2014年國(guó)慶高中物理競(jìng)賽班型入學(xué)測(cè)試答案及課程建議

2014 年 國(guó)慶 高中 物理競(jìng)賽 提高班 入學(xué)測(cè)試答案及課程建議 試卷說(shuō)明 本測(cè)試與 2014 年全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽 題型相近，并與本次培訓(xùn)講解的習(xí)題難度相當(dāng) 。希望學(xué)員經(jīng)由本試卷了解物理競(jìng)賽復(fù)賽題型及難度，對(duì) 15 年 全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽 舉辦之前的學(xué)習(xí)進(jìn)度給出合理安排。 本測(cè)試用于學(xué)生對(duì)水平進(jìn)行提前自我評(píng)估。如有學(xué)員希望單獨(dú)得到金牌助教們的閱卷及分析，請(qǐng)通過(guò)郵箱與我們?nèi)〉寐?lián)系。方式 1：將自測(cè)結(jié)果（推薦直接在原試卷上給出答案）以照片或掃描件的形式發(fā)送。方式 2：將自測(cè)答案單獨(dú)以 excel 或 word 形式發(fā)送。我們會(huì)在收到答案的兩周內(nèi)進(jìn)行評(píng)閱并進(jìn)行個(gè)性化分析。 （ 2014 年 國(guó)慶 集中培訓(xùn)課程使用） QBXT/JY/RXCSDA2014/9-17 2014-9-10 發(fā)布 清北學(xué)堂教學(xué)研究部 清北學(xué)堂學(xué)科郵箱 自主招生郵箱 數(shù)學(xué)競(jìng)賽郵箱 物理競(jìng)賽郵箱 化學(xué)競(jìng)賽郵箱 生物競(jìng)賽郵箱 理科精英郵箱 清北學(xué)堂官方博客 /tsba 清北學(xué)堂微信訂閱號(hào) 學(xué)習(xí)資料最新資訊 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程入學(xué)測(cè)試 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 2 頁(yè) 2014 年 國(guó)慶 高中 物理競(jìng)賽 提高班 入學(xué)測(cè)試 答案 一、 小球以初速 0v 從圖示的 O 點(diǎn)作平拋運(yùn)動(dòng)，在空中劃出一條拋物線，用一根光滑的鉛絲彎成此拋物線形狀，并固定于豎直平面內(nèi)，在鉛絲上套一質(zhì)量為 m 的小環(huán)，小環(huán)從 O點(diǎn)以012v的水平初速開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)小環(huán)下落到距 O 點(diǎn)高為 h 的 P 點(diǎn)處時(shí)，它對(duì)鉛絲的壓力 N。 （ 25 分） 【 解析 】 首先由最初的拋體運(yùn)動(dòng)確定拋物線軌跡為 2021gty tvx 消去參數(shù) t 得 2202 xvgy 因此對(duì) P 點(diǎn)，有 hyvghx P ,2 0 此題要求壓力，即需要知道曲線運(yùn)動(dòng)的向心力。對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)，向心力公式顯而易見(jiàn)為 RvmF 2 此處， R 為圓的半徑。而對(duì)于任意曲線，該公式稍作修改后仍舊成立，即對(duì)任意曲線運(yùn)動(dòng)，向心力公式為 2vmF 此處， 為曲線在該點(diǎn)的曲率半徑。何為曲率半徑？利用極限的思想，我們可以想象，當(dāng)在曲線上取很小的一段時(shí)，這一段曲線可以很接近某一個(gè)圓周的一部分，而當(dāng)曲線上的這一小段無(wú)限小時(shí)，那么它必然會(huì)對(duì)應(yīng)于某一個(gè)圓周上的一部分圓弧，所對(duì)應(yīng)的圓周的半徑即為該點(diǎn)的曲率半徑，用數(shù)學(xué)式子表示為 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程入學(xué)測(cè)試 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 3 頁(yè) ss 0lim 我們可以通過(guò)微積分的知識(shí)證明，任意足夠光滑（二階導(dǎo)數(shù)存在且不為 0）曲線 )(xfy的曲率半徑公式為 yy 232 )1( 這樣，對(duì)于該問(wèn)題中的拋物線，在 P 點(diǎn)，其曲率半徑為 02320 )2(gvghvP 而 P 點(diǎn)的向心力由鐵絲對(duì)小球的支持力與小球的重力在垂直于切線方向的分量提供 ，因此 ， 還需要知道 P 點(diǎn)切線的方向。顯然， P 點(diǎn)處切線的斜率為 02ta n v ghk P 當(dāng)小球沿與平拋軌跡重合的鐵絲運(yùn)動(dòng)時(shí) ， 到達(dá) P 點(diǎn)時(shí)的速度由動(dòng)能定理得 42 202 vghvP P 點(diǎn)出力的關(guān)系為 PPvmFNmg 2c o s 又2002cos vghv ， 代入解得 232030)2(4 3 ghv mg vN N 的方向垂直于軌道在 P 點(diǎn)的切線向右上，而小球?qū)壍赖膲毫εc N 為一對(duì)相互作用力，大小相等，方向相反。 二、 如 圖所示，長(zhǎng)為 l 的輕桿，上端固連小球 P，下端固定在水平地面上 O 點(diǎn)處的光滑小的軸承裝置，桿可繞 O 點(diǎn)無(wú)摩擦地自由轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)輕桿與豎直軸夾角 0 45，小球具有與桿垂直且沿水平方向的初始速度 0 2v gl （如圖中所示），而后，細(xì)桿將旋轉(zhuǎn)著朝地面傾倒），小球會(huì)與地面發(fā)生碰撞。 （ 1） 計(jì)算小球倒地時(shí)（前瞬間）豎直向下速度分量 v （ 2） 假設(shè)小球與地面碰后瞬間，僅有豎直向上的速度分量，且大小為（ 1）問(wèn)中 v 的清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程入學(xué)測(cè)試 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 4 頁(yè) 2/2 倍，試求小球與地面間摩擦系數(shù) （設(shè)為常數(shù)）的取值范圍。 （ 3） 如果豎直向上方向?yàn)?z 軸正向，而且 0z 不是地面，而是一個(gè)可以讓細(xì)桿穿越的幾何面，即輕桿可以運(yùn)動(dòng)到 0z 的下半空間，求小球 P 可以運(yùn)動(dòng)到的最小 z坐標(biāo)。 （ 25 分） 【解析】 首先判斷系統(tǒng)的受力及受力矩情況?？梢悦黠@看到，系統(tǒng)在重力作用下在豎直方向?qū)a(chǎn)生速度，受桿的約束，該速度將垂直于桿，及在豎直平面內(nèi)重力力矩為外力矩，角動(dòng)量不守恒，但輕桿不能產(chǎn)生不沿著桿的作用力，而初速度及由重力做功產(chǎn)生的速度均垂直于桿，故而桿上的拉力不做功，機(jī)械能守恒。在水平面內(nèi)，無(wú)外力矩作用，因而在水平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量守恒。 （ 1） 水平面內(nèi)角動(dòng)量守恒，因此在到達(dá)地面時(shí)，水平面內(nèi)速度由角動(dòng)量守恒確定為 mvllmv 00 sin 得 glv 。 由 動(dòng)能定理 得 20220 212121c o s mvmvmvm g l 解得 glv )12( （ 2） 碰撞時(shí) ， 地面對(duì)小球有支持力和摩擦力 。 支持力產(chǎn)生沖量使得小球豎直方向的速度發(fā)生改變 ， 而 摩擦力產(chǎn)生的沖量使得小球水平方向的速度減少為 0。這一過(guò)程中，設(shè)地面對(duì)小球的支持力為 F，作用時(shí)間為 t，摩擦力為f，作用時(shí)間也為 t，由沖量定理得 FfmvtfmvvmtF 解得 3 7 7.0)21( 2 23 （ 3） 小球在 Z 方向上不能繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明豎直平面內(nèi)速度為 0。 此時(shí) ， 由水平面內(nèi)角動(dòng)量守恒及動(dòng)能定理 ， 設(shè)此時(shí)桿與豎直方向的銳角夾角為 ， 則有 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程入學(xué)測(cè)試 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 5 頁(yè) 002020s ins in2121)c o s( c o slmvm VlmvmVm g l 將 450 代入整理得 1)c o s1)(c o s222( 2 解得 122521c o s 因此 ， Z 坐標(biāo)的最小值為 cosmin lZ 三、 長(zhǎng) l2 的線系住兩相同的小鋼球，放在光滑的地板上，在線中央作用如圖所示的水平恒力 F ，求： （ 1） 鋼球第一次相碰時(shí)，在與 F 垂直的方向上鋼球?qū)Φ氐乃俣取?（ 2） 經(jīng)若干次碰撞后，最后兩球一直處于接觸狀態(tài)下運(yùn)動(dòng)，那么因碰撞而失去的總能量是多少？ （ 25 分） 【解析】 分析： 鋼球?qū)Φ氐倪\(yùn)動(dòng)是一個(gè)曲線運(yùn)動(dòng)，繩對(duì)球的拉力作功為變?yōu)樽鞴?wèn)題，因此用牛頓定律來(lái)處理本題是行不通的，考慮兩球組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，則內(nèi)力（繩中的張力）做功的代數(shù)和為零。 解一 （ 1） 以地面為參照系 設(shè) m 沿 F 方向運(yùn)動(dòng)距離 S 時(shí)，鋼球第一次碰撞，此時(shí)力 F 作用點(diǎn)拉過(guò)距離 Sl ，m 除有 F 方向的水平速度外，還有繞作用點(diǎn) O 的速度，即為所求的 yV ，由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理有 2222212 ymVxmVyVxVmSlF 對(duì)系統(tǒng)而言，水平方向受恒力 F 作用，小鋼球水平加速度恒定，由動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系有 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程入學(xué)測(cè)試 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 6 頁(yè) xmaF 2 SaxV x 22 聯(lián)立 、 、 式解得 MFlVy （ 2） 最后兩球一直處于接觸狀態(tài) 。 垂直于 F 方向的速度消失 。 由此而失去的能量即為所求，故 FlmVmVE yyk 22212 解二 在 O 系考察，由對(duì)稱性可知，質(zhì)心只有水平方向加速度，大小為 mFa 2 在 O 系中，兩鋼球?qū)?O 作圓周運(yùn)動(dòng)，鋼球所受慣性力分別為 ma ，繩的拉力作功為零，在質(zhì)心系中，由動(dòng)能定理有 lmamV y 2212 2 由上式得 mFlVy 四、 一個(gè)直徑 1cm、總帶電量 10-8C 的均勻帶電塑料球，用一根絕緣線繩懸掛起來(lái)，其最底端與一個(gè)鹽水容器的水面相距 1cm。已知鹽水密度為 1000km/m3，求水平面涌起的高度。（ 25 分） 【解析】 鹽水是電的良導(dǎo)體，因此其表面會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電荷，可用電像法解。先假設(shè)水面的隆起非常微小以至于遠(yuǎn)小于 3r，則電量 Q 在 P 的電場(chǎng)強(qiáng)度為 201 )3(41 rQE P 點(diǎn)上方實(shí)際的電場(chǎng)強(qiáng)度為 Q 與其鏡像 -Q 共同產(chǎn)生的電場(chǎng) 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程入學(xué)測(cè)試 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 7 頁(yè) 201 )3(212 rQEE 根據(jù)高斯定理， P 點(diǎn)的表面電荷密度為 20 )3(21 rQE 則水面上單位面積受到的力為 1EAF 該力與因水面升高而產(chǎn)生的附加壓強(qiáng)造成的力抵消 ghAF mmrQrQgh 29.0)3(4 1)3(2 11 202 因此前面的假設(shè)是正確的 。 五、 如圖所示，有二平行金屬導(dǎo)軌，相距 l，位于同一水平面內(nèi)（圖中紙面），處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B 的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向豎直向下（垂直紙面向里）質(zhì)量均為 m 的兩金屬桿 ab和 cd 放在導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌垂直初始時(shí)刻， 金屬桿 ab 和 cd 分別位于 x = x0和 x = 0處。假設(shè)導(dǎo)軌及金屬桿的電阻都為零，由兩金屬桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的自感系數(shù)為 L。今對(duì)金屬桿 cd 施以沿導(dǎo)軌向右的瞬時(shí)沖量，使它獲得初速 v0設(shè)導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)， x0也足夠大，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，兩金屬桿之間距離的變化遠(yuǎn)小于兩金屬桿的初始間距 x0，因而可以認(rèn)為在桿運(yùn)動(dòng)過(guò)程中由兩金屬桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的自感系數(shù) L 是恒定不變的。桿與導(dǎo)軌之間摩擦可不計(jì)。求兩桿之間的距離第一次達(dá)到最大值時(shí)導(dǎo)軌構(gòu)成的回路中的電流 i。 （ 25 分） 【解析】 設(shè)在任意時(shí)刻 t， ab 桿和 cd 桿的速度分別為 v1和 v2（相對(duì)地面參考系 S），當(dāng) v1、 v2為正時(shí)，表示速度沿 x 軸正方向；若規(guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)榛芈分须娏骱碗妱?dòng)勢(shì)的正方向，則因兩桿作切割磁力線的運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) 21 vvBlE (1) 當(dāng)回路中的電流 i 隨時(shí)間的變化率為 ti 時(shí)，回路中的自感電動(dòng)勢(shì) tiLEL (2) 根據(jù)歐姆定律，注意到回路沒(méi)有電阻，有 0 LEE (3) y y c a b x O v 0 d 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程入學(xué)測(cè)試 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 8 頁(yè) 金屬桿在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，兩桿構(gòu)成的系統(tǒng)受到的水平方向的合外力為零，系統(tǒng)的質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)設(shè)系統(tǒng)質(zhì)心的速度為 VC，有 CmVm 20 v (4) 得 20vCV (5) VC方向與 v0相同，沿 x 軸的正方向 現(xiàn)取一新的參考系 S ，它與質(zhì)心固連在一起，并把質(zhì)心作為坐標(biāo)原點(diǎn) O ，取坐標(biāo)軸 xO與 x 軸平行設(shè)相對(duì) S 系，金屬桿 ab 的速度為 u， cd 桿的速度為 u ，則有 uVC 1v (6) uVC 2v (7) 因相對(duì) S 系，兩桿的總動(dòng)量為零，即有 0 ummu (8) 由 (1)、 (2)、 (3)、 (5)、 (6) 、 (7) 、 (8)各式，得 tiLBlu 2 (9) 在 S 系中，在 t 時(shí)刻，金屬桿 ab 坐標(biāo)為 x ，在 t t 時(shí)刻，它的坐標(biāo)為 xx ，則由速度的定義 txu (10) 代入 (9) 式得 iLxBl 2 (11) 若將 x 視為 i 的函數(shù)，由（ 11）式知 ix 為常數(shù)，所以 x 與 i 的關(guān)系可用一直線方程表示 biBlLx 2 (12) 式中 b 為常數(shù)，其值待定現(xiàn)已知在 t 時(shí)刻，金屬桿 ab 在 S 系中的坐標(biāo) x 021x，這時(shí) i = 0，故得 0212 xiBlLx (13) 或 0212 xxLBli (14) 021x表示 t 0 時(shí)刻金屬桿 ab 的位置 x 表示在任意時(shí)刻 t，桿 ab 的位置，故 021xx就是桿 ab 在 t 時(shí)刻相對(duì)初始位置的位移，用 X 表示， 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程入學(xué)測(cè)試 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 9 頁(yè) 021 xxX (15) 當(dāng) X0 時(shí)， ab 桿位于其初始位置的右側(cè)；當(dāng) X0 時(shí)， ab 桿位于其初始位置的左側(cè)代入 (14)式，得 XLBli 2 (16) 這時(shí)作用于 ab 桿的安培力 XL lBiB lF 222 (17) ab 桿在初始位置右側(cè)時(shí)，安培力的方向指向左側(cè)； ab 桿在初始位置左側(cè)時(shí)，安培力的方向指向右側(cè)，可知該安培力具有彈性力的性質(zhì)金屬桿 ab 的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)的周期 LlB mT 2222 (18) 在任意時(shí)刻 t， ab 桿離開(kāi)其初始位置的位移 tTAX 2co s (19) A 為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅， 為初相位，都是待定的常量通過(guò)參考圓可求得 ab 桿的振動(dòng)速度 tTTAu 2s in2 (20) (19)、 (20)式分別表示任意時(shí)刻 ab 桿離開(kāi)初始位置的位移和運(yùn)動(dòng)速度現(xiàn)已知在 t 0時(shí)刻， ab 桿位于初始位置，即 X = 0 速度 0000 2121 vvvv CVu 故有 cos0 A s in220 TAv 解這兩式，并注意到 (18)式得 23 (21) 224 00 mLBlTA vv (22) 由此得 ab 桿的位移 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程入學(xué)測(cè)試 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 10 頁(yè) tTmLBltTmLBlX 2s i n22232co s22 00 vv （ 23） 由參考圓可以知道，經(jīng)過(guò) t=3T/4 時(shí)間，兩桿距離第一次達(dá)到最大值。回路中的電流由(16) 式得 LmTTmLBlvLBlXLBli 2v)432(s in2222 00 六、 有一內(nèi)徑均勻，兩支管等長(zhǎng)（長(zhǎng)度大于 cm78 ）的 U 型管 ACDB ， A 端封密， B 端開(kāi)口。用水銀將一定質(zhì)量的理想氣體封閉在 A 端后，將管豎直倒立，如圖所示。平衡時(shí)兩管中水銀面高度差為 cm2 ，此時(shí)閉管中氣柱的長(zhǎng)度 cml 380 。若保持溫度不變，不計(jì)水銀與管壁的摩擦，當(dāng)輕輕晃動(dòng)一下 U 型管使左端液面上升或下降 h（ cmh 2 ）時(shí)，將出現(xiàn)什么現(xiàn)象，試加以討論并說(shuō)明理由。 （ 25 分） 【解析】 本題由于玻璃管的形狀較為特殊，因此液面上下晃動(dòng)以后可能產(chǎn)生多種情況，需要把管內(nèi) CD 部分水銀柱所受左、右兩邊的壓強(qiáng)差 P 的表達(dá)式寫(xiě)出來(lái)，然后加以分析。 以 A 端密封氣柱為研究對(duì)象，以最初平衡位置為初態(tài)，左端液面上升（或下降）了 h（設(shè)此時(shí)液柱速度為零）為末態(tài)，根據(jù)玻意爾定律可得 ShLPSLP 000 2 解得 hLLPP000 2 此時(shí) U 型管內(nèi) CD 段水銀柱所受左、右兩邊的壓強(qiáng)差 hPPhPPP 2222 00 代入 得： hhhP 38 22 由此可見(jiàn)， P 可正可負(fù)， h 為 1（或 -1）是臨界值，現(xiàn)討論如下： 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程入學(xué)測(cè)試 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 11 頁(yè) （ 1）如果 cmh 1 ， 0P ，水銀柱將被壓回原來(lái)位置，并在原來(lái)平衡位置附近振動(dòng)。 （ 2）如果 cmh 1 ， 0P ，水銀柱將繼續(xù)受到一個(gè)向右的壓強(qiáng)，左端水銀面將繼續(xù)上升，而且從 P 的表達(dá)式可以看出， h 越大， P 也越大，水銀將不斷地由 A 管流向 B 管。由于兩管長(zhǎng)度和水銀柱長(zhǎng)度都大于 78cm，當(dāng) A 管液面上升到 C 時(shí)， B 管中水銀柱長(zhǎng)度大于 76cm，因此水銀柱將繼續(xù)流向 B 管，直至有一部分水銀流出 B 管口。 （ 3）如果 h=1cm，而且此時(shí)水銀柱速度又恰好為零，那么由于 P=0，所以，這是一個(gè)新的平衡位置。但這是一個(gè)不穩(wěn)定平衡，如果稍有擾動(dòng)，水銀柱就將離開(kāi)這個(gè)位置。如果A 端液面因受擾動(dòng)而向下運(yùn)動(dòng)，那么將出現(xiàn)（ 1）中情況；如果 A 端液面因受擾動(dòng)而向上運(yùn)動(dòng)，那么將出現(xiàn)（ 2）中情況。 七、 一圓柱形的薄 壁玻璃容器浮于水面上，容器底的水深為 h，橫截面的直徑為 d，容器內(nèi)底的正中有一物點(diǎn) A，如圖所示。人眼位于容器壁外水面的上方，斜向下去看物點(diǎn) A，發(fā)現(xiàn)人眼在某些位置將看不到物點(diǎn) A，試求此 “盲區(qū) ”的范圍（用人眼和 B 點(diǎn)的連線與豎直方向的夾角 表示），已知水的折射率 n=4/3。 （ 25 分） 【解析】 光從角 B 上方能直接射出，而射向角 B 下方的光有 tg1=2h/d sin1= 242:2 由折射定律 ： sin1=nsin1 sin1=1 242:2 要光能從水面射出，則應(yīng)滿足： sin2=cos1=1 422(42:2) 1 1- 422(42:2) 12 可得： h 78d (1)若 h 78d， 則射到角 B 處的光能從水面射出，射出時(shí)的折射角為 2 nsin2=sin2 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程入學(xué)測(cè)試 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 12 頁(yè) sin2=2 4242:2 169 4242:2 “盲區(qū) ”的范圍為： /2 1 2 (2)若 h78d， 則