高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何課件 湘教版.ppt

第七章立體幾何 7 1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖7 2空間幾何體的表面積和體積7 3空間點 直線 平面之間的位置關(guān)系7 4空間中的平行關(guān)系7 5空間中的垂直關(guān)系7 6空間向量及其運算7 7立體幾何中的向量方法 7 1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖 平行 全等 平行且相等 用平行于底面的平面截棱錐得到 公共頂點 平行投影 完全相同 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 斜二測 45 或135 x 軸 y 軸 不變 不變 互相平行 相交于一點 平行 1 如圖是兩個全等的正三角形 給定下列三個命題 存在四棱錐 其正視圖 側(cè)視圖如圖 存在三棱錐 其正視圖 側(cè)視圖如圖 存在圓錐 其正視圖 側(cè)視圖如圖 其中真命題的個數(shù)是 a 3b 2c 1d 0 解析 對于 存在斜高與底邊長相等的正四棱錐 其正視圖與側(cè)視圖是全等的正三角形 對于 存在如圖所示的三棱錐sabc 底面為等腰三角形 其底邊ab的中點為d bc的中點為e 側(cè)面sab上的斜高為sd 且cb ab sd se 頂點s在底面上的射影為ac的中點 則此三棱錐的正視圖與側(cè)視圖是全等的正三角形 對于 存在底面直徑與母線長相等的圓錐 其正視圖與側(cè)視圖是全等的正三角形 所以選a 答案 a 2 下列結(jié)論正確的是 a 各個面都是三角形的幾何體是三棱錐b 以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸 其余兩邊繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐c 棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長都相等 則該棱錐可能是六棱錐d 圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線 解析 a錯誤 如圖1是由兩個相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體 它的各個面都是三角形 但它不是三棱錐 b錯誤 如圖2 若 abc不是直角三角形 或 abc是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊 所得的幾何體都不是圓錐 c錯誤 若該棱錐是六棱錐 由題設(shè)知 它是正六棱錐 易證正六棱錐的側(cè)棱長必大于底面邊長 這與題設(shè)矛盾 選d 答案 d 4 2014 吉林質(zhì)檢 已知某組合體的正視圖與側(cè)視圖相同 如圖所示 其中ab ac 四邊形bcde為矩形 則該組合體的俯視圖可以是 把你認(rèn)為正確的圖的序號都填上 解析 直觀圖如圖1的幾何體 上部是一個正四棱錐 下部是一個正四棱柱 的俯視圖為 直觀圖如圖2的幾何體 上部是一個正四棱錐 下部是一個圓柱 的俯視圖為 直觀圖如圖3的幾何體 上部是一個圓錐 下部是一個圓柱 的俯視圖為 直觀圖如圖4的幾何體 上部是一個圓錐 下部是一個正四棱柱 的俯視圖為 答案 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 變式訓(xùn)練 1 給出下列四個命題 在圓柱的上 下底面的圓周上各取一點 則這兩點的連線是圓柱的母線 底面為正多邊形 且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱 若有兩個側(cè)面垂直于底面 則該四棱柱為直四棱柱 棱臺的上 下底面可以不相似 但側(cè)棱長一定相等 其中正確命題的個數(shù)是 a 0b 1c 2d 3 解析 不一定 只有這兩點的連線平行于軸時才是母線 正確 錯誤 平行六面體的兩個相對側(cè)面也可能與底面垂直且互相平行 故 不正確 錯誤 棱臺的上 下底面是相似且對應(yīng)邊平行的多邊形 各側(cè)棱延長線交于一點 但是側(cè)棱長不一定相等 答案 b 幾何體的三視圖 幾何體的直觀圖 從近兩年的高考試題來看 柱 錐 臺 球的定義和相關(guān)性質(zhì)是基礎(chǔ) 以它們?yōu)檩d體考查線線 線面 面面間的關(guān)系是重點 三視圖的還原在各地高考試題中頻繁出現(xiàn) 題型以選擇題和填空題為主 有時也會作為解答題的背景出現(xiàn) 2013 全國新課標(biāo) 卷 一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)分別是 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 畫該四面體三視圖中的正視圖時 以zox平面為投影面 則得到正視圖可以為 規(guī)范解答 在空間直角坐標(biāo)系中 先畫出四面體oabc的直觀圖 如圖 設(shè)o 0 0 0 a 1 0 1 b 1 1 0 c 0 1 1 將以o a b c為頂點的四面體被還原成一正方體后 由于oa bc 所以該幾何體以zox平面為投影面的正視圖為a 答案 a 閱后報告 空間幾何體的三視圖是分別從空間幾何體的正面 左面 上面用平行投影的方法得到的三個平面投影圖 因此在分析空間幾何體的三視圖時 先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面 然后根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征 調(diào)整實線和虛線所對應(yīng)的棱 面的位置 再確定幾何體的形狀 即可得到結(jié)果 2 2014 湖北卷 在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系oxyz中 一個四面體的頂點坐標(biāo)分別是 0 0 2 2 2 0 1 2 1 2 2 2 給出編號為 的四個圖 則該四面體的正視圖和俯視圖分別為 a 和 b 和 c 和 d 和 解析 由三視圖及空間直角坐標(biāo)系可知 該幾何體的正視圖顯然是一個直角三角形且內(nèi)有一條虛線 一銳角頂點與其所對直角邊中點的連線 故正視圖是 俯視圖是一個鈍角三角形 故俯視圖是 故選d 答案 d 3 2014 湖南卷 一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示 將該石材切削 打磨 加工成球 則能得到的最大球的半徑等于 a 1b 2c 3d 4 解析 由三視圖可知 石材為一個三棱柱 相對應(yīng)的長方體的一半 故可知能得到的最大球為三棱柱的內(nèi)切球 由題意可知正視圖三角形的內(nèi)切圓的半徑即為球的半徑 可得r 6 8 10 2 2 答案 b 課時作業(yè) 7 2空間幾何體的表面積和體積 柱 錐 臺和球的側(cè)面積和體積 2 rh sh r2h rl 4 母線長為1的圓錐的側(cè)面展開圖的面積是23 則該圓錐的體積為 a b c d 5 已知一個三棱錐的三視圖如圖所示 其中俯視圖是等腰直角三角形 該三棱錐的外接球的半徑為2 則該三棱錐的體積為 棱柱 棱錐 棱臺的表面積和體積 1 求棱柱 棱錐 棱臺的表面積就是根據(jù)條件求它們的側(cè)面積和底面積的和 2 求棱柱 棱錐 棱臺的體積時 根據(jù)體積公式 需要具備已知底面積和高兩個重要條件 底面積一般可由底面邊長或半徑求出 圓柱 圓錐 圓臺 球的表面積和體積 2 如圖2所示 半徑為r的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑ab所在直線為軸 旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體 求該幾何體的表面積及其體積 其中 bac 30 幾何體的展開與折疊 閱后報告 1 對于規(guī)則幾何體體積的大小可直接考慮底面積與高的量 2 用特殊代替一般可解決體積比 面積比 之類的問題 3 在錐體中平行于底的截面分割出的小錐體與原錐體的體積比為相似比的立方 3 2014 重慶卷 某幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的表面積為 a 54b 60c 66d 72 課時作業(yè) 7 3空間點 直線 平面之間的位置關(guān)系 兩點 一個公共點 不在同一條直線上 一條直線和這條直線外一點 兩條相交直線 兩條平行直線 沒有 一個 平行 相交 任何 銳角或直角 平行 相交 在平面內(nèi) 同一條直線 平面的基本性質(zhì)及平行公理的應(yīng)用 直線位置關(guān)系的判定 異面直線所成的角 變式訓(xùn)練 3 在四棱錐pabcd中 底面是邊長為2的菱形 dab 60 對角線ac與bd交于點o po 平面abcd pb與平面abcd所成角為60 1 求四棱錐的體積 2 若e是pb的中點 求異面直線de與pa所成角的余弦值 3 2013 全國新課標(biāo) 卷 已知m n為異面直線 m 平面 n 平面 直線l滿足l m l n l l 則 a 且l b 且l c 與 相交 且交線垂直于ld 與 相交 且交線平行于l 答案 d 4 2013 江西卷 如圖 正方體的底面與正四面體的底面在同一平面 上 且ab cd 則直線ef與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為 解析 取cd的中點為g 由題意知平面efg與正方體的左 右側(cè)面所在平面重合或平行 從而ef與正方體的左 右側(cè)面所在的平面平行或ef在平面內(nèi) 所以直線ef與正方體的前 后側(cè)面及上 下底面所在平面相交 故直線ef與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為4 答案 4 課時作業(yè) 7 4空間中的平行關(guān)系 1 直線與平面平行的判定與性質(zhì) 1 定義 如果直線a與平面 公共點 則直線a與平面 平行 記作 2 判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線 則該直線與此平面平行 用符號表示為 a b 且 a 無 a 平行 a b 平行 a l b 平行 a 無 平行 a b 2 2014 南開模擬 下列命題正確的是 a 若兩條直線和同一個平面所成的角相等 則這兩條直線平行b 若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等 則這兩個平面平行c 若一條直線平行于兩個相交平面 則這條直線與這兩個平面的交線平行d 若兩個平面都垂直于第三個平面 則這兩個平面平行 解析 若兩條直線和同一平面所成角相等 這兩條直線可能平行 也可能為異面直線 也可能相交 所以a錯 當(dāng)三點共線或分別在另一平面異側(cè)時 這兩個平面可能不平行 故b錯 若兩個平面垂直同一個平面 兩平面可以平行 也可以垂直 故d錯 故選項c正確 答案 c 直線與平面平行的判定 集合間的基本關(guān)系 變式訓(xùn)練 2 如圖所示 在四面體abcd中 截面efgh平行于對棱ab和cd 試問截面在什么位置時其截面面積最大 平面與平面平行的判定 平面與平面平行的性質(zhì)及應(yīng)用 閱后報告 1 本題考查面面平行的證明 直線和平面垂直的性質(zhì) 三棱柱體積的計算等知識 考查空間想象力 運算求解能力和推理論證能力 2 面面平行問題常轉(zhuǎn)化為線面平行 而線面平行又可轉(zhuǎn)化為線線平行 需要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 3 2013 江蘇卷 如圖 在三棱錐sabc中 平面sab 平面sbc ab bc as ab 過a作af sb 垂足為f 點e g分別是棱sa sc的中點 求證 1 平面efg 平面abc 2 bc sa 證明 1 因為as ab af sb 垂足為f 所以f是sb的中點 又因為e是sa的中點 所以ef ab 因為ef 平面abc ab 平面abc 所以ef 平面abc 同理eg 平面abc 又ef eg e 所以平面efg 平面abc 2 因為平面sab 平面sbc 且交線為sb 又af 平面sab af sb 所以af 平面sbc 因為bc 平面sbc 所以af bc 又因為ab bc af ab a af 平面sab ab 平面sab 所以bc 平面sab 因為sa 平面sab 所以bc sa 4 2013 山東卷 如圖 四棱錐pabcd中 ab ac ab pa ab cd ab 2cd e f g m n分別為pb ab bc pd pc的中點 1 求證 ce 平面pad 2 求證 平面efg 平面emn 課時作業(yè) 7 5空間中的垂直關(guān)系 任意 相交直線 平行 a b a b 垂線 l l 交線 直角 棱上一點 垂直 1 2014 鄭州模擬 設(shè) 分別為兩個不同的平面 直線l 則 l 是 成立的 a 充分不必要條件b 必要不充分條件c 充要條件d 既不充分也不必要條件 解析 依題意 由l l 可以推出 反過來 由 l 不能推出l 因此 l 是 成立的充分不必要條件 選a 答案 a 解析 對于 直線m與平面 可能平行或相交 對于 直線m可能也在平面 內(nèi) 而 都是正確的命題 故選c 答案 c 3 如圖 a 在正方形abcd中 e f分別是bc cd的中點 g是ef的中點 現(xiàn)在沿ae af及ef把這個正方形折成一個四面體 使b c d三點重合 重合后的點記為h 如圖 b 所示 那么 在四面體aefh中必有 a ah efh所在平面b ag efh所在平面c hf aef所在平面d hg aef所在平面 解析 折成的四面體有ah eh ah fh ah 平面hef 答案 a 5 如圖 pa o所在平面 ab是 o的直徑 c是 o上一點 ae pc af pb 給出下列結(jié)論 ae bc ef pb af bc ae 平面pbc 其中真命題的序號是 解析 ae 平面pac bc ac bc pa ae bc 故 正確 ae pb af pb ef pb 故 正確 若af bc af 平面pbc 則af ae與已知矛盾 故 錯誤 由 可知 正確 答案 直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 變式訓(xùn)練 1 如圖 在正方體abcda1b1c1d1中 e為棱c1d1的中點 f為棱bc的中點 1 求證 直線ae 直線da1 2 在線段aa1上求一點g 使得直線ae 平面dfg 解析 1 證明 連接ad1 bc1 由正方體的性質(zhì)可知 da1 ad1 da1 ab 又ab ad1 a da1 平面abc1d1 又ae 平面abc1d1 da1 ae 2 所求g點即為a1點 證明如下 由 1 可知ae da1 取cd的中點h 連接ah eh 由df ah df eh ah eh h 可證df 平面ahe ae 平面ahe df ae 又df a1d d ae 平面dfa1 即ae 平面dfg 平面與平面垂直的判定與性質(zhì) 變式訓(xùn)練 2 如圖 在四棱錐sabcd中 平面sad 平面abcd 四邊形abcd為正方形 且p為ad的中點 q為sb的中點 m為bc的中點 1 求證 cd 平面sad 2 求證 pq 平面scd 3 若sa sd 在棱sc上是否存在點n 使得平面dmn 平面abcd 并證明你的結(jié)論 解析 1 證明 因為四邊形abcd為正方形 所以cd ad 又平面sad 平面abcd 且平面sad 平面abcd ad 所以cd 平面sad 2 證明 連接pm qm 因為q p m分別為sb ad bc的中點 所以qm sc pm dc 因為qm pm m qm pm 平面pqm sc dc c 所以平面pqm 平面scd 又pq 平面pqm 所以pq 平面scd 3 存在點n 使得平面dmn 平面abcd 連接pc dm交于點o 連接sp 因為sa sd p為ad的中點 所以sp ad 因為平面sad 平面abcd 所以sp 平面abcd sp pc 在 spc中 過o點作no pc交sc于點n 此時n為sc的中點則sp no 則no 平面abcd 因為no 平面dmn 所以平面dmn 平面abcd 所以存在滿足條件的點n 線面垂直中的探索性問題 折疊問題 將平面圖形折疊成立體圖形時 要注意折疊前 后哪些量發(fā)生了改變 哪些沒有發(fā)生變化 特別要注意尋找折疊前 后的那些沒有發(fā)生變化的關(guān)系和沒有變化的量 把平面圖形的垂直關(guān)系運用到空間圖形中去 又將空間中的有關(guān)問題放到平面中去計算 ?？梢允箚栴}得以順利解決 閱后報告 1 解決探索性問題一般先假設(shè)其存在 把這個假設(shè)作已知條件 和題目的其他已知條件一起進(jìn)行推理論證和計算 在推理論證和計算無誤的前提下 如果得到了一個合理的結(jié)論 則說明存在 如果得到了一個不合理的結(jié)論 則說明不存在 2 在處理空間折疊問題中 要注意平面圖形與空間圖形在折疊前后的相互位置關(guān)系與長度關(guān)系等 關(guān)鍵是點 線 面位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化與平面幾何知識的應(yīng)用 注意平面幾何與立體幾何中相關(guān)知識點的異同 盲目套用容易導(dǎo)致錯誤 2 2014 福建卷 如圖所示 三棱錐abcd中 ab 平面bcd cd bd 1 求證 cd 平面abd 2 若ab bd cd 1 m為ad中點 求三棱錐ambc的體積 解析 方法一 1 證明 ab 平面bcd cd平面bcd ab cd 又 cd bd ab bd b ab平面abd bd平面abd cd 平面abd 2 由ab 平面bcd 得ab bd ab bd 1 s abd 1 2 m是ad的中點 s abm 1 2s abd 1 4 由 1 知 cd 平面abd 三棱錐c abm的高h(yuǎn) cd 1 因此三棱錐ambc的體積va mbc vc abm 1 3s abm h 1 12 方法二 1 同方法一 2 由ab 平面bcd 得平面abd 平面bcd 且平面abd 平面bcd bd 如圖所示 過點m作mn bd交bd于點n 則mn 平面bcd 且mn 1 2ab 1 2 又cd bd bd cd 1 s bcd 1 2 三棱錐a mbc的體積va mbc va bcd vm bcd 1 3ab s bcd 1 3mn s bcd 1 12 3 2014 廣東卷 如圖1所示 四邊形abcd為矩形 pd 平面abcd ab 1 bc pc 2 作如圖2折疊 折痕ef dc 其中點e f分別在線段pd pc上 沿ef折疊后點p疊在線段ad上的點記為m 并且mf cf 1 證明 cf 平面mdf 2 求三棱錐mcde的體積 解析 1 證明 因為pd 平面abcd ad 平面abcd 所以pd ad 又因為四邊形abcd為矩形 所以cd ad 因為pd cd d 所以ad 平面pcd 在圖2中 因為cf 平面pcd 所以ad cf 即md cf 又因為mf cf md mf m 所以cf 平面mdf 課時作業(yè) 7 6空間向量及其運算 1 空間向量的有關(guān)定理 1 共線向量定理 對空間任意兩個向量a b b 0 a b的充要條件是存在實數(shù) 使得 a b 2 共面向量定理 如果兩個向量a b不共線 那么向量p與向量a b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對 x y 使 3 空間向量基本定理 如果三個向量a b c不共面 那么對空間任一向量p 存在有序?qū)崝?shù)組 x y z 使得p 其中 a b c 叫做空間的一個 p xa yb xa yb zc 基底 2 兩向量的數(shù)量積 兩個非零向量a b的數(shù)量積a b 3 向量的數(shù)量積的性質(zhì) a e a a b a b a 2 a a a b a b 4 向量的數(shù)量積滿足如下運算律 a b a b a b 交換律 a b c 分配律 3 空間向量的坐標(biāo)運算 答案 c 3 已知空間四邊形oabc中 oa a ob b oc c 點m在oa上 且om 2ma n為bc中點 則mn a 1 2a 2 3b 1 2cb 2 3a 1 2b 1 2cc 1 2a 1 2b 1 2cd 2 3a 2 3b 1 2c 解析 顯然mn on om 1 2 ob oc 2 3oa 1 2b 1 2c 2 3a 答案 b 4 已知a cos 1 sin b sin 1 cos 則向量a b與a b的夾角是 解析 a b a b a2 b2 a 2 b 2 cos2 1 sin2 sin2 1 cos2 0 a b a b 即向量a b與a b的夾角為90 答案 90 空間向量的線性運算 用已知向量來表示未知向量 一定要結(jié)合圖形 以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵 要正確理解向量加法 減法與數(shù)乘運算的幾何意義 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量 我們可把這個法則稱為向量加法的多邊形法則 在立體幾何中要靈活應(yīng)用三角形法則 向量加法的平行四邊形法則在空間仍然成立 共線向量 共面向量定理的應(yīng)用 利用空間向量證明平行 垂直問題 從近兩年的高考試題來看 空間向量的數(shù)量積及應(yīng)用在高考中偶爾有所體現(xiàn) 其他知識體現(xiàn)較少 題型有選擇題 解答題 選擇題一般考查數(shù)量積的概念 運用及簡單應(yīng)用 解答題中一般考查學(xué)生綜合應(yīng)用知識解決問題 處理問題的能力 注重考查學(xué)生的運算能力 閱后報告 本題考查直線和平面垂直的性質(zhì) 利用向量法求解二面角的基本思想和方法 同時考查空間想象力 運算求解能力和推理論證能力 1 2014 廣東卷 已知向量a 1 0 1 則下列向量中與a成60 夾角的是 a 1 1 0 b 1 1 0 c 0 1 1 d 1 0 1 解析 設(shè)所求向量是b 若b與a成60 夾角 則根據(jù)數(shù)量積公式 只要滿足a b a b 1 2即可 所以b選項滿足題意 答案 b 2 2013 全國新課標(biāo) 卷 一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)分別是 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 畫該四面體三視圖中的正視圖時 以zox平面為投影面 則得到的正視圖可以為 解析 根據(jù)已知條件作出圖形 四面體c1a1db 標(biāo)出各個點的坐標(biāo)如圖 1 所示 可以看出正視圖是正方形 如圖 2 所示 故選a 答案 a 課時作業(yè)7 6 7 7立體幾何中的向量方法 1 利用空間向量求空間角 1 兩條異面直線所成的角 定義 設(shè)a b是兩條異面直線 過空間任一點o作直線a a b b 則a 與b 所成的 叫做a與b所成的角 銳角或直角 0 4 2014 石家莊模擬 如圖 在正方形abcd中 ef ab 若沿ef將正方形折成一個二面角后 ae ed ad 1 1 2 則af與ce所成角的余弦值為 解析 建立如圖空間直角坐標(biāo)系 設(shè)ab ef cd 2 ae de ad 1 1 2 則e 0 0 0 a 1 0 0 f 0 2 0 c 0 2 1 af 1 2 0 ec 0 2 1 cos af ec 4 5 af與ce所成角的余弦值為4 5 答案 4 5 利用空間向量求異面直線所成角 利用向量的夾角來求異面直線的夾角時 注意區(qū)別 當(dāng)異面直線的向量的夾角為銳角或直角時 就是該異面直線的夾角 當(dāng)異面直線的向量的夾角為鈍角時 其補角才是異面直線的夾角 利用空間向量求直線和平面所成角 利用向量法求線面角的方法 一是分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量 轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角 或其補角 二是通過平面的法向量來求 即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角 取其余角就是斜線和平面所成的角 如圖 已知四棱錐pabcd的底面為等腰梯形 ab cd ac bd 垂