3振動(dòng)與波習(xí)題思考題.doc

習(xí)題33-1原長(zhǎng)為的彈簧，上端固定，下端掛一質(zhì)量為的物體，當(dāng)物體靜止時(shí)，彈簧長(zhǎng)為現(xiàn)將物體上推，使彈簧縮回到原長(zhǎng)，然后放手，以放手時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，取豎直向下為正向，寫(xiě)出振動(dòng)式。（g取9.8）解：振動(dòng)方程：，在本題中，所以； 。取豎直向下為x正向，彈簧伸長(zhǎng)為0.1m時(shí)為物體的平衡位置，所以如果使彈簧的初狀態(tài)為原長(zhǎng)，那么：A=0.1m， 當(dāng)t=0時(shí)，x=-A，那么就可以知道物體的初相位為。所以： 即：。3-2有一單擺，擺長(zhǎng)，小球質(zhì)量，時(shí)，小球正好經(jīng)過(guò)處，并以角速度向平衡位置運(yùn)動(dòng)。設(shè)小球的運(yùn)動(dòng)可看作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，試求：（1）角頻率、頻率、周期；（2）用余弦函數(shù)形式寫(xiě)出小球的振動(dòng)式。（g取9.8）解：振動(dòng)方程： 我們只要按照題意找到對(duì)應(yīng)的各項(xiàng)就行了。（1）角頻率：，頻率： ，周期：；（2）振動(dòng)方程可表示為：，根據(jù)初始條件，時(shí)：，可解得：，所以得到振動(dòng)方程： 。3-3一質(zhì)點(diǎn)沿軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為，周期為。當(dāng)時(shí)，位移為，且向軸正方向運(yùn)動(dòng)。求：（1）振動(dòng)表達(dá)式；（2）時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度；（3）如果在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于，且向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，求從該位置回到平衡位置所需要的時(shí)間。解：（1）由題已知 A=0.12m，T=2 s ， 又t=0時(shí)，由旋轉(zhuǎn)矢量圖，可知：故振動(dòng)方程為：； （2）將t=0.5 s代入得：，方向指向坐標(biāo)原點(diǎn)，即沿x軸負(fù)向；（3）由題知，某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于，且向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，如圖示，質(zhì)點(diǎn)從位置回到平衡位置處需要走，建立比例式：，有： 。3-4兩質(zhì)點(diǎn)作同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅相等。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)1在 處，且向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)2在 處，且向右運(yùn)動(dòng)。求這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位相差。解：由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)1在 處，且向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，相位為，而質(zhì)點(diǎn)2在 處，且向右運(yùn)動(dòng)，相位為。所以它們的相位差為。3-5當(dāng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移為振幅的一半時(shí)，其動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的多少？物體在什么位置時(shí)其動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的一半？解：由，有：，（1）當(dāng)時(shí)，由，有：，；（2）當(dāng)時(shí)，有：，。3-6兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線(如圖所示) （1）求合振動(dòng)的振幅。（2）求合振動(dòng)的振動(dòng)表達(dá)式。解：通過(guò)旋轉(zhuǎn)矢量圖做最為簡(jiǎn)單。由圖可知，兩個(gè)振動(dòng)同頻率，且初相：，初相：，表明兩者處于反相狀態(tài)，（反相，），合成振動(dòng)的振幅： ；合成振動(dòng)的相位： ；合成振動(dòng)的方程： 。3-7兩個(gè)同方向，同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為，與第一個(gè)振動(dòng)的位相差為。若第一個(gè)振動(dòng)的振幅為。則（1）第二個(gè)振動(dòng)的振幅為多少？（2）兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位相差為多少？解：如圖，可利用余弦定理：由圖知 =0.01 mA=0.1 m ，再利用正弦定理：，有：，。說(shuō)明A與A間夾角為/2，即兩振動(dòng)的位相差為/2 。3-8. 質(zhì)點(diǎn)分別參與下列三組互相垂直的諧振動(dòng)：（1） ；（2） ；（3） 。試判別質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。解：質(zhì)點(diǎn)參與的運(yùn)動(dòng)是頻率相同，振幅相同的垂直運(yùn)動(dòng)的疊加。對(duì)于，的疊加，可推得：（1）將，代入有：，則方程化為：，軌跡為一般的橢圓；（2）將，代入有：則方程化為：，即，軌跡為一直線；（3）將，代入有：則方程化為：，軌跡為圓心在原點(diǎn)，半徑為4m的圓。3-9沿一平面簡(jiǎn)諧波的波線上，有相距的兩質(zhì)點(diǎn)與，點(diǎn)振動(dòng)相位比點(diǎn)落后，已知振動(dòng)周期為，求波長(zhǎng)和波速。解：根據(jù)題意，對(duì)于A、B兩點(diǎn)，而相位和波長(zhǎng)之間滿足關(guān)系：，代入數(shù)據(jù)，可得：波長(zhǎng)=24m。又T=2s，所以波速。3-10已知一平面波沿軸正向傳播，距坐標(biāo)原點(diǎn)為處點(diǎn)的振動(dòng)式為，波速為，求：（1）平面波的波動(dòng)式；（2）若波沿軸負(fù)向傳播，波動(dòng)式又如何?解：（1）設(shè)平面波的波動(dòng)式為，則點(diǎn)的振動(dòng)式為：，與題設(shè)點(diǎn)的振動(dòng)式比較，有：，平面波的波動(dòng)式為：；（2）若波沿軸負(fù)向傳播，同理，設(shè)平面波的波動(dòng)式為：，則點(diǎn)的振動(dòng)式為：，與題設(shè)點(diǎn)的振動(dòng)式比較，有：，平面波的波動(dòng)式為：。3-11一平面簡(jiǎn)諧波在空間傳播，如圖所示，已知點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律為，試寫(xiě)出：（1）該平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式；（2）點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式（點(diǎn)位于點(diǎn)右方處）。解：（1）仿照上題的思路，根據(jù)題意，設(shè)以點(diǎn)為原點(diǎn)平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式為：，則點(diǎn)的振動(dòng)式：題設(shè)點(diǎn)的振動(dòng)式比較，有：，該平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式為：（2）B點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式可直接將坐標(biāo)，代入波動(dòng)方程：3-12已知一沿正方向傳播的平面余弦波，時(shí)的波形如圖所示，且周期為。（1）寫(xiě)出點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；（2）寫(xiě)出該波的波動(dòng)表達(dá)式；（3）寫(xiě)出點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；（4）寫(xiě)出點(diǎn)離點(diǎn)的距離。解：由圖可知：，而，則：，波動(dòng)方程為：點(diǎn)的振動(dòng)方程可寫(xiě)成：由圖形可知：時(shí)：，有：考慮到此時(shí)，（舍去）那么：（1）點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式：；（2）波動(dòng)方程為：；（3）設(shè)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式為：由圖形可知：時(shí)：，有：考慮到此時(shí)，（或）A點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式：，或；（4）將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入波動(dòng)方程，可得到A的振動(dòng)方程為：，與（3）求得的A點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式比較，有：，所以： 。3-13一平面簡(jiǎn)諧波以速度沿軸負(fù)方向傳播。已知原點(diǎn)的振動(dòng)曲線如圖所示。試寫(xiě)出：（1）原點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；（2）波動(dòng)表達(dá)式；（3）同一時(shí)刻相距的兩點(diǎn)之間的位相差。解：這是一個(gè)振動(dòng) 圖像！由圖可知A=0.5cm，設(shè)原點(diǎn)處的振動(dòng)方程為：。（1）當(dāng)時(shí)，考慮到：，有：，當(dāng)時(shí)，考慮到：，有：，原點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式：；（2）沿軸負(fù)方向傳播，設(shè)波動(dòng)表達(dá)式：而，；（3）位相差： 。3-14一正弦形式空氣波沿直徑為的圓柱形管行進(jìn)，波的平均強(qiáng)度為，頻率為，波速為。問(wèn)波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每?jī)蓚€(gè)相鄰?fù)嗝骈g的波段中含有多少能量？解：（1）已知波的平均強(qiáng)度為：，由 有：；（2）由， 。3-15一彈性波在媒質(zhì)中傳播的速度，振幅，頻率。若該媒質(zhì)的密度為，求：（1）該波的平均能流密度；（2）1分鐘內(nèi)垂直通過(guò)面積的總能量。解：（1）由：，有：；（2）1分鐘為60秒，通過(guò)面積的總能量為： 。3-16設(shè)與為兩個(gè)相干波源，相距波長(zhǎng)，比的位相超前。若兩波在在、連線方向上的強(qiáng)度相同且不隨距離變化，問(wèn)、連線上在外側(cè)各點(diǎn)的合成波的強(qiáng)度如何？又在外側(cè)各點(diǎn)的強(qiáng)度如何？解：（1）如圖，、連線上在外側(cè)，兩波反相，合成波強(qiáng)度為0；（2）如圖，、連線上在外側(cè)，兩波同相，合成波的振幅為，合成波的強(qiáng)度為： 。3-17圖中所示為聲音干涉儀，用以演示聲波的干涉。為聲源，為聲音探測(cè)器，如耳或話筒。路徑的長(zhǎng)度可以變化，但路徑是固定的。干涉儀內(nèi)有空氣，且知聲音強(qiáng)度在的第一位置時(shí)為極小值100單位，而漸增至距第一位置為的第二位置時(shí)，有極大值單位。求：（1）聲源發(fā)出的聲波頻率；（2）抵達(dá)探測(cè)器的兩波的振幅之比。解：根據(jù)駐波的定義，相鄰兩波節(jié)(腹)間距：，相鄰波節(jié)與波腹的間距：，可得：。（1）聲音的速度在空氣中約為340m/s，所以：（2），依題意有： ，那么 。3-18蝙蝠在洞穴中飛來(lái)飛去，是利用超聲脈沖來(lái)導(dǎo)航的。假定蝙蝠發(fā)出的超聲頻率為39000Hz。當(dāng)它以空氣中聲速的的運(yùn)動(dòng)速率朝著墻壁飛撲過(guò)程中，試問(wèn)它自己聽(tīng)到的從墻壁反射回來(lái)的脈沖頻率是多少？解：根據(jù)多普勒效應(yīng)，3-19一聲源的頻率為1080Hz，相對(duì)于地以30m/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，在其右方有一反射面相對(duì)于地以65m/s的速率向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)空氣中的聲速為331m/s，求：（1）聲源在空氣中發(fā)出聲音的波長(zhǎng)；（2）每秒鐘到達(dá)反射面的波數(shù)；（3）反射波的波速；（4）反射波的波長(zhǎng)。解：（1）在聲源前方靜止接收器接收到的頻率 聲音的波長(zhǎng)（2）每秒鐘到達(dá)反射面的波數(shù)（等于反射波的頻率）為 （3）波速只取決于媒質(zhì)的性質(zhì)，因此反射波的波速仍為 （4）反射波的波長(zhǎng)為 3-20試計(jì)算：一波源振動(dòng)的頻率為，以速度向墻壁接近（如圖所示），觀察者在點(diǎn)聽(tīng)得拍音的頻率為，求波源移動(dòng)的速度，設(shè)聲速為。解：根據(jù)觀察者不動(dòng)，波源運(yùn)動(dòng)，即：，觀察者認(rèn)為接受到的波數(shù)變了：，其中，分別代入，可得： 。思考題3-1試說(shuō)明下列運(yùn)動(dòng)是不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)：（1）小球在地面上作完全彈性的上下跳動(dòng)；（2）小球在半徑很大的光滑凹球面底部作小幅度的擺動(dòng)。答：要使一個(gè)系統(tǒng)作諧振動(dòng)，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件： 描述系統(tǒng)的各種參量，如質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、擺長(zhǎng)等等在運(yùn)動(dòng)中保持為常量； 系統(tǒng)是在自己的穩(wěn)定平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)； 在運(yùn)動(dòng)中系統(tǒng)只受到內(nèi)部的線性回復(fù)力的作用。或者說(shuō)，若一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程能用描述時(shí)，其所作的運(yùn)動(dòng)就是諧振動(dòng)。那么，（1）拍皮球時(shí)球的運(yùn)動(dòng)不是諧振動(dòng)。第一、球的運(yùn)動(dòng)軌道中并不存在一個(gè)穩(wěn)定的平衡位置；第二、球在運(yùn)動(dòng)中所受的三個(gè)力：重力，地面給予的彈力，擊球者給予的拍擊力，都不是線性回復(fù)力。要使一個(gè)系統(tǒng)作諧振動(dòng)，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：一、描述系統(tǒng)的各種參量，如質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、擺長(zhǎng)等等在運(yùn)動(dòng)中保持為常量；二、系統(tǒng)是在自己的穩(wěn)定平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)；三、在運(yùn)動(dòng)中系統(tǒng)只受到內(nèi)部的線性回復(fù)力的作用?；蛘哒f(shuō)，若一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程能用描述時(shí)，其所作的運(yùn)動(dòng)就是諧振動(dòng)。 （2）小球在圖所示的情況中所作的小弧度的運(yùn)動(dòng)，是諧振動(dòng)。顯然，小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，各種參量均為常量；該系統(tǒng)(指小球凹槽、地球系統(tǒng))的穩(wěn)定平衡位置即凹槽最低點(diǎn)，即系統(tǒng)勢(shì)能最小值位置點(diǎn)O；而小球在運(yùn)動(dòng)中的回復(fù)力為。題中所述，故，所以回復(fù)力為。（式中負(fù)號(hào)表示回復(fù)力的方向始終與角位移的方向相反）即小球在O點(diǎn)附近的往復(fù)運(yùn)動(dòng)中所受回復(fù)力為線性的。若以小球?yàn)閷?duì)象，則小球在以O(shè)為圓心的豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律，在凹槽切線方向上有mR，令，則有：。3-2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度在什么情況下是同號(hào)的?在什么情況下是異號(hào)的?加速度為正值時(shí)，振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速率是否一定在增加？反之，加速度為負(fù)值時(shí)，速率是否一定在減小?答： 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度： ；加速度：；要使它們同號(hào)，必須使質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位在第一象限。其他象限的相位兩者就是異號(hào)的。加速度為正值時(shí)，振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速率不一定在增加，反之，加速度為負(fù)值時(shí)，速率也不一定在減小。只有當(dāng)速度和加速度是同號(hào)時(shí)，加速度才能使速率增加；反之，兩者異號(hào)時(shí)，加速度使速率減小。3-3分析下列表述是否正確，為什么?（1）若物體受到一個(gè)總是指向平衡位置的合力，則物體必然作振動(dòng)，但不一定是簡(jiǎn)諧振動(dòng)；（2）簡(jiǎn)諧振動(dòng)過(guò)程是能量守恒的過(guò)程，凡是能量守恒的過(guò)程就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。答：（1）的表述是正確的，原因參考7-1；（2）的表述不正確，比如自由落體運(yùn)動(dòng)中能量守恒，但不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。3-4用兩種方法使某一彈簧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。方法1：使其從平衡位置壓縮，由靜止開(kāi)始釋放。方法2：使其從平衡位置壓縮2，由靜止開(kāi)始釋放。若兩次振動(dòng)的周期和總能量分別用和表示，則它們滿足下面那個(gè)關(guān)系？（A） （B） （C） （D） 答：根據(jù)題意，這兩次彈簧振子的周期相同，振幅相差一倍。所以能量不同。選擇（B）。3-5一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為T(mén)，振幅為A，質(zhì)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到處所需要的最短時(shí)間為多少？答：質(zhì)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到處所需要的最短相位變化為，所以運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：。3-6一彈簧振子，沿軸作振幅為的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，在平衡位置處，彈簧振子的勢(shì)能為零，系統(tǒng)的機(jī)械能為，問(wèn)振子處于處時(shí)；其勢(shì)能的瞬時(shí)值為多少？答：由題意，在平衡位置處，彈簧振子的勢(shì)能為零，系統(tǒng)的機(jī)械能為，所以該振子的總能量為，當(dāng)振子處于處時(shí)；其勢(shì)能的瞬時(shí)值為：。3-7.圖（a）表示沿軸正向傳播的平面簡(jiǎn)諧波在時(shí)刻的波形圖，則圖（b）表示的是：（A）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線； （B）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線；（C）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線； （D）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線。答：圖（b）在t=0時(shí)刻的相位為，所以對(duì)應(yīng)的是質(zhì)點(diǎn)n的振動(dòng)曲線，選擇B。3-8從能量的角度討論振動(dòng)和波動(dòng)的聯(lián)系和區(qū)別。.答：（1）在波動(dòng)的傳播過(guò)程中，任意時(shí)刻的動(dòng)能和勢(shì)能不僅大小相等而且相位相同，同時(shí)達(dá)到最大，同時(shí)等于零。而振動(dòng)中動(dòng)能的增加必然以勢(shì)能的減小為代價(jià)，兩者之和為恒量。（2）在波傳動(dòng)過(guò)程中，任意體積元的能量不守恒。質(zhì)元處在媒質(zhì)整體之中，沿波的前進(jìn)方向，每個(gè)質(zhì)元從后面吸收能量，又不停的向前面的質(zhì)元釋放能量，能量得以不斷地向前傳播。而一個(gè)孤立振動(dòng)系統(tǒng)總能量是守恒的。3-9. 當(dāng)兩列波干涉時(shí)，是否會(huì)有能量損失？答：否。當(dāng)兩列波干涉時(shí)，波的能量只是進(jìn)行了重