浙江大學(xué)【物理學(xué)】畢業(yè)論文基于FlexPDE 軟件實(shí)現(xiàn)薛定諤方程求解的可視化.doc

浙江大學(xué)【物理學(xué)】畢業(yè)論文：基于FlexPDE 軟件實(shí)現(xiàn)薛定諤方程求解的可視化 本科生畢業(yè)論文 ( 2012 )屆論文題目:基于 FlexPDE軟件實(shí)現(xiàn)薛定諤方程求解的可視化 學(xué) 院: 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院專 業(yè):物理學(xué) 學(xué) 號(hào): 200810800094姓 名:韋 貝 佩指導(dǎo)老師姓名及職稱: 王 寧教授2012年 5月 目 錄內(nèi)容摘要.- 2 - 1 引言- 3 - 2 FLEXPDE軟件.- 6 - 2.1 FLEXPDE軟件簡(jiǎn)介.- 6 - 2.2 FLEXPDE軟件初始界面.- 6 - 2.3 新建FLEXPDE腳本.- 8 - 2.3.1新建FlexPDE腳本操作.- 8 - 2.3.2新建FlexPDE腳本界面.- 8 - 2.3.3新建FlexPDE腳本程序介紹.- 9 - 2.3.4程序編寫.- 11 - 2.4 打開和運(yùn)行FLEXPDE腳本- 12 - 3 運(yùn)用FLEXPDE解薛定諤方程- 14 - 3.1 一維線性諧振子.- 14 - 3.2 三維各項(xiàng)同性諧振子- 18 - 3.4 三維WOODS-SAXON勢(shì).- 21 - 4 總結(jié)與展望.- 22 - 參考文獻(xiàn).- 23 - ABSTRACT.- 24 - 致 謝- 25 - 1 -基于FlexPDE軟件實(shí)現(xiàn)薛定諤方程求解的可視化專業(yè):物理學(xué) 學(xué)號(hào):200810800094 學(xué)生姓名:韋貝佩 指導(dǎo)老師姓名:王寧 內(nèi)容摘要 量子力學(xué)是現(xiàn)代物理學(xué)各分支學(xué)科的基礎(chǔ)。而要學(xué)習(xí)好量子力學(xué)課程,首先要解決的關(guān)鍵問題就是求解薛定諤方程。對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng),運(yùn)用數(shù)學(xué)方法求解薛定諤方程是比較復(fù)雜的;甚至,薛定諤方程的精確求解依然是量子力學(xué)中的一大難題。FlexPDE是一個(gè)基于有限元方法求解偏微分方程的商業(yè)軟件,對(duì)求解復(fù)雜系統(tǒng)的薛定諤方程有著重要的應(yīng)用價(jià)值。 本文主要論述了FlexPDE的一般操作以及運(yùn)用FlexPDE求解薛定諤方程的具體實(shí)例介紹。首先我們介紹了FlexPDE的界面和基本程序結(jié)構(gòu)。然后基于該軟件,解決了在復(fù)雜系統(tǒng)中求解薛定諤方程的困難,實(shí)現(xiàn)薛定諤方程求解的可視化。通過對(duì)該軟件的介紹和運(yùn)用該軟件進(jìn)行求解薛定諤方程的具體實(shí)例操作,為處理量子力學(xué)中更為復(fù)雜的情況打下基礎(chǔ),從而有利于我們更好地學(xué)習(xí)量子力學(xué)和進(jìn)行相關(guān)教學(xué)。關(guān)鍵詞: FlexPDE; 偏微分方程;薛定諤方程;- 2 -1 引言 對(duì)于微觀世界的研究,離不開量子力學(xué)。量子力學(xué)是物理學(xué)專業(yè)學(xué)生的一門必修課,更是現(xiàn)代物理學(xué)的各個(gè)分支學(xué)科及相關(guān)的邊緣學(xué)科的基礎(chǔ)。量子力學(xué)中最核心的問題就是解決波函數(shù)如何隨時(shí)間演化以及在各種具體情況下找出描述體系狀態(tài)的各種可能的波函數(shù)【1】。薛定諤在1926年提出的波動(dòng)方程(薛定諤方程)成功的解決了這個(gè)問題,因而我們學(xué)習(xí)量子力學(xué)要解決的一個(gè)關(guān)鍵問題就是求解薛定諤方程。 薛定諤方程是量子力學(xué)的一個(gè)基本假定,并不能從什么比它更根本的假定來證明它,它的正確性只能靠實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)。薛定諤方程是將物質(zhì)波的概念和波動(dòng)方程相結(jié)合建立的二階偏微分方程,揭示了原子世界中物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律,每個(gè)微觀系統(tǒng)都有一個(gè)相應(yīng)的薛定諤方程式,通過解方程可得到波函數(shù)的具體形式以及對(duì)應(yīng)的能量,從而了解微觀系統(tǒng)的性質(zhì)。 定態(tài)薛定諤方程的表達(dá)式為: 2h2- j +V xj Ej2m這是一個(gè)二階線性偏微分方程,x,y,z是待求函數(shù),它是 x,y,z三個(gè)變量的復(fù)數(shù)函數(shù)(就是說函數(shù)值不一定是實(shí)數(shù),也可能是復(fù)數(shù))。式子最左邊的倒三角是一個(gè)二階偏微分算符,意思是分別對(duì)x,y,z的x,y,z坐標(biāo)求偏導(dǎo)的平方和。式中的 V(r)是代表勢(shì)場(chǎng),視實(shí)際問題而定的。例如在一維無限深勢(shì)井中,勢(shì)場(chǎng)為: 0,0xa Vx ?,其他 要解薛定諤方程,僅僅給出勢(shì)場(chǎng)的值是不夠的,還需給出一定的邊界條件。而實(shí)際問題中的邊界條件是由波函數(shù)的性質(zhì)(連續(xù)性、單值性、有限性)【2】得出。例如在一維無限深勢(shì)井中,在x0和xa處,我們可以認(rèn)為波函數(shù)為零即粒子出現(xiàn)在勢(shì)井外的概率幾乎為零。若要用數(shù)學(xué)的方法解薛定諤方程,則不同類型的問題要用到不同的方法去解決。對(duì)于在一維無限深勢(shì)井中求解薛定諤方程還是比較簡(jiǎn)便的,但是對(duì)于在其他勢(shì)井中求解薛定諤方程,甚至增加到多維時(shí),則求解過- 3 -程將會(huì)比較復(fù)雜。例如在一維線性諧振子中求解此薛定諤方程時(shí),需要用到Hermite方程,甚至 Bessel方程等特殊方程;不僅如此,相應(yīng)的圖像我們根本不會(huì)畫。另外,對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng),薛定諤方程的精確求解依然是量子力學(xué)中的一大難題。 從而,對(duì)于初學(xué)者來說,學(xué)習(xí)量子力學(xué)時(shí),將會(huì)感到非常困難和抽象。因?yàn)?用數(shù)學(xué)方法求解薛定諤方程過程的復(fù)雜性;不能結(jié)合圖像來了解其中原理或進(jìn)行實(shí)際分析;不能預(yù)見性的知道求解結(jié)果如何。對(duì)于老師來說,在教授量子力學(xué)課程時(shí),也只能按照教材的原理和加上個(gè)人的理解進(jìn)行口頭教學(xué),而不能結(jié)合具體圖像(特別是三維圖像)來進(jìn)行教學(xué)。 同樣,在其他學(xué)科領(lǐng)域中,我們也經(jīng)常會(huì)遇到偏微分方程的求解和畫圖的問題。這往往是一項(xiàng)復(fù)雜的工程,也是我們學(xué)習(xí)和教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。所以我們需要尋找一個(gè)一般的高效的解決方案。 FlexPDE軟件是使用有限元方法給出線性和非線性偏微分方程數(shù)值解的一個(gè)工具軟件。它可以有效地解決上述問題(能很好的幫助我們解決這一問題)。運(yùn)用 FlexPDE軟件,求解偏微分方程可以自動(dòng)運(yùn)行,可以得到想要的各種圖形與結(jié)果,有利于我們進(jìn)行學(xué)習(xí)和教學(xué)。 另外,運(yùn)用 FlexPDE解偏微分方程還具備以下優(yōu)點(diǎn): 1.求解速度快。當(dāng)輸入了完整的解決方案后,計(jì)算機(jī)可自動(dòng)運(yùn)行,整個(gè)過程可在短時(shí)間內(nèi)完成。 2.程序編寫簡(jiǎn)單。自動(dòng)生成程序的主要部分,按照生成程序提示修改完整即可。程序語言也簡(jiǎn)單易懂。 3.程序的可移植性強(qiáng)。對(duì)于同類型問題,只要把程序稍作修改,問題即可迎刃而解,另外軟件本身還提供了一些常用的運(yùn)算函數(shù)。 4.求解結(jié)果明了易懂。計(jì)算機(jī)自動(dòng)運(yùn)行結(jié)果會(huì)以文字和圖像的方式顯示,讓人容易獲得其信息,且能幫助進(jìn)行實(shí)際分析,實(shí)現(xiàn)可視化。 5.求解精確,精度可控性強(qiáng)。FlexPDE可提供誤差分析,通過 SELECT控件可以控制解決方案的誤差范圍。 可是,目前,我們可以容易找到英文版的 FlexPDE說明書,卻無中文版,而且關(guān)于 FlexPDE的文章也比較少。另外,在我找到的為數(shù)不多的幾篇相關(guān)領(lǐng)- 4 -域研究人員發(fā)表的基于 FlexPDE 的相關(guān)研究的論文或期刊中,雖涉及到FlexPDE,但文章中都只稍微介紹了一下 FlexPDE,更多的是闡述具體應(yīng)用方面的知識(shí),而且大多數(shù)并沒有說明怎樣運(yùn)用 FlexPDE軟件來實(shí)現(xiàn)相關(guān)研究的詳細(xì)過程。基于以上現(xiàn)狀,我們可以知道,目前會(huì)應(yīng)用 FlexPDE軟件的人員不多,僅限于高知識(shí)水平的研究人員在使用。而對(duì)于一般知識(shí)水平,特別是英文不太好的人員來說,FlexPDE軟件是比較難學(xué)的,所以不能普遍的應(yīng)用到我們的學(xué)習(xí)和教學(xué)中。 基于以上困難,本文首先通過參閱了英文版的教程和相關(guān)文章,旨在使用中文的形式,說明 FlexPDE軟件的使用方法。然后重點(diǎn)闡明運(yùn)用 FlexPDE軟件去求解量子力學(xué)中的薛定諤方程的具體過程及結(jié)合圖像進(jìn)行結(jié)果分析,從而使得省去了解微分方程的繁雜過程。目的是幫助大家學(xué)習(xí)這一軟件,并很好的應(yīng)用于學(xué)習(xí)和教學(xué)中,以及對(duì)薛定諤方程有進(jìn)一步的深刻了解。- 5 -2 FlexPDE軟件 2.1 FlexPDE軟件簡(jiǎn)介 FlexPDE軟件的全稱為Finite Element Solution Environment for Partial Differential Equations即偏微分方程有限元軟件。FlexPDE是 PDE Solution公司專門開發(fā)的使用有限元方法給出線性和非線性偏微分方程數(shù)值解的一個(gè)工具軟件。該軟件可以在一維到三維區(qū)域內(nèi)求解微分方程和求解含時(shí)方程,并將其結(jié)果以圖片形式輸出。FlexPDE軟件的工作原理就是把那些可以用偏微分方程描述的系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為有限元模型并求解 。其中,網(wǎng)格的數(shù)量和密度可根據(jù)誤差自動(dòng)調(diào)整 。 軟件推出后 ,就被世界上許多大學(xué)和實(shí)驗(yàn)室采用,其中最常用于物理、電機(jī)、電子、通訊、土木、機(jī)械、化工、化學(xué)、生物學(xué)、地質(zhì)學(xué)、數(shù)學(xué)等需運(yùn)用到偏微分方程的科學(xué)領(lǐng)域。因?yàn)槎鄶?shù)的物理和工程問題在某種程度上可以被描述成為部分微分方程。許多領(lǐng)域的學(xué)者可以使用FlexPDE來將他們的試驗(yàn)或設(shè)備建模,進(jìn)行重要的預(yù)測(cè)或檢驗(yàn);工程師也可以使用FlexPDE來設(shè)計(jì)最優(yōu)化研究,適合度研究以及概念分析等。 2.2 FlexPDE軟件初始界面 當(dāng)我們運(yùn)行FlexPDE軟件時(shí)我們將看到如圖 1界面圖 1- 6 -上圖的中文注釋如圖2圖 2當(dāng)用鼠標(biāo)點(diǎn)擊各項(xiàng)菜單時(shí),會(huì)出現(xiàn)下拉菜單。界面和注釋如下: 一、文件菜單如圖3圖 3 二、控制菜單如圖4圖 4三、停止菜單如圖5(當(dāng)一個(gè)問題正在運(yùn)行時(shí),有時(shí)候需要用到這個(gè)菜單欄) 圖4圖 5四、編輯菜單如圖6圖 6 - 7 -五、幫助菜單如圖7圖 72.3 新建 FlexPDE腳本 2.3.1新建 FlexPDE腳本操作 當(dāng)我們要新建一個(gè)腳本時(shí),可以點(diǎn)擊 File(文件)?New Script(新建一個(gè)腳本),則會(huì)出現(xiàn)如圖8界面圖 8然后在文件名欄輸入文件名,保存類型選擇.PDE。然后點(diǎn)擊保存。則新建的腳本將保存在FlexPDE目錄下,生成的文件是以“.pde ”為后綴擴(kuò)展名的文件。2.3.2新建 FlexPDE腳本界面 新建FlexPDE腳本的主界面如圖 9所示。- 8 - 圖 9 2.3.3新建 FlexPDE腳本程序介紹 FlexPDE程序稱為問題描述符。它是通過一些分段的關(guān)聯(lián)語句部分使問題系統(tǒng)化。每個(gè)部分都是由一個(gè)恰當(dāng)?shù)拿珠_頭,后面跟一個(gè)或多個(gè)用來定義問題的語句。問題描述符如上圖右邊窗口所示。紅色字體部分為描述符的主要結(jié)構(gòu),藍(lán)色字體和黑色字體部分為我們可以需要根據(jù)具體問題改寫部分。而綠色字體部分為注釋,編寫時(shí)可留可不留。 - 9 -以上是單個(gè)問題的描述符,而當(dāng)遇到同時(shí)要用多個(gè)問題時(shí)。問題描述符的格式為: section 1statementsection 2statement 1statement 2*section 3statement 1statement 2 下面我們?cè)僭敿?xì)的介紹一下問題描述符的幾個(gè)重要部分 1. SELECT 在SELECT部分,它是可選的,用于必要時(shí),覆蓋默認(rèn)的一些內(nèi)部的選擇方案。SELECT部分是用來控制流程來解決問題的。下面將闡述兩個(gè)從屬SELECT節(jié)的解決方案控制。ERRLIM這是主要的精確控制。無論是空間誤差控制XERRLIM的時(shí)間誤差控制TERRLIM。 注:ERRLIM是一個(gè)相對(duì)誤差在依賴估計(jì)變量。該解決方案不能保證盡在此錯(cuò)誤。這可能有必要調(diào)整或手動(dòng)強(qiáng)制更大ERRLIM網(wǎng)密度達(dá)到預(yù)期的解決方案的準(zhǔn)確性。 MODES 選擇特征值求解,并指定所需的數(shù)模式。默認(rèn)情況下不運(yùn)行一個(gè)特征值問題。 2. Variables 變量部分是用來定義變量名的,描述符的各部分變量都要按照定義的變量名書寫。在指派變量名時(shí)要遵守以下規(guī)則: 1、 變量名稱必須以字母開頭。不能以一個(gè)數(shù)字或符號(hào)開頭。 2、 變量名稱可以用字符t以外的單個(gè)字符,因?yàn)檫@是留給時(shí)間變量。 3、 變量名稱可為任何長度和任何組合的字符、數(shù)字及/或符號(hào),但除了描述符中本來自帶的詞。 4、 變量名稱不得有分隔符。復(fù)合名稱可用_表示 例如temperature_celsius 5、 變量名稱不得使用 - ,這被認(rèn)為是減法符號(hào)。 3. BOUNDARIES 邊界部分是用來描述方程的求解區(qū)域。每個(gè)問題描述符都必修包含邊界部- 10 - 分。問題邊界是由在二維笛卡爾空間內(nèi)行走的周邊路徑構(gòu)成。以這種方式,物理區(qū)域分解為REGION ,FEATURE 和 EXCLUDE 小分部。每個(gè)問題描述符至少必須有一個(gè)REGION分部,FEATURE 和 EXCLUDE分部可以選擇。下面我們主要介紹REGION分部。 REGIONS 一個(gè)區(qū)域是一個(gè)二維問題域或三維投影的問題域部分,由路徑構(gòu)成封閉區(qū)域但一維區(qū)域除外。例如: REGION 1 an outer box START0,0LINE TO 10,0 TO 10,10 TO 0,10 TO CLOSE這里表示的區(qū)域是如圖10所示 (0,10) (10,10) (10,0) (0,0) 圖 102.3.4程序編寫 我們已經(jīng)了解了FlexPDE程序,下面我們開始編寫程序(求解正弦函數(shù)的偏微分問題)。 我們先看看這個(gè)函數(shù)fcosx的導(dǎo)數(shù),按照數(shù)學(xué)知識(shí),我們可以清楚的知道,cosx的導(dǎo)數(shù)是 sinx。這里我們可以用 FlexPDE嘗試運(yùn)算一下。具體程序編寫如下: TITLE定義問題的標(biāo)題 cosx COORDINATES cartesian1 這是一維應(yīng)用 DEFINITIONS 定義各輔助參量 Lx10 fcosx 定義函數(shù) fxdxf f的導(dǎo)數(shù) - 11 - BOUNDARIES region domain 描述的區(qū)域 start-Lx line to Lx 描述的區(qū)域?yàn)?Lx到 Lx PLOTS elevationf, fx from -Lx to Lx 顯示 f和 f的導(dǎo)數(shù)的圖像,從-Lx到 Lx END 程序結(jié)束的標(biāo)志 把程序以cos(x).pde保存到 FlexPDE5中。 2.4 打開和運(yùn)行 FlexPDE腳本 而當(dāng)我們要打開一個(gè)腳本時(shí),可以點(diǎn)擊File(文件)?Open Script(打開一個(gè)腳本),這里我們以打開剛才保存的 cos(x).pde為例。則會(huì)出現(xiàn)如圖 11界面圖 11當(dāng)我們需要知道求解結(jié)果時(shí),可以點(diǎn)擊 (運(yùn)行),計(jì)算機(jī)將開始進(jìn)行運(yùn)算,運(yùn)算結(jié)束后,結(jié)果以圖片的形式輸出,如圖12- 12 -圖 12圖像 a表示函數(shù) f的圖像,圖像 b表示 f的導(dǎo)數(shù),圖像 b剛好是我們熟知的函數(shù) sinx的圖像。 另外,我們還可以進(jìn)行三種操作:一、在狀態(tài)窗口中右擊鼠標(biāo)選擇字體。二、在圖像窗口中雙擊圖像至最大化,同樣雙擊最大化圖像還原。三、可以通過 和工具切換編輯窗口和圖像窗口。 - 13 - 3 運(yùn)用 FlexPDE解薛定諤方程 在學(xué)習(xí)量子力學(xué)時(shí),我們經(jīng)常需要在一定的勢(shì)場(chǎng)中求解定態(tài)薛定諤方程。但在有些勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)用數(shù)學(xué)方法求解定態(tài)薛定諤方程,是比較復(fù)雜和困難的。下面具體介紹幾種運(yùn)用 FlexPDE軟件求解這一類問題。 3.1 一維線性諧振子 2 2一維線性諧振子的勢(shì)場(chǎng)為 Vxm x /2。以10為例,參考程序如下: TITLE Schrodinger equation with 1D harmonic oscillator potential SELECT ERRLIM1E-4精度控制 modes15 討論前十五級(jí) COORDINATES cartesian1 一維問題 VARIABLES Phi定義波函數(shù) Phi DEFINITIONS K-197.3*197.3/2*938定義輔助量 R0Pi*2 V0.5*938*100/197.3/197.3*x*x Vxm2*x2/2 shift 0Elambda+shift能級(jí) EQUATIONS Divk*gradPhi +V*Phi LAMBDA*Phi + shift*Phi薛定諤方程 BOUNDARIES REGION 1問題邊界的區(qū)域 1 START -15POINT valuePhi0 波函數(shù)的有限性 line to 15 POINT valuePhi0 波函數(shù)的有限性- 14 - PLOTS ELEVATION20*Phi+E,V,E FROM -12 to 12輸出 20+E,V,E的正視圖 ELEVATION20*Phi*Phi+E,V, E FROM -12 to 12 輸出 20*+E,V,E的正視圖SUMMARY REPORTE數(shù)值輸出能級(jí) E END 程序結(jié)束標(biāo)志運(yùn)行上述程序,可得到能級(jí):為了方便觀察,我們把波函數(shù)增大 20倍。所以輸出在 E的基礎(chǔ)上波函數(shù)增大 20倍20+E,勢(shì)場(chǎng)V和能級(jí) E的組合圖如圖 13至圖 16。分別表示 n0至 n3的圖形。 圖 13 圖 14 - 15 -圖 15 圖 16以及在 E的基礎(chǔ)上波函數(shù)的平方增大 20倍20*+E,勢(shì)場(chǎng)V和能級(jí) E的組合圖如圖 17至圖 20。分別表示 n0至 n3的圖形。圖 21 圖 22圖 17 圖 18 圖 19 圖 20- 16 - n0至 n9的波函數(shù)和對(duì)應(yīng)的 E以及 V放到同一個(gè)圖上是如圖 21;同樣把 n0至 n9的波函數(shù)的平方*和對(duì)應(yīng)的 E以及 V放到同一個(gè)圖上是如圖22。 圖 21圖 21 圖 22 我們可以看到以上這兩個(gè)圖與曾謹(jǐn)言量子力學(xué)卷第四版第 84頁的圖形是基本一致的,說明我們用 FlexPDE軟件解出的波函數(shù)與實(shí)際波函數(shù)相符。我們?cè)賮砜纯唇獬龅哪芗?jí)與實(shí)際能級(jí)之間的差別。如表 1 表 1 FlexPDE解出的能級(jí)E2與實(shí)際能級(jí)E1比較表 絕對(duì)誤差n E1n+0.5*hbar* E2 相對(duì)誤差(|E2-E1|/E1)*100% |E2-E1| 0 5 5.000000 0.00000 0.00000% 1 15 15.00000 0.00000 0.00000% 2 25 25.00001 0.00001 0.00004% 3 35 35.00002 0.00002 0.00006% 4 45 45.00005 0.00005 0.00011% 5 55 55.00009 0.00009 0.00016% 6 65 65.00015 0.00015 0.00023% 7 75 75.00024 0.00024 0.00032% 8 85 85.00036 0.00036 0.00042% 9 95 95.00050 0.00050 0.00053% 10 105 105.0007 0.00070 0.00067% 11 115 115.0010 0.00100 0.00087% 12 125 125.0015 0.00150 0.00120% - 17 - 13 135 135.0020 0.00200 0.00148% 14 145 145.0022 0.00220 0.00152% 從上表可以看出解出的能級(jí)與實(shí)際能級(jí)相差很小,說明 FlexPDE軟件可以較精確的解出薛定諤方程的波函數(shù)以及相應(yīng)能級(jí),且以圖形或數(shù)據(jù)的形式輸出結(jié)果,實(shí)現(xiàn)了薛定諤方程求解的可視化。 另外 FlexPDE軟件還能幫助我們把復(fù)雜的抽象的三維薛定諤方程的求解可視化,下面我們以三維各項(xiàng)同性諧振子為例。 3.2 三維各項(xiàng)同性諧振子 2 2三維各項(xiàng)同性諧振子的勢(shì)能表達(dá)式為 Vrm r /2。參考程序如下: TITLE 3D_harmonicCOORDINATEScartesian3 三維問題 VARIABLESPhi 定義變量 Phi SELECTMODES20 討論的級(jí)數(shù) ERRLIM1E-4 精度控制 DEFINITIONSR115 定義輔助量 K197.3*197.3/2*938 hbar2/2*mu V0.5*938*100/197.3/197.3* x2+y2+z2 Vxm2*r2/2 ZspheresqrtR12-x2-y2,0定義輔助量shift0 Elambda+shiftEQUATIONS Div-K*gradPhi +V*Phi LAMBDA*Phi + shift*Phi 薛定諤方程Extrusionsurface Sphere BottomZ-Zsphere 下半?yún)^(qū)域 layer can - 18 - surface Sphere TopZZsphere 上半?yún)^(qū)域BOUNDARIES REGION 1surface Sphere Bottom ValuePhi0波函數(shù)連續(xù)性surface Sphere Top ValuePhi0 波函數(shù)連續(xù)性STARTR1,0 從(R1,0)開始ValuePhi0波函數(shù)連續(xù)性ARC center0,0 Angle360 TO CLOSE 以(0,0)為中心旋轉(zhuǎn) 360度! TIME 0 TO 1 if time dependent MONITORSPLOTSCONTOURPHI on z0.0 等高線輸出 PhiSURFACEPHI on z0.0 輸出 Phi的曲面圖 ELEVATIONPhi From -12,0,0 to 12,0,0輸出 Phi的正視圖SUMMARY export mergeREPORTE數(shù)值輸出能級(jí) EEND 程序結(jié)束標(biāo)志 運(yùn)行程序,得到的能級(jí)如下: 圖 23- 19 - 從上圖可以很容易看出,三維各向同性諧振子的能譜與一維諧振子的能譜相似,都是均勻分布;但也有不同之處,三維各向同性諧振子的能級(jí)一般是簡(jiǎn)并的。三維各向同性諧振子的能級(jí)能級(jí)表達(dá)式為 EN+3/2*hbar*,其中 N 2n + l。r因此,對(duì)于能級(jí) EN, l和n有多種組合形式,且分析可知三維各向同性諧振子 ENr1能級(jí)的簡(jiǎn)并度為 f N +1N + 2。所以當(dāng) N0時(shí) f 1, N1時(shí) f 3等等。n n n2以上三維諧振子的能級(jí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)正反映出了量子力學(xué)中的能級(jí)簡(jiǎn)并的特點(diǎn)。 而波函數(shù)切面圖,三維圖和曲線圖如圖 24至 26,為了簡(jiǎn)潔,只給出 Mode 2的圖形。圖 24 圖 25 圖 26運(yùn)用 FlexPDE,我們可以輕松的解出三維諧振子的能級(jí)以及得出一到三維的圖形。以至于幫助我們?cè)趯W(xué)習(xí)和教學(xué)中進(jìn)行形象的分析。 前面我們已經(jīng)論證了運(yùn)用 FlexPDE求解薛定諤方程的準(zhǔn)確性。所以我們還可以運(yùn)用 FlexPDE預(yù)見性地求解在較復(fù)雜勢(shì)場(chǎng)中的薛定諤方程。Woods-Saxon勢(shì)是更接近于實(shí)際原子核中的單粒子勢(shì),它的性質(zhì)介于三維各向同性諧振子勢(shì)和球方勢(shì)阱之間【1】。下面我們以求解在三維的 Woods-Saxon勢(shì)中的薛定諤方程為例。看看在此場(chǎng)中的波函數(shù)是怎樣的圖形,是否與在三維各向同性諧振子勢(shì)中的波函數(shù)相似。- 20 - 3.3 三維 Woods-Saxon勢(shì) Woods-Saxon勢(shì)表達(dá)式為:V r -Vo/ 1 + exprR/a(Vo,R,a0)參考程序只要在三維線性諧振子的基礎(chǔ)上稍微修改即可,增加定義一個(gè)R22*Pi和修改為 V-50/1+expsqrtx2+y2+z2-R2/0.5。 運(yùn)行程序得到波函數(shù)的切面圖,三維圖,曲線圖如圖 27至圖 29(同樣只給出 Mode 2)。 圖 27 圖 28 圖 29以上我們可以看出 Woods-Saxon勢(shì)的波函數(shù)圖像與三維各向同性諧振子的圖像相似。這樣我們就可以把在 Woods-Saxon勢(shì)下的薛定諤方程的求解可視化了。同樣我們也可以運(yùn)用 FlexPDE求解其他勢(shì)場(chǎng)下的薛定諤方程,只要稍微改動(dòng)程序即可。- 21 - 4 總結(jié)與展望 總結(jié) 本文在引言中,首先提出了量子力學(xué)中求解薛定諤方程的困難,而這一問題可用 FlexPDE軟件解決;其實(shí)提出了 FlexPDE軟件的相關(guān)中文資料比較難找的問題。 基于 FlexPDE軟件的相關(guān)中文資料比較難找的問題,本文在第二章中,介紹了 FlexPDE軟件的基本功能和簡(jiǎn)單操作,并結(jié)合簡(jiǎn)單的微分當(dāng)成進(jìn)行講解,幫助初學(xué)者輕松的學(xué)習(xí)這一軟件。第三章是本文的重點(diǎn),詳細(xì)介紹了應(yīng)用FlexPDE求解薛定諤方程以及結(jié)合求解結(jié)果進(jìn)行教學(xué)分析。 展望 本論文研究進(jìn)展中,發(fā)現(xiàn)一些問題可作進(jìn)一步研究,比如以下幾方面: 1. FlexPDE的英文版說明書比較好找,而無中文版。展望以后能有 FlexPDE的中文版說明書,或者漢化的 FlexPDE軟件。 2. FlexPDE的相關(guān)資料比較少,展望能有更多的研究者發(fā)表相關(guān)資料,以幫助后人學(xué)習(xí)。 3. FlexPDE是一個(gè)非常有用的偏微分方程求解軟件,而目前只有少數(shù)的研究者在用。展望 FlexPDE能普及到我們的學(xué)習(xí)與教學(xué)中。利于我們的學(xué)習(xí)和教學(xué)水平。 4.FlexPDE不僅可以解決量子力學(xué)問題,在其它學(xué)科有關(guān)偏微分方程問題中應(yīng)該也可用到。 5.目前 FlexPDE軟件可以圖像形式顯示結(jié)果,但缺乏數(shù)值解的功能,展望以后可以有這方面的改善。- 22 -參考文獻(xiàn) 【1】 曾謹(jǐn)言 量子力學(xué)卷 第四版 科學(xué)出版社 2007 【2】 周世勛 量子力學(xué)教程 第二版高等教育出版社 2009 【3】