圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理ppt課件.ppt

2 2圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 1 圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù) 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等 同圓或等圓中 相等的圓周角所對(duì)的弧也相等 半圓 或直徑 所對(duì)的圓周角是直角 90 的圓周角所對(duì)的弦是直徑 圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半 圓周角定理 圓心角定理 推論1 推論2 溫故知新 2 如果多邊形所有頂點(diǎn)都在一個(gè)圓上 那么這個(gè)多邊形叫做圓的內(nèi)接多邊形 這個(gè)圓叫做多邊形的外接圓 思考 任意三角形都有外接圓 那么任意正方形有外接圓嗎 為什么 任意矩形有外接圓嗎 為什么 等腰梯形呢 為什么 一般地 任意四邊形都有外接圓嗎 為什么 需要具備什么樣的條件呢 1 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 3 直接研究較困難 那么我們可以先從問(wèn)題的反面思考 如果一個(gè)四邊形內(nèi)接于圓 那么這樣的四邊形有什么特征 我們應(yīng)該從哪些角度來(lái)思考呢 1 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 4 如圖 1 連接OA OC 則 B D 性質(zhì)定理1圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ) 將線(xiàn)段AB延長(zhǎng)到點(diǎn)E 得到圖 2 1 性質(zhì)定理2圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角 1 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 5 6 性質(zhì)定理1的逆命題 如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ) 那么它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓 性質(zhì)定理1的逆命題 如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角 那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓 性質(zhì)定理1圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ) 性質(zhì)定理2圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角 1 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 7 假設(shè) 四邊形ABCD中 B D 180 求證 A B C D在同一圓周上 簡(jiǎn)稱(chēng)四點(diǎn)共圓 分析 不共線(xiàn)的三點(diǎn)確定一個(gè)圓 經(jīng)過(guò)A B C三點(diǎn)可以做一個(gè)圓O 如果能由條件得出圓O過(guò)D就證明了 1 顯然 點(diǎn)D與圓有且只有三種位置關(guān)系 1 點(diǎn)D在圓外 2 點(diǎn)D在圓內(nèi) 3 點(diǎn)D在圓上 2 圓內(nèi)接四邊形的判斷定理 8 假設(shè) 四邊形ABCD中 B D 180 求證 A B C D在同一圓周上 簡(jiǎn)稱(chēng)四點(diǎn)共圓 證明 1 如果點(diǎn)D在 O外部 1 AEC B 180 得 AEC D 這與 三角形外角大于任意不相鄰的內(nèi)角 矛盾 故點(diǎn)D不可能在圓外 E 因 D B 180 設(shè)E是AD與圓周的交點(diǎn) 連接EC 則有 點(diǎn)D在內(nèi)部怎么證明 2 圓內(nèi)接四邊形的判斷定理 9 假設(shè) 四邊形ABCD中 B D 180 求證 A B C D在同一圓周上 簡(jiǎn)稱(chēng)四點(diǎn)共圓 2 如果點(diǎn)D在 O內(nèi)部 B ADC 180 E ADC 綜上所述 點(diǎn)D只能在圓周上 即A B C D四點(diǎn)共圓 點(diǎn)D不可能在 O內(nèi) 延長(zhǎng)AD交圓于點(diǎn)E 連接CE 則 B E 180 這同樣與 三角形外角大于任意不相鄰的內(nèi)角 矛盾 2 圓內(nèi)接四邊形的判斷定理 10 圓內(nèi)接四邊形判定定理 如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ) 那么它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓 當(dāng)問(wèn)題的結(jié)論存在多種情形時(shí) 通過(guò)對(duì)每一種情形分別論證 最后獲證結(jié)論的方法 窮舉法 推論 如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角 那么它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓 2 圓內(nèi)接四邊形的判斷定理 11 悟一法 判定四點(diǎn)共圓的方法常有 1 如果四個(gè)點(diǎn)與一定點(diǎn)的距離相等 那么這四個(gè)點(diǎn)共圓 2 如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ) 那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓 3 如果一個(gè)四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角 那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓 4 如果兩個(gè)三角形有公共邊 公共邊所對(duì)的角相等且在公共邊的同側(cè) 那么這兩個(gè)三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓 12 思維拓展 圓內(nèi)接平行四邊形一定是 形圓內(nèi)接梯形一定是 形圓形內(nèi)接菱形一定是 形 矩形 等腰梯形 正方形 13 證明 連接PQ 在四邊形QFPC中 FP BCFQ AC FQA FPC 90 Q F P C四點(diǎn)共圓 QFC QPC 又 CF AB QFC與 QFA互余 而 A與 QFA也互余 A QFC A QPC A B P Q四點(diǎn)共圓 14 習(xí)題2 2 1 AD BE是 ABC的兩條高 求證 CED ABC 2 求證 對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形中 各邊中點(diǎn)在同一個(gè)圓周上 3 如圖 已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓 延長(zhǎng)AB和DC相交于E EG平分 E 且與BC AD分別相交于F G 求證 CFG DGF 15 性質(zhì)定理1圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ) 性質(zhì)定理2圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角 圓內(nèi)接四邊形判定定理 如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ) 那么它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓 推論 如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角 那么它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓 本節(jié)收獲 16 悟一法 1 圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理為幾何論證中角的相等或互補(bǔ)提供了一個(gè)理論依據(jù) 因而也為論證角邊關(guān)系提供了一種新的途徑 2 在解有關(guān)圓內(nèi)接四邊形的幾何問(wèn)題時(shí) 既要注意性質(zhì)定理的運(yùn)用 也要注意判定定理的運(yùn)用 又要注意兩者的綜合運(yùn)用 3 構(gòu)造全等或相似三角形 以達(dá)到證明線(xiàn)段相等 角相等或線(xiàn)段成比例等目的 17 5 如圖 已知四邊形是圓內(nèi)接四邊形 是 的直徑 且EB AD AD與BC得延長(zhǎng)線(xiàn)相交于F 求證 證明 連結(jié)AC ACB DAB 弧AB