引 力 場 研 究[文檔資料]

引 力 場 研 究 本文檔格式為 WORD,感謝你的閱讀。 物理規(guī)律的和諧、統(tǒng)一是科學(xué)美的體現(xiàn)，是眾多科學(xué)家畢生追求的目標(biāo) .萬有引力相互作用與電磁相互作用的統(tǒng)一至今依然是 “ 大統(tǒng)一 ” 理論構(gòu)建的最大障礙 .然而，我們似乎可以從很多方面尋覓到這種 “ 統(tǒng)一 ” 的影子，萬有引力與庫侖力的相似性看起來并不是偶然那么簡單 .透過場的視點，我們發(fā)現(xiàn)傳遞電磁相互作用的場與傳遞引力作用的場也是極其相似的，研究這種相似性應(yīng)該有助于深刻理解引力相互作用與電磁相互作用的關(guān)系 . 1 引力場強(qiáng)度 萬有引力定律可表達(dá)為 F=-GMmr3r(1) 類比電場，將質(zhì)量為 m 的質(zhì)點引入質(zhì)點 M 周圍的引力場，將場中與 M 距離為 r 的點引力場強(qiáng)度定義為 g，則 g=Fm(2) 將 (1)代入 (2)得 g=-GMr3r(3) 考慮質(zhì)點系的場強(qiáng) g=GMir3iri(4) 若空間 x 處存在質(zhì)量分布均勻物體，密度為 (x).在該物體上取體積元 dV ，其質(zhì)量 dM滿足 dM=(x)dV,則源外一點 P 的場強(qiáng)可表示為 gp=-G(x)r3rdV(5) 其中 r 為場源 x 到 P 點的距離，積分遍布整個物體， (5)式即為質(zhì)點引力場強(qiáng)度的計算式 . 2 引力場的高斯定理 如圖 1，作任意包圍質(zhì)點 M 的閉曲面 S,在 S 上距離場源 r 處取定向面元 dS.類比靜電場，將引力場通過 S 的通量定義為 =g #8226；dS, 如果令 dS與 r 的夾角為 ，則 =g #8226；dS=-gcosdS= -GMcosr2dS =-GMd= -4MG, 其中 dScos 為面元投影到以 r 為半徑的球面上的面積， cosdSr2 為面元 dS對質(zhì)點 M 所張的立體角元 d. 上式可精簡為 =g #8226；dS=-4GM(1) 若閉球面 S 包圍的是密度為 的質(zhì)點系， (1)式可以寫成 =g #8226；dS=-4GVdV(2) (1)式和 (2)式就是引力場高斯定理的積分形式 . 如果 S0,V0,(2) 式左邊趨于 #8226；gdV，而右邊趨于 -4GdV. 故 #8226；g=-4G(3) (3)式就是引力場高斯定理的微分形式 .(3)式指出：引力場是有源場，物質(zhì)質(zhì)量是引力之源 .在沒有物質(zhì)質(zhì)量分布的地方 =0 ， #8226；g=0. (3)式還指出：空間某點鄰域上引力場的散度只與該點上的物質(zhì)密度有關(guān)，而與其他地方的物質(zhì)分布無關(guān) . 值得注意的是物質(zhì)密度直接影響引力場在空間的變化率，卻不決定引力場在該點的強(qiáng)弱 . 3 質(zhì)量分布均勻球體的引力場分布 3.1 球外引力場分布 如圖 2，設(shè)均勻球體半徑為 R,密度為 ，質(zhì)量為 M.距離球心 r 作高斯面，由高斯定理有 = g #8226；dS=-4GVdV, 即 = -g4r2= -4G43R3, g=43r2GR3=GMr2(1) (1)式指出，球外一點的場強(qiáng)，跟它到球心的距離的平方成反比，跟場源的質(zhì)量成正比 . 內(nèi)能的轉(zhuǎn)化 . 2.2 對系統(tǒng)整體進(jìn)行分析 將子彈與木塊看做一個系統(tǒng)，對整個系統(tǒng)應(yīng)用動能定理即 (以向右為正 )： (12m0v21+12mv22)-12m0v20=-f(d+s)+fs=fd, 由于摩擦力做功與路徑有關(guān)，所以系統(tǒng)內(nèi)這一對摩擦力所做的功并不能被稱之為勢能 . 從公式可以知道，子彈和木塊所組成的系統(tǒng)中一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化成了內(nèi)能，這部分內(nèi)能的效果即摩擦生熱，其值為 fd，即摩擦力與相對位移的乘積 . 2.3 摩擦生熱中的熱為系統(tǒng)共有 從子彈打木塊這一例子可得知，摩擦中的熱來源于系統(tǒng)機(jī)械能的部分轉(zhuǎn)化 .不過這部分熱是木塊和子彈共享還是只有木塊有熱或者只有子彈有熱呢？ 可以肯定的是，這部分熱一定是二者共享 .因為這部分熱是在子彈與木塊的接觸 面處產(chǎn)生的，然后這些熱再分別傳向子彈與木塊，與子彈木塊誰的摩擦力做功多少是沒關(guān)系的 . 生活中最常見的摩擦力即一物體在粗糙平面上滑動 .粗糙面并沒有位移，及其所受的摩擦力做功為零，但用手去摸粗糙平面會發(fā)現(xiàn)它會有一些熱 .這正是摩擦的熱產(chǎn)生于接觸面，而與誰做功多少無關(guān)的最好實例 . 3.2 球內(nèi)引力場的分布 如圖 3，設(shè)均勻球體半徑為 R,密度為 . 距離球心 r 作高斯面，由高斯定理有 = -g4r2= -4G43r3, g=43Gr(2) (2)式指出，球 內(nèi)一點的引力場強(qiáng)，跟它到球心的距離成正比 . 3.3 質(zhì)量分布均勻的薄球殼空腔內(nèi)的引力場 以球殼的內(nèi)表面為高斯面，由于殼內(nèi)空腔沒有物質(zhì)分布，依據(jù)高斯定理空腔內(nèi)任意點的引力場強(qiáng)均為零 .其引力場分布如圖 4(1). 3.4 質(zhì)量分布均勻球體的引力場分布 綜合 (1)、 (2)兩式，并令 k=43GR3 ， k=43G,得 g=kr2(rR) kr(rR)(3) (3)式可以用圖象表示 (如圖 4(2). 分析 (3)式可以得到如下結(jié)論： 質(zhì)量分布均勻球體內(nèi)部某點的引力場跟該點到球心的距離成正比 . 質(zhì)量分布均勻球體外部某點的引力場跟該點到球心的距離的平方成反比 . 質(zhì)量分布均勻球體中心引力場強(qiáng)度為零 . 質(zhì)量分布均勻球體內(nèi)、外部引力場在球體表面處連續(xù)但不光滑 . 題 1 若已知質(zhì)量均勻分布的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零 .證明：質(zhì)量為 M，半徑為 R 的均勻球體內(nèi)距離球心 r 處的質(zhì)點 m 受球體引力為 f=GMmR3r. 證明由于質(zhì)量均勻分布的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，故 m 相當(dāng)于只受以原球心為中心，半徑為 r 的球 (質(zhì)量設(shè)為 Mr)作用 .即 F=GMrmr2 如果設(shè)球的密度為 ，則 Mr=R3r3 式代入 式得 F=43Gmr=43R3GmR3r=GMmR3r. 4 均勻球體的引力勢的分布及質(zhì)點的引力勢能 類比靜電場電勢定義，如果以無窮遠(yuǎn)處引力勢為零，則可以將引力場中某點 P 的引力勢定義為 p=p g #8226；dl=-pgcosdl(4) (4)式是引力勢的一般定義 .將 (1)、 (2)式代入 (4)式，并用 r 表示積分變數(shù)，則均勻球體的引力場中某點的引力勢為 p= -rGMr2dr= -GMr(rR) -Rr43Grdr -RGMr2dr =-GMR-23G(R2 -r2) =GM2R3r2-3GM2R (rR)(5) 計算容易得出，引力勢在全空間是連續(xù)且光滑的，這也解釋了引力場的在全空間的連續(xù)性 .(5)式可以用圖象表示(如圖 5)，其中 0= -3GM2R. 若將質(zhì)點 m 置于引力場中 P 點，其引力勢能為 EP=mP( 6) 題 2 如果把地球看成半徑為 R，質(zhì)量分布均勻的球體 .假設(shè)沿地球任意直徑安放一光滑管道，將一小球從地面處無初速釋放進(jìn)入管道 .求 : 小球到達(dá)地心時的速度多大？ 小球多長時間到達(dá)地心？ 解析 (1)設(shè)地球質(zhì)量為 M,小球質(zhì)量為 m.根據(jù) (5)式 Ep=GMm2R3r2-3GMm2R. 小球從釋放至到達(dá)地心，勢能減少量為 Ep=GMm2R, 由機(jī)械能守恒定律得 Ep=GMm2R=12mv2. 又 m 在地面時有 GMmR2=mg, 則 v=GMR=gR. (2)根據(jù)題 1 的結(jié)論，小球在距離地心 x 處受引力為 F=GMmR3x=kx, 其中 k=GMmR3.小球?qū)⒁缘匦臑槠胶馕恢米龊喼C運動，其周期為 T=2mk=2mR3GMm =2R3gR2=2Gg, 小球落至地心的時間為 t=T4=2Rg. 5 結(jié)語 由前文分析發(fā)現(xiàn)，引力場與靜電場在基本性質(zhì)方面是