最新高中全國卷一北師大版高中數學必修一專題復習.doc

高一數學必修一專題復習北師大版高一數學必修一專題復習例題練習知識點講解第一章 集合與函數概念知識架構 集合集合表示法集合的運算集合的關系列舉法描述法圖示法包含相等子集與真子集交集并集補集函數函數及其表示函數基本性質單調性與最值函數的概念函數的奇偶性函數的表示法映射映射的概念集合與函數概念第一講 集合知識梳理一：集合的含義及其關系1.集合中的元素具有的三個性質:確定性、無序性和互異性;2.集合的3種表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖；3.集合中元素與集合的關系：文字語言符號語言屬于不屬于4.常見集合的符號表示數集自然數集正整數集整數集有理數集實數集復數集符號或二： 集合間的基本關系 表示關系 文字語言符號語言相等集合A與集合B中的所有元素都相同且子集A中任意一元素均為B中的元素或真子集A中任意一元素均為B中的元素，且B中至少有一元素不是A的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，（）三：集合的基本運算兩個集合的交集:= ;兩個集合的并集: =;設全集是U,集合,則交并補方法:常用數軸或韋恩圖進行集合的交、并、補三種運算.重、難點突破重點：集合元素的特征、集合的三種表示方法、集合的交、并、補三種運算。難點：正確把握集合元素的特征、進行集合的不同表示方法之間的相互轉化，準確進行集合的交、并、補三種運算。重難點：1.集合的概念掌握集合的概念的關鍵是把握集合元素的三大特性，要特別注意集合中元素的互異性，在解題過程中最易被忽視，因此要對結果進行檢驗；2集合的表示法（1）列舉法要注意元素的三個特性；（2）描述法要緊緊抓住代表元素以及它所具有的性質，如、等的差別，如果對集合中代表元素認識不清，將導致求解錯誤： 問題：已知集合（ ） A. ；B. ；C. ；D. 錯解誤以為集合表示橢圓，集合表示直線，由于這直線過橢圓的兩個頂點，于是錯選B正解 C； 顯然，故(3)Venn圖是直觀展示集合的很好方法，在解決集合間元素的有關問題和集合的運算時常用Venn圖。3集合間的關系的幾個重要結論（1）空集是任何集合的子集，即（2）任何集合都是它本身的子集，即（3）子集、真子集都有傳遞性，即若，則4集合的運算性質（1）交集：；，；（2）并集：；，；（3）交、并、補集的關系；熱點考點題型探析考點一：集合的定義及其關系題型1：集合元素的基本特征例1（2008年江西理）定義集合運算：設，則集合的所有元素之和為（ ）A0；B2；C3；D6解題思路根據的定義，讓在中逐一取值，讓在中逐一取值，在值就是的元素解析：正確解答本題,必需清楚集合中的元素，顯然，根據題中定義的集合運算知=，故應選擇D 【名師指引】這類將新定義的運算引入集合的問題因為背景公平，所以成為高考的一個熱點，這時要充分理解所定義的運算即可，但要特別注意集合元素的互異性。題型2：集合間的基本關系例2數集與之的關系是（ ）A；B； C；D解題思路可有兩種思路：一是將和的元素列舉出來，然后進行判斷；也可依選擇支之間的關系進行判斷。解析 從題意看，數集與之間必然有關系，如果A成立，則D就成立，這不可能；同樣，B也不能成立；而如果D成立，則A、B中必有一個成立，這也不可能，所以只能是C【名師指引】新定義問題是高考的一個熱點，解決這類問題的辦法就是嚴格根據題中的定義，逐個進行檢驗，不方便進行檢驗的，就設法舉反例。新題導練 1第二十九屆夏季奧林匹克運動會將于2008年8月8日在北京舉行，若集合A=參加北京奧運會比賽的運動員，集合B=參加北京奧運會比賽的男運動員，集合C=參加北京奧運會比賽的女運動員，則下列關系正確的是（ ） A B. C. D. 解析 D；因為全集為，而=全集=2(2006山東改編）定義集合運算:,設集合,則集合的所有元素之和為 解析18，根據的定義，得到，故的所有元素之和為183(2007湖北改編）設和是兩個集合，定義集合，如果，,那么等于 解析 ；因為，所以4研究集合，之間的關系解析 與，與都無包含關系，而；因為表示的定義域，故；表示函數的值域，；表示曲線上的點集，可見，而與，與都無包含關系考點二：集合的基本運算 例3 設集合，（1） 若，求實數的值；（2）若，求實數的取值范圍若，解題思路對于含參數的集合的運算，首先解出不含參數的集合，然后根據已知條件求參數。解析因為，（1）由知，從而得，即，解得或當時，滿足條件；當時，滿足條件所以或（2）對于集合，由因為，所以當，即時，滿足條件；當，即時，滿足條件；當，即時，才能滿足條件，由根與系數的關系得，矛盾故實數的取值范圍是【名師指引】對于比較抽象的集合，在探究它們的關系時，要先對它們進行化簡。同時，要注意集合的子集要考慮空與不空,不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況.新題導練 6若集合，則是（ ）A. ；B. ；C.；D. 有限集解析 A；由題意知，集合表示函數的值域，故集合；表示函數的值域，故7已知集合，那么集合為（ ）A.；B.；C.；D.解析D；表示直線與直線的交點組成的集合，A、B、C均不合題意。8集合,且,求實數的值.解析 ；先化簡B得, .由于,故或.因此或,解得或.容易漏掉的一種情況是: 的情形,此時.故所求實數的值為.備選例題1：已知，則中的元素個數是（ ）A. ；B. ；C.；D.無窮多個解析選A;集合表示函數的值域,是數集,并且,而集合表示滿足的有序實數對的集合,即表示圓上的點,是點集。所以，集合與集合中的元素均不相同，因而，故其中元素的個數為0誤區(qū)分析在解答過程中易出現直線與圓有兩個交點誤選C；或者誤認為中，而中，從而有無窮多個解而選D。注意，明確集合中元素的屬性（是點集還是數集）是準確進行有關集合運算的前提和關鍵。備選例題2：已知集合和集合各有12個元素，含有4個元素，試求同時滿足下面兩個條件的集合的個數：()，且中含有3個元素；()（表示空集）解法一因為、各有12個元素，含有4個元素，因此，的元素個數是故滿足條件()的集合的個數是上面集合中，還滿足的集合的個數是因此，所求集合的個數是解法二由題目條件可知，屬于而不屬于的元素個數是因此，在中只含有中1個元素的所要求的集合的個數為含有中2個元素的所要求的集合的個數為含有中3個元素的所要求的集合的個數為所以，所求集合的個數是搶分頻道UBA基礎鞏固訓練：1 （09年吳川市川西中學09屆第四次月考）設全集, 則右圖中陰影部分表示的集合為 ( )A；B；C；D解析C；圖中陰影部分表示的集合是，而，故2. （韶關09屆高三摸底考）已知 則=A；B；C；D解析 A；因為，所以3. （蘇州09屆高三調研考）集合的所有子集個數為 解析8；集合的所有子集個數為4.（09年無錫市高三第一次月考）集合中的代表元素設為，集合中的代表元素設為，若且，則與的關系是 解析 或；由子集和交集的定義即可得到結論5(2008年天津)設集合，則的取值范圍是（ ）A；B C或；D或解析A；，所以，從而得綜合提高訓練：6,則下列關系中立的是( ) A; B;C;D解析A；當時，有，即；當時，也恒成立，故，所以7.設，記，則( )A. ; B.; C. ; D. 解析 A；依題意得，所以，故應選A8（09屆惠州第一次調研考）設A、B是非空集合，定義，已知A=，B=，則AB等于（ ）A；B；C；D解析D；，A=0，2，B=（1，），AB=0, ），AB=（1，2，則AB第2講 函數與映射的概念知識梳理1函數的概念(1)函數的定義：設是兩個非空的數集，如果按照某種對應法則，對于集合中的每一個數，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那么這樣的對應叫做從到的一個函數，通常記為(2)函數的定義域、值域在函數中，叫做自變量，的取值范圍叫做的定義域；與的值相對應的值叫做函數值，函數值的集合稱為函數的值域。(2)函數的三要素：定義域、值域和對應法則2映射的概念設是兩個集合，如果按照某種對應法則，對于集合中的任意元素，在集合中都有唯一確定的元素與之對應，那么這樣的單值對應叫做從到的映射，通常記為重、難點突破重點：掌握映射的概念、函數的概念，會求函數的定義域、值域難點：求函數的值域和求抽象函數的定義域重難點：1關于抽象函數的定義域求抽象函數的定義域，如果沒有弄清所給函數之間的關系，求解容易出錯誤問題1：已知函數的定義域為，求的定義域誤解因為函數的定義域為，所以，從而故的定義域是正解因為的定義域為，所以在函數中，從而，故的定義域是即本題的實質是求中的范圍問題2：已知的定義域是，求函數的定義域誤解因為函數的定義域是，所以得到，從而，所以函數的定義域是正解因為函數的定義域是，則，從而所以函數的定義域是即本題的實質是由求的范圍即與中含義不同2 求值域的幾種常用方法（1）配方法：對于（可化為）“二次函數型”的函數常用配方法，如求函數，可變?yōu)榻鉀Q（2）基本函數法：一些由基本函數復合而成的函數可以利用基本函數的值域來求，如函數就是利用函數和的值域來求。（3）判別式法：通過對二次方程的實根的判別求值域。如求函數的值域由得，若，則得，所以是函數值域中的一個值；若，則由得，故所求值域是（4）分離常數法：常用來求“分式型”函數的值域。如求函數的值域，因為，而，所以，故（5）利用基本不等式求值域：如求函數的值域當時，；當時，若，則若，則，從而得所求值域是（6）利用函數的單調性求求值域：如求函數的值域因，故函數在上遞減、在上遞增、在上遞減、在上遞增，從而可得所求值域為（7）圖象法：如果函數的圖象比較容易作出，則可根據圖象直觀地得出函數的值域（求某些分段函數的值域常用此法）。熱點考點題型探析考點一：判斷兩函數是否為同一個函數例1 試判斷以下各組函數是否表示同一函數？（1），；（2），（3），（nN*）；（4），；（5），解題思路要判斷兩個函數是否表示同一個函數，就要考查函數的三要素。解析 （1）由于，故它們的值域及對應法則都不相同，所以它們不是同一函數.（2）由于函數的定義域為，而的定義域為R，所以它們不是同一函數.（3）由于當nN*時，2n1為奇數，它們的定義域、值域及對應法則都相同，所以它們是同一函數.（4）由于函數的定義域為，而的定義域為，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數.（5）函數的定義域、值域和對應法則都相同，所以它們是同一函數.答案（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函數【名師指引】構成函數的三個要素是定義域、對應關系和值域由于值域是由定義域和對應關系確定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數為同一函數。第（5）小題易錯判斷成它們是不同的函數。原因是對函數的概念理解不透，在函數的定義域及對應法則f不變的條件下，自變量變換字母對于函數本身并無影響，比如，都可視為同一函數.新題導練 1(2009佛山) 下列函數中與函數相同的是( )A .y = ()2 ; B. y = ; C. y = ; D. y=解析 B；因為y = ，所以應選擇B2(09年重慶南開中學)與函數的圖象相同的函數是 （ ）A.；B.；C.； D.解析 C；根據對數恒等式得，且函數的定義域為，故應選擇C考點二：求函數的定義域、值域題型1：求有解析式的函數的定義域例2.（08年湖北）函數的定義域為( )A.;B.；C. ;D. 解題思路函數的定義域應是使得函數表達式的各個部分都有意義的自變量的取值范圍。解析欲使函數有意義，必須并且只需，故應選擇 【名師指引】如沒有標明定義域，則認為定義域為使得函數解析式有意義的的取值范圍，實際操作時要注意：分母不能為0； 對數的真數必須為正；偶次根式中被開方數應為非負數；零指數冪中，底數不等于0；負分數指數冪中，底數應大于0；若解析式由幾個部分組成，則定義域為各個部分相應集合的交集；如果涉及實際問題，還應使得實際問題有意義，而且注意：研究函數的有關問題一定要注意定義域優(yōu)先原則，實際問題的定義域不要漏寫。題型2：求抽象函數的定義域例3（2006湖北）設，則的定義域為（ ）A. ；B. ；C. ；D. 解題思路要求復合函數的定義域，應先求的定義域。解析由得，的定義域為，故解得。故的定義域為.選B.【名師指引】求復合函數定義域,即已知函數的定義為，則函數的定義域是滿足不等式的x的取值范圍；一般地，若函數的定義域是，指的是，要求的定義域就是時的值域。題型3；求函數的值域例4已知函數，若恒成立，求的值域解題思路應先由已知條件確定取值范圍，然后再將中的絕對值化去之后求值域解析依題意，恒成立，則，解得，所以，從而，所以的值域是【名師指引】求函數的值域也是高考熱點，往往都要依據函數的單調性求函數的最值。新題導練 3.（2008安徽文、理）函數的定義域為 解析 ；由解得4定義在上的函數的值域為，則函數的值域為( )A；B；C；D無法確定 解析 B；函數的圖象可以視為函數的圖象向右平移一個單位而得到，所以，它們的值域是一樣的5(2008江西改) 若函數的定義域是，則函數的定義域是 解析 ；因為的定義域為，所以對，但故6(2008江西理改)若函數的值域是，則函數的值域是 解析 ；可以視為以為變量的函數，令，則，所以，在上是減函數，在上是增函數，故的最大值是，最小值是2考點三：映射的概念例5 （06陜西）為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密規(guī)則為：明文對應密文例如，明文對應密文當接收方收到密文時，則解密得到的明文為（ ）A；B；C；D解題思路 密文與明文之間是有對應規(guī)則的，只要按照對應規(guī)則進行對應即可。解析 當接收方收到密文14，9，23，28時，有，解得，解密得到的明文為C【名師指引】理解映射的概念，應注意以下幾點：（1）集合A、B及對應法則f是確定的，是一個整體系統(tǒng)；（2）對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從集合B到集合A的對應關系一般是不同的；（3）集合A中每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，這是映射區(qū)別于一般對應的本質特征；（4）集合A中不同元素，在集合B中對應的象可以是同一個；（5）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象.新題導練 7集合A=3，4，B=5，6，7，那么可建立從A到B的映射個數是_，從B到A的映射個數是_.解析 9 , 8；從A到B可分兩步進行：第一步A中的元素3可有3種對應方法（可對應5或6或7），第二步A中的元素4也有這3種對應方法.由乘法原理，不同的映射種數N1339.反之從B到A，道理相同，有N22228種不同映射.8若f :y=3x+1是從集合A=1，2，3，k到集合B=4，7，a4，a2+3a的一個映射，求自然數a、k的值及集合A、B.解析 a=2，k=5，A=1，2，3，5，B=4，7，10，16；f（1）=31+1=4，f（2）=32+1=7，f（3）=33+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定義知（1）或（2） aN，方程組（1）無解.解方程組（2），得a=2或a=5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5.A=1，2，3，5，B=4，7，10，16.備選例題：（03年上海）已知集合是滿足下列性質的函數的全體：存在非零常數，對任意，有成立。（1）函數是否屬于集合？說明理由；（2）設函數的圖象與的圖象有公共點，證明： 解析（1）對于非零常數T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因為對任意xR，x+T= Tx不能恒成立，所以f(x)=（2）因為函數f(x)=ax（a0且a1）的圖象與函數y=x的圖象有公共點，所以方程組：有解，消去y得ax=x,顯然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常數T，使aT=T. 于是對于f(x)=ax有 故f(x)=axM.搶分頻道基礎鞏固訓練：1(2007廣東改編) 已知函數的定義域為，的定義域為，則 解析 ；因為,故2函數的定義域是 解析 ；由得到3函數的值域是 解析；由知，從而得，而，所以，即4（廣東從化中學09屆月考）從集合A到B的映射中,下列說法正確的是( )AB中某一元素的原象可能不只一個；BA中某一元素的象可能不只一個CA中兩個不同元素的象必不相同； DB中兩個不同元素的原象可能相同解析A；根據映射的定義知可排除B、C、D5（深圳中學09屆高三第一學段考試）下列對應法則中，構成從集合A到集合的映射是ABCD解析D；根據映射的定義知，構成從集合A到集合的映射是D6（09年執(zhí)信中學）若函數的定義域為,值域為，則的取值范圍是（ ）A；B； C；D解析B；因為函數即為，其圖象的對稱軸為直線，其最小值為，并且當及時，若定義域為，值域為，則綜合提高訓練：8（05天津改）設函數，則函數的定義域是 解析 ；由得，的定義域為。故解得或。9設函數的定義域是(是正整數)，那么的值域中共有 個整數解析；因為，可見，在(是正整數)上是增函數，又所以，在的值域中共有個整數第3講 函數的表示方法知識梳理一、函數的三種表示法：圖象法、列表法、解析法1圖象法：就是用函數圖象表示兩個變量之間的關系；2列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數關系；3解析法：就是把兩個變量的函數關系，用等式來表示。二、分段函數 在自變量的不同變化范圍中，對應法則用不同式子來表示的函數稱為分段函數。重、難點突破重點：掌握函數的三種表示法-圖象法、列表法、解析法，分段函數的概念難點：分段函數的概念，求函數的解析式重難點：掌握求函數的解析式的一般常用方法：（1）若已知函數的類型（如一次函數、二次函數），則用待定系數法；（2）若已知復合函數的解析式，則可用換元法或配湊法；問題1已知二次函數滿足，求方法一：換元法令，則，從而所以方法二：配湊法因為所以方法三：待定系數法因為是二次函數，故可設，從而由可求出，所以（3）若已知抽象函數的表達式，則常用解方程組消參的方法求出問題2：已知函數滿足，求因為以代得由聯立消去得熱點考點題型探析考點1：用圖像法表示函數例1 （09年廣東南海中學）一水池有個進水口, 個出水口,一個口的進、出水的速度如圖甲、乙所示.某天點到點,該水池的蓄水量如圖丙所示給出以下個論斷：進水量 出水量 蓄水量 甲 乙 丙（1）點到點只進水不出水；（2）點到點不進水只出水；（3）點到點不進水不出水則一定不正確的論斷是 (把你認為是符合題意的論斷序號都填上) . 解題思路根據題意和所給出的圖象，對三個論斷進行確認即可。解析由圖甲知，每個進水口進水速度為每小時1個單位，兩個進水口1個小時共進水2個單位，3個小時共進水6個單位，由圖丙知正確；而由圖丙知，3點到4點應該是有一個進水口進水，出水口出水，故錯誤；由圖丙知，4點到6點可能是不進水不出水，也可能是兩個進水口都進水，同時出水口也出水，故不一定正確。從而一定不正確的論斷是（2）【名師指引】象這類給出函數圖象讓考生從圖象獲取信息的問題是目前高考的一個熱點，它要求考生熟悉基本的函數圖象特征，善于從圖象中發(fā)現其性質。高考中的熱點題型是“知式選圖”和“知圖選式”。新題導練1(05遼寧改)一給定函數的圖象在下列圖中，并且對任意，由關系式得到的數列滿足，則該函數的圖象是（ ）A B C D 解析 A.；令，則等價于，是由點組成，而又知道，所以每各點都在y=x的上方。2(2005湖北)函數的圖象大致是( )解析 D；當時，可以排除A和C；又當時，可以排除B考點2：用列表法表示函數例2 （07年北京）已知函數，分別由下表給出123131123321則的值為；滿足的的值是解題思路這是用列表的方法給出函數，就依照表中的對應關系解決問題。解析由表中對應值知=；當時，不滿足條件當時，滿足條件，當時，不滿足條件，滿足的的值是【名師指引】用列表法表示函數具有明顯的對應關系，解決問題的關鍵是從表格發(fā)現對應關系，用好對應關系即可。新題導練3（09年山東梁山）設f、g都是由A到A的映射，其對應法則如下表（從上到下）：映射f的對應法則是表1原象1234象3421映射g的對應法則是表2原象1234象4312 則與相同的是（ ）A；B；C；D解析 A；根據表中的對應關系得，4（04年江蘇改編）二次函數（R）的部分對應值如下表：3210123460466406則不等式的解集是 解析 ；由表中的二次函數對應值可得，二次方程的兩根為2和3，又根據且可知，所以不等式的解集是考點3：用解析法表示函數題型1：由復合函數的解析式求原來函數的解析式例3 （04湖北改編）已知=，則的解析式可取為 解題思路這是復合函數的解析式求原來函數的解析式，應該首選換元法解析 令，則， .故應填【名師指引】求函數解析式的常用方法有： 換元法（ 注意新元的取值范圍）； 待定系數法（已知函數類型如：一次、二次函數、反比例函數等）；整體代換（配湊法）；構造方程組（如自變量互為倒數、已知為奇函數且為偶函數等）。題型2：求二次函數的解析式 例4 （普寧市城東中學09屆高三第二次月考）二次函數滿足，且。求的解析式；在區(qū)間上，的圖象恒在的圖象上方，試確定實數的范圍。解題思路（1）由于已知是二次函數，故可應用待定系數法求解；（2）用數表示形，可得求對于恒成立，從而通過分離參數，求函數的最值即可。解析設，則與已知條件比較得：解之得，又，由題意得：即對恒成立，易得【名師指引】如果已知函數的類型，則可利用待定系數法求解；通過分離參數求函數的最值來獲得參數的取值范圍是一種常用方法。新題導練5（06全國卷二改編）若，則 解析 ；所以,因此6（09年潮州金山中學）設是一次函數，若且成等比數列，則 ；解析；設，由得，從而又由成等比數列得，解得所以，7（華僑中學09屆第3次月考（09年中山）設 ，又記則 （ ）A；B；C；D；解析 C；由已知條件得到，可見，是以4為周期的函數，而，所以，8設二次函數滿足,且其圖象在y軸上的截距為1，在x軸上截得的線段長為，求的解析式。解析 ；設f(x)=ax2+bx+c，由f(x)滿足f(x2)=f(x2)，可得函數y=f(x)的對稱軸為x=2，所以由y=f(x)圖象在y軸上的截距為1，可得，即c=1由y=f(x) 圖象在x軸上截得的線段長為，可得所以聯立方程組，可解得所以f(x)=.考點4：分段函數題型1：根據分段函數的圖象寫解析式例5 (07年湖北)為了預防流感，某學校對教室用藥物消毒法進行消毒。已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中含藥量y（毫克）與時間t（小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數關系式為（a為常數），如圖所示，根據圖中提供的信息，回答下列問題：（）從藥物釋放開媽，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）之間的函數關系式為 ；（）據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經過 小時后，學生才能回到教室。思路點撥根據題意，藥物釋放過程的含藥量y（毫克）與時間t是一次函數，藥物釋放完畢后，y與t的函數關系是已知的，由特殊點的坐標確定其中的參數，然后再由所得的表達式解決（）解析 （）觀察圖象，當時是直線，故；當時，圖象過所以，即，所以（），所以至少需要經過小時【名師指引】分段函數的每一段一般都是由基本初等函數組成的，解決辦法是分段處理。題型2：由分段函數的解析式畫出它的圖象例6 (2006上海)設函數，在區(qū)間上畫出函數的圖像。思路點撥需將來絕對值符號打開，即先解，然后依分界點將函數分段表示，再畫出圖象。解析 ,如右上圖.【名師指引】分段函數的解決辦法是分段處理，要注意分段函數的表示方法，它是用聯立符號將函數在定義域的各個部分的表達式依次表示出來，同時附上自變量的各取值范圍。新題導練9（09年潮州金山中學）已知函數，則 解析 2；由已知得到10（06山東改編）設則不等式的解集為 解析 ；當時，由得，得當時，由得，得備選例題1： (2005江西)已知函數（a，b為常數）且方程f(x)x+12=0有兩個實根為x1=3, x2=4.（1）求函數f(x)的解析式；（2）設k1，解關于x的不等式；解析（1）將得（2）不等式即為即當當.備選例題2：（06重慶）已知定義域為R的函數滿足 （I）若，求;又若，求; （II）設有且僅有一個實數，使得，求函數的解析表達式 搶分頻道基礎鞏固訓練：1（09年廣州高三年級第一學期中段考）函數的圖象如圖2所示.觀察圖象可知函數的定義域、值域分別是（ ）O-52625圖2A.,；B. C.,；D.解析 C；由圖象可以看出，應選擇C2（09年惠州第一次調研考）某工廠從2000年開始，近八年以來生產某種產品的情況是：前四年年產量的增長速度越來越慢，后四年年產量的增長速度保持不變，則該廠這種產品的產量與時間的函數圖像可能是（ ）48yot48yot48yot48yot解析 B；前四年年產量的增長速度越來越慢，知圖象的斜率隨x的變大而變小，后四年年產量的增長速度保持不變，知圖象的斜率不變，選B3（2004湖南改編）設函數若,則關于的方程的解的個數為 解析 3；由,可得，從而方程等價于或，解得到或，從而得方程的解的個數為34（05江蘇）已知為常數，若，則= 解析 2；因為，所以又，所以，解得或，所以5對記，函數的最小值是（ ）A.；B. ；C.；D.解析 C；作出和的圖象即可得到函數的最小值是6（中山市09屆高三統(tǒng)測）已知函數 其中， 。作出函數的圖象；解析 函數圖象如下：說明：圖象過、點；在區(qū)間上的圖象為上凸的曲線段；在區(qū)間上的圖象為直線段綜合提高訓練：7（09年惠州第二次調研考）如圖，動點在正方體的對角線上過點作垂直于平面的直線，與正方體表面相交于設，則函數的圖象大致是（ ）ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO解析 B；過點作垂直于平面的直線，當點運動時，線與正方體表面相交于兩點形成的軌跡為平行四邊形，可以看出與的變化趨勢是先遞增再遞減，并且在的中點值時取最大8（06重慶）如圖所示，單位圓中的長為，與弦AB所圍成的弓形面積的2倍，則函數的圖像是（ ）解析 D；如圖所示，單位圓中的長為，與弦AB所圍成的弓形面積的2倍，當的長小于半圓時，函數的值增加的越來越快，當的長大于半圓時，函數的值增加的越來越慢，所以函數的圖像是D. 9（06福建）已知是二次函數，不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在實數使得方程在區(qū)間內有且只有兩個不等的實數根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。解析（I）是二次函數，且的解集是可設在區(qū)間上的最大值是，由已知，得（II）方程等價于方程設則當時，是減函數；當時，是增函數。方程在區(qū)間內分別有惟一實數根，而在區(qū)間內沒有實數根，所以存在惟一的自然數使得方程在區(qū)間內有且只有兩個不同的實數根。第4講 函數的單調性與最值知識梳理函數的單調性定義：設函數的定義域為，區(qū)間 如果對于區(qū)間內的任意兩個值，當時，都有，那么就說在區(qū)間上是單調增函數，稱為的單調增區(qū)間如果對于區(qū)間內的任意兩個值，當時，都有，那么就說在區(qū)間上是單調減函數，稱為的單調減區(qū)間如果用導數的語言來，那就是：設函數，如果在某區(qū)間上，那么為區(qū)間上的增函數；如果在某區(qū)間上，那么為區(qū)間上的減函數；1 函數的最大（小）值設函數的定義域為如果存在定值，使得對于任意，有恒成立，那么稱為的最大值；如果存在定值，使得對于任意，有恒成立，那么稱為的最小值。重、難點突破重點：掌握求函數的單調性與最值的方法難點：函數單調性的理解，尤其用導數來研究函數的單調性與最值重難點：1.對函數單調性的理解（1） 函數的單調性只能在函數的定義域內來討論,所以求函數的單調區(qū)間,必須先求函數的定義域；（2）函數單調性定義中的，有三個特征：一是任意性；二是大小，即；三是同屬于一個單調區(qū)間，三者缺一不可；（3）若用導數工具研究函數的單調性，則在某區(qū)間上（）僅是為區(qū)間上的增函數（減函數）的充分不必要條件。（4）關于函數的單調性的證明，如果用定義證明在某區(qū)間上的單調性，那么就要用嚴格的四個步驟，即取值；作差；判號；下結論。但是要注意，不能用區(qū)間上的兩個特殊值來代替。而要證明在某區(qū)間上不是單調遞增的，只要舉出反例就可以了，即只要找到區(qū)間上兩個特殊的，若，有即可。如果用導數證明在某區(qū)間上遞增或遞減，那么就證明在某區(qū)間上或。（5）函數的單調性是對某個區(qū)間而言的，所以受到區(qū)間的限制，如函數分別在和內都是單調遞減的，但是不能說它在整個定義域即內是單調遞減的，只能說函數的單調遞減區(qū)間為和（6）一些單調性的判斷規(guī)則：若與在定義域內都是增函數（減函數），那么在其公共定義域內是增函數（減函數）。復合函數的單調性規(guī)則是“異減同增”2函數的最值的求法（1）若函數是二次函數或可化為二次函數型的函數，常用配方法。（2）利用函數的單調性求最值：先判斷函數在給定區(qū)間上的單調性，然后利用函數的單調性求最值。（3）基本不等式法：當函數是分式形式且分子分母不同次時常用此法（但有注意等號是否取得）。（4）導數法：當函數比較復雜時，一般采用此法（5）數形結合法：畫出函數圖象，找出坐標的范圍或分析條件的幾何意義，在圖上找其變化范圍。熱點考點題型探析考點1 函數的單調性題型1：討論函數的單調性 例1 (2008廣東)設,函數.試討論函數的單調性.解題思路分段函數要分段處理，由于每一段都是基本初等函數的復合函數，所以應該用導數來研究。解析: 因為,所以. (1)當x0， 當時，在上恒成立，故F(x)在區(qū)間上單調遞增； 當時，令，解得， 且當時，；當時， 故F(x)在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增；(2)當x1時， x-10， 當時，在上恒成立，故F(x)在區(qū)間上單調遞減； 當時，令，解得，且當時，；當時，故F(x)在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增；綜上得，當k=0時，F(x)在區(qū)間上單調遞增，F(x)在區(qū)間上單調遞減；當k0時，F(x)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增；當時，F(x)在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減.【名師指引】求函數的單調區(qū)間或研究函數的單調性是高考的一個熱點，分段落函數用注意分段處理.題型2：研究抽象函數的單調性例2 定義在R上的函數，當x0時，且對任意的a、bR，有f（a+b）=f（a）f（b）.（1）求證：f（0）=1；（2）求證：對任意的xR，恒有f（x）0；（3）求證：f（x）是R上的增函數；（4）若f（x）f（2xx2）1，求x的取值范圍.解題思路抽象函數問題要充分利用“恒成立”進行“賦值”，從關鍵等式和不等式的特點入手。解析（1）證明：令a=b=0，則f（0）=f 2（0）.又f（0）0，f（0）=1.（2）證明：當x0時，x0，f（0）=f（x）f（x）=1.f（x）=0.又x0時f（x）10，xR時，恒有f（x）0.（3）證明：設x1x2，則x2x10.f（x2）=f（x2x1+x1）=f（x2x1）f（x1）.x2x10，f（x2x1）1.又f（x1）0，f（x2x1）f（x1）f（x1）.f（x2）f（x1）.f（x）是R上的增函數.（4）解：由f（x）f（2xx2）1，f（0）=1得f（3xx2）f（0）.又f（x）是R上的增函數，3xx20.0x3.【名師指引】解本題的關鍵是靈活應用題目條件，尤其是（3）中“f（x2）=f（x2x1）+x1”是證明單調性的關鍵，這里體現了向條件化歸的策略.新題導練1（珠海北大希望之星實驗學校09屆高三）函數的單調遞減區(qū)間是（ ）A; B; C; D 解析 C；由得，又由知函數在上是減函數，根據復合函數的單調性知函數的單調遞減區(qū)間是2（東皖高級中學09屆高三月考）函數的單調增區(qū)間為（ ）A；B；C；D解析 D；由得或，又函數在上是減函數，在上是減函數，所以函數的單調增區(qū)間為3. (2008全國卷)已知函數，（）討論函數的單調區(qū)間；（）設函數在區(qū)間內是減函數，求的取值范圍解析 （1）；（2）（1）求導：當時，在上遞增當，求得兩根為即在遞增，遞減，遞增（2），且解得：考點2 函數的值域（最值）的求法題型1：求分式函數的最值例3 （2000年上海）已知函數當時，求函數的最小值； 解題思路當時，這是典型的“對鉤函數”，欲求其最小值，可以考慮均值不等式或導數；解析當時，。在區(qū)間上為增函數。在區(qū)間上的最小值為。【名師指引】對于函數若，則優(yōu)先考慮用均值不等式求最小值，但要注意等號是否成立，否則會得到而認為其最小值為，但實際上，要取得等號，必須使得，這時所以，用均值不等式來求最值時，必須注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立問題常轉化為求函數的最值。本題考查求函數的最小值的三種通法：利用均值不等式，利用函數單調性，二次函數的配方法，考查不等式恒成立問題以及轉化化歸思想；題型2：利用函數的最值求參數的取值范圍例4 （2000年上海）已知函數若對任意恒成立,試求實數的取值范圍。解題思路 欲求參數的取值范圍，應從恒成立的具體情況開始。解析在區(qū)間上恒成立；在區(qū)間上恒成立；在區(qū)間上恒成立；函數在區(qū)間上的最小值為3， 即【名師指引】這里利用了分離參數的方法，將問題轉化為求函數的最值。題型3：求三次多項式函數的最值 例5（09年高州中學）已知為實數，函數，若，求函數在上的最大值和最小值。解題思路求三次多項式函數在閉區(qū)間上的最值，應該用導數作為工具來研究其單調性。解析， 3分 4分 得：當 5分當 6分因此，在區(qū)間內單調遞減，而在內單調遞減，且又 ，10分【名師指引】用導數來研究其單調性和最值是高考考查的重點和熱點，同時也是難點，要求考生熟練掌握用導數來研究其單調性和最值的方法和步驟。新題導練4.（09年廣東南海）若函數的最大值與最小值分別為M,m，則M+m = 解析 6；由知在上是增函數又因為函數是奇函數，所以函數是增函數，故M+m=5.（高州中學09屆模擬）已知函數。 （）若為奇函數，求的值； （）若在上恒大于0，求的取值范圍。解析（）；（）的取值范圍為（）的定義域關于原點對稱若為奇函數，則 （）在上在上單調遞增在上恒大于0只要大于0即可,若在上恒大于0，的取值范圍為備選例題：（06年重慶）已知定義域為的函數是奇函數。（）求的值；（）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；解析（）因為是奇函數，所以，即又由知（）解法一由（）知，易知在上為減函數。又因是奇函數，從而不等式： 等價于，因為減函數，由上式推得：即對一切有：，從而判別式解法二由（）知又由題設條件得：，即，整理得上式對一切均成立，從而判別式搶分頻道基礎鞏固訓練：1（華師附中09高三數學訓練題）若函數在區(qū)間上為減函數，則實數的取值范圍是（ ）A.；B.；C.；D.解析 C；因為，由其圖象知，若函數在區(qū)間上為減函數，則應有2（普寧市城東中學09）若函數在上是增函數，則實數的取值范圍是（ ）A；B； C；D解析 A；若函數在上是增函數，則對于恒成立，即對于恒成立，而函數的最大值為，實數的取值范圍是3（09汕頭金中）下列四個函數中，在區(qū)間上為減函數的是（ ）A；B；C；D 解析 C；顯然在上是增函數，在上也是增函數而對求導得，對于，所以在區(qū)間上為增函數，從而應選擇C4（09潮州金山中學）已知函數，若存在實數，當時，恒成立，則實數的最大值是（ ）A1；B2；C3；D4解析 D；依題意，應將函數向右平行移動得到的圖象，為了使得在上，的圖象都在直線的下方，并且讓取得最大，則應取，這