ba, 內(nèi)可導(dǎo)，證明 :在 ba, 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得 ffab aafbbf . 分析：結(jié)論等號左側(cè)顯然是函數(shù) xxf 在區(qū)間 ba, 兩端點(diǎn)函數(shù)值的差與區(qū)間長度 ab 之商 ,于是聯(lián)想到對函數(shù) ()xf x 使用拉格朗日中值定理 . 證明：令 xxfxF ，顯然 xF 在 ba, 上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件 . 于是知 ：在 ba, 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使 得 ( ) ( ) ()F b F a Fba ，而( ) ( ) ( ) xF x f x f x ( ) ( )ff ， 即得結(jié)論 ( ) ( ) ( ) ( )b f b a f a ffba . （ 2） 積分法 這種方法的基本思想是利用不定積分尋求輔助函數(shù)，具體做法如下：將結(jié)論中的 換成 x ，通過恒等變形將結(jié)論化成 ( ) | 0xFx 的形式，然后用觀察或直接積分（如果不易通過觀察得到）求得原函數(shù) ()Fx，積分常數(shù)取為 0. 例 設(shè)函數(shù) ()fx， ()gx在 , ab 上連續(xù)，在 ( , )ab 內(nèi)可導(dǎo)，且 ( ) ( ) 0f a f b， 證明：至少存在一點(diǎn) ( , )ab ，使 ( ) ( ) ( ) 0f f g . 分析：結(jié)論即要證明函數(shù) ( ) ( ) ( )f x f x g x 在 (0,1) 內(nèi)有零點(diǎn)，因結(jié)論中含有函數(shù)導(dǎo)數(shù)，故考慮利用羅爾定理，而 此函數(shù)的原函數(shù)通過觀察可能感到有點(diǎn)困難 .將 ( ) ( ) ( ) 0f f g 變形為 () ( ) 0()f gf ，即要證明函數(shù) () ()()fx gxfx 在(0,1) 內(nèi)有零點(diǎn) .而 () ( ) d()fx g x xfx ()l n ( ) e gxf x c，顯然 ()ln ( ) e gxfx 與()( )egxfx 的導(dǎo)數(shù)有相同的零點(diǎn)，于是可取原函數(shù)為 ()( )egxfx . 證明：令 ()( ) ( ) e gxF x f x ,顯然 ()Fx在 , ab 上連續(xù)，在 ( , )ab 內(nèi)可導(dǎo)，且( ) ( ) 0F a F b，于是由羅爾定理知至少存在一點(diǎn) (0,1) ，使 ( ) 0F ，而 ()( ) ( ) ( ) ( ) e gxF x f x f x g x ， 故 () ( ) ( ) ( ) e 0gf f g ，又 ()e0g ， 于是 ( ) ( ) ( ) 0f f g . 當(dāng)所證明的結(jié)論中出現(xiàn)二階導(dǎo)數(shù)時通?？煽紤]兩次使用中值定理證明 . 3.6.2.2 泰勒公式法 當(dāng)題設(shè)中出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)（三階或三階以上的導(dǎo)數(shù)）時，通常可考慮使用泰勒公式證明中值點(diǎn)的存在性 . 例 設(shè)函數(shù) ()fx在閉區(qū)間 1,1 上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 ( 1) 0f ， (1) 1f ，(0) 0f .試證：在開區(qū)間 ( 1,1) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使 ( ) 3f . 證明：由 (0) 0f ，得 ()fx在 0x 處的二階泰勒公式為 23( 0 ) ( )( ) ( 0 ) 2 ! 3 !fff x f x x （ 介于 0與 x 之間， 1,1x ） . 由題設(shè)知 1()( 0 )( 1 ) ( 0 ) 026ffff 1( 1 ) ， 2()( 0 )(1 ) ( 0 ) 126ffff 2(0 1)， 兩式相減，可得12( ) ( ) 6ff . 又 ()fx 在區(qū)間 1,1 連續(xù)，從而在12 , 上也連續(xù)， 故 ()fx 在區(qū)間12 , 上 有最大值 M 和最小值 m . 從而有 121 ( ) ( ) 32m f f M ， 由介值定理知，至少存在一點(diǎn) 12 , 1,1 ，使得 ( ) 3f . 3.6.2 兩個中值點(diǎn)的情形 在證明兩個中值點(diǎn)存在性的命題時，通?？煽紤]使用兩次中值定理 . 例 函數(shù) ()fx在 , ab 上連續(xù)，在 ( , )ab 可導(dǎo)， 0 ab，試證 :存在 , ( , )ab ，使得 ( ) ( )2abff. 分析：結(jié)論中兩點(diǎn)只要存在即可，不要求一定不同，故可在同一區(qū)間上使用兩次中值定理 .同時結(jié)論中的 ()2f 部分可看作函數(shù) ()fx與 2x 2x 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)之商，故聯(lián)想到柯西中值定理 .再對 ()fx使用拉格朗日中值定理，然后尋求兩個結(jié)論之間的關(guān)系 . 證明：令 2()g x x ，易知 ()fx 與 ()gx 在 , ab 上連續(xù)，在 ( , )ab 可導(dǎo)，且( ) 0gx . 由柯西中值定理知 ,存在 ( , )ab ，使得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f b f a fg b g a g 即 22( ) ( ) ( )2f b f a fba ， 22 ()( ) ( ) ( ) 2ff b f a b a . 而由拉格朗日中值定理知，存在 ( , )ab ，使得 ( ) ( )f b f a ( ) ( )b a f . 由以上兩式得 :存在 ba, ，使 22 ()( ) ( ) ( ) ,2fb a f b a 即 ( ) ( )2abff . 微分中值定理應(yīng)用非常廣泛 (在使用時應(yīng)特別注意驗(yàn)證定理的條件 ) ,以上只介紹了幾種常見的應(yīng)用 . 通過對微分中值定理的研究 ,加 深了對微分中值定理的理解 ,有助于更好掌握該定理的解題應(yīng)用 . 四小結(jié)： 微分中值定理是微分學(xué)的基本定理， 而且它也是微分學(xué)的理論核心 ，有著廣泛的應(yīng)用 。 本課題是對微分中值定理在證明方程根的存在性、證明不等式、求極限、泰勒公式、中值點(diǎn)存在性的應(yīng)用等幾個方面的論述 ,其中證明某區(qū)間上滿足一定條件的中值點(diǎn)的存在性是微分中值定理非常重要的應(yīng)用，利用中值定理證明中值點(diǎn)的存在性，要兼顧條件與結(jié)論，綜合分析，尋求證明思路。 我們知道，運(yùn)用微分中值定理證明 有 關(guān)命題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)， 構(gòu)造 滿足某個中值定理?xiàng)l件 的 而得