知其然知其所以然“然”何而來——“作一個(gè)角等于已知角”的教材分析及作圖思路分析.doc

知其然知其所以然“然”何而來“作一個(gè)角等于已知角”的教材分析及作圖思路分析中學(xué)數(shù)學(xué)雜志2011年第8期冤筅段,媳乏娶僦冤一尼覽%9知其然知其所以然”然”何而來“作一個(gè)角等于已知角”的教材分析及作圖思路分析浙江省衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校324000詹金芳方玉芬鄭志奎尺規(guī)作圖是幾何證明的另一種呈現(xiàn)方式,其根本目的是發(fā)展學(xué)生的推理能力,是對幾何證明的拓展與延續(xù).一直以來,尺規(guī)作圖都是初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的一個(gè)難點(diǎn),其中作圖思路的分析與形成是教學(xué)的關(guān)鍵.新課標(biāo)在教學(xué)要求上降低了幾何證明的難度,同時(shí)也降低了對尺規(guī)作圖的要求,部分課標(biāo)教材對這一內(nèi)容的設(shè)計(jì)存在一定的缺陷,不能很好的滿足學(xué)生學(xué)習(xí)的需要.現(xiàn)以”作一個(gè)角等于已知角”的作圖思路分析為例,結(jié)合北師大版教材和浙教版教材的教材設(shè)計(jì)進(jìn)行分析,闡述筆者的觀點(diǎn),以期達(dá)到拋磚引玉的目的.1教材設(shè)計(jì)及分析1.1北師大版教材設(shè)計(jì)及分析1.1.1教材設(shè)計(jì),教材在七年級下冊第二章第四節(jié)安排了”作一個(gè)角等于已知角”的尺規(guī)作圖.教材在沒有學(xué)習(xí)三角形全等的條件的情況下安排了這一內(nèi)容,給出了規(guī)范的尺規(guī)作圖的作法書寫,分五步呈現(xiàn),并讓學(xué)生進(jìn)行模仿.對這一內(nèi)容的教學(xué)要求教師用書給出了如下說明:作一個(gè)角等于已知角的作圖過程比較復(fù)雜,教學(xué)時(shí),一方面應(yīng)要求學(xué)生按照作圖步驟親自操作,同時(shí)對于”已知,求作和作法”的書寫要求應(yīng)循序漸進(jìn),此時(shí)可以只要求學(xué)生能看懂步驟,按照步驟進(jìn)行正確的操作.按照步驟完成作圖后,教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生利用測量,比較等方式驗(yàn)證新作的角是否等于已知角.1.1.2缺陷分析(1)內(nèi)容呈現(xiàn)順序上的缺陷“作一個(gè)角等于已知角”所用的原理是三角形全等的條件,教材將這一內(nèi)容放置于”探索三角形全等的條件”之前,使得該尺規(guī)作圖缺乏了理論支撐,只能讓學(xué)生進(jìn)行模仿操作.而對于所作的圖形,要讓學(xué)生說明其正確性,又要用到三角形全等的條件,萬不得已,只好讓學(xué)生進(jìn)行測量,比較驗(yàn)證新作的角是否等于已知角.由此可見,將”作一個(gè)角等于已知角”安排在三角形全等的條件之前,對作法的分析及所作圖形正確性的說明是缺乏理論依據(jù)的.(2)尺規(guī)作圖的要求與目的存在缺陷尺規(guī)作圖實(shí)際上是幾何證明另一種呈現(xiàn)方式,其根本目的是發(fā)展學(xué)生的推理能力,是對幾何證明的延續(xù).初中的許多尺規(guī)作圖是在對幾何證明進(jìn)行綜合應(yīng)用的同時(shí)發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力.教材設(shè)計(jì)中只要求學(xué)生能看懂步驟,按照步驟進(jìn)行正確的操作,對所作圖形利用測量,比較等手段說明所作圖形的正確性,顯然失去了對推理能力的培養(yǎng)這一教學(xué)目標(biāo).處理幾何作圖時(shí),我們不應(yīng)當(dāng)忘記,問題并不是要求以一定的精確度實(shí)際把圖畫出來,而是從理論上說明只用圓規(guī)和直尺(假設(shè)我們的這些儀器完全準(zhǔn)確)能否找出畫圖的方法來;必須強(qiáng)調(diào),我們的幾何作圖概念在某種意義下似乎是人為的.圓規(guī)和直尺肯定是作圖的最簡單的工具,但是在幾何中從來就沒有只限于用這些儀器,從實(shí)際看,任何一個(gè)尺規(guī)作圖方法,其作圖效果都不如用好的半圓儀等儀器那樣令人滿意.(摘自什么是數(shù)學(xué)柯郎?羅賓)如果只把尺規(guī)作圖視為一種機(jī)械化操作,只要求學(xué)生會(huì)”依葫蘆畫瓢”,那么學(xué)生學(xué)完之后是一種”知其然而不知其所以然”的感覺,這顯然與尺規(guī)作圖的根本目的相違背.1.2浙教版教材設(shè)計(jì)及分析1.2.1教材設(shè)計(jì)教材在七年級下冊第一章第六節(jié)作三角形中安排了”作一個(gè)角等于已知角”這一內(nèi)容,學(xué)生在學(xué)完三角形全等的條件后學(xué)習(xí)這一尺規(guī)作圖,并利用這一尺規(guī)作圖作三角形.教材在本節(jié)內(nèi)容中第一次給出尺規(guī)作圖的定義,并在其后開門見山地給出:下面介紹怎樣利用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角,使它等于已知角,隨后給出了具體的作法和相應(yīng)的圖形.對這一作圖教學(xué)參考書給出了如下說明:作一個(gè)角等于已知角,學(xué)生在七年級上冊第7章已經(jīng)接觸過,不過當(dāng)時(shí)只要求應(yīng)用量角器作,而本節(jié)限定用直尺和圓規(guī)來作,在原理和方法上都有較大的區(qū)別.對作法的思路教師可作些引導(dǎo),也就是構(gòu)造出一對三邊相等的全等三角形,使其中一個(gè)含有已知角,而另一三角形中這個(gè)角對應(yīng)角就是所求的角,然后把這一思路轉(zhuǎn)化成具體的作法.1.2.2缺陷分析(I)教學(xué)設(shè)計(jì)缺乏探究性霉毫中學(xué)數(shù)學(xué)雜志2011年第8期教材直接介紹怎樣利用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角,并給出了規(guī)范的作圖與作法,盡管教參指出對作法的思路教師可作些引導(dǎo),然而對于這個(gè)思路的形成只能停留于老師的引導(dǎo)和分析,學(xué)生很難想到(筆者進(jìn)行了教學(xué)試驗(yàn),在給出尺規(guī)作圖的定義后讓學(xué)生完成這一尺規(guī)作圖,結(jié)果六個(gè)班的同學(xué)沒有一個(gè)學(xué)生能想出作圖的思路),因此,對于這樣的教學(xué)設(shè)計(jì),只能由教師一邊引導(dǎo)一邊講解作圖的原理,對學(xué)生而言缺乏探究性.這樣的設(shè)計(jì)學(xué)生知道怎樣作圖及作圖所用的原理,即達(dá)到了讓學(xué)生”知其然而知其所以然”的目的,但卻不清楚作圖思路是如何形成的?解決這種問題的方法是怎樣形成和提煉出來的?這些問題對學(xué)生而言還是一塊空白,而這正是數(shù)學(xué)本質(zhì)的東西,離開方法而追求知識本身,知識就失去了它應(yīng)有的價(jià)值,也失去了它的靈性.(2)教學(xué)容量偏大教材在介紹完作一個(gè)角等于已知角這一基本作圖之后,安排了利用這一基本作圖作三角形(已知“角邊角”和”邊角邊”的兩種情況作三角形),而后還安排了作線段垂直平分線的基本作圖(對作線段垂直平分線的尺規(guī)作圖同樣缺乏必要的理論支撐:到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上).從內(nèi)容安排和實(shí)際教學(xué)來看,本課時(shí)的教學(xué)容量過大,一課時(shí)難以完成.教學(xué)時(shí)建議將作線段垂直平分線的基本作圖這一內(nèi)容往后移或作另外安排.針對以上分析中出現(xiàn)的問題,筆者結(jié)合浙教版教材的設(shè)計(jì)與安排(學(xué)完三角形全等的條件和尺規(guī)作圖的定義后),在實(shí)際教學(xué)中整理了該基本作圖的思路分析,以供同行參考.2筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)2.1復(fù)習(xí)舊知滲透原理:用量角器畫一個(gè)角等于已知角D圖1D圖2條具有公共端點(diǎn)的射線所組成的圖形,也可以看成一條射線繞著端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形,其中一條射線稱作角的始邊,另一條稱作角的終邊.我們可以先任意畫一條射線DE,要畫LEDF=LAOB,關(guān)鍵是確定另一條邊DF,而要確定射線DF,只要確定該射線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn),此時(shí)量角器的刻度完成了尋找這一點(diǎn)的任務(wù).即根據(jù)角的定義,畫一個(gè)角LEDF等于已,知角LAOB,最終轉(zhuǎn)化為已知一條射線DE,確定一個(gè)點(diǎn)F.22呈現(xiàn)問題分析思路:用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角(尺規(guī)作圖)若將上題中的畫圖工具換成直尺和圓規(guī),結(jié)合上面的分析,你能完成這個(gè)尺規(guī)作圖嗎?思路分析如下:在上題的鋪墊下,學(xué)生容易分析出作一個(gè)角等于已知角的關(guān)鍵是確定射線DF除D點(diǎn)外的任意一點(diǎn).然而這樣學(xué)生也很難形成作圖思路,此時(shí)再引導(dǎo)學(xué)生,假設(shè)這樣的點(diǎn)F已找到(如圖2),若在射線DE上任意確定一個(gè)點(diǎn)G,則順次連接點(diǎn)D,點(diǎn)G和點(diǎn)F就形成了一個(gè)三角形.這樣就把作一個(gè)角等于已知角與三角形全等相聯(lián)系,此時(shí)容易想到構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形,顯然,點(diǎn)D與點(diǎn)0對應(yīng);在射線OA上確定一點(diǎn)與點(diǎn)G對應(yīng)就是畫一條線段等于已知線段,這容易辦到;而問題的關(guān)鍵是找出點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn),逆向思維,不妨在射線OB上先確定一點(diǎn),而后找出點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)即已知0,作GDF,使GDFMoN.設(shè)計(jì)分析與說明:在分析作一個(gè)角等于已知角的作圖思路時(shí),多次利用逆向思維進(jìn)行分析與推理,如假設(shè)這樣的點(diǎn)F已經(jīng)找到,則結(jié)果會(huì)如何;假設(shè)滿足條件的三角形GDF已找到,則會(huì)有對應(yīng)的三角形MON存在;而后由已知角LAOB構(gòu)造出0,根據(jù)MON作與其全等的三角形GDF.這種分析問題的方法對學(xué)生而言是一種重要的分析問題和思考問題的方法,也是數(shù)學(xué)上的重要的思想方法(其本質(zhì)是分析法),因此借助尺規(guī)作圖的思路分析滲透一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,其教育教學(xué)意義及其重大.2.3展現(xiàn)過程形成作法:作一個(gè)角等于已知角請你畫一個(gè)角等于LAOB(如圖1).學(xué)生在七年級上冊第7章已經(jīng)接觸過,只要用量角器即可完成.先量出LAOB的度數(shù),再任意畫一條射線DE,將量角n器的零刻度線對準(zhǔn)DE,點(diǎn)D與量角器的中心點(diǎn)重合,在量角器相應(yīng)刻度位置描出一個(gè)點(diǎn)F,連接DF并延長,則Z_EDF(如圖2)就是所要畫的角.其畫圖的根本思路與原理是角的定義:角是由兩6DGE圖3圖4s作法:(1)在LAOB的兩邊OA,OB上各任取一點(diǎn),中學(xué)數(shù)學(xué)雜志2011年第8期要%1溉6琶覽龍囂%,連接MN,得aMON(如圖3);(2)畫射線DE,并在射線DE上截取DG=OM(如圖4);(3)作AGDF,使AGDFAMON(已知三邊作三角形在上一節(jié)已介紹,具體做法此處不作贅述);延長DF,則/_EDF就是所要求作的角.2.4歸納提煉完善過程:基本作圖(作一個(gè)角等于已知角)的作法為方便起見,我們需要取OM=ON,這樣為作圖帶來方便,從而得到了作一個(gè)角等于已知角的基本作法.從而展現(xiàn)完整的作圖過程與具體的作法.作法:1.以點(diǎn)0為圓心,任意長為半徑畫弧,交/_AOB的兩邊與點(diǎn),|;2.畫射線DE,以點(diǎn)D為圓心,同樣長為半徑畫弧,交DE于點(diǎn)G;3.以點(diǎn)G為圓心,MN長為半徑畫弧,交原弧于點(diǎn)F;4.連接DF并延長;則/EDF就是所要求作的角.這樣的作圖思路是從角的定義出發(fā),其分析思路與學(xué)生已學(xué)的知識(用量角器畫一個(gè)角等于已知角和三角形全等的條件)緊密相連,新知識的獲取建立在學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn)上,已有的分析問題和解決問題的方法和思路得到了延伸與拓展,學(xué)生在已有的知識和能力上獲得了新的發(fā)展,符合學(xué)生學(xué)習(xí)的需要.3兩點(diǎn)思考3.1尺規(guī)作圖”貴”在作圖思路的形成在解答作圖問題時(shí)許多教師一般直接給出作法,再給出證明,有時(shí)教師邊介紹作法邊讓學(xué)生動(dòng)手完成整個(gè)操作過程,幾乎停留在機(jī)械的模仿操作階段.這樣的教學(xué),教師只充當(dāng)了解說員的作用,學(xué)生對知識的學(xué)習(xí)就如同建造”空中樓閣”,學(xué)生的思維不能得到根本上的發(fā)展.對于作圖問題不能僅僅要求學(xué)生知道作法,證明作法,解答相關(guān)習(xí)題,更不應(yīng)該用儀器測量尺規(guī)作圖是否標(biāo)準(zhǔn),而應(yīng)充分挖掘作法產(chǎn)生的原因,弄明白作圖思路的形成過程.”作一個(gè)角等于已知角”浙教版教參盡管指出:對作法的思路教師可作些引導(dǎo).然而對于這個(gè)思路的形成只能停留于老師的引導(dǎo)和分析上,學(xué)生很難想到.為此,筆者引導(dǎo)學(xué)生的作圖思路就是從角的定義出發(fā),其分析思路與學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn)(用量角器畫一個(gè)角等于已知角和三角形全等的條件)緊密相連,新知識的獲取建立在學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn)上,符合學(xué)生學(xué)習(xí)的需求,同時(shí)學(xué)生的能力也得到新的發(fā)展.會(huì)解決作圖問題的重要標(biāo)志是明白其作圖背后的思路,尺規(guī)作圖問題教學(xué)的關(guān)鍵在于幫助學(xué)生分析作圖思路的形成,從而真正發(fā)展學(xué)生的思維和提升學(xué)生的能力.3.2有限的教材,創(chuàng)造的使用筆者先后所任教過的兩種版本教材北師大版和浙教版,不論從編排體系還是教材內(nèi)容安排來說都各有特色,令人耳目一新.但是任何一種教輔資料或教材都難以做到完美的境界,所以作為一線教師應(yīng)深刻領(lǐng)會(huì)教材的編寫意圖,吸取各種教材在編寫與設(shè)計(jì)上的優(yōu)點(diǎn)為我所用,并在必要的時(shí)候?qū)τ行﹥?nèi)容進(jìn)行加工處理,力爭做到”創(chuàng)造性”地使用教材.像北師大版教材在沒有學(xué)習(xí)三角形全等條件的情況下安排了”作一個(gè)角等于已知角”這一內(nèi)容,使得該尺規(guī)作圖缺乏了理論支撐,學(xué)生在學(xué)完之后是一種”知其然而不知其所以然”的感覺.筆者建議在實(shí)際教學(xué)中調(diào)整部分教學(xué)內(nèi)容的順序,將”作一個(gè)角等于已知角”調(diào)整到學(xué)完三角形全等條件之后學(xué)習(xí).而浙教版教材從編排順序上是符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的,但就教學(xué)內(nèi)容是否適量也值得商榷,尤其對基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生,更應(yīng)減少教學(xué)容量,以確保課堂教學(xué)質(zhì)量.對于教學(xué)參考用書上的教學(xué)目標(biāo)和要求的完成,尤其是教參指出的“對于作圖思路的形成教師可做些引導(dǎo)”,可”做怎樣引導(dǎo),如何引導(dǎo)?”這都需要一線教師潛下心去做深刻的分析與思考.盡管教材呈現(xiàn)給我們的文字,圖片,例題,習(xí)題是非常有限的,但是每一段文字,每一張圖片背后所蘊(yùn)藏的深意值得我們?nèi)ニ伎?挖掘,它們留給我們思考的空