（浙江專版）2018年高中數(shù)學(xué) 階段質(zhì)量檢測（三）空間向量與立體幾何 新人教A版選修2-1.doc

階段質(zhì)量檢測（三） 空間向量與立體幾何(時(shí)間120分鐘滿分150分)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1設(shè)空間向量a(1,2,1)，b(2,2,3)，則ab()a(2,4,3)b(3,4,4)c9 d5解析：選ca(1,2,1)，b(2,2,3)，ab1222139.2設(shè)l1的方向向量為a(1,2，2)，l2的方向向量為b(2,3，m)，若l1l2，則m等于()a1 b2c. d3解析：選b若l1l2，則ab，ab0，1(2)23(2m)0，解得m2.3已知向量i，j，k是一組單位正交向量，m8j3k，ni5j4k，則mn()a7 b20c28 d11解析：選c因?yàn)閙(0,8,3)，n(1,5，4)，所以mn0401228.4已知二面角l的大小為，m，n為異面直線，且m，n，則m，n所成的角為()a. b.c. d.解析：選b設(shè)m，n的方向向量分別為m，n.由m，n知m，n分別是平面，的法向量|cosm，n|cos ，m，n或.但由于兩異面直線所成的角的范圍為，故異面直線m，n所成的角為.5已知空間三點(diǎn)o(0,0,0)，a(1,1,0)，b(0,1,1)在直線oa上有一點(diǎn)h滿足bhoa，則點(diǎn)h的坐標(biāo)為()a(2,2,0) b(2，2,0)c. d.解析：選c由(1,1,0)，且點(diǎn)h在直線oa上，可設(shè)h(，0)，則bh(，1，1)又bhoa，oa0，即(，1，1)(1,1,0)0，即10，解得，h.6如圖，三棱錐sabc中，棱sa，sb，sc兩兩垂直，且sasbsc，則二面角abcs大小的正切值為()a1 b.c. d2解析：選c三棱錐sabc中，棱sa，sb，sc兩兩垂直，且sasbsc，sa平面sbc，且abac，取bc的中點(diǎn)d，連接sd，ad，則sdbc，adbc，則ads是二面角abcs的平面角，設(shè)sasbsc1，則sd，則tanads，故選c.7在空間直角坐標(biāo)系oxyz中，i，j，k分別是x軸、y軸、z軸的方向向量，設(shè)a為非零向量，且a，i45，a，j60，則a，k()a30 b45c60 d90解析：選c如圖所示，設(shè)|a|m(m0)，a，pa平面xoy，則在rtpbo中，|pb|sina，im，在rtpco中，|oc|cosa，j，|ab|，在rtpab中，|pa| ，|od|，在rtpdo中，cosa，k，又0a，k180，a，k60.8.如圖，在正四棱柱abcd a1b1c1d1中，aa12，abbc1，動(dòng)點(diǎn)p，q分別在線段c1d，ac上，則線段pq長度的最小值是()a. b.c. d.解析：選c建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則a(1,0,0)，b(1,1,0)，c(0,1,0)，c1(0,1,2)設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(0，2)，0,1，點(diǎn)q的坐標(biāo)為(1，0)，0,1，pq，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，線段pq的長度取得最小值.二、填空題(本大題共7小題，多空題每空3分，單空題每題4分，共36分)9已知向量a(1,2,3)，b(2，4，6)，|c|，若(ab)c7，則a與c的夾角為_，|a|_.解析：設(shè)向量ab與c的夾角為，因?yàn)閍b(1，2，3)，|ab|，cos ，所以60.因?yàn)橄蛄縜b與a的方向相反，所以a與c的夾角為120，|a|.答案：12010已知a(3，6，6)，b(1,3,2)為兩平行平面的法向量，則_，a的同向單位向量為_解析：由題意知ab，解得2.a(6,6,8)，|a|2，a的同向單位向量為.答案：211若a(2,3，1)，b(2,1,3)，則ab_.以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為_解析：ab(4,2，4)，cosa，b，得sina，b，則s|a|b|sina，b6.答案：(4,2，4)612在長方體abcda1b1c1d1中，底面是邊長為2的正方形，高為4，則點(diǎn)a1到截面ab1d1的距離為_，三棱錐aa1b1d1的體積為_解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則a(2,0,0)，b1(2,2,4)，d1(0,0,4)，a1(2,0,4)，(0,2,4)，(2,0,4)，(0,0,4)設(shè)平面ab1d1的法向量n(x，y，z)，則即令x2，得n(2，2,1)所以a1到平面ab1d1的距離為d.vaa1b1d1224.答案：13三棱柱abca1b1c1中，底面abc為正三角形，側(cè)棱長等于底面邊長，a1在底面的射影是abc的中心，則ab1與底面abc所成角的正弦值等于_解析：如圖，設(shè)a1在底面abc內(nèi)的射影為o，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)abc邊長為1，則a，b1，.又平面abc的法向量n(0,0,1)，則ab1與底面abc所成角的正弦值為sin |cos，n|.答案：14在平行六面體abcd a1b1c1d1中，若a2b3c，則abc_.解析：a2b3c，a1，b，c.abc.答案：15如圖，在矩形abcd中，ab3，bc1，efbc且ae2eb，g為bc的中點(diǎn)，k為af的中點(diǎn)沿ef將矩形折成120的二面角aefb，此時(shí)kg的長為_解析：如圖，過k作kmef，垂足m為ef的中點(diǎn)，則向量與的夾角為120，60.又，211211cos 603.|.答案：三、解答題(本大題共6小題，共74分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)16(本小題滿分14分)已知a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)ab，bc，求：(1)a，b，c；(2)ac與bc夾角的余弦值解：(1)因?yàn)閍b，所以，解得x2，y4，則a(2,4,1)，b(2，4，1)又bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2,2)(2)由(1)得ac(5,2,3)，bc(1，6,1)，設(shè)ac與bc夾角為，因此cos .17(本小題滿分15分)如圖，在四棱錐pabcd中，pd底面abcd，底面abcd為正方形，pddc，e，f分別是ab，pb的中點(diǎn)(1)求證：efcd；(2)求db與平面def所成角的正弦值解：(1)證明：以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，da，dc，dp所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖設(shè)ada，則d(0,0,0)，a(a,0,0)，b(a，a,0)，c(0，a,0)，e，p(0,0，a)，f.(0，a,0)0.，efcd.(2)設(shè)平面def的法向量為n(x，y，z)，則即即取x1，則y2，z1，n(1，2,1)，cos，n.設(shè)db與平面def所成角為，則sin .18(本小題滿分15分)已知四棱錐pabcd的底面是直角梯形，abdc，dab90，pd底面abcd，且pddacd2ab2，m點(diǎn)為pc的中點(diǎn)(1)求證：bm平面pad；(2)在平面pad內(nèi)找一點(diǎn)n，使mn平面pbd.解：(1)證明：pd底面abcd，cdab，cdad.以d為原點(diǎn)，da，dc，dp分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)由于pdcdda2ab2，所以d(0,0,0)，a(2,0,0)，b(2,1,0)，c(0,2,0)，p(0,0,2)，m(0,1,1)，(2,0,1)，(0,2,0)，平面pad，是平面pad的法向量，且0，又bm平面pad.bm平面pad.(2)設(shè)n(x,0，z)是平面pad內(nèi)一點(diǎn)，則(x，1，z1)，(0,0,2)，(2,1,0)，若mn平面pbd，則即在平面pad內(nèi)存在點(diǎn)n，使mn平面pbd.19.(本小題滿分15分)四棱錐pabcd中，pd底面abcd，adbc，acdb，cad60，ad2，pd1.(1)證明：acbp；(2)求二面角capd的平面角的余弦值解：(1)證明：pd底面abcd，ac平面abcd，acpd.又acbd，bdpdd.ac平面pbd，又bp平面pbd，acbp.(2)設(shè)acbdo，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，od，oa所在直線分別為x軸，y軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系oxyz，則o(0,0,0)，d(，0,0)，a(0,1,0)，p(，0,1)，(0,1,0)，(，0,1)，(，1,0)，(0,0,1)設(shè)平面acp的法向量m(x1，y1，z1)，平面adp的法向量n(x2，y2，z2)，由得取x11，則m(1,0，)同理，由得n(1，0)cosm，n.二面角capd的平面角的余弦值為.20.(本小題滿分15分)(2016浙江高考)如圖，在三棱臺(tái)abcdef中，平面bcfe平面abc，acb90，beeffc1，bc2，ac3.(1)求證：bf平面acfd；(2)求二面角badf的平面角的余弦值解：(1)證明：延長ad，be，cf相交于一點(diǎn)k，如圖所示因?yàn)槠矫鎎cfe平面abc，平面bcfe平面abcbc，且acbc，所以ac平面bcfe，又因?yàn)閎f平面bcfe，因此bfac.又因?yàn)閑fbc，beeffc1，bc2，所以bck為等邊三角形，且f為ck的中點(diǎn)，則bfck.又acckc，所以bf平面acfd.(2)法一：過點(diǎn)f作fqak于q，連接bq.因?yàn)閎f平面acfd，所以bfak，則ak平面bqf，所以bqak.所以bqf是二面角badf的平面角在rtack中，ac3，ck2，得ak，fq.在rtbqf中，fq，bf，得cosbqf.所以二面角badf的平面角的余弦值為.法二：取bc的中點(diǎn)o，連接ko，則kobc.又平面bcfe平面abc，所以ko平面abc.以點(diǎn)o為原